О вероятности стабилизации тела вращения на больших углах атаки при спуске в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том III

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

19 7 2

№ 2

УДК 629.76.015.076.8:531.5

О ВЕРОЯТНОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ УГЛАХ АТАКИ ПРИ СПУСКЕ В АТМОСФЕРЕ

В. В. Воейков, В. А. Ярошевский

Рассматривается задача об определении вероятности стабилизации тела вращения на больших или малых углах атаки при неуправляемом спуске в атмосфере. Моментная характеристика тела вращения обеспечивает устойчивую балансировку при а = 0 и 180°. Исследуются два предельных случая — малые начальные угловые скорости (решение является тривиальным) и большие угловые скорости. Результаты исследования сопоставляются с результатами численных расчетов для плоского движения.

Рассмотрим неуправляемое движение осесимметричного тела с моментной характеристикой, имеющей два положения устойчивого равновесия (при углах атаки а = 0 и гс) и одно положение

Фиг. 1

неустойчивого равновесия (при а = а^; 0 < х,. гс, фиг. 1). Согласно [1], начальные условия при входе в атмосферу при нулевом скоростном напоре <7 = 0 можно определить через величину кинетического момента |Д^0| и углы <р1} <р2> <р3, где ^ — угол между вектором скорости и вектором начального кинетического момента (0 <?]<>); <р2 — угол нутации — угол между вектором кинетического момента и осью тела (0 < ср2 < л/2); <р3 — угол прецессии, определяющий положение оси тела на конусе прецессии (0 < <р3<

В большинстве случаев угол <р3 можно считать случайной, равномерно распределенной величиной в диапазоне от 0 до 2 тт. Величины | N0 \, ср! и <р2 будем считать фиксированными, хотя, вообще говоря, и они могут быть заданы некоторым распределением вероятности [1]. Как известно [1] —[3], движение тела в плотных слоях атмосферы в значительной степени определяется характером движения на переходном участке в окрестности границы атмосферы (для плоского движения — участок перехода от вращательного движения к колебательному). На этом участке можно пренебречь изменением скорости V и угла наклона траектории б, а также

аэродинамическим демпфированием (тт.уу, с*). Учитывая случайный характер „фазы" движения тела <р3, поставим задачу об определении вероятности Pt того факта, что после переходного участка в плотных слоях атмосферы угол атаки будет колебаться в окрестности устойчивого балансировочного значения а = 0. Очевидно, что вероятность попадания угла атаки в окрестность а = тг равна Ра= 1 — Р\> поскольку вероятность „зависания" в неустойчивом положении равновесия а^а^ равна нулю. В общем случае произвольных начальных угловых скоростей получить решение затруднительно, поэтому ограничимся двумя предельными случаями ц С 1

и ¡г» 1, где ¡л = д , ; к — логарифмический градиент ПЛОТ-

ИЛ 1/q I Sin Oq i

ности атмосферы; /—экваториальный момент инерции тела*.

В случае малых ¡j. решение очевидно: движение определяется углом атаки тела на „границе" атмосферы а0 в момент резкого возрастания скоростного напора [1] —[3], поэтому

P,~P(«o<«.). (!)

Вероятность Р(а.0<^а.^.) зависит от постановки задачи. Так, например, в случае плоского движения

Р(а о О*) =

в случае, когда все направления в пространстве равновероятны

г./ ^ \ 1 cosa«. /а(«о<«*)=-2— -

При заданных углах cp¡ и <р2 вероятность Р (a0 < aj = 1, если cos(cp! + cp2)>cosa3¡; Р(а0<а:1:)=0, если cos (срг — ср2) < cosa^;

^ . 1 / cosa«. — cos eos?, \ , , . .

Р(<*0О*) =— arccos -^-г-°-— , если eos (<p¡ + <р2 <

v 0 TZ ^ Sin ср! Sin ср2 ) ' ^

< cos <; cos (ч>! — <р2). Последнее соотношение следует из формулы cos а0 = cos <р, cos <р2— sin ?i sin ?гcos Ъ с учетом равномерного распределения <р3. Для одного из вариантов постановка задачи вероятности Р(а0-<а*) определяется в работе [1].

Рассмотрим второй предельный случай, ^>1, когда на переходном участке применимо правило сохранения адиабатического инварианта (подробный анализ этого случая для тела, моментная

* Влияние параметра ¡л на характеристики движения тела около центра масс было отмечено в работе, выполненной авторами в 1959 г., результаты которой изложены в работе [1].

характеристика которого имеет одно положение устойчивого равновесия, содержится в монографии [3]). Запишем уравнение движения в виде

« = «), (2)

где а — угол атаки в осях Резаля, т = &t—„медленное" время.

Правило сохранения адиабатического инварианта [4] означает, что

"шах

j а (т, a) da = const, (3)

где

а (т, а) = Yc (t) + G (х, а} , (4)

а

G(z, а) = 2 j" g a) do., а (т, amin) — а(т, ашах) = О,

ан — некоторый фиксированный угол атаки, зависимость a(x, а) определяется из решения уравнения (2) при „замороженном" значении т.

Пусть в начальный момент времени т0 известно значение с (т0) = с0, а фаза движения <р3 распределена равномерно. Последнее условие эквивалентно тому, что на фазовой кривой a(t, а) задана бесконечная совокупность „равновероятных" точек, которые следуют друг за другом через равные промежутки времени 8£ = const (фиг. 2). Очевидно, плотность распределения начального угла атаки р0(а) пропорциональна количеству „равновероятных" точек, приходящихся на элементарный интервал оси а, т. е. обратно пропорциональна разности углов атаки для двух соседних точек:

, 1 . - (5)

оа act а(т0, а)

По некоторым соображениям, которые будут ясны из последующего (применение теоремы Лиувилля [5]), было бы удобнее иметь распределение начальных условий, заданных не на фазовой кривой, а в некоторой двумерной области в плоскости (а(х0), а(т0)) . Попытаемся построить эту область и задать распределение p0(z, <*) таким образом, чтобы получить картину, эквивалентную распределению начальных условий на фазовой кривой а(т0, а) с плотностью р0(а), определяемой соотношением (5). Учитывая соотношение (4), зададим положительную вариацию константы с0 и рассмотрим на фазовой плоскости (а, а) бесконечно тонкую полоску между кривыми а (т0, а) = У с0 + G (т0, а) и У с0 + Ьс0 + G (т0, а) .

Толщина этой полоски по а определяется формулой

8а(т0, Я)= ifc—- 1 _~ —1-. (6)

* . У с0 4- G(t0) a) a(x0, a)

Приписывая равномерное распределение вероятностей значениям фазовых координат внутри полоски и учитывая, что ее тол-

щина бесконечно мала, получим, что соотношение (6) эквивалентно условию (5). .

Рассмотрим, как изменяются по времени решения, соответствующие начальным значениям с(т0) = с0 и С(х0) = с0 + 8с0. Эти решения в случае медленного изменения функции ¿(х, <х) располагаются на кривых а(с0, х, а) и а(с0 + 8с0, х, а), которые определяются формулами (3) и (4), причем а (с0 .+ с, а)> а (с0, х, а), если 8с0>0. Пусть в некоторый момент времени х кривая а?(с0,х, а) касается оси абсцисс в точке внутри диапазона (атш (х),

! Соответственно в момент времени х —)— 8т кривая а2(с0 + 8с0, х + 8х, а) касается оси абсцисс в точке а** + 8а** (фиг. 3). При х >х и при х>х+8х кривые а(с0, х, а) и а (с0+8с0, х, а) разделяются на две ветви, определяющие площади 51 и 52, 51-|-851 и 52 + 552 (см. фиг. 3).

с0*дс„

ОС

Фиг, 2

Фиг. 3

Покажем, что отношение вероятностей Рг/Рг определяется как

Р,/Р2 = 851/85|. (7)

Для этого воспользуемся теоремой Лиувилля [5], согласно которой площадь, занимаемая множеством решений гамильтоновой системы, не изменяется:

(8)

Действительно, уравнение (2) определяет гамильтонову систему (а = д, (1оч'сИ=р):!

я н

йр

Ш'

дд

ч 1н

(9)

7—Ученые записки № 2

97;

и площадь, занимаемая полоской между кривыми а (с0-{-8с0, т0, а) и а х0, а), переходит в сумму площадей и 852. Отсюда с учетом равномерного распределения начальных фазовых координат внутри полоски следует равенство (7). Остается вычислить указанные вариации 85, и 852. Для этого запишем

= 8 § а(х, ]" 8а (х, а) (¿а = | 8 Ус (х) + С(х, а) йа. =

/

8с(х) + с'(т) 8х + ^ (х, а)8х

¿а

2 а (х, а)

(10)

поскольку а (х, ашш) = ж(х, а!6,.) = 0. Аналогично

®тах

о52

дв

+ а) За

(1а

2 а (х, а)

(И)

С другой стороны, при х = х, а = а^.* должны выполняться условия касания кривой а2(х, а) оси абсцисс

а„) = 0; 1

д0 Г ^ п

да

(12)

Варьируя первое из этих условий с учетом второго условия, получим

8с (х) + с' (?) 8х + а„) 87+ ~ (т, а„)8а„ =

да

дв

= 8С(х) + с'(х)8Х + ^-(х, а«)8х=0

(13)

откуда

85

/'" Г дв , дв ~ ,

-

8х

2 Ув (х, а) — О (х, «„)

¿а;

85,

"шах /

<?х

в,«)•

¿X

8х

2^С(х, а)-С'(?, е..)

4а\

¿[G(x, <x) — G(7, «„)] p, ¿„2 fta> -G da

P., «шах

-— ^ _ -;— da

2K0(x, a)~0(x, a„)

"mm___

"max

j' a) - G6~a~)dx

(14)

Формула (14) справедлива, если поведение совокупности фазовых траекторий при х>х определяется картиной, изображенной яа фиг. 3: значение (fw), для интервала меньших а остается меньше значения (amin)2 для интервала больших а.

Отметим, что при х = х вариация 8с(х) обращается в нуль, поскольку на основании (3)

"шах

da

f —

J а К»

' (X°' a) Tf-\ = -- 8c0 = 0, (15)

v ' u "max T(r\

г dSa)

J a (X, a)

"min

а мгновенный период Т(х) обращается в бесконечность (интервал в знаменателе расходится).

Для рассматриваемого случая [3]

„fr s mz(a)qSl (p — rcosa)(r — pcosa) s * ' ' I sin3 a ' * '

где S, /, /-^характерные площадь, длина и экваториальный момент инерции тела;

„ _ | Ä^l cos cpt I jVolcos

p— J J. .

»„ \ /

^a„ = arccos-y при r>|/?|j;

G(x, а):

2qSl С /nj (Р cosa-

: arceos— при |/;|>r

Оценим, в каких случаях возможно выполнение условий (12).

В случае плоского движения а0,

О,

О max

= р — г — 0 и усло-

вия (12) всегда достигаются в некоторый момент х, причем а** := а*,

^ о

Р*

J/i

mz(a)da d%

§ V.

mz (а) da. dа

(17)

Рассмотрим пространственное движение. Если ан = а%, точка а — ан является точкой экстремума функции а2(с, х, а) при всех х;

вначале, при малых q — точкой максимума, а при больших i/— точкой минимума, и в какой-то момент х функция а2 (с, х, а) касается оси абсцисс в этой точке, т. е. а** = Если а0 max а*, то условия (12) не могут достигаться, так как значение атах монотонно убывает с увеличением q, что следует из правила сохранения адиабатического инварианта (это обстоятельство используется в работе [3] при выборе угловой скорости для тела, моментная характеристика которого имеет зону нечувствительности в окрест-Аналогично, если «omin > то Pj = 0, Р2=1. Следовательно, условия (12) могут выполняться, если а^ находится в некоторой окрестности точки ан (не обязательно малой), такой, что a0m¡n<a*O0ínax> при этом фО, РофО. В частном случае, когда ¿„ — О- ао «ш = <*н = а0 max(cpt = 0 или <р2 = 0), Рх — 1 при ан<а!>, Р1 = 0 при ан>а%.

Для проверки приведенных формул, a также для получения картины изменения Pj при промежуточных значениях ja были проведены численные расчеты плоского движения неуправляемого тела на переходном участке, Моментные характеристики задавались в виде — mz (а) = ах sin a-(-а2 sin 2а + assin За (таблица).

In(í^)

Фиг. 4

ности а= 180°); в этом случае Р2 = 1.

Номер варианта do а3

1 0,694 0,342 —0,126 140°

2 0,916 0,317 -0,183 150°

3 1,318 0,294 -0,302 160°

При этом m'z (0) =—1, mz(ajj.) = 0.

Расчет сводился к многократному интегрированию уравнений плоского движения при различных значениях (а и <х0 (значения а0 задавались равномерно в интервале от 0 до 180°).

Результаты расчета приведены на фиг. 4 (цифры на кривых •соответствуют номерам вариантов). Как видно, при р = 0 Р2 =

= 1 — р = — 0,222; 0,167 и 0,111 соответственно, при ^«оо

1Z

{практически при (а>5) Р2 = 0,05; 0,023 и 0,007 соответственно, что в точности согласуется с результатами расчета по формуле (17). Как видно, вероятность попадания в окрестность а =180° существенно уменьшается с ростом начальной угловой скорости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Воейков В. В., Ярошевский В. А. Определение амплитуды колебаний осесимметричного космического аппарата при неуправляемом спуске в а*мосфере. Ученые записки ЦАГИ, т. I, № 3, 1970.

2. К uz га a k G. Ё., Yaroshevsky V. A. Application of the asymptotic methods to some problems of the re-entry vehicles dynamics. Proceedings of the XIV International Astronautical Congress, Paris, 1963.

3. К у з м а к Г. Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. М., .Наука", 1970.

4. В о л о с о в В. М. Некоторые виды расчетов в теории нелинейных колебаний, связанные с усреднением. ЖВМ МФ, т. 3, № 1, 1963.

5. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М., .Наука", 1966:

Рукопись поступила 12jIII 1971 г.-