Исследование перехода вращательного движения в колебательное при входе в атмосферу неуправляемого баллистического тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

_____ УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Томі 1970

№ 6

УДК 629.7.015

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ НЕУПРАВЛЯЕМОГО БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ТЕЛА

Г. Е. Кузмак, В. А. Попов

Рассматривается задача об определении условий перехода вращения относительно центра масс в колебания относительно центра масс при входе баллистического тела в атмосферу для плоского движения. Проведены анализ известных аналитических решений и подробное численное исследование для синусоидальной моментной характеристики. Выделены основные параметры и получены вероятностные оценки высоты и угла атаки тела в момент перехода вращения в колебания при равномерном распределении значений угла атаки на границе атмосферы.

Введение. В настоящее время большой интерес представляет проблема определения параметров баллистического тела по характеру его движения в процессе снижения в атмосфере. При решении этой задачи полезная информация может быть получена в результате изучения условий перехода вращательного движения в колебательное, которое обычно имеет место в случае плоского движения относительно центра масс при входе в атмосферу неуправляемых баллистических тел. Изучение этих условий позволяет установить связи между высотой полета и углом атаки тела в момент перехода вращения в колебания и некоторыми параметрами, характеризующими его размерность и аэродинамические характеристики. Эти связи могут быть затем использованы для выявления одного из признаков, позволяющих определить необходимые параметры тела, движение которого наблюдается.

Переход вращения в колебания при входе баллистических тел в атмосферу изучался в работах [1], [2]. В работе [1] этот вопрос рассматривался для случая исчезающе малых значений скорости вращения тела при подходе к атмосфере, когда угол атаки можно считать малой величиной. Уравнение движения преобразовано к уравнению Бесселя, однако полученное решение достаточно полно не проанализировано. В работе [2] с помощью асимптотического решения, полученного в работе [3], переход вращения в ко-

лебания исследован для случая больших скоростей вращения. Оба эти предельных случая интересны тем, что позволяют выявить свойства, характеризующие переход вращения в колебания, одинаковые для тел любой формы.

В настоящей статье определены условия перехода вращения в колебания с помощью численного исследования уравнения движения для характерной моментной характеристики. Проведенные расчеты позволили выяснить условия перехода вращения в колебания при изменении скорости вращения от очень малых до очень -больших значений. Получены вероятностные оценки высоты и угла атаки в момент перехода при равномерном распределении значений угла атаки на границе атмосферы. Результаты численных расчетов сопоставлены с полученными в [1]—[3] аналитическими решениями.

1. Уравнение движения. При исследовании движения снижающихся в атмосфере неуправляемых баллистических тел на верхнем участке траектории, где происходит переход вращения в колебания, примем, что вследствие малой протяженности рассматриваемого участка и большой высоты скорость V и угол наклона траектории 6 к местному горизонту не изменяются, т. е. V = У0 и 6 = 60, где индексом „0“ внизу обозначены значения этих величин в окрестности точки перехода вращения в колебания. Кроме этого из-за большой высоты исследуемого участка траектории будем считать, что аэродинамическое демпфирование пренебрежимо мало. При этих допущениях уравнение для угла атаки тела при плоском движении может быть записано в виде

Угол 0О считается положительным при снижении. Через р (//) обозначена плотность атмосферы, для которой в окрестности точки перехода принята экспоненциальная зависимость от высоты с константой X; 5 и Ь — характерные площадь и размер тела; 1г — момент инерции относительно поперечной оси; тг(а) — безразмерный коэффициент аэродинамического момента. Параметр о>0 представляет собой частоту малых колебаний тела при единичном скоростном напоре.

Введем, следуя [1], новую независимую переменную т:

Эта переменная представляет собой удвоенное отношение мгновенной частоты малых колебаний угла атаки к величине,

(1.1)

здесь

IШ

сИ

Ц^пбо; р {Н) = р0 е

-ЦН-Н,)'

с1т

(1-2)

'г

а =0

X У0 з1п 60 X вт 0О

(1.3)

обратной интервалу времени, в течение которого плотность изменяется в е раз. С помощью переменной т уравнение движения можно записать в виде

d2a 1 da

-ж + т-fc +

(1.4>

Этот вид уравнения движения удобен тем, что он не зависит от параметров тела и траектории входа. Траекторные характерис-

Фиг. 1

тики входят в решение через начальные условия, которые с учетом

(1.3) записываются так:

a

где

da di T_x0

da

~dt t-U

Xl/0sin60 ’

2(^0

(1.5>

Через т0 и t0 здесь обозначены значения этих переменных, соответствующие границе атмосферы. Из выражения (1.3) следует, что граница атмосферы соответствует исчезающе малым значениям!. Безразмерный параметр fi0 характеризует скорость вращения тела по отношению к скорости изменения плотности атмосферы при движении по траектории.

Из (1.4) и (1.5) видно, что при фиксированной зависимости F(а) исследование перехода вращения в колебания сводится к выяснению зависимости параметров траектории в точке, в которой dajdx обращается при увеличении -с первый раз в нуль, от параметров а0 и р.0 (фиг. 1).

2. Аналитические решения. Рассмотрим сначала случай, когда, начиная от границы атмосферы и до точки перехода вращения в колебания, движение происходит с малыми углами атаки, так

что Г(а)^а. В рассматриваемом случае; который реализуется при малых значениях параметра |а0, уравнение (1.4) записывается в виде

(Р а 1 йа. ,

°’ (2Л) и его решение выражается через функции Бесселя [1]

а = С110 (х) + СУо (х); ^ = С, ^ + С2 ^ . (2.2)

Здесь /0(х) и К0(х) функции Бесселя первого и второго рода, действительного аргумента, нулевого порядка соответственно; Сг и С2 — произвольные постоянные. Обозначим звездочкой параметры точки перехода, в которой первый раз обращается в нуль производная й<х\(Н. В этой точке выполняются равенства

® 1,«='с*== = С,/0 (х*) Со У0 (х*);

_ (II,о

+ с,“г-

0.

(2.3)

б/х

Отсюда для Сг и С2 получаются следующие выражения:

С^-^К^х*); С2 = ^Л(т,), (2.4)

где Д(х) =-----т^- и У1 (х) =--— функции Бесселя соответственно

^иК1(х) = -^

первого и второго рода, действительного аргумента первого порядка.

Выясним далее, каким значениям параметра и0 соответствует точка перехода с параметрами х* и а*. Для этого в соответствии с (1.5) вычислим предел

. Хп йа

'•-Й2Л

(2.5)

Подставляя сюда выражение для йа/^х из (2.3) при значениях С] и С2, определенных согласно (2.4), и пользуясь при вычислении предела известными разложениями функций Бесселя в ряды для малых значений аргумента, получим:

а* 2

Ро х*/, (х*)

(2.6)

Функция 1г (х*) представляет собой колеблющуюся функцию, которая проходит через нуль при х„. = 0; 3,83 и т. д. Из этого следует, что все значения х*, при которых происходит переход вращения в колебания, располагаются между указанными двумя нулями. При х>-3,83 движение при малых значениях [д.0 и а* всегда является колебательным. Зависимости а* (х*), рассчитанные с помощью (2.6), изображены на фиг. 2 пунктиром с крестиками для }1о = 0,02; 0,05; 0,1 и 0,2 вместе с результатами точных расчетов. Независимость граничного значения х* = 3,83 от !а0 имеет место лишь при малых значениях ц0. При х* = 3,83 и в некоторой окрестности этого значения х формула (2.6) неприменима вследствие того, что здесь переход вращения в колебания происходит при немалых значениях угла атаки. Величина этой окрестности тем меньше, чем меньше значение (л0. Это хорошо видно из фиг. 2. Из (2.6) следует, что переход вращения в колебания всегда происходит при значе-

ниях угла атаки, больших некоторого наименьшего значения. Определив наибольшее значение функции (х*), из (2.6) получаем, что значения угла атаки в момент перехода удовлетворяют неравенству

а* >1,6 ро- (2-7)

Это свойство перехода связано с тем, что для прекращения вращательного движения необходимо иметь конечное значение восстанавливающего момента, что может быть лишь при ос* ф 0.

Фиг. 2

При больших значениях параметра ц.0 ограничимся рассмотрением синусоидальной моментной характеристики. В этом случае /"’(я) = э1п а и уравнение (1.1) с учетом равенства (1.3) может быть записано в форме

(Ра ( X1/0 эш 0О \2

+ £(т)81па = 0; £(х) = I-----^-----°-х) . (2.8)

В работе [3] путем сопряжения асимптотических вращательного и колебательного решений для уравнения (2.8) было получено соотношение для определения параметров точки перехода. С использованием параметра {д.0 это соотношение можно записать в виде

т* == ~2~ Н'о- (2-9)

Интересной особенностью случая больших р0 является независимость параметра т* от величины угла атаки а* в момент перехода. При увеличении (а0 высота перехода уменьшается. Для очень малых значений ja0 формула (2.9), очевидно, не верна, так как из нее следует, что при ]л0 = 0 переход происходит в пустоте. Таким образом, формулы (2.6) и (2.9) взаимно дополняют друг друга.

3. Численное исследование* перехода при F(a) = sin а. Для того чтобы выяснить зависимость параметров перехода а* и т* от при изменении ja0 от малых до больших значений, было проведено численное исследование уравнения (1.4) при F (а) == sin а и начальных условиях (1.5). Расчеты проводились на интервале изменения т от т0 = 0,1 до т = при котором производная dajdx первый раз обращается в нуль. При выборе значения т0 = 0,1 было проверено, что для [а0>0,02 уменьшение значения т0 от т0 = 0,1 до очень малых значений никак не влияет на параметры перехода. Это, в частности, видно из результатов сопоставления зависимости (2.6), полученной выше для х0 = 0 и малых углов а и изображенной на фиг. 2 пунктиром с крестиками, с результатами численных расчетов. Начальное значение угла атаки а варьировалось во всем возможном диапазоне от а0= —180° до а0= 180°с интервалом Ла0= 10°. Параметр Ро варьировался в интервале от [*„ = 0,01 до ц0 = 5. При графическом представлении результатов расчета в качестве независимой переменной был взят —lgx* по следующим соображениям. Из выражения (1.3) следует, что

где Я* — некая новая константа; //„—высота, на которой плотность равняется р0. Если константу Я* определить с помощью формулы

Для Земли в этих формулах ориентировочно можно принять Я0 = 90000 м и соответственно X = 0,000181/м и р0 = 0,354 X X Ю-6(кг-сек2)/м4. На фиг. 1,2,4 и 5 вместе с масштабом — указан также масштаб по А//*, определенный для этого значения X. Из равенства (1.4) и (1.5) при /7(а) = з1па и т0 = 0,1 видно, что а* и ДЯ* зависят только от а0 и р.0, параметры же тела и угол наклона траектории определяют значение высоты Я*, которую надо прибавить к ДЯ* для того, чтобы получить высоту перехода Я*. Таким образом, введение высоты Я* позволяет более четко выявить влияние различных параметров.

Результаты расчетов зависимостей а* от — изображены на фиг. 2 для разных положительных значений параметра ц0. Изменение знака у р0 приведет к симметричному отображению этих

* Численное исследование характера движения летательного аппарата при входе в атмосферу для /г(а) = 5іпа впервые было выполнено в 1959—1962 гг. в работах, изложенных в монографии [4] и в статье [5].

(3.2)

то выражение (3.1) записывается в виде

-lgT, = 0,217 ХДЯ*; ДЯ* = Я*-Я*.

(3.3)

зависимостей относительно оси абсцисс. Это следует иметь в виду в тех случаях, когда параметр [х0 является случайным. Из графиков, приведенных на фиг. 2, видно, что в диапазоне изменения р.„ от нескольких сотых до нескольких единиц значения ДЯ* заключены между +15 и —35 км. Таким образом, введенная выше высота Я* представляет собой некоторое среднее из возможных значений высоты перехода. Поэтому при грубых оценках можно не решать

а -о,? -гдТ^О^ПХлН*

Фиг. 4

уравнение (1.4) и ограничиться расчетом высоты Я* с помощью формулы (3.2). Несколько неожиданно здесь, как видно из этой формулы, независимость высоты Я* от скорости полета У0. Влияние Ц) проявляется лишь на величине ДЯ* через посредство параметра [V

Характер зависимостей, изображенных на фиг. 2, позволяет также заключить, что для тел, входящих в атмосферу с существенными скоростями вращения, невозможна реализация малых амплитуд колебаний и больших высот перехода при любом значении угла атаки на границе атмосферы а0. Кроме того, видно, что при каждом значении существуют также исключительные значения а0, для которых переход вращения в колебания происходит при сколь угодно малых значениях высоты Я*.

Это обстоятельство делает целесообразной вероятностную обработку полученных результатов. Переходя к вероятностному анализу высот и амплитуд перехода, допустим, что для Входящих в атмосферу неуправляемых баллистических тел может быть принято равномерное распределение начальных углов атаки во всем диапазоне от <х0= — я до а0 = я. Это допущение позволяет

6о О) 0

0,1 1

5° 108,7 134,2

10° 101 126,7

to О о 93,5 119

о О СО 83,2 108,7

1,0

1.0

с помощью результатов расчетов, представленных на фиг. 2, вычислить для каждого фиксированного значения р0 вороятность Ра реализации в момент перехода углов атаки меньших, чем а*, и вероятность Рн реализации значений приращения высоты, большей чем л//*. Результаты расчетов вероятностей Ра и Рн для различных значений р0 представлены соответственно на фиг. 3 и 4. Из фиг. 3 видно, что для рассматриваемой нелинейной моментной характеристики вероятность реализации сколь угодно малых высот перехода очень мала. Для оценки практически минимальных высот перехода на фиг. 5 построена зависимость ДН* при Ри = 0,95 от параметра (V Эта величина обозначена через ДЯШ1„. Из этой зависимости следует, ЧТО величины ДЯт|п имеют порядок нескольких десятков километров, причем при ООо< 1,0 они практически не зависят от параметра [а0 и равны Д/У^ Ш|п —20 км (при X = 0,00018 1/м). Для сравне-

ния на фиг. 5 пунктиром построены аналитические зависимости, полученные в разд. 2.

В заключение оценим численные значения высот перехода для нескольких характерных случаев. Рассмотрим траектории с углами = 5°. 10°, 20° и 60° и для каждой из них примем значения

рн-0,95

Вращение

„и"

И, ✓

№ /1

/

/

а Колебания

«s'

Л I ч

^ Численный расчет для

а F(oc)-sin ос

| 1

-20 -30 -W

-0J

-1.0

'Iff?* =0,217 Фиг. 5

ш0 = 0,1 м/сек-кг112 и = 1 м/сек-кг112, соответствующие тяжелым и легким телам. Результаты расчета Я* [км] по формуле (3.2) приводятся в таблице.

Для того чтобы получить практически минимальные высоты перехода //*, в соответствии со сказанным выше к этим значениям при 0<fxn< 1,0 надо добавить Д/У*Шт~—20 км.

Авторы выражают свою признательность И. И. Сироткиной и Е. И. Арбековой, выполнившим основую часть расчетов, приведенных в настоящей статье.

1. Norling R. A. Altitude of stabilisation for slowly tumbling re-entry vehicles. ARSJ. XII, No 12, 1962.

2. Kuzma к Q. E. and Yaroshevsky V. A. Application of the asymptotic methods to some problems of the re-entry vehicles dynamics. Proceedings of the XIV th International Astronautical Congress. Paris, 1963.

,3. Кузмак Г. E. О вычислении асимптотических решений, соответствующих незамкнутым интегральным кривым эталонного уравнения. ДАН СССР, т. 125, № 5, 1959.

4. Кузмак Г. Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. М., .Наука", 1970.

5. Воейков В. В., Я р о ш е в с к и й В. А. Определение амплитуд колебаний осесимметричного космического аппарата при неуправляемом спуске в атмосфере. Ученые записки ЦАГИ, т. I, № 3,

1970.

Рукопись поступила 20/XI 1969