Гиперзвуковое обтекание плоских и осесимметричных тел с изоэнтропическим поджатием в кормовой части Текст научной статьи по специальности «Математика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

_______ ___

мз-^t

УДК 629.7.015.3.036:533.697.2

ГИПЕРЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКИХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ С ИЗОЭНТРОПИЧЕСКИМ ПОДЖАТИЕМ В КОРМОВОЙ ЧАСТИ

С. Д. Животов,

Рассмотрено гиперзвуковое обтекание комбинации клина (конуса) и вогнутой поверхности, которая является поверхностью изоэнтропического сжатия, потоком вязкого совершенного газа. Представлены результаты расчетов, которые позволяют оценить влияние чисел Маха и Рейнольдса, а также граничных условий скольжения скорости и скачка температуры на характеристики вязкой области течения и смоделировать условия обтекания поверхности предварительного сжатия потока перед входом в воздухозаборник. Кроме того, приведенные результаты позволяют провести корреляцию местных характеристик пограничного слоя для различных чисел Маха и Рейнольдса, а также указать ограничения на числа Маха, когда нарушается известный закон подобия, справедливый для гиперзвукового пограничного слоя при его взаимодействии с внешним невязким потоком.

В. П. Провоторов

При проектировании сверхзвукового воздухозаборника и выборе схем его компоновки на летательном аппарате (ЛА) (например, [1]) исследуют следующие основные направления: а) область эксплуатационных режимов по скорости и высоте полета; б) диапазоны изменения углов атаки и стреловидности; в) размеры и форму обтекателя (центрального тела). При этом значение числа Маха и диапазон его изменения на входе в воздухозаборник оказывают наибольшее влияние на выбор его схемы и характеристики. Высота же полета, влияние которой проявляется в вязкостных эффектах, при выборе схемы воздухозаборника играет существенно меньшую роль, если не учитывать связь между высотой полета и углом атаки. Однако при проектировании летательных аппаратов с прямоточными воздушно-реактивными двигателями на режимах небольших углов атаки, когда характерные углы наклона поверхности ЛА таковы, что последний можно рассматривать как тонкое тело, представляется необходимым (в силу существенного воздействия на форму обтекателя или центральное тело воздухозаборника) определить влияние эффектов вязкости, а иногда и эффектов вязко-невязкого взаимодействия [2] на характеристики течения на входе в воздухозаборник.

С этой целью в настоящей статье рассматривается обтекание комбинации клина (конуса) и вогнутой поверхности, моделирующей поверхность предварительного сжатия потока перед входом в воздухозаборник при небольших углах атаки и конечных значениях чисел Маха набегающего потока.

Вязкая область течения. Рассмотрим вязкое сверхзвуковое течение совершенного газа около тела, которое конкретизируем ниже. Сейчас же предположим, что течение двумерное и вязкая область описывается системой уравнений пограничного слоя (например, [3]), которая удовлетворяет граничным условиям скольжения скорости и скачка температуры [4] на поверхности тела и условиям сращивания с невязким потоком на внешней границе. Отметим, что ранее структура сжимаемого пограничного слоя при указанных граничных условиях рассматривалась в работах [5]—[7]. Запишем уравнения в переменных Лиза—Дородницына (см. рис. 1):

Здесь и ниже введены следующие обозначения: рм, их —соответственно плотность и скорость набегающего потока; ихи — проекция скорости на ось Яе0 =раомао/ц0— единичное число Рейнольдса; ц0 — коэффициент вязкости при температуре адиабатического торможения;

цц0 — коэффициент вязкости; Ме — число Маха на внешней границе пограничного слоя, Рг — число Прандтля; у — показатель адиабаты; т — показатель степени в зависимости вязкости от энтальпии, у =0 или 1 соответ-

.V

0

(т/')' + Ъ/Г + ^ - Г1) = 2ф-'/' - //')> +?гу,/ё’ + у2{т^-1)ГГ)' =2^г(П-/ё'),

у2 =2(1-0, = * = я-(1-0/,2>

Ри'Н’и'

п

Я= — =1 + л|й#Г1, г = гк + усо$а„.

о

РР*и1 — давление; рря — плотность; ки2ф(2— энтальпия; Н=1п+и2\

ственно в плоском или осесимметричном случаях; \|/„ =

= {2Ър„\1киег1')т. Индексами оо, н> и е будем обозначать соответственно параметры в набегающем потоке, на поверхности тела и на внешней границе пограничного слоя.

Для расчетов характеристик турбулентного пограничного слоя в случае ламинарного обтекания воспользуемся моделью Себеси — Смита [15]:

ц,ош =0,0168р«Л1еЬ8*

где / =0,4^

1-е

-1,+ /26

У =У

*«.Р«

В случае ламинарного пограничного слоя в системе дифференциальных уравнений величина N имеет вид:

ЛГ = ЛГ,

1ат

Ґ \т_|

\ К У

В случае турбулентного пограничного слоя

N N N

N = N^+N^1 _ = _^ + _№

Рг Рг Рг

ГІ гг1ат г11иг

где

[ М„п при у < у.

К'=\.™ > С>Ли>О = ^и,О'с),Рііат=0,7, РгШг -0,9

I ош ПРи У-Ус

Здесь Л^пп и Л^ои, определены по значениям ц!пп и Цош соответственно.

В заключение этого пункта выпишем выражение для толщины вытеснения 8* в общем виде, когда необходимо учитывать влияние поперечного радиуса кривизны тела на параметры пограничного слоя. Такая необходимость возникает при исследовании вязкого взаимодействия около тонких осесимметричных тел. Это выражение (например, [3]) имеет вид:

6*=—

К J РеК

4у.

В новых переменных это соотношение

, *Г(ї-/'г)-і,/'(і-/')

Iі

</п,

Г 1 и \'п где л=[Г±ЬАй I, У ',Р, и, )

Коэффициенты поверхностного трения и теплопередачи в этих переменных имеют следующий вид:

СЛ

Г N /

1-

IV

Рг

е г* % г*

н.

и„ I у , Не

Для оценки влияния поперечной кривизны поверхности на характеристики ламинарного пограничного слоя были проведены расчеты уравнений пограничного слоя при стремлении параметра А, характеризующего поперечную кривизну, к бесконечности А—>оо. Рассматривалось гиперзвуко-вое обтекание степенного тела вращения (гк~х3/4) под нулевым углом атаки. В этом случае существует согласование решения задачи невязкого обтекания (автомодельное решение задачи о сильном взрыве) и задачи вязкого обтекания (автомодельное решение задачи о сильном взаимодействии). Результаты расчетов при двух значениях температурного фактора представлены на рис. 2.

Невязкая область течения. Для того чтобы замкнуть систему уравнений пограничного слоя, необходимо определить распределение давления или числа М на внешней границе пограничного слоя. Будем рассматривать в данной статье только течения сжатия около простейшей конфигурации Рис. 2. Влияние поперечной кривизны поверхно-

(см. рис. 3) , которая зада- сти степенного тела вращения на коэффициент

ется: поверхностного трения

у' головная К лп.«ыы*«. ; ' водны сжатия

м«

Рис. 3. Схема невязкого обтекания рассматриваемого тела

и

Связь между параметрами 5 и <1 найдем из условия, что в рассматриваемс области течения отсутствуют скачки уплотнения:

где Мі — значение числа Маха за головной ударной волной.

Функция Прандтля — Майера имеет вид [8]:

у(М)= М-^аг^ Р-—-(Мг -1) -ап^-\/м2 -1, у у — 1 \у + 1

и, следовательно, решение для невязкой области течения можно предст вить в виде:

Здесь V, и Р, :— начальные значения функции Прандтля —- Майера и уг. наклона рассматриваемой поверхности. В случае, обтекания клина или к нуса для определения V] рассматривается течение за головной ударн< волной. Таким образом, по заданному углу наклона Р определяем число на внешней границе пограничного слоя. Ниже в обратной задаче о вязк< взаимодействии считаем заданной поверхность эффективного тела. Друг газодинамические величины (давление, скорость и энтальпия), которые \ обходимы при расчетах пограничного слоя, определяем из уравнения Бе нулли и соотношений изоэнтропичности.

V = V,

Метод решения задачи. Последовательность решения задачи была следующей. Сначала по заданной величине с/ и начальным параметрам Мх и у вычислялось 5, а затем методом Ньютона определялось число М на внешней границе пограничного слоя. При этом сходимость метода Ньютона определялась условием ДМе /Ме < 10"5. Остальные газодинамические параметры вычислялись, как отмечалось выше, из уравнения Бернулли и соотношений изоэнтропичности.

Таким образом, параметры невязкой области течения найдены и можно решать систему уравнений пограничного слоя. Эта система решалась численно конечно-разностным методом, который предложен в [9]. При этом во всех рассмотренных вариантах при расчетах ламинарного пограничного слоя полагалось Т1е -10 и выбиралась неравномерная сетка по г| с числом узлов равным 71 и минимальным шагом у стенки Дт] = 0,025, который постепенно увеличивался до Дг) = 0,4. При расчете характеристик турбулентного пограничного слоя использовалась неравномерная сетка, шаг которой уменьшался в геометрической прогрессии по направлению к стенке Дг|у = ^Дт),-! •

Итерационный процесс, обусловленный нелинейностью системы уравнений пограничного слоя, прекращался тогда, когда относительная погрешность вычисляемых величин становилась меньше £ = 10-^. Затем определялась толщина вытеснения и местные коэффициенты трения и теплопередачи. Вычитая из координаты у, определяющей внешнюю границу пограничного слоя при изоэнтропическом сжатии, толщину вытеснения

5 , получим форму центрального тела воздухозаборника (обратная задача о вязко-невязком взаимодействии).

Наконец, вычисляя отношение местных характеристик пограничного слоя (8*,сг и ск) на вогнутой поверхности или комбинации пластины и

вогнутой поверхности к соответствующим характеристикам на пластине, можно проверить справедливость закона подобия для гиперзвукового пограничного слоя при наличии вязко-невязкого взаимодействия [10].

Результаты расчетов и вопросы подобия. Расчеты были проведены в широком диапазоне изменения числа М набегающего потока, числа Яе0 и угла 0 при фиксированных значениях параметров у = 1,4, ^ = 0,02, (1 = 0,6 и показателя степени в степенной зависимости вязкости от энтальпии т = 0,61. Ниже приведены некоторые результаты расчетов толщины

вытеснения 5* И коэффициента трения С/:

На рис. 4 для наглядной демонстрации влияния режима течения на указанные выше характеристики приведено их сравнение при ламинарном (сплошные кривые) и турбулентном (пунктирные кривые) пограничных слоях.

В. Я. Нейландом [10] было показано, что система уравнений гиперзвукового пограничного слоя при наличии вязко-невязкого взаимодействия

плоское течение </=о,б 9 = 8" имеет однопараметрическую

mw=io /„=0,02 Re0=io5 группу аффинных преобразо-

/

У

У

вании, которая позволяет све-

ламинарный спой / СТИ ВСе НваВТОМОДеЛЬНЫе ре-

турбулентныи спои / ШвНИЯ К Двум уНИВерСЭЛЬНЫМ

решениям, соответствующим течениям сжатия и разрежения (обобщенный закон подобия). Чтобы получить различные формы законов подобия,

—р------!-----,--[... ,-,-----1 необходимо, используя вид

0,2 0,4 с,е 0,8 % 1 указанного преобразования,

У

У

У

У

Рис. 4. Влияние режима течения на коэффициент поверхностного трения

сформировать такие комбинации зависимых и независимых переменных, которые позволяют исключить произвольную постоянную преобразования.

Экспериментальная проверка закона подобия [10] была проведена в [11], [12]. Получена корреляция относительного давления ср!ср от переменных x/^f и х/L, соответственно, где — переменная Дородницы -

.г

на — Лиза (= JpH\ivuedx), ср —- величина коэффициента давления для о 1

автомодельного решения, a L, — длина, соответствующая одному и тому же отношению ср1ср для исходных некоррелированных данных. Последняя форма закона подобия была предложена в [13]. Обе формы законов подобия [10] и [13] были использованы в [14] для корреляции экспериментальных данных по распределению давления, полученных в гиперзвуковой гелиевой трубе при обтекании тонкого осесимметричного тела с изломом образующей.

Таким образом, можно надеяться, что полученные характеристики пограничного слоя при достаточно больших числах М и Re могут быть сведены к единым универсальным зависимостям. Действительно, возьмем отношение местных характеристик пограничного слоя (8*, cf и ch ) на комбинации клина (конуса) и вогнутой поверхности к соответствующим характеристикам на клине (конусе) и представим их в зависимости от относительной координаты , где значение координаты £0 соответ-

ствует одному и тому же уровню рассматриваемого отношения (соответственно 8/8 p|ate (cone)? С/ !Cf plate (cone) ИЛИ plate (cone))* Примеры ТаКИХ ЗаВИ-

симостей продемонстрированы на рис. 5—6 (при j=0 — плоское течение и при у-1 — осесимметричное течение) для случая Re0=105, 0 = 8°, Моо= 6—20 (аналогично можно представить данные расчетов при измене-

3.0 •—]

2.5

2.0 -

1.5 • 1,0 -

/.=0,02 0=8' .

4

турбулентный слой ♦ *

3,0

О ьи- 6

♦ м«*1

Л 4**1*

* Ьи-15

+ ц^-ао-м

ф М»~2» Г-М

в ч»-мтм*?

V V-V * *

V • /

2’”-

К*0=Ю’ /.=0,02 «=Г

С/ ^С/ «мс б)

о#*

вямимцжый слой 1,5 *~

$Д*

0,8

~Т“

1,0

! 1,о 1.2 0,0

ламинарный сдой

0,4

0,8

1,2

Рис. 5. Пример корреляции относительного коэффициента трения от Щь в плоском (а) и осесимметричном (б) случаях

т от от

в*Л* е

*>

О

♦ м.-

▲ м-'

★ м.-

♦

а М»«:

турбулентный слой

ламинарный слой **-■

....т.....

0,4

Рис. 6. Пример корреляции относительной толщины вытеснения от £/Ед в плоском (а) и осесимметричном (б) случаях

нии числа Яео и угла 0). На этих же рисунках представлено влияние величины показателя адиабаты у на некоторые результаты расчетов (рассмотрено два значения у: у= 1,67, что соответствует обтеканию тела потоком гелия, и у= 1,1 —обтекание потоком фреона—14 Ср4). При ламинарном обтекании исследуемого тела это влияние незначительно, в случае турбулентного пограничного слоя изменение у приводит к изменению корреляционных зависимостей. Полученные данные показывают, что при Моо > 5 и Ке0 >103 местные характеристики пограничного слоя хорошо коррелируются даже для турбулентного пограничного слоя и, следовательно, закон подобия [10] выполняется.

Таким образом, результаты, приведенные на рис. 4—6, позволяют достаточно просто определить характеристики пограничного слоя на входе в воздухозаборник. При этом необходимо отметить: данные на указанных рисунках показывают, что известный закон подобия для гиперзвукового взаимодействующего ламинарного пограничного слоя [10] справедлив и в случае невзаимодействующих ламинарного и турбулентного пограничных слоев. Причем, чем больше число , тем лучше корреляция относительных величин, а следовательно, применимость гиперзвукового закона подобия [10] становится более правомерной.

Выводы. Получены данные для местных характеристик пограничного слоя около вогнутой поверхности или комбинации клина (конуса) и вогну-

той поверхности (последняя является поверхностью изоэнтропического сжатия), позволяющие моделировать условия обтекания поверхности предварительного сжатия потока перед входом в воздухозаборник. Эти данные дают возможность оценить влияние чисел Маха, Рейнольдса и по-луугла раствора клина (конуса) на характеристики пограничного слоя, а толщина вытеснения позволяет оценить влияние вязкого взаимодействия на форму указанной поверхности (обратная задача).

Показано, что при достаточно больших числах Маха полученные данные удовлетворяют известному закону подобия, который справедлив для гиперзвукового пограничного слоя при наличии вязкого взаимодействия.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 97—01—00577)

ЛИТЕРАТУРА

1. Аэродинамика ракет /Под ред. Хемша М., Нилсена Дж. — М.: Мир. —

1989. Т. 1.

2. Хейз У. Д., Пробстин Р. С. Теория гиперзвуковых течений. — М.: Изд. ИЛ. — 1962.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука. — 1969.

4. Коган М. Н. Динамика разреженного газа.— М.: Наука. -—1967.

5. Галкин В. С., Л ад ы же н с к и й М. Д. О расчете пограничного слоя сжимаемой жидкости с граничными условиями скольжения//ДАН СССР.—1961. Т. 154, №6.

6. Лаурман. Структура пограничного слоя вблизи передней кромки плоской пластины, обтекаемой гиперзвуковым потоком со скольжением//

РТК, — 1964, №9.

7. Мусанов С. В. Исследование течения вязкого газа со скольжением в канале//Ученые записки ЦАГИ.— 1971. Т. И, №5.

8. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидродинамика. — М.: Изд. ФМ. — 1963.

9. Денисенко О. В., П р о в о то р о в В. П. Исследование течений вязкого газа при умеренных числах Рейнольдса//Труды ЦАГИ. — 1985.

Вып. 2269.

10. Нейланд В. Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем//Изв. АН СССР, МЖГ.—1970, №4.

11. Гориславский В. С., Степченкова 3. А. Экспериментальные исследования срывных зон на пластине в гиперзвуковом потоке газа // Ученые записки ЦАГИ. — 1971. Т. II, № 5.

12. Горенбух П. И., Козлова И. Г. Экспериментальное исследование распространения возмущений вверх по потоку на режиме сильного вязкого взаимодействия//Ученые записки ЦАГИ.— 1973. Т. IV, № 2.

13. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О влиянии возмущений пограничного слоя на гиперзвуковые течения с вязким взаимодействием//Изв.

АН СССР, МЖГ,— 1971, № 4.

14. Горенбух П. И., Провоторов В. П. Экспериментальное исследование гиперзвукового обтекания осесимметричного тела с изломом образующей//Ученые записки ЦАГИ.— 1973. Т. IV, № 1.

15. Турбулентные течения в пограничном слое. Часть 2. Расчетные и экспериментальные исследования/Юбзор ОНТИ ЦАГИ.— 1980, № 575.

Рукопись поступила 19//У 2000 г.