CC BY
47
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 1982
№ 4
УДК 533.6.011
ВЛИЯНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОСТИ НА АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕЛ, ТОРМОЗЯЩИХСЯ
В ГАЗЕ
Г. И. Горюнова, В. В. Михайлов
Изучается влияние нестационарности на аэродинамические и тепловые характеристики тела, гиперзвуковая скорость движения которого уменьшается обратно пропорционально времени. Показано, что для случая совершенного газа на режиме стабилизации по числам задача автомодельна по времени как во внешнем невязком
потоке, так и в пограничном слое. Приведены результаты расчета влияния нестационарности на обтекание клина невязким потоком. Получено соотношение для относительного изменения теплового потока в критической точке осесимметричного тела в предположении сильного сжатия газа за головной ударной волной.
1. При входе тела в атмосферу с гиперзвуковой скоростью могут возникать силы, значительно превышающие силу веса тела. Если предположить дополнительно, что на некотором участке спуска произведение коэффициента сопротивления на плотность набегающего потока постоянно (Сх роэ = const), а остальные силы и моменты малы, то скорость набегающего потока, оставаясь постоянной по направлению, будет меняться обратно пропорционально времени:
£» = V0l(l+kt)-
здесь V0 — начальное значение скорости, t — время, k = Am/spx Сх (т — масса тела, s — характерная площадь, Сх — коэффициент сопротивления, рсо — плотность набегающего потока), А = | V0 \.
При этом в системе координат, связанной с телом, в уравнениях Эйлера появляется инерционная сила
F = ~?kVaj{\ +kt)\
Для совершенного газа на режиме гиперзвуковой стабилизации по числам М (Моо ->■ оо) в указанной системе координат существует автомодельное по времени решение уравнений Эйлера.
Отнесем все линейные размеры к характерной длине L и введем безразмерные скорость, давление и плотность, обозначив их звездочками:
К=1>*(1 +££)-'; р = р* ?оо + kt)~2; р = е*Рос.
Тогда уравнения Эйлера, условия на головном скачке уплотнения и на теле можно записать в новых переменных, считая эти переменные не зависящими от t:
(V* у) V* = — \'Р*ІР* + (V* - Уо'А) Біі;
Ир*1>*))=0;
(V* уз) = 2а БЬ;
Р> (>; = (*- 1) (*+ І); (1-1)
п.А-
(V* пк.) — 0;
здесь а = р* {р*)~х; х — показатель адиабаты; БИ = Л_1— число
Струхаля; п5, пт — единичные векторы нормали к скачку и поверхности тела.
2. Рассмотрим уравнения ламинарного пограничного слоя. Определим условия, при которых течение будет автомодельно не только во внешнем потоке невязкого газа, но и внутри пограничного слоя. Введем ортогональную криволинейную систему координат ї, у, С, связанную с поверхностью тела. Координата у отсчитывается от тела по нормали. Пусть составляющие скорости и, V, ни направлены вдоль соответствующих координатных направлений. Тогда для течения в пограничном слое получим:
du 1 др . д і ди~\ і с-
др
ду
— 0;
dw _ 1 др и і uw ^ . р
р Ж — Ж1Г ~эу Iду) ~г‘
д\ ^ 1 Г д (Н2 ри)
~dt ■ Ht Н2 [ Ik
dH _______ др , д / [J. дН
Р dt dt 1 ду Рг ду
д ( dw\ .
1у \* ду) d (Я, Я рэ) д (tfj рж)
_d_
ду
ду
д:
= 0:
I . 1 \ <? . Н2 + Ж2 , I
‘(' рг) '3?( 2—)1;
(2.1)
здесь Р1, — составляющие инерционной силы вдоль направлений
5, Я,, Н2 — коэффициенты Ляме для направлений 5, С соответ-
ственно; [х — коэффициент динамической вязкости; Рг — число
n и , и2 -да- , d д . и И д
Ирандтля. Н = п —-—; h энтальпия; +
да д
— "7777)1'
В рассматриваемом случае Fu F2 связаны с составляющими
Аг и А-, скорости V0 вдоль направлений С следующими соотношениями:
F, = — pkAt (1 -f- kt)~2\ F2 = — pkAo (1 + kt)~2.
Параметры и, w, p, P обезразмериваются так же, как и в п. 1, так как уравнения классического пограничного слоя требуют сращивания с уравнениями во внешнем невязком потоке. Безразмерная Н вводится соотношением Н — Я* (1Для обеспечения автомодельности уравнений пограничного слоя значения и и у обезразмерим иначе
v ■= v* А (1 + kt)~4'2 Re01/2; у L (1 + Щ'2 Re0~i/2,
где
Re0 = рю AL/p0; a0 = ]j.(/j0); h0 = А2{\ + kt)~2.
В принятых обозначениях система (2.1) примет вид
и* ди* ^ ди* да* ди*___ 1 др* ,
Hl~df~V ду* ’ ~Н2 Л _ HlP* dz
+ — — + (a*- 4)Sh;
р* ду* \ ду*) .4
и* dw* . * dw* , w* dw*___ 1 dp* .
Ht di ~ty*~r~H^ di Нг p* dr
1 d dw* , As\
p* ду* \" dy*
_n- t>(W;!>¥g-) t <4Ht Нгь* г») , 0 tr*) __q.
dy* ’ d; ‘ dy* 1 dZ
u* dH* e d/У* _да^_ d/£ _ I- _d_ /£^_ д/УП ,
#, di dy* ' H2 dt _ PT dy*\Pr dy’/
i f) p* dy*
(2.2)
ЗдеСЬ !А';' = (А/'[А0.
Предположим, что коэффициент вязкости связан с энтальпией степенным законом ц. — кп. Тогда ^* = к*п не зависит от времени, если И*, и*, ки* являются функциями ТОЛЬКО 5, у, С.
Для существования автомодельного решения необходимо также принять, что краевые условия на поверхности тела для искомых функций Н*, и.*, V*, не зависят от времени.
Предполагая, что скольжение и подвод массы на стенке отсутствуют, для скоростей имеем условие
В качестве граничного условия для температуры газа на стенке можно принять, например, либо условие отсутствия потока тепла, либо независимость Я* от времени:
Естественно, что условие „б“ является довольно искусственным, как как оно требует изменения температуры тела обратно пропорционально квадрату времени. Однако для достаточно сильно охлажденного тела, если существует предел решения при к... -»0,
Таким образом, рассматриваемое автомодельное движение может иметь практическое значение для двух крайних случаев — теплоизолированной и сильно охлажденной поверхностей тела.
3. С целью непосредственного определения степени влияния нестационарности на аэродинамические характеристики тела при его торможении рассмотрим обтекание острого клина. Запишем уравнения (1.1) в новых независимых переменных
Ось х будем считать направленной вдоль У0. В новых переменных уравнения примут вид
Роль числа Струхаля в записанных соотношениях играет переменная х1. При х1, стремящейся к нулю, влияние нестационарности пропадает, и течение в носике клина квазистационарно. При малых значениях х1 решение будем искать в виде рядов:
Здесь индексом „0“ обозначены постоянные параметры, соответствующие стационарному обтеканию клина; индексом „1“ — отклонения, вызванные нестационарностью потока.
Условия непротекания на поверхности клина имеют вид
дН*
а)—-0; б) Я; = //;<?, т)).
МОЖНО принять Яда—0.
X, ~ (р* «*) — г, — (р* й*) + 4- (р* «*) = о ;
а*! 0г( дт)
(3.1)
и* = и0 + хл (т)) v*=v0 + xlvl (її) 4- . . . Р*=Ро+Х 1 Рі{у\)+ . , . Р* = Ро + ^і Рі (т|) "Г • - -
(3.2)
“о “1
где а — полуугол раствора клина.
Угол, образованный скачком с осью х, обозначим через ® и разложим в ряд
tg¥i=tgf0 + 5x14-, . . ,
где 5= const, 90= const — угол скачка при стационарном обтекании. Значения а и ф0 связаны соотношением
. sin 2'fo
tgct —-------—
t 4- cos 2ф0
Поскольку параметры стационарного течения за скачком постоянны, условия на скачке для членов разложения, описывающих нестационарность, могут быть снесены на линию = tg <р0 стационарного скачка и записываются в виде:
и1 Ы = 25 (£0 - 1 )cos3 <Ро sin ср0; vt (r\s) ="‘ — 60) cos2 4)0 cos 2<р0; Pi Ы = 5(1— е0) sin 2ф0 cos* f0; Pj (rls) = о, % = tg ®0 ;
(3.3)
здесь е0 — (х— 1)/(х + 1).
Уравнения движения для этих же функций, разрешенных относительно производных, имеют вид
Г? м2 ( .-1 + - ) - + Л (2Л + 2^)+-^г]
ди1 «о/ Чо1 I “о \ «о/ Ро «о ]
^ ° (1)0 --Т,) [1 •- М'о^о — т;)2 ; _т|=]
1)0
«о/ p0«5 “п /
(ЧО-ЧШ- "oVi=-n)2 + fJ
I ио d 1) «о I р0 и'0 \ “о
dvx______
dr, п 1 —М o(i)o —л)1
Ро , du., dv, \
Л 7~ ^ ~ “I <— Pi
apj й0 \ а Y] cl Y) j
а г| По —
^ = Р, «»[.»—5,-(т,-ч)*] .
Здесь
т)0 = ■Уо/Мо; М0 = м0 (х^о/ро)"1'2; А = (1 — «в)/и|; £ = у|0/н0; С = 2/и0 х.
Интегрирование этой системы проводится от скачка 7)^ = tg<pr> к телу с использованием соотношений (3.3). Соответствующим набором 5 удовлетворяется условие непротекания (3.2). Система (3.4) имеет особенность при 'п = пп. Это объясняется тем, что поверхность тела ?] —т]о характеристична.
Характеристическим условием при ^ = является условие из-энтропичности или обращение в нуль числителей в первом и третьем уравнениях (3.4). Поэтому решение на поверхности клина находится экстраполяцией в точку = с проверкой выполнения характеристических условий.
На рис. 1 и 2 в зависимости от полуугла раствора клина даны значение 5 и значения ии рь р, на поверхности клина. Видно, что влияние нестационарности увеличивается с ростом полуугла раствора клина, особенно вблизи предельного угла, т. е. при а = 45°.
4. Влияние нестационарности течения на теплопередачу к телу определим из решения автомодельной задачи о течении вблизи критической точки при достаточно больших числах Re0.
Решение задачи получим в асимптотической постановке, считая, что показатель адиабаты х->1. Рассмотрим обтекание сферы» в криволинейной ортогональной системе координат, связанной с поверхностью тела. Выбирая в качестве характерного размера радиус сферы Rw, введем обозначения J
Sh'= k RJA; s0 = (* - 1 )./(*+ 1);
координату у будем отсчитывать по нормали от поверхности тела, координату х—вдоль дуги образующей. Составляющие скорости вдоль осей х и у обозначим соответственно через и, v. Введем и — и*\ v = v* v-1; Р=Р*’' Р = Р*го. Значение координаты я отнесем к Rw, координаты у — к
Угол между касательной к телу и скоростью V0 обозначим через р. Тогда уравнения движения примут вид
1 ди , ди c't t . n, 1 <3/7
~ ------- и V — Sh (и — sin Bi-------^-------— ■
ди i ди
-------- и ------------Ь V-------
s0 у дх ду
ЧУ
I + £0 у р дх
£е У
dv , dv с. ,
11 Т~ + го v а-----------------------Г“------------------------“ Sh (£о v
дх ду 1 -г- £0_у
COS Р)-----------
' о ду
- - (р и sin Э) + — (р v sin 3 )= 0;
дх ду
1
и
1 + £о У дх ^ р * }
-.й
Р
iiui 1
=0.
Разложим решение в ряд по координате х
и — И0 (у) X 4- Uy (у) Я3 + . . .
V = ^0 (У) + Vi (у) х2 + . . . Р=Ро (у) +Рх (у)х2 + . . .
Р = Ро (У) + Pi(y)x2 + . ..
(4.1)
Рассмотрим случай, когда БИ == О (г0). Подобно решению, полученному в [1], пренебрегая членами с относительным порядком е0 и выше, будем иметь
«о =у; У2’ Po — h Ро = 1 ■
(4.2)
Полученные выражения неверны вблизи поверхности тела, где и0 и ъ0 нельзя считать членами порядка единицы. Поэтому в этой внутренней невязкой зоне для первых членов разложения (4.1) проведем замену у = е01,2К; м0 = е01/2С/; ъ0 = е0У; р = Р; р —/?. Тогда решение во внутренней зоне, удовлетворяющее условиям сращивания с (4.2), имеет вид
U~ Г+1/8/3 — а; V — — К2 — 2Y /8/3 - а; Р=* 1; R= 1, (4.3) где а — Sh/s0.
Для пограничного слоя используем соотношения (2.2), в которых при осесимметричном обтекании сферы необходимо положить
w* = 0, Н.> == sin р, £ == .г.
Кроме этого, введем замены
-.р*-
р — £оР*;
У = е0-14/:
Тогда из (2,2) с относительной погрешностью е0Л/* получим
л; = ;. 1/2
дм , du
р и------f- ov-—=
Ох 1 ду
dp , д / да , . ..
— - Р а sin |i ;
dx ду \ ду '
ОН , д!~1 д / дН (/ . . q* ■ (/ / . л
рм— 4-р^ —=— ■£-— ; — (p«smp) + — (p®sinp) = 0.
дх ду ду V Рг ду дх ду
дН
<1
О
(4.4)
Пренебрежем вихревым взаимодействием с внешним потоком [относительная погрешность Ре0-1/2г0-5/4(1 Щш\. В этом случае
из (4.3) для течения в критической точке имеем——>ие= я;
Н -г Не — ~ при у оо.
Если принять линейную связь вязкости с температурой, то система (4.4) в переменных Дородницына—Лиза сводится к обычным уравнениям пограничного слоя, в которые вместо функции g—HllHe входит
Так как при у -> сю краевые условия в этих уравнениях не меняются, задача приводится к стандартной, но с меньшим (при < 1) значением температурного фактора.
Учитывая сказанное, для отношения тепловых потоков в нестационарном (2* и квазистационарном С} случаях при —с получим
= ' (1 М5 4
<? (? ■' '
Здесь Ь = — 7' ^ 1 ЭИ; О — значение теплового потока в ста-8 * — 1
ционарном случае при температурном факторе gw — с\ — аналогичное значение при gw — (с — Ь)/( 1 — Ь).
5. Оценим значения числа ЭЙ, полагая, что характерная длина 1<102 м, характерная скорость А^Ю3 м/с и характерное ускорение £Л<.102 м/с2 (перегрузка < 10 £). Тогда будем иметь
ЭЬС 10-2.
Таким образом, для реальных режимов и размеров тела числа Б!! достаточно малы. Однако проведенное выше рассмотрение показывает, что оценка влияния нестационарности по значению числа ЭЬ может оказаться неверной вблизи некоторых предельных режимов течения (когда угол клина, например, близок к предельному или скорость вблизи поверхности тела близка к нулю при -о “С !)•
ЛИТЕРАТУРА
1. Ермак Ю. Н., Нейла нд В. Я. К расчету теплопередачи на лобовой поверхности затупленного тела в гиперзвуковом потоке.
,Изв. АН СССР, МЖГ-, 1967, № 6.
2. X е й з У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.
Рукопись поступила /.?// 1981 г.
