О разрывном характере аналога сепаратрис при движении асимметричного тела около центра масс в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м II/ 1 97 2 № 3

УДК 629.191

О РАЗРЫВНОМ ХАРАКТЕРЕ АНАЛОГА СЕПАРАТРИС ПРИ ДВИЖЕНИИ АСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА ОКОЛО ЦЕНТРА МАСС В АТМОСФЕРЕ

В. В. Ларичева

Даются простые, более общие, чем в [1], аналитические формулы, для описания плоского вращения около центра масс асимметричного тела, снижающегося в атмосфере, пригодные до момента .захвата* — границы перехода вращательного движения в апериодическое или колебательное. Определены число оборотов и время при „захвате", и для него построена зависимость начальной угловой скорости вращения от начального угла атаки — аналог сепаратрис в неавтономной нелинейной системе. Нетривиальным следствием асимметрии тела является разрывность по начальной угловой скорости аналога сепаратрис при таком начальном угле атаки, при котором число оборотов при „захвате" меняется скачком на единицу. Показано, что аналог сепаратрис как в области его непрерывности, так и в точках разрыва достаточно точно определяется предлагаемыми простыми формулами с некоторыми уточнениями и при использовании более общего, чем в [1], критерия „захвата”. , г ; <

В [1] для тела с малой асимметрией дана теория плоской авторотации—нарастающего вращения тела около центра масс в продольной плоскости при спуске в атмосфере как существенного •следствия асимметрии тела (методика [1] обосновывается в [2]). В [1] предполагается, что независимо от начального угла атаки критическое (соответствующее „захвату") значение начальной энергии единственно и при его помощи и соотношения энер'гии найдено непрерывное приближенное представление аналога сепаратрис, достаточно точное для большого диапазона значений начального угла атаки.

В данной статье простые аналитические решения вида [1, 2] получены для случая произвольного профиля скоростного напора с учетом аэродинамического демпфирования. Присоединяя к этим решениям критерий „захвата" — требование малости угловых скоростей и ускорений, получим зависящие от начального угла атаки критические начальное значение энергии и число оборотов, вследствие чего аналог сепаратрис будет иметь скачок по начальной

угловой скорости при начальном угле атаки, соответствующем уменьшению числа оборотов до „захвата” на единицу.

Для получения приближенного разрывного аналога сепаратрис 1 с большей точностью целесообразно в невозмущенную систему наряду с главными гармониками аэродинамического мрмента осесимметричного тела ввести момент гармоник собусловленный малой асимметрией тела (тогда уменьшится их влияние на разницу балансировочных значений угла атаки возмущенной и невозмущенной систем).

Разрывность аналога сепаратрис обнаружена А. А. Шиловым в 1968 г. путем анализа точных уравнений движения. Предлагаемая в настоящей статье простая теория этого явления согласуется с численными решениями, предоставленными автору А. А. Шиловым.

Автор благодарит А. И. Курьянова и А. А. Шилова за полезное обсуждение статьи.

Уравнения движения и их приближенное интегрирование. Движение входящего в атмосферу планеты асимметричного тела около центра масс в продольной плоскости описывается уравнениями

шг = 1А9,(т) + еД_усх(а) + е/и“гшг] , а = сог (1)

в предположении, что скорость центра масс V == const и угол наклона траектории 0 = const; тело по форме осесимметрично, но центр масс тела смещен от оси его геометрической симметрии (фиг. 1). В (1) р. = /5/4; I, S— характерные длина и площадь тела; /г — момент инерции относительно поперечной оси; Ay = Ayjl— безразмерное смещение цёнтра масс тела от оси его геометрической симметрии; а—угол атаки; и со =<&zl}V— угловая скорость (размерная и безразмерная) продольного вращения; д'(т) У2 —

скоростной напор; р -- плотность атмосферы; cz(a) — коэффициент продольной силы; mz(а) — коэффициент момента относительно поперечной оси; т'"/ — коэффициент демпфирующего момента.

Введением малого параметра £>0 в (1) отмечается малость величин Ду, т.™* и медленность изменения вдоль траектории движения скоростного напора q(i), где т = е^—медленное время.

Будем изучать плоское вращательное с переходом в апериодическое движение тела около центра масс, чему соответствует

монотонное изменение а или сохранение Sign а)г = const вплоть до

достижения значений а>г — г.

Ввиду осесимметрии формы тела функции сх(а), mz(ai) периодичны по а и представимы рядами Фурье вида

' 00 00 ,

с-. = с*,, + 2 bn cos «а, от2 = — ^ Л„ sin «а (2)

я-1 л-1

с коэффициентами

| 2тс | 2тс j 2л

Сх0 = J сх da, bn = — j*ст cos па da, Ап = — ^ mzsin mda. (3) оо о

Зависимость /п“* от а такова, что

2тс _

f nfzz^zda. — т**!, (4)

О

где

_ 2тс

m“z = const, / = j* <»г da. (5)

о

При е = 0 система (1) описывает вращение (если sign шг = const) осесимметричного тела при ^ = const:

°>г = М (х) OTz (a). “ = шг (х = COnst) • (6>

Система (6), которую примем за невозмущенную * по отношению к (1), консервативна и имеет первый интеграл (энергии):

(1>2 = <1>г — 2pq(x)f(a) = const] ^/(a) =

В возмущенном (s > 0) движении q и а> — переменные величины Считая их связанными с шг и а соотношением (7), перепишем (1) в виде .

^<°2 г, , , » «>г/\ й'{*) , г 2\ da.

-^~ = 2гк(х)( Ьуь + т» ,^-W_e.2L__.(e,_ «а), = (8)

где штрих означает дифференцирование по х. В силу (7) при £>0

«>! = “2 + 2(*^/(а). (8')

Применяя к (8) исследованное и обоснованное в [1, 2] усреднение с"япеременным“ периодом и учитывая (2) — (5), получим эволюционную систему, охватывающую равномерно вращательный и апериодический режимы в системе (8):

diв2 q(t) 2emz^q(z)Il sq'(x) / ^ I \ da 2r.

dt ~ Г(х) + VT(x) + q(t)\ T(x)J ’ dt Г(хрУ'

Здесь период обращения в невозмущенном движении (6), (7) равен

2к Ап

Т (х) = , (10)

где интегрирование идет по а при х = const.

* Ниже обсуждается вопрос об учете больших гармоник сх в невозмущен-

ном движении. Это наиболее просто учитываемое влияние асимметрии тела на невозмущенное движение.

Jwiz(a)daj. (7)

Формально процедура усреднения* с „переменным" периодом [1, 2] сводится к интегрированию правых частей (8) по t, входящему в а, в пределах от нуля до Т (т), а интегралы делятся на Г(т). Но этого еще недостаточно. Основанием для выделения класса усреднений [1, 2] с переменным периодом являются свойства систем (8) и (9). Правые части (8) ограничены не только при <ог—1, но и при шг -* 0 и стремятся к тем же предельным соотношениям, что и правые части (9) при Т -> оо:

йш2

сИ

Ч' (т)

ЧЬ)

а = сопв!:.

(И)

Для области ограниченности правых частей (8) (сюда входят как шг—1, так и шг — е) в [2] доказаны теоремы о малости порядка е разности решений (8) и (9) на интервалах t—1/е. Такое усреднение является равномерной** асимптотикой для решения (8) во всей указанной области (вращений с переходом в апериодический режим).

Заметим, что при <»г->0 производная по ш2 от правых частей (8) не ограничена (нарушение условия Липшица при о)г~е). Для преодоления этого препятствия при проведении доказательств упомянутых теорем [2] привлекалось усреднение на конечном интервале времени.

Соотношения (11) также являются подтверждением хорошей точности эволюционной системы (9). Ибо согласно [2] попадающие в малую окрестность <»2 = 0 решения (8) и (9) отличаются мало, а далее оба они удовлетворяют (11).

Пренебрегая в правых частях (9) вибрационными членами под знаками интегралов (5) и (10), получим упрощенные уравнения [1, 2], дающие достаточно точное приближение к решению (9):

(12)

Решением (12) является

| — ехр (—В)

где

а— а,

В = £^Р(И, Р цЦУ, (2 = еДу^счд.

(13)

(14)

Из аэродинамических коэффициентов (2)—(5) в (13), (14) входят лишь сТ(), та/.

* Усреднение с постоянным периодом для (8) можно провести так. Первое уравнение (8) разделим на второе почленно, получим уравнение с малым параметром в правой части, периодичной по а. Такого же вида уравнение йт/йа=е/о>г следует из второго уравнения (8). Правые части этих уравнений при шг-»0 возрастают неограниченно, что является препятствием для оценки погрешности усреднения по а в случае изменения ш2 от ~ 1 до ~е. Лишь при условии |ш2|>в можно гарантировать малость погрешности усреднения с постоянным периодом для решения (8).

** В смысле одинаковости порядка по г погрешности для двух различных типов решения (8) — вращательного и апериодического.

В частном случае, который соответствует движению в верхних слоях атмосферы, имеем

вторая влияет на конкретный вид соотношения энергии (7), а гармоники вообще не входят в (6), (7), (9) —(16). Однако если отдельные гармоники Ст значительно больше сТо, тогда даже при малой величине Ду может наблюдаться большое смещение балансировочных значений а6 по сравнению со случаем Д_у = 0.

Влияние больших гармоник сх учтем, вводя в невозмущенную систему (6) и интеграл энергии (7) вместо т2(а) функцию

Очевидно, малая асимметрия формы даст небольшой коэффициент mZo, учитываемый аналогично члену ДусТо, и более общие, чем (2), разложения, где новые гармоники, как старые, учитываются соответственно их величине.

Задача о „захвате" — граничном переходе вращательного движения в апериодическое или колебательное. Необходимым признаком близости вращательного (sign w2 = const) движения к апериодическому или колебательному является малость угловой скорости <ог~е. Переходу вращательного движения в апериодическое соответствует* стремление траектории (1) к положению равновесия динамической системы (1), т. е.

при t-* оо, вследствие чего из (1) находим, что а -* лб, где аб является корнем уравнения

Причем нас интересует тот корень (20), который достижим из области вращения (без перехода в область колебаний). Граничный переход („захват11 или кризис) вращательного движения в колебательное совершается за конечное время при шг = 0, св2^0.

Итак, при £ = 0 известно q0 и требуется подобрать такие (критические или соответствующие „захвату") а0, а>о (или ш*о) для траектории (1), чтобы на ней при сохранении з^п “г —С0Г^ с течением

* Ввиду единственности решения (1) точное выполнение равенств шг = (|)г==0 невозможно за конечное время. Однако ослабление точных условий (19), (20) путем замены их требованием попадания траектории (1) в малую окрестность точки (19), (20), что происходит за конечное время, дает более общий критерий »захвата“. Этим критерием охватывается близость к апериодическому и граничному колебательному режиму.

q = q0 exp sIt, = 0 (P = 0),

(15)

тогда вместо (13) получим квадратуры

Из зависимостей частного по сравнению с (2) и (3) вида = сч-\- b, cos а, ntz — — sin <z

(17)

тг (а) = mz (а) -j- sAjy ^ bn cos па.

(18)

0>, 0, Шг -> О

(19)

тг (а) -f sA.ycz (а) = 0,

(20)

времени достигались значения,, близкие к (19). Здесь ищется зависимость о>г0 от а0 — аналог сепаратрис, т. е. сечение плоскостью начальных условий (£ = 0) поверхности, разделяющей в пространстве (юг) а, I) область вращательных решений (1) от колебательных.

- т" О 100° 200° сс0

—о— точное решение

-------[/] ала по формуле (25) \ Теврия

—*— по формулам (15)-(17), (26ц

Фиг. 2

На фиг. 2—4 приведены результаты точных и приближенных расчетов для случая (15) —(17) при следующих исходных данных:

<70 = 3 кгс/м2; аХ = 0,057 м~1\ еДу = — 0,03; |а = 0,0544 ———; ’ кг-сек?

= 0,2; Ьх = 1,2; А1 = 0,05 (я6 = 150°).

Сделаем некоторые выводы поданным точных расчетов уравнений (1). На фиг. 2 представлена зависимость от а0. Здесь

при аб = 180° происходит скачок в ш^о, соответствующий уменьшению числа оборотов /V* при „захвате* скачком на единицу. Динамика этого явления поясняется на фиг. 3, где изображено полученное численным интегрированием (1) семейство функций «>*(£) с параметром <х0 и показано, как при небольшом увеличении а0 второй локальный пИпю,, стремится сравняться по величине с третьим ШШ шг при а0= 180°. Скачок В ШгО происходит при ав, при котором минимум нижней огибающей семейства функций «г(£) с параметром а0 совпадает с ттшг;^;0 (на фиг. 3 это происходит при а0=180°).

При куфО поведение траекторий (1) вблизи „захвата" является типичным (фиг. 3), что позволило в [1] применить в качестве критерия „захвата" требование

—■° -310° "

9 15 ?«(/5)-(17),(?П

?- 30 25 20

“И

[гра

-ю малости минимума нижнеи

огибающей амплитуд колеба-■№ НИЙ а0) или семейства

этих функций. При этом иса* пользовался интеграл (7) не-

возмущенной системы в предположении, что функция /(а) имеет на периоде а лишь один минимум при а = 0 и один максимум при а = к Тогда таким же свойством обладает в (7) функция о)2, минимум которой (обозначим его через а2=сопз!) достигается при а = те. Вследствие (7), (8) в возмущенном движении, где <7 и а2— переменные, имеют место соотношения для нижней огибающей а2(т) амплитуд колебаний функции ю2

Фиг. 4

а2 = «о2 + 2|^/(~),

йа2 йш2 ,. . ,, .

-ж=т+2**9 (т)/(я)-

(21)

При условиях малости аналитического минимума* функции а2 (а2^;0, йа21<И = 0) из (21) следует, что для случая Ду ф 0 в момент „захвата" Ь = должны выполняться соотношения

(22)

Для случая (15), присоединяя (22) к (16), получим соответствующие £ = ^ значения и

Х/(7г)/Д^сго = у,

2/2р/(п),

где величина ^ определяется после учета ^ в (15) как

(23)

(24)

Подставляя (23) в (16), находим критическое начальное значение да*, затем ю*0(а0) с помощью (8') при t = t0 = 0:

° 4- ~ , <о:о = -/(оо2 + 2^]/(а) (Д^<0). (25)

* При Ду = 0 (осесимметричное тело) функция времени а2 монотонно убы-

вает до нуля: а2 = 0 при «захвате", далее функция а2 не определена, поэтому она не имеет аналитического минимума, удовлетворяющего условию йа2/(И = 0.

Согласно (25) (это и есть основной результат [1]), критическое начальное значение «>о2 = const не зависит от ав, и аналог сепаратрис—непрерывная зависимость ш20 от о^.

Соответствующий (25) при упомянутых выше численных данных непрерывный аналог сепаратрис представлен на фиг. 2, откуда видно его хорошее согласование с точным аналогом сепаратрис почти для всех а0, кроме небольшой зоны, примыкающей к скачку.

Постоянство юо для всех а0, обусловленное критерием „захвата11 Ц], объясняется тем, что mina2 не всегда совпадает с minaf. Если же потребовать этого совпадения, то можно установить зависимость too от а0, для чего достаточно выполнения <иг = 0; сог==;0 при t—tv Последние равенства приводят к расчетным соотношениям (с использованием представления истинного движения через невозмущенное)

тг(аб) = 0, 0)1 = — 2pq1f(a6). (26)

Здесь аб является значением а в седловой особой точке невозмущенной системы (6).

В случае больших гармоник в (26) вместо тг всюду войдет т2, определяемый выражением (18). Тогда для данных приведенного выше численного примера аб невозмущенной системы сместится от 180° до 144°, т. е. ближе к аб = 150° системы (1).

Из (26) находим * аб и, задаваясь qu определяем критические значения tx и о)],; далее по формулам (13), (14), в частности для (16), находим о)0 и (а0 — а), затем шго из (8') при t = t0.

Зависимость ш0 от а0 или а — а0 существенна (см. фиг. 4), что удалось обнаружить расчетом по аналитическим формулам (6)—(17), благодаря применению общего критерия „захвата" (26). Точка касания зависимости a>o(a0) на Фиг- 4 прямой шо = const, получаемой согласно (25) или [1], дает а0, соответствующий скачкообразному изменению числа оборотов при „захвате" (в частности, для данных фиг. 2—4 с двух до одного).

При построении аналитической зависимости o4o(a0) по формуле (8') [фиг. 2, здесь без учета (18)] для каждого а0 бралось свое значение о)о согласно фиг. 4 и принимался во внимание скачок в оборотах при „захвате" N*. Это и дало приближенный разрывный аналог сепаратрис, согласующийся с данными точного расчета, как видно из фиг. 2.

• При построении теоретических зависимостей фиг. 2 и 4 не вводилась упомянутая поправка на щ невозмущенной системы [за счет (18)], т. е. бралось аб £= 180°.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ларичева В. В., Шилов А. А. Аналитический метод определения аналога сепаратрис при движении тела около центра масс в атмосфере. .Космические исследования”, т. 7, № 1, 1969.

2. Ларичева В. В. Усреднение для систем с переменным периодом. ДАН СССР, т. 198, № 6, 1971.

Рукопись поступила 4/VIII 1971 г.