Определение амплитуды колебаний осесимметричного космического аппарата при неуправляемом спуске в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том I

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И 1970

№ 3

УДК 629.7.015.7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДЫ КОЛЕБАНИЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ НЕУПРАВЛЯЕМОМ СПУСКЕ В АТМОСФЕРЕ

В. В. Воейков, В. А. Ярошевский

Рассматриваются особенности неуправляемого движения космического аппарата около центра масс при спуске в атмосфере. Основное внимание уделено определению возможных амплитуд колебаний и поперечных перегрузок на траектории спуска при малых значениях начальной угловой скорости. Приведены формулы и графики, позволяющие определить указанные параметры.

Рассматривается задача об определении амплитуды колебаний неуправляемого космического аппарата, входящего в атмосферу планеты. Предполагается, что аппарат является осесимметричным телом, угол атаки а определяется как угол между вектором скорости и продольной осью аппарата.

В работе [1] показано, что характер движения неуправляемого космического аппарата около центра масс определяется безразмерным параметром

21^>1 1к У01 вш 601 ’

где Л^0— начальный кинетический момент в безатмосферном пространстве;

X -— логарифмический градиент плотности атмосферы (р=р0е~хн); /—экваториальный момент инерции;

У0 и 60 — скорость входа и угол входа в атмосферу.

При больших значениях ц движение аппарата является квазипе-риодическим на всей траектории, исключая, может быть, участок небольшой протяженности в окрестности границы атмосферы (в случае плоского движения — участок перехода от вращательного движения к колебательному). Поэтому при [х^>1 амплитуда колебаний аппарата по углу атаки аш может быть определена с помощью асимптотического метода или метода усреднения [2] —[5]. При умеренных значениях |х, соизмеримых с единицей, асимптотический метод применим лишь в достаточно плотных слоях атмосфры. При малых [х (|х<С^1) малая начальная энергия вращательного движения аппарата практически не влияет на его движение в плотных слоях атмосферы. Определяющим параметром становится угол атаки аппарата на границе атмосферы сю, который, как правило, является случайной величиной. Поэтому задача приобретает вероятностный характер. В настоящей работе при-

водятся результаты, которые позволяют определить ряд параметров, представляющих практический интерес, в случае малых (х.

Известно, что осесимметричное тело в пустоте совершает движение типа регулярной прецессии. Определим начальные условия на границе атмосферы через углы <рь ф2 и ф3 (фиг. 1), характеризующие конус прецессии и кинетический момент Ы0; ф! — угол между вектором

скорости аппарата и вектором начального кинетического момента (осью конуса); ф2— угол нутации (полуугол раствора конуса); ф3 — угол прецессии аппарата (положение оси аппарата на конусе прецессии) .

В достаточно плотных слоях атмосферы, где колебания по углу атаки невелики, изменение амплитуды колебаний определяется с помощью асимптотического метода [2] — [5] по формуле

С ехр

1

21V 2т V

ат = -------------------------------------------------------(1)

тг дБ1

где/и“г — производная коэффициента демпфирующего момента по безразмерной угловой скорости сог = ;

с“ и т* -- производные коэффициента подъемной силы и продольного момента по углу атаки а (все производные вычисляются для а = 0);

5, /, т — характерные площадь, длина и масса аппарата;

V — скорость; рУ2

Я~~2-----скоростной напор;

С — константа.

В случае больших [а, когда асимптотический метод применим на всей траектории спуска [1], константа может быть выражена

непосредственно через углы <р, и <р2 и

Nn

С =

T + cosf

С, cos

при

при

?1 + ?2 <

?1 + ?2>Т=,

(2)

где

с1= т/ л/і

У sin ф, V

Nn

Sin <Р2

(m0э— начальная экваториальная угловая скорость).

В частности, для плоского движения, когда <р, = <р2

С=2]Аи0э.

7Г

Т

(3)

Если параметр а мал, то картина существенно изменяется. Рассмотрим для примера плоское движение, когда в безатмосфер-ном пространстве аппарат вращается в плоскости траектории с постоянной угловой скоростью ш0. Асимптотический метод неприменим на участке перехода от вращательного движения к колебательному—в окрестности границы атмосферы. На этом интервале движения можно считать, что скорость и угол наклона траектории практически совпадают со скоростью входа К0 и углом входа 60, и пренебречь влиянием демпфирования (членами, пропорциональными и Су). Тогда уравнение движения

й2а тг(а)д81

учетом

dt2

зависимости

(4)

■ р0е

-\н

путем

подстановки

X —

2/Иг рSI Гк2 sin2

может быть преобразовано к следующему виду:

d2o.

где

dh

da.

h( e) =

ОТ, (а)

т.

dx'2

нормированная

-4?- + Л(“) = о,

xdx '

(5)

моментная характеристика

(0) == 1 (подобное уравнение для линейного случая рассматри-

валось в работе [6]).

Начальные условия можно зафиксировать для малого значения х0 (малые значения р):

а(х0) = а0;

da

dx

(х0)-

2а)„

1

'IV0\sin Є01 x0

xn

При больших х, когда амплитуда колебаний становится невелика, можно считать, что к (а) ^ а и представить решение уравнения (5) через функции Бесселя:

а = С110{х) + СгУ0(х), (6)

сивным колебаниям. Увеличение «полноты» [fh(a) da] моментной

о

характеристики также приводит к возрастанию максимальных вероятных амплитуд колебаний.

Таким образом, при ц<С11 достаточно найти распределение вероятных значений ао на границе атмосферы. Этот вывод справедлив как для плоского, так и для пространственного движения аппарата около центра масс. Поскольку движение аппарата в предельном случае при ш0 = 0 является плоским, пространственное движение аппарата при р- -» 0 становится близким к плоскому в том смысле, что отношение минимального пространственного угла атаки к максимальному, взятое для одного периода колебаний, стремится к нулю.

Рассмотрим различные варианты распределения начальных углов атаки осесимметричного аппарата на границе атмосферы.

1Z

1. Плоское движение; «*0 = 0, ?i = ®2 =. ?з=яо- В этом случае значения а0 равновероятны:

р(а0) = ±, Р (а0 < а) = — . (10)

2. Все направления начального кинетического момента в пространстве равновероятны. В этом случае ни одно из направлений продольной оси аппарата в пространстве не является преимущественным, если отсутствует корреляция между значениями <pt и ф2. Отсюда нетрудно получить:

/ . 1 . г>/ ^ \ 1 — cos а /1 1 \

Р К) = ~2 sin а0. -Р(аоО) =---------2---- •

3. Пусть в момент, предшествующий отделению спускаемого аппарата от космического корабля, корабль стабилизирован по вектору скорости и обладает очень малой или нулевой угловой скоростью. После отделения ось симметрии аппарата совершает регулярную прецессию относительно оси N, положение этой оси можно охарактеризовать углами ф2 и г]) (см. фиг. 1). Угол г]; можно считать равновероятной случайной величиной в диапазоне 0—2я (достаточно ограничиться интервалом 0—я), он определяется углом между плоскостями (N, V) и (г, V), где г — вектор местной вертикали.

Для определения угла ф4 в момент входа в атмосферу можно использовать соотношение

COS = COS $ COS 'f2 -{- sin Р sin ср2 COS 'i>, (12)

где р — угол между векторами скорости в момент отделения и в момент входа в атмосферу (см. фиг. 1).

Угол атаки опускаемого аппарата на границе атмосферы ао определяется по формуле

cosa0 = coscp1cos<f2 — sin <рг sin <р2 cos <р3. (13)

Зная распределения р(<?2) и = можно найти распреде-

7Г

TZ

ление Если ср2 = (сох 0 = 0), то tpj = arccos (sin р cos ф),

Р Ы = 4:-■" • . ,S‘n ?1 ==- при |costp1|<|sinp|; 1

Vsin2[3—COS cpj I (14)

1Z

p{9i)~ 0 при | coscp! | > | sin p |.

Отсюда, учитывая, что (?з)"2~ > соза0 — эт ^ соэ <р8, и вычисляя распределение функции по распределению аргументов [7], получим:

Р («о):

2 КГ

эт р \ віп Р

1 при

эт а0 віп а0

вШ а0

эт

К

г

к

эт а,

віп р

Л

при

віп I

єіп а,

<1;

> 1.

(15)

Здесь К (к) — полный эллиптический интеграл первого рода. Интересно отметить, что при а0 = р и а0 = тс — (3 плотность распределения р (а0) обращается в бесконечность. Если шх0ф 0, необходимо учитывать распределение р(?2).

Предположим, что начальная угловая скорость возникает вследствие воздействия возмущающего импульса N=(NxNy Мг)

N..

К,

в момент отделения, так что шх0 = -у-, ш^0 ==—т~, шго = —]~> а ве-

‘х

личина каждой составляющей импульса распределена по нормальному закону с дисперсиями а2х и — 02 = а2.

Тогда

р№ = -

р№ =

2о>

(16)

где - экваториальный импульс.

Поскольку ^дг = ^ ?2> то Р (?г) = Р ^ аг^ .

Вычисляя распределение функции по распределениям аргументов, получим:

, ч й ( 1 Р (?8) = -

гіф.

'Р(9а<т) = 1 —

1 +

•ІЄ9»

(17)

Поскольку с помощью соотношений (12) и (13) можно выразить значение а0 через значения углов ср2, <[> и ср3, распределения которых известны, можно вычислить распределения вероятностей /?(«0) и интегральные вероятности Р(а0 < а) для различных значений

угла р и параметра 9 = —. Результаты численных расчетов при-

О

ведены на фиг. 4—7. Отметим, что по мере увеличения параметра 2, начиная от нуля, пик функции р(а0) при <*0 = тг — р

исчезает, но другой пик при а0

Р возрастает. При р> значе-

ния р(а0) в окрестности а0=7г вначале возрастают, что свидетельствует об увеличении вероятности появления режимов зависания, а при дальнейшем увеличении 2 все значения а0 стягиваются к углу р, распределение /?(ао) вырождается в дельта-функцию

Р

0,9

0,8 0.7 О,В 0.5 0,4 0,3 0,2 0.1

О 10° 20° 30° 40° 50°ВО" 70° 80° 90° 100° 110° 120°130°Щ°150°160°170°и.

Фиг. 4

Р О,'9

0.8

0.7

0,6

0.5

0,4

0.3

0.2

0.1

О 10° 20° 30° 40’ 500 60’ 70° 80’ 50? 100410° 120430°Щ° 150’ 160°170‘а.

Фиг. 5

8(я0 — Р), и значения р{а0) при а0-/Р, в том числе и в окрестности

а0 = те, стремятся к нулю. Необходимо отметить, что при фиксиро-

ванном 2

(ао> Р) = — “о, * — Р).

Р (а, Р) = 1 — Р(тс — а, 7Г — Р),

7Г

поэтому приводятся результаты лишь для р^-^-.

Определим амплитуду колебаний угла атаки ат и максимальную поперечную перегрузку «„шах с помощью формул (1) и (8). Ограничиваясь случаем р-»0, получим:

О 10° 20° 30" W° 50° 60° 70° 80° 30° 100° 110°t20‘130°140°150°160‘170‘u.

Фиг. 6

О 10° 20° 30° 40° 50° 50’ 70°.80° 90° 100° 110° 120° 130°ПО'150° 160470°и.

Фиг. 7

Если сделать допущение j sin 6 | то последний сомножи-

тель упрощается:

Ч Л2 sin2 60

2тг oSlХ (“о) V V,

VJ

т z г

2 \ с„

(19)

где 1Э =

ml2

Имея зависимость плотности от скорости, можно определить закон изменения амплитуды вдоль траектории спуска.

Если считать, что 0 = const (это допущение выполняется при больших 6), р = р0 е~хн, то на основании [8]

Vss V0exp

2trik | sin 0|

(20)

откуда следует, что

/

Г Л2 sin2 6 ат ~ У -■ X К) ехр

-2ml РSI

cl « . , mzz

pS -су -г- сх +

4mX \ sin 6 I

Максимальная поперечная перегрузка пп = '^ опреде-

ляется формулой

хК) с„ XE/‘l sin 6 !5/* /V,

/ />“ » \и

I Су TYl z \

(‘-+-S—з£-) (—Э"

(22>

Здесь gз — земное ускорение силы тяжести, в единицах которого» измеряется перегрузка.

Отдельные группы сомножителей характеризует влияние аэродинамических характеристик аппарата, условий входа, геометрических и весовых характеристик аппарата.

В заключение отметим, что граница атмосферы Ни с которой начинается заметное влияние аэродинамических моментов на движение около центра масс, располагается выше границы атмосферы #2, начиная с которой траектория аппарата отличается от кеплеровой. Действительно, высота #2 может быть определена с помощью соотношения

(20) из условия, что скорость уменьшается по сравнению со скоростью,

входа, например, на 0,1%:

/ z-г \ кт | sin 6 | /оп\

Р (Нг) = —5'oo^Js- ‘ <23>

Высоту Нх можно определить при условии, что начальное значение угла атаки уменьшается, например, на 1%. В соответствии: с формулой (6) при р. = 0 для малых а справедлива формула

а = а0/0(л)^а0 ^1 — .

Отсюда

Да sin2 0 ,0 .

Р(Я')" мТ^ьГ' <24)'

н, — Н,= -г1“Е7&1 = Т,пйЭТГГ¥|—• <25)'

1 X р (Иj) К 10/А | sin 0 | (7^

Разность Hi — #2 может достигать нескольких десятков километров. Отметим, что угол входа в атмосферу 0О в формуле (18) следует ВЫЧИСЛЯТЬ именно ДЛЯ ВЫСОТЫ Я1.

Авторы выражают благодарность А. И. Курьянову за помощь к постановке задачи и ценные замечания по результатам работы.

1. К u z m а к G. Е., Yaroshevsky -V. A. Application of the asymptotic methods to some problems of the re-entry vehicles dynamics. Proceedings of the XIV International Astronautical Congress, Paris, 1963, p. 273—291.

2. К у з м а к Г. Е. Асимптотические решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Труды III Всесоюзного матем. съезда, т. 1, изд-во АН СССР, 1956.

3. Волосов В. М. Дифференциальные уравнения движений, содержащие параметр медленности. ДАН СССР, 1956, т. 106, № 1, стр. 7—10.

4. К у з м а к Г. Е. К вопросу о пространственном движении осесимметричного твердого тела около неподвижной точки под воздействием моментов, медленно изменяющихся во времени. ДАН, 1960, т. 132, № 3, стр. 549—552.

5. Ярошевский В. А. Применение асимптотического метода к некоторым задачам динамики летательных аппаратов. Инженерный журнал, 1962, т. 2, № 2.

6. Аллен X. Гиперзвуковые полеты и проблема возвращения. Сб. «Проблемы движения головной части ракет дальнего действия», Изд. иностр. лит., 1959.

7. Вентце ль Е. С. Теория вероятностей. Физматгиз, 1958.

8. Allen Н. J., Eggers А. Т. A study of the motion and aerodynamic heating of ballistic missiles entering te earth’s atmosphere at high supersonic speeds. NACA Report 1381, 1958.

Рукопись поступила 8/VII 1969