CC BY
36
№ 1 2007
3. Предложенный метод обладает высокой эффективностью: позволяет на порядок увеличить точность вычислений по сравнению с известным методом, Возможность получения достоверных оценок за небольшие промежутки времени позволяет строить амплитудную зависимость декремента колебаний, которая является важнейшей характеристикой диссипативной силы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. П и с а р е н к о Г. С., Я к о в л е в А. П., М а т в е е в В. В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов: Справочник. — Киев: Наукова думка, 1971. — 376 с.
2. Вибрации в технике: Справочник. В 6 т. / Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. •— М.: Машиностроение, 1978. — 352 с.
3. БасковА.Г.,КраткоА.Г., БовсуновскийА.П. Автоматизированная система измерения характеристики демпфирования колебаний механических систем на основе микроЭВМ // Проблемы прочности. 1990. — №1.
— С. 119—112.
4. 3 о т е е в В. Е. Разработка и исследование линейных дискретных моделей колебаний диссипативных систем // Вестник СамГТУ. Серия: физико — математические науки, — Вып. 7. — 1999. — С. 170—177.
4. 3 от ее в В. Е.} П о п о в а Д. Н. Определение динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе стохастического разностного уравнения // Вестник СамГТУ. Серия: физико-математические науки.
— Вып. 42. —2006, —С. 162—168.
5. КашьяпР. Л.,Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. —М.: Наука, 1983.— 384 с.
6. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоффа. — М.: Мир, 1983. — 400 с.
7. Д обр ы и и нС. А,, Фел ьд м ан М. С., Ф и рсо в Г. И. Методы автоматизированного исследования вибраций машин: Справочник, — М.: Машиностроение, 1987. — 224 с.
531.8
ВЛИЯНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ОСАДКИ НА НИЗШУЮ СОБСТВЕННУЮ ЧАСТОТУ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРУЖИНЫ (МОДЕЛЬ РАБОЧЕГО
ЭЛЕМЕНТА СПИРАЛЬНОГО ГРОХОТА)
Ас п. RH. БАДИКОВ, д-р техн. наук, проф. Ф.Д. СОРОКИН
На основе известных уравнений механики стержней В.А.Светлицкого, формулируется краевая задача для винтовой цилиндрической пруэюины с прямой осью, подверженной осадке, с помощью которой проводится решение задача поиска низшей собственной частоты, а так же находится приближенное выражение для зависим ости низшей собственной частоты пружины от величины осадки.
The equations of the theory of thin elastic rod was used to solve the boundary value problem which was formed for screw cylindrical spring subjected to ends approach. Based on this static solution the lower own frequency was found and the equation for lower own frequency versus ends approach value was determined\
Для целей просеивания и измельчения сухого сыпучего материала применяются так называемые «спиральные грохоты». Это установки, рабочим органом которых являются цилиндрические пружины. Они просеивают рабочий сыпучий материал сквозь зазоры между витками, а также дробят крупные фракции рабочего сыпучего материала, захватываемые витками пружины вследствие изменения межвиткового расстояния, обусловленного деформацией пружины. Стремление уменьшить энергозатраты и увеличить производительность привело к идее выводить систему на резонансные режимы работы, что, в свою
М 1
2007
очередь, поставило задачу поиска резонансных режимов работы и возможности управлять этими режимами путем изменения параметров системы. Как вариант, можно управлять резонансными режимами работы путем изменения геометрии (например, сближением и поворотом концов пружины).
Получим выражение для низшей частоты прямолинейной пружины, заделанной по концам и подверженной сближению концов (рис. 1). Пружина в ненапряженном состоянии имеет геометрические параметры: В0 — диаметр витка пружины; #0 — высота пружины; ¿/0 — диаметр проволоки пружины; а0 — угол подъема витка пружины; р — плотность материала проволоки пружины; / — число витков пружины.
ш
11ШШЩ|Ш|Ш[
ш™
д
Рис. 1
Выражение для низшей частоты прямолинейной балки, лежащей на двух опорах и
подверженной действию продольной силы Р (рис. 2) [41, имеет вид
Р = Ро*1 +
где Я
тгЕ/
Р
Р.
(1)
Э
и
/
критическая сжимающая сила для балки, соответствующая ее про
дольному изгибу в плоскости колебания; р0 = тт
И
а1
низшая частота собственных
колебаний для ненагруженной балки; / —длина балки; ц — масса единицы длины балки;
EJ
и
жесткость сечения балки при изгибе.
А7
ч\\ч\
>
Рис. 2
Для прямолинейной балки, заделанной по краям и подверженной действию продольной силы (рис. 3), имеет место соотношение, подобное соотношению (1). Для такой балки выражение для критической сжимающей силы и низшей частоты собственных колебаний будет иметь вид
В
4тг£/и
э
/
1
; р
о
и |EJÍ
4.73 ' и
д1
Соответственно, в первом приближении выражение для низшей собственной частоты для прямолинейной заделанной по краям балки, подверженной действию продольной силы, будет иметь вид
№1
2007
2
Ап El
И
(2)
£
\\\\\
77777
>
Рис, 3
Для прямолинейной цилиндрической пружиной будут иметь место особенные выражения для изгибной жесткости и массы единицы длины пружины,
Перейдем в выражении (2) от зависимости частоты от продольной силы к зависимое-
V/ W
ти от осадки пружины, используя классическое соотношение между сжимающем силон и перемещением: Р -СХ , где С — жесткость пружины; X — осадка пружины, учитывая
тс Е)^ I
что X =-—Р [3]. Здесь Шк — жесткость на кручение при круглом сечении проволоки;
4GJk
С —модуль упругости второго рода; Зк — геометрическая характеристика, определяющая жесткость сечения при кручении.
82)3/
Следовательно, Х~—
Е
или, учитывая, что О =
2(1+ ц)
EdA р ~ °
2(1 + ц)8Я03/
(3)
Изгибная жесткость для пружины вычисляется с использованием соотношения [3]:
EJ ~ ^
32D0i 2+|i
Учитывая, что высота пружины Я0 = [3],
г-< г 7Л
32(2 + \1)
Для пружины масса единицы длины эквивалентной балки
(4)
д _ PAl _
Я0 4sina0
7
где А = —g--площадь сечения проволоки; L - Я0 sin а0 — длина проволоки пружины.
¿f.
№ 1
2007
Соответственно, выражение для низшей частоты прямолинейной пружины, заделан-
ной по концам и подверженной действию продольной сжимающей силы, в зависимости от величины осадки пружины X имеет вид:
4 732 /^otga0sina0 (2 + и)Я0
Погрешность выражения (4) оценивалась на основе сопоставления с решением той
же задачи по точным уравнениям механики стержней для цилиндрическои пружины с параметрами:
количество витков /, шт. ............................................50
диаметр проволоки с/, м..............................................0,006
диаметр пружины Д м...............................................0,059
угол подъема, град......................................................2,78
модуль упругости Е, Па..............................................2,00Е+11
коэффициент Пуассона ц...........................................0,33
плотность р, кг/м3........................................................7800
высота пружины, м.....................................................0,450228
Решение проводилось в два этапа. Сначала решалась нелинейная краевая задача для системы дифференциальных уравнений статики [1]
ш1
где Q — внутренние силы, М— внутренние моменты, и. — перемещения, & — повороты. Затем решалась задача поиска низшей собственной частоты и формы колебаний на основе решения краевой задачи для системы линеаризованных дифференциальных уравнений
динамики малых колебаний [2]:
«5
где Q0., — амплитуды внутренних сил, внутренних моментов, перемещений и
углов поворота сечения соответственно; м> — частота колебаний.
Сопоставление результатов показало необходимость введения поправочных коэффициентов при вычислении значений р() и Рэ, т.е. ^ружины — Кр0р0, Рэпружины = К?ЭР3, Установленные подбором поправочные коэффициенты имеют значения:
Кро — 0,95 ? КРЭ = 1,5, т.е., окончательно соотношение (4) принимает вид
пружины =о,95-4,732 I 51па" /1+ (2 + М)Яй ,
8(2 + ц)#0р V 2п (1 + ц)Од 1,5
№ 1
2007
Погрешность уточненного выражения (5) составляет не более 15% (рис, 4, таблица). Следовательно, полученные выражения для низшей собственной частоты могут быть успешно использованы при конструировании пружинных мельниц с варьируемой величиной осадки упругого элемента.
50 -45 -
40 -35 -
S
£ 30 -I %
* 25
(9
У
20 -
15 -
10 -
5 -
0
0,3
т
»Mrt» « *****
0.35
0.4
0.45
0.5
расстояние между концами пружины, м
Мех. стержн эмпирика
0.55
0.6
Рис.4
Таблица
Расстояние между концами пружины, м Осадка пружины, м Частота мех. стерж., рад/сек Частота прибл., рад/сек Разница, %
' 0,667 0,197 51,0 56,7 11,2
0,637 0,167 49,5 54,1 9,2
0,570 0,100 45,4 47,6 4,8
0,553 0,083 44,1 45,8 3,9
0,487 0,017 37,9 38,0 0,4
0,478 0,007 36,8 36,8 0,1
0,474 0,004 36,4 36,4 0,0
0,469 -0,001 35,8 35,7 0,3
0,469 -0,001 35,8 35,7 0,3
0,462 -0,008 34,8 34,7 0,4
0,462 -0,008 34,8 34,7 0,4 г*
0,453 -0,017 33,6 33,5 0,4
0,445 -0,025 32,4 32,2 0,6
0,437 -0,033 31,1 30,9 0,6
0,428 -0,042 29,7 29,6 0,5
№ 1 2007
Продолжение таблицы
Расстояние между концами пружины, м Осадка пружины, м Частота мех. стерж., рад/сек Частота прибл. 5 рад/сек Разница, %
0,420 -0,050 28,2 28,2 од
0,412 -0,058 26,6 26,7 0,5
0,403 -0,067 24,8 25,1 1,4
0,395 -0,075 22,8 23,4 2,9
0,387 -0,083 20,5 21,6 5,6
0,387 -0,083 20,5 21,6 5,6
0,378 -0,092 17,9 19,6 9,7
0,376 -0,094 17,0 18,9 11,7
0,374 -0,096 16,4 18,4 12,5
0,372 -0,098 15,9 18,0 13,4
0,371 -0,099 15,5 17,5 13,3
0,360 -0,110 15,3 14,4 5,6
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. СветлицкийВ.А. Механика стержней: Учеб. для втузов. В 2-х ч. Ч. 1. Статика. — М.: Высшая школа, 1987. —320 с.
2. СветлицкийВ.А. Механика стержней: Учеб. Для втузов. В 2-х ч. 42 Динамика. — М.: Высшая школа, 1987. —304 с.
3. А н д р е е в а Л. Е. Упругие элементы приборов. — М: Машиностроение, 1981. — 392 с.
4. Расчеты на прочность в машиностроении // С.Д. Пономарев, В.Л. Бидерман и др. — М.: Машгиз, 1959. — Т. 3. — 1120 с.
