Влияние нелинейностей в аэродинамических характеристиках на неуправляемое движение тела вращения в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том VII

1 9 76

№ 4

УДК 629.735.33.015

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ В АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ НА НЕУПРАВЛЯЕМОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ В АТМОСФЕРЕ

Рассматривается пространственное движение около центра масс неуправляемого тела вращения в атмосфере. Для случая, когда амплитуда колебаний угла атаки невелика, выводятся простые формулы, определяющие изменение амплитуды и фазы колебаний с учетом нелинейностей в аэродинамических характеристиках. Приводятся примеры использования полученных формул.

Применению асимптотических методов к анализу неуправляемого движения тела вращения около центра масс в атмосфере посвящено большое число исследований. В большинстве из них движение рассматривается в линейной или квазилинейной постановке, причем за основу берутся уравнения, выписанные в декартовой системе координат, связанной с телом, при этом необходимо анализировать поведение колебательной системы с двумя степенями свободы [1]. В то же время, как будет видно из результатов настоящей работы, даже в квазилинейной постановке удобнее и естественнее рассматривать уравнения движения осесимметричного тела, выписанные в осях Резаля (как это делается, например, в [2]). При этом оказывается возможным ограничиться исследованием колебательной системы с одной степенью свободы.

Выпишем уравнения движения неуправляемого осесимметричного тела в атмосфере, используя обозначения, аналогичные приведенным в [2] (фиг. 1):

В. А. Ярошевский

+ еЛ К ®) г, а) = 0;

+ $/У ('с.«) ° (х.а)г = 0;

%■ + е/хі*> я)г = 0.

0)

-m^{a]qSP с* (а) qS

Л К «) =--------7F------+

ЛК®)=

_ m“y(a)?S/2 | Cy(a)CoSaqS

ГР

- m“* (a) qsr-

mVsin а

АО'»*)'

fx V

h (*,«) = 4-

— rnmxP rri“y I2 cy (a)

-----У-----cos а -f —^— cos а —

* X *

m sin а

„I- Л , _ —И* (а) 95/ | (6 — г сое а) (г — О сова)

g(., О, Г,а)— 1-----1-----------------------^- ,

г _ !х шх п — ^ •

Г— / . и — / ’

е — параметр малости;

Оу — проекция кинетического момента на направление скорости; а — угол атаки в осях Резаля.

Строго говоря, совместно с приведенными уравнениями следовало бы рассматривать и уравнение для изменения скорости (как это подчеркивается в [3]):

йУ -~с^а)^-ё8ш6, (2>

at I

однако в большинстве практических случаев влияние зависимости с., (а) на демпфирование колебаний по углу атаки мало. Поэтому^ пренебрегая этим влиянием, считаем, что скоростной напор q и скорость V являются медленно изменяющимися функциями, не связанными непосредственно с колебаниями угла атаки.

Имея в виду получить с помощью метода усреднения достаточно простые фомулы, определяющие изменение амплитуды угла атаки, и считая, что амплитуда угла атаки ат мала, аппроксимируем аэродинамические характеристики следующими формулами:

тг (а) ^ т\ а + е (&з а3 -f kb а5); Су (а) ^ а + 1Ъ а3 + /5 а5;

/п“г (а) ^/гаш-J-/и2 а2 -j- m4a4; от/(а) ггГ -J- «2 а2 + пк а4; /и”* = const.

Попытаемся упростить выражение для эффективного восстанавливающего момента в первом из уравнений (1). Вводя обозна-

чение О — г=ДО, запишем:

, ~ ч ( о , г» \ (к3аЗ + к&аь)ч81 №* , /ДО* г№\ /оч

£(*,0,Г,а)«^ш2 + __|а_в_5_а--------тА_1ч-------__ + |_.+__^в> (3)

где О)2

а I '

Будем считать (в соответствии с введенным параметром малости є), что основной вклад в величину аэродинамического восстанавливающего момента вносит линейный член т“ а. В общем случае в процессе колебаний угол атаки осесимметричного тела изменяется в пределах от аші„ до ат. Обозначим аШт/|*т = ^<1. При небольших амплитудах ат последним членом в правой части соотношения (3) можно пренебречь. Действительно, если исключить этот член и член, определяющий нелинейную добавку к статическому моменту т2(а), то на основании известного соотношения

ат

| g{^,a)da = 0 (4)

получим

» - - ДО2

“шт

т

ИЛИ

ДО| = 7)Я^|/ Ш2 +

4

Сравнивая последний член с первым членом правой части соотношения (3), получим ДО» гДО

+ А „2„4 2

+----------(5)

15 Т 4 1,»а; г,ап

2 Г* 15 — Г-----т-2

+ ~Т 2-1/14- 4 “

что подтверждает правомерность исключения последнего члена в правой части соотношения (3), если а„<^1.

Формула (5) свидетельствует о том, что приведенное исключение во всяком случае справедливо при ат<20°, а при тг]<С1 или при 4 о)2 /г® 2г> 1 это условие можно значительно ослабить.

Из приведенных формул следует, что введение допущения

о малости амплитуды ат законно лишь при выполнении неравенства

0)2 ^ *>

где

Ю2 = (В2 ~|--

. а I 4 >

которое вытекает из неравенства

«шт < ~ < “т-

Если рассматривается задача об оценке амплитуды.; колебаний тела на участке входа в атмосферу, то малость величины ДО обеспечивается в двух случаях: если начальные значения а.п на границе атмосферы малы или если рассматривается участок полета в плотных слоях атмосферы, где под влиянием аэродинамического демпфирования значение Дб уменьшилось до малой величины.

При выводе приближенных уравнений движения аэродинамические нелинейности будут учитываться полностью, а тригонометрические нелинейности — лишь частично. Это допущение связано с тем, что для рассматриваемых углов атаки (аот<^ 1) все слагаемые в приближенных выражениях для су, т“г, т™у имеют один

и тот же порядок малости, а члены разложений тригонометрических функций имеют убывающий порядок малости..-

С учетом сделанных допущений о малости а и , %т перепишем систему уравнений (4) в виде

(Ра

dt

+sS[(-£r+<;) +(-^+зф +

+ (— + 51>) ** ] V + ("« + т) “ ~ +

+ £^-(-А3а3-^«5) = 0;

d\G

~ЗГ

mV

+ 1-Г

I, «•+

г = 0;

dr . qS dt ' S mV

m x

x

= 0.

(6)

Выпишем в соответствии с [3] соотношения, определяющие изменение по времени амплитуды ат, а также средние значения

da , V

ДG и г. Для этого определяем зависимость (а), соответствующую замороженному уравнению колебаний угла атаки при в = 0, ДО = const, г = const:

da

dt

Ym* (о4-аг) + ДО^-4ф

где (О2 = CBa -f

Тогда соотношение (19) из работы [3] приобретает вид « ат -а к-!т+4)+(-'+з^

_д_

дх

°min

const

+

+

+ (“ Т" + /з) а2 + (~ "Г* +/б) “4 ] Ай+ 4- [(“ 'Т с? +Тг) а2 +

+ (- ^ - /,) «4 + (- ^ —к) «в ] г } <*« = 0, (8)

Из полученного соотношения видно, что малая нелинейность аэродинамического момента не оказывает влияния на изменение амплитуды. Уравнение для изменения Д<3 (формула (5) из работы [3]) записывается в форме ^ ^

d\G

dt

qS

mV

[(~ ~T + cy ) + (— ~T + /з ) a2 + (— ~T + ^ ) g< ]

da

~dt

d%- ДО Ц-

da

~dt

(a)

dd-r

X

m

I

da.

dx (\ it (a>

-i

= o.

X

(9)

Уравнение для изменения г сохраняет свою форму. Выражение ДЛЯ аШт, полученное с помощью соотношения (4), имеет вид

®mfn

I AC? I

(Ю)

Вычисляя выписанные интегралы в соотношениях (8) и (9), вводя обозначения х — и>а?т\ у = Дб и <1Ь=иИ , сокращая первое

- I У2

из соотношении на 1—— , получим уравнения

dx

4<о2

+ Ji + ^(.+34) + ^(1+2i+55)==0;

(И)

dy_

dt

+ aiу + 4 xy (! + i) + (3 + 2 + 3 *■) +

+

Ct Xr

2w

bf)+^(3+2^+3 5-) +

«,= (_£ + *;), а2 = (-^ + 313), ай-[—~- + 5/5j ,

--Т~ + ^в) . *8 = ^-71 + 4^ .

2 ( НГ ~ъ) ■

Рассмотрим несколько частных случаев, когда решение уравнения (11) и (12) удается получить в явном виде.

Линеаризованный случай, су = Су я, т"* = т°уу = тш = const, при этом а2 = ав — Ь2 = Ь3 — с2 = с3 = 0. Уравнения (11), (12) приобретают форму

Правда, это условие еще не гарантирует убывания амплитуды при быстром убывании скоростного напора (при убывании «).

Плоский случай, у = г = 0. Уравнение (11) интегрируется в замкнутой форме, если т4 = /6 = 0:

Если ш = const, at = const >0, а2 — const <0, то убывание х обеспечивается при

(13)

Решение для x(t) определяется в виде

г ~ п2

X — X

t

х = х (t0) exp [j(^ _ a}J dtx J

l+cexp[-

*0

, (H>

где

x (<o) У (/o)

X (Го)— у (To) '

Видно, что убывание х обеспечивается, если

X =

(15)

‘ t,

Регулярная прецессия, у — + х. Если Ьг=с-, = с, — О, то уравнение (12) интегрируется:

’ 7

ху0) exp [ — J («1 ± d h ]

* *1

1 + •* (*о) (*i) exp ± d dtx

to t0

Фиг. 2

Если <Zi+ 6„<0, то убывание x обеспечивается при

~ ai ± ¥ x&) <-------«>•

Если <? = const, r = const, o) = const, то для исследования устойчивости движения тела удобно использовать качественные методы анализа решений дифференциальных уравнений путем построения фазовых траекторий в плоскости (х,у). Для примера рассмотрим простой случай г = 0, а3 = Ь3 = 0, а, >0, а2< 0, 0. Поскольку

jc ^ |_у |, достаточно ограничиться квадрантом, расположенным справа между прямыми у — + х (фиг. 2, а, б). Используя метод Пуанкаре — Бендиксона [4], найдем прежде всего особые точки, в которых dxjdt = dyfdt-= 0:

*1 =-Z?L ^ .У1=0; -*2 = ^«>, Уг = ±х2-

Картина протекания фазовых траекторий симметрична относительно оси абсцисс. Если | «21 <С |^2 |j то точка xit _yt = 0 является узлом: из нее выходит множество фазовых траекторий, точки х2, y2 — dzx2t являются седловыми; в них входит по одной фазовой траектории и выходит по две, по направлению лучей у = + л: (см. фиг. 2, а). Движение тела в этом случае стремится к регулярной прецессии.

Если \ а2\^>\Ь2\, то точки х2, у2 = + х2 становятся узлами, из которых выходит множество фазовых траекторий, а точка xit ух = 0

становится седлом: в нее входят две траектории и из нее выходят две траектории (см. фиг. 2,6.) Движение тела в этом случае стремится к плоскому.

В результате такого построения удается отделить область начальных условий, при которых движение является устойчивым (см. фиг. 2а, б).

При гф О картина протекания фазовых траекторий теряет симметрию относительно оси абсцисс. Схема анализа в этом случае остается прежней: необходимо: найти особые точки, классифицировать их по методике Пуанкаре — Бендиксона и после этого представить картину поведения решений.

Обычно при анализе нелинейных колебательных систем с медленно изменяющимися параметрами ограничиваются рассмотрением уравнений типа (8), (9), которые определяют закон изменения амплитуды колебаний. В общем случае вычисление поправки к частоте в первом приближении не дает возможности найти фазу

колебаний с погрешностью О (г) на интервале времени £=0 ввиду зависимости частоты колебаний нелинейной системы от амплитуды [5]. В рассматриваемом же случае частота -у = 2(» в первом приближении не зависит от амплитуды, что делает целесообразным определение поправки к частоте и дает возможность

найти фазу с погрешностью О (г) на интервале £=0 (—V Формула

для определения поправки к частоте в рассматриваемом случае имеет вид

= —

ЛИТЕРАТУРА

1. Ярошевский В. А. Оценка устойчивости квазистатиче-ских режимов движения неуправляемого тела. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 2, № 5, 1971.

2. Кузмак Г. Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. М., .Наука", 1970.

3. Ярошевский В. А. Применение асимптотического метода к некоторым задачам динамики летательных аппаратов. „Инженерный журнал”, т. 2, № 2, 1962.

4. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1958.

5. Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М., „Наука", 1964.

Рукопись поступила 17[I 1975 г.