Расчет величины критического крутящего момента изогнутой в полуокружность цилиндрической пружины Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

№ 6

2006

На рис. 3, 4 представлены результаты расчета свободных колебаний балки с тремя

(рис

(рис

____________Л

раметры системы: изгибная жесткость балки Е1 =41,7 Н-м ; длина балки I = 0,27 м;

КГ

погонная масса балки Мр = 0,785 —; радиус поверхности связи г = 5 мм; диаметр одно-

М

сторонних связей й = 8 мм ; длина односторонних связей / =0,1 м; координаты связей х, =0,1 м, = 0,2м, х. -0,21 м; зазоры между недеформированной балкой и связями

= ОД мкм, Д® = 10 мкм, Аз = 10 мм. Начальная деформация балки создавалась силой

(2 = 212 Н, приложенной к свободному концу балки. Уравнение колебаний балки с учетом внутреннего трения рассматривается в [3]. Внутреннее трение в односторонних связях не учитывается (/г,- = 0),

Если длина односторонних связей I < 0,04 м 5 то расчеты с учетом и без учета инерции связей, отличаются незначительно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Полянин А, Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 576 с,

2. М а р ч у к Г, И. Методы вычислительной математики: Учеб. Пособие. — 3-е изд., перераб. и под. — М,: Наука, 1989. —608 с.

3. Люминарский И. Е. Динамика упругих систем с односторонними связями большой жесткости // Естественные и технические науки, 2003. — № 2. — С. 11—21.

4. ЗегждаС. А. Соударение упругих тел. — СПб; Изд-во Санкт-Петербургского ун-та. — 1997. — 316 с.

531.8

РАСЧЕТ ВЕЛИЧИНЫ КРИТИЧЕСКОГО КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА ИЗОГНУТОЙ В ПОЛУОКРУЖНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ПРУЖИНЫ

Асп. ЯН ВАДИКОВ, д-р техн. наук, проф. ФЛ СОРОКИН

С использованием решения} полученного с помощью уравнений механики стержней, находится приблиэюенное выражение для величины критического крутящего момента цилиндрической пружины, изогнутой в полуокружность.

The theory of a thin elastic rod was used for screw cylindrical spring which bent in a half of circle to find an approximate equation for a value of the critical torsion moment.

Для целей просеивания и измельчения сухого сыпучего материала применяются так называемые «спиральные грохоты». Это установки, рабочим органом которых являются цилиндрические пружины, вращающиеся вокруг собственной продольно оси и просеивающие рабочий сыпучий материал сквозь зазоры между витками, а также дробящие крупные фракции рабочего сыпучего материала (захватываемые вследствие изменения межвиткового расстояния, обусловленного изгибом пружины). Цилиндрические пружины в подобных установках, как правило, изогнуты в дугу окружности. К одному концу пружины приложен крутящий момент от двигателя, в то время как другой конец пружи-

№6

2006

ны свободно вращается в подшипнике, нагруженный моментом сил трения подшипника (рис. 1). При определенной скорости вращения момент трения достигает величины, при которой пружина теряет устойчивость. Ось пружины, лежащая до момента потери устойчивости в одной плоскости, деформируется, выходя из плоскости, и принимает пространственную форму (рис. 2). При этом, в зависимости от длины пружины и величины

крутящего момента, может произоити «перехлест» пружины, т.е. пружина повторит траекторию на подобие движения скакалки (рис. 4) либо образуется петля у конца пружины, ближнего к свободному подшипнику (рис. 5).

Рис. 1. Схема мельницы циклического действия

Рис. 2. Потеря устойчивости с выходом из плоскости оси пружины

А

х

о 3 о

угол относительного поворота концов пружины

Рис. 3. Типовая упругая характеристика кручения пружины, изогнутой в полуокружность

Мб

2006

Ось пружины

м

ось перехлеста

трения

двигателя

Рис. 4. Схема перехлеста

Ось пружины

петля

М

двигателя

трения

Рис. 5. Схема петлеобразования

Попробуем получить выражение для критического крутящего момента цилиндрической пружины, изогнутой в полуокружность, Предположим, что половину витка пружины можно рассмотреть как криволинейную полосу с радиусом кривизны 7?, жесткостью изгиба Вх , жесткостью кручения С и применим к нему выражение для критического значения момента криволинейной полосы [1—4]

М

кр

вх+с

2Л

+

2 Я

+

)

К

(1)

Для проволоки круглого поперечного сечения диаметром с1

жесткости изгиба Вх и

кручения С равны соответственно

^X ^^ ^

Е ти!

Е— и С = 0/=-

64 " 2(1+ ц) 32

и их отношение

В

С

(1+ц).

Для половины витка угловая координата Ф

П 2

Подставляя в (1 )5 получим

г

кр 27?

((2 + Ц)±7Ц2+16(1 + Ц)1

(2)

Или, раскрывая параметр С,

«Р 0

где К —коэффициент пропорциональности, И = 2В.

Для определения коэффициента £ решали нелинейную краевую задачу для системы 12 нелинейных дифференциальных уравнений механики стержней [1]

йй

= /(5, У)

где 0.{

внутренние силы, М(—внутренние моменты, щ—перемещения, Iе). — повороты.

№6

2006

Один край пружины принимался жестко защемленным. На втором краю пружины расположен цилиндрический шарнир (рис. 1). И на этом краю задавали поворот пружины вокруг оси шарнира. Решение краевой задачи позволило найти зависимость реактивного момента на краю пружины от относительного угла закручивания (рис. 3). Указанная зависимость содержит точку экстремума, которая соответствует критическому состоянию пружины. Полученный таким способом критический момент позволяет найти значение коэффициента пропорциональности

MD

£ = —V •

Ed4

Неоднократные численные эксперименты были систематизированы и на их основе была получена приближенная формула (3), обобщающая результаты для довольно большого интервала изменения параметров пружины; i = (20...200);

dp.

— = (0,01...0,12) ;а0 = (2,5...5) град., где DQ —диаметр витка пружины; dQ —диаметр про-00

волоки пружины; а0 —угол подъема витка пружины; i —число витков пружины; Е — модуль упругости 1 -го рода.

1 d Е

эмпир _ х ""0 ^

9 D0fcosa0

(3)

В таблице показаны результаты расчета по эмпирической формуле и численной методи-

ке механики стержней [1].

Таблица

Параметры пружины Момент разница, %

d, м Дм угол подъема, град. Краевая задача, Н • м приближенный, Н • м

50 6.0Е-03 1.18Е-01 2,78 4,9740 4,8871 2

50 6.0Е-03 5.90Е-02 5,56 10,1490 9,8089 3

50 6.0Е-03 5.90Е-02 2,78 9,6600 9,7742 1

100 6.0Е-03 5.90Е-02 2,78 5,1650 4,8871 6

50 1.0Е-03 5.90Е-02 2,78 0,0072 0,0075 5

50 3.0Е-03 5.90Е-02 2,78 0,5800 0,6109 5

Полученное выражение для критического момента скручивания цилиндрической пружины, изогнутой в полуокружность, будет полезно знать на этапе конструирования рабочих органов спиральных мельниц, пружинных муфт и других конструкций, содержащих цилиндрические пружины, изогнутые в полуокружность.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. СветлицкийВ.А. Механика стержней: Учеб. для втузов. В 2-х ч. — 4.1. Статика.— М.: Высшая школа, 1987. —320 с,

2. СветлицкийВ.А. Механика стержней: Учеб. Для втузов. В 2-х ч. — Ч. 2. Динамика. — М.: Высшая школа, 1987. — 304 с.

3. А н д р е е в а Л. Е. Упругие элементы приборов. — М.: Машиностроение, 1981. — 392 с.

4. Расчеты на прочность в машиностроении / С.Д. Пономарев, В.Л. Бидерман и др. — М., 1959. —Т. 3. — 1120 с.