CC BY
40
_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXXI : 2 000
№1—2
УДК 629.7.015.076.8
ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЗМОЖНОСТИ ПОПАДАНИЯ В РЕЖИМ ПЛОСКОЙ АВТОРОТАЦИИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ АСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА, ВХОДЯЩЕГО В АТМОСФЕРУ
В. В. Ларичева
Для нестационарных существенно нелинейных уравнений движения около центра масс слабо асимметричного тела, свободно входящего в атмосферу в режиме вращения в продольной плоскости, дается приближенное аналитическое решение задачи о захвате — переходе вращательного решения в колебательное. Определено критическое решение — граничное между решениями незахватываемыми (авторотационными) и захватываемыми, соответствующими безопасному спуску тела в атмосфере.
В итоге получены компактные аналитические формулы для расчета критического начального значения скорости углового вращения, а также параметров критического решения — времени и числа оборотов, потребных для достижения близости к захвату.
Для входящего в атмосферу, вращающегося около центра масс тела в [1] — [5] выявлено влияние малой асимметрии тела на возможность возникновения явления авторотации — непрекращающегося вращения с нарастающей угловой скоростью.
В данной статье продолжается начатое в [2] — [5] аналитическое исследование случая, когда слабо асимметричное тело входит в атмосферу, вращаясь в продольной плоскости. Аналитически решена краевая задача первого порядка об определении критического решения, являющегося граничным между решениями вращательными: 1) авторотационными и 2) ведущими к захвату в область колебаний около центра масс тела.
В отличие от [2] — [5] в данной статье анализ основывается не на использовании метода усреднения, а на свойствах квазистационарного приближения, достигающего близости к захвату одновременно с точным ре-
шением. В качестве примера использования квазистационарных решений в других задачах сошлемся на [6], [7].
1. Уравнения движения. Рассмотрим входящее в атмосферу (на большой скорости У0 под малым углом 0О < 0 наклона к горизонту) слабо асимметричное тело, вращающееся около своего центра масс в продольной плоскости с постоянной угловой скоростью (О .
Как известно [2] —• [5], в пренебрежении малым в верхних слоях атмосферы аэродинамическим демпфированием, уравнения движения около центра масс спускаемого тела в продольной плоскости имеют вид
^- = у{т2+г1Ат2)д, ^ = (у = ^//4); С1)
здесь а, со _ — угол атаки и угловая скорость тангажа, / — площадь миделя и длина тела, /_ — момент инерции относительно поперечной оси тела, ^=рГ2/2 — скоростной напор.
Тело является почти осесимметричным и имеет небольшое смещение Ду центра масс в продольной плоскости ниже оси геометрической симметрии и малое искажение поверхности. Из-за нарушения симметрии тела возникает дополнительный аэродинамический момент с коэффициентом Дт2(а), малость которого в (1) отмечена малым параметром в1 > 0.
Коэффициенты аэродинамических моментов: основной т2 (а) от строго осесимметричной формы тела и дополнительный Ат. (а) от асимметрии тела — описываются периодическими по а с периодом 2л функциями и могут быть представлены рядами Фурье. Ряд для от. (а) состоит из одних нечетных гармоник 8т(иа), п = 1,...; ряд для Ат!,(а) содержит нулевой член, поэтому
2% 2гс
' т = — Гтг(а)с1а = 0, Ат - — | Ат2(а)с1а ^0. (Г)
• 2л •' 2к •'
о о
Без последнего неравенства (1') авторотация невозможна, см. ниже п. 4.
Как в [2] —[5], предполагаем, во-первых, что на интересующем нас верхнем участке траектории скорость У0 и малый угол наклона |90|«1 постоянны. Во-вторых, плотность атмосферы р(Н) предполагаем изменяющейся по высоте Н по экспоненциальному закону с постоянным логарифмическим градиентом X. В итоге, скоростной напор д(т) медленно изменяется при спуске тела по экспоненциальному закону
9(т) = р(Я)К02/2 = ^0ехр(Я.К0|8те0|-?). (2)
Здесь фактическим малым параметром является безразмерная величина ]зт©01, однако медленность изменения скоростного напора удобно
характеризовать размерной малой величиной еХ = Л,| sin0ОjК0, с-1, вводя безразмерное медленное время как х = sXt.
2. Невозмущенное движение. Сепаратриса. Полагая в(1)б = б, =0, придем к автономной, консервативной невозмущенной системе, для которой первым интегралом служит «энергетическое» соотношение
со2 =Ф2 +2vqF(a), (3)
где
ос .. 2%
F{ol) = Jmz(a)da, F0 = — JV(a)c/a = 0, Fm = max| F(a)|. (3')
2n о
Здесь константа со2 имеет смысл приведенной удвоенной полной энергии невозмущенной системы, по ней можно судить о характере движения около центра масс тела: вращение — при со2 > 2vqFm, колебания — при со2 <2vqFm.
Апериодическому режиму соответствует граничное равенство
со2 =2 vqFm, (4)
которым определяется особое решение уравнений невозмущенного движения — сепаратриса. На фазовой плоскости а,со. она представляет собой самопересекающуюся кривую, проходящую через седловую особую точку. Уравнение сепаратрисы получим из (3) с учетом (4):
<s>l=2vqFm(\ + F(a)/Fm). (4')
3. Возмущенное движение. «Возмущенная» сепаратриса. Следуя теории возмущений, воспользуемся соотношением (3) при переменных q,со2 для замены в (1) переменной coz на со2 и перейдем к эквивалентной (1) системе уравнений возмущенного движения
со2 =G)2(x) + 2vq(x)F(a), ^ = оог, (5)
at
2
= 2v^(T)[s]Amz(a)coz-sA.F(a)l, (eX = ^F0|sin ©о|) (5')
dt \ \ \>
с начальными условиями a0, coq =®z0 ~2v^0F(a0).
Соотношениями вида (4), (4') при q{x) = var опишем «возмущенную» сепаратрису, которая, в отличие от невозмущенной, не удовлетворяет уравнениям возмущенного движения (5), (5'), решения которых могут пересекать такую «сепаратрису».
4. Авторотация и задача о захвате. Если входящее в атмосферу асимметричное тело вращается около центра масс (в продольной плоскости) с достаточно большой по модулю угловой скоростью юг , то далее
вращение спускаемого тела не только продолжится, но из-за асимметрии тела его угловая скорость может нарастать (плоская авторотация [2] — [5]). Разумеется, авторотация невозможна при отсутствии нарушений осевой симметрии тела.
Для безопасного спуска тела в атмосфере необходимо уменьшить ве-
личину
со
так, чтобы с течением времени происходил захват
переход
вращения в колебания около центра масс тела. Поэтому возникает вопрос об определении граничного значения со^ называемого критическим, при котором еще происходит плоская авторотация, но уже при небольшом уменьшении величины ш2коР произойдет захват в область колебаний.
Укажем «энергетический» критерий захвата. Для этого перепишем выражения медленно изменяющейся функции (4) при q = уаг и ее производной как
= 2vq(x)Fm
d(a2s jdt = 2zkvq(x) Fm
/ a \
Fm = шах Jmz(a)da
V J
(6)
Функциями (6) характеризуется энергетический уровень «возмущенной» сепаратрисы и скорость изменения уровня.
Если в некий момент tx характеристика со2 (?) энергетического уровня решения (5), (5') и ее производная dot2/dtне превысят соответствующих сепаратрисных значений (6), то произойдет захват решения (5), (5') в область колебаний; причем в случае точного совпадения с сепаратрисными значениями (6) решение (5), (5') будет критическим — граничным по отношению к захвату.
Отметим, что критерий [2] — [4], основанный на свойствах нижней амплитудной кривой угловой скорости, эквивалентен данному.
5. Амплитудные кривые и линия центров колебаний угловой скорости. В предположении, что на каждом периоде функция mz(a) имеет лишь по одному максимуму и одному минимуму, рассмотренная выше невозмущенная система имеет устойчивое и неустойчивое положение равновесия, в которых балансировочные значения а7 ,а/7 угла атаки являются главными значениями корней уравнения mz{<х) = 0. Поэтому при а = а, или а п функция (3') экстремальна
кк
F(a/,//)= Jwz(a)<*i
-■ + F ---------- J №
1,11
и тогда из (3) следуют выражения для амплитудных кривых (характеристик) угловой скорости
В равенстве (7) слева нижний индекс «в» (или «н») и справа знак «+» (или «-») соответствуют верхней (или нижней) амплитудной кривой. Неравенствами (7), заключенными в скобки, отмечаются пределы изменения точной функции (/).
Пользуясь условием ^(а) = 0, которому удовлетворяет корень с главным значением а»(а/+ад)/2, выделим из (3) срединную характеристику со.?, определяющую линию центров колебаний угловой скорости
На этой линии потенциальная энергия невозмущенной системы обращается в нуль, и полная энергия равняется кинетической, величина которой пропорциональна среднему арифметическому из значений (7). Последние, как видно из (7), (7'), можно определить, если известна величи-
В возмущенном движении характеристики (7), (7') становятся медленными переменными. Из (7), (7') при q = уаг усматривается, что в момент
щенной» сепаратрисы.
В связи с отмеченным свойством синхронности, очевидно, что для выявления условий близости решения (5), (5') к захвату достаточно проследить, например, поведение переменной со2(х).
6. Приближенное решение задачи о захвате. Изложим (пока формально) способ получения бесколебательного приближения к решению (5), (5'), достигающему близости к захвату.
Пользуясь заменой
(7')
на (7').
достижения точной функцией (?) «возмущенной» сепаратрисы ее достигнут также: функция со2 (т) в точке сепаратрисы, где ^(а) = 0, функция
2 2
0)г (т) — в седловой точке, функция со, (т) в вершинной точке «возму-
ю2 =ю2 +2vq(т)E1f(a), £(а) = Р(а) + є,/(а),
\
(8)
а
V
У
перейдем от (5), (5') к эквивалентной системе
О Г^_г О ^
сог = 5 + 2vqF(a), сіа/ск = ю2,
(9)
й(Ь2 |dt = 2zXvq\k■^(дz-F{a'^, (А:] = Є] Ат2о /єА.). (9')
Ряд Фурье периодической функции /г(а) не содержит нулевого члена, поэтому систему (9), (9') можно рассматривать как колеблющуюся около многообразия, определяемого укороченными, не зависящими от а уравнениями:
а = ю, а>г=в>2, с/со2 = 2ъкщк\(Ь. (10)
Последнее уравнение (10) имеет бесколебательную правую часть и с учетом (2) легко интегрируется в виде
<в = <»о+*1'/(9-4,о)> {к\=гхАт2й/ъХ). (10')
Укороченная система (10) выделена из (9), (9') посредством условия
Рт=о, (п)
соответствующего характеристике — линии центров колебаний угловой скорости со2(О- (Аналогичным (11) является условие, приведшее к характеристике (7')).
Для (10) допустимо любое начальное значение о , но другое условие — частное: а0 = а0, где а0 «(а7 + ап )/2 — главное значение корня уравнения (11), а балансировочные значения а/,а7/ являются главными значениями корней уравнения
тг (а) + е , [ Д/иг (а) - А/яго ] = 0, (11')
в котором учитывается вклад гармоник малого коэффициента е,Ат2(а) аэродинамического момента, возникающего от влияния малой асимметрии тела. Тогда как выше при выводе (7') использовались в качестве а/,ая корни боЛее простого уравнения: т2 (а) = 0, следующего из (11') при £( - 0.
Решение (9), (9'), приближающееся к захвату, будет критическим, если в некий момент компоненты решения м^,(<зй)2/<#) сравняются по величине с соответствующими сепаратрисными, определяемыми соотношениями (6). Поэтому потребуем выполнения при / = равенств
со2-2\д^Рт, 2ekvqlklG)l=2eXvqlFm, из которых определим значения
®1=^Дь 91= ^т/2^, (б^ =1п(?1/?0)), (12)
являющиеся концевыми для краевой задачи первого порядка о близости решения (9), (9') к захвату.
Подставляя (12) в (10') и разрешая последнее относительно <в0,— решая тем самым краевую задачу первого порядка, получим формулу для определения критического начального значения угловой скорости тангажа
“гї =®0=А:1^0+^т/2^ *Рт/2ки (*, = Є,Длїг()/єА.). (13)
На основании (12), (13) устанавливаем, что
®і/®о =(^іЯ/*і)/[(^я./2Лі) + *іУ^0]*2. (13')
Формулы (13), (13') выписаны в учетом того, что величина кх\н]0 пренебрежимо мала уже при Н0 > 110 км (при данных приведенных ниже примеров).
Начальным условием (13) с добавлением к нему значения а0 = а0 « «(а/ +ап)/2, являющегося главным значением корня уравнения (11), определяется критическое решение (9), (9'). Вдоль последнего отношение <7і/<7о может меняться (в зависимости от величины #0) в десятки, сотни и более раз, но величина отношения согласно (13'), остается почти
неизменной.
Как показали расчеты, точная зависимость от а0 такова, что при #0 > 110 км на довольно большом массиве значений а0 величина со^ почти постоянна и к ней близок (с некоторым завышением) результат формулы (13). Практически при тех же условиях близок к точному (с некоторым занижением) результат формулы
*0,41/^/*,, = тах|іиДа)|, *, -.(^Діи^/єА,), (14)
полученной в [5, стр. 163] на базе предложенной автором специальной модификации метода усреднения. Ниже, см. (17) и рис. 1, 3, 4, ограничимся случаем = Ах.
Укажем на связь (13) с результатом [2] — [4] для со^ и г,. При ?0 =• 0 верно ю о «ю0, поскольку, как видно из (8), разность квадратов этих величин при этом пропорциональна <?о * 0 и> значит, пренебрежимо мала. Но тогда, как следствие, (13) совпадает с соответствующей расчетной формулой [2] — [4]. Кроме того, здесь и в [2] — [4] время , потребное для достижения близости к захвату, одинаково определяется формулой вида (12).
Но есть и различие. Вклад от суммы малых гармоник Є[[Дт2(а) -
-Дтго | отсутствует (аннулируется при усреднении) в результатах [2] — [5].
Тогда как выше в балансировочном уравнении (1Г) упомянутая сумма гармоник учитывается как малая добавка, что в итоге приводит к уточнению начального значения угла атаки а0 = а0 для системы (10). Такого рода уточнение наболее значимо в случаях, когда Я0 < 110 км.
Отметим наиболее важное. Уравнениями (10), выделенными из (9), (9') посредством условия (11), описывается образ, относительно которого происходят колебания в системе (9), (9')- Для последней из (10) получены приближенные выражения медленно изменяющихся характеристик ю2,сйо2/<й. Причем, из-за бесколебательности с/<а2/<Й отпала необходимость привлечения метода усреднения для исследования (10).
7. Особенность и геометрический смысл приближенного решения. Убедимся, что приближение (10), (11) можно рассматривать, как начинающееся из бесконечно удаленной особой точки, где # = 0, * = - оо, и совпадающее в этой точке с точным решением (9), (9')- Действительно, при г = - оо (когда, как видно из (2), ^(х) -» 0) из (9), (9') и (10), (11) вытекают одни и те же предельные соотношения
ш2=ю2=со20, йаДй = ю=сого, (15)
которыми описывается стационарный режим кругового вращения около центра масс тела с постоянной угловой скоростью <а2() («кувыркания»).
Сравнивая (10), (11) с (15), заключаем, что приближением (10), (11) описывается квазистационарный режим почти кругового вращения тела с почти постоянной угловой скоростью ю(х). Последняя, как видно из (13'), изменяется в весьма узких пределах на всем интервале 0 < £ < ^ до захвата.
Следовательно, приближение (10), (11) начинается при q& 0 стационарным режимом «кувырканий», совпадает при этом с результатом точного решения (9), (9'), далее (вплоть до захвата) развивается квазистационарно и пересекается с точным решением периодически — в моменты выполнения на последнем условии (11) Р’(а) = 0.
Простые выражения (10), (10') для со2, й?ю2/<Л приближенно характеризуют энергетический уровень и скорость его изменения вдоль решения (9), (9'), поэтому (10), (10') использованы выше при аналитическом решении краевой задачи о близости решения (9), (9') к захвату.
8. Число оборотов ./V, до захвата. Величина ЛГ1 определяется формулой
Л^1 = (а, -а0)/2п,
где а], а0 — концевое и начальное значения угла атаки.
После подстановки (10') в (10) получим приближенное уравнение, описывающее нарастание по времени функции | а(/) |. Поскольку на самом деле вблизи захвата рост | а(0 | замедляется, то неудивительно, что значение а] (и ТУ,) оказывается завышенным. ;
Более точный результат достигается при равномерном изменении а по времени
а1 -а0 = 27сЛг1 = с50?] ■»
(16)
где /), «о определяются формулами (12), (13).
Соотношение (16) получается в результате интегрирования по времени на интервале [0, ] выражения (10') для <5 при аннулировании к моменту захвата интеграла от асимметричного члена кх V (<? - ), что согласуется
с физическим смыслом рассматриваемой задачи. Дело в том, что при приближении решения к захвату влияние асимметрии ослабевает, а после захвата колебания переменной ю2(г) становятся практически симметричными около нуля.
Примечание к пунктам 6—8. Отметим, что методическим результатом [2] — [4] являлись также аналогичные (10), (10') укороченные уравнения. Однако в [2] — [4] уравнения вида (9), (9') сначала усреднялись по време-
{ 2к \ ни (с переменным периодом Т = |с?а/со,), затем усреднные уравнения
о
упрощались вдоль линии центров колебаний угловой скорости — в итоге получались уравнения вида (10), (10').
Таким образом, уравнения линии центров колебаний угловой скорости можно выделить не только непосредственно, но и посредством упрощения усредненных уравнений возмущенного движения вида (5), (5') или (9), (9').
Обратим внимание, что, если для (12) предполагать порядок величины д()1 не превышающим 8, то при е -» 0 из (12) следует стремление гх к бесконечности по закону 11п( 1/е) |/в.
9. Сравнение с точными численными решениями. Ограничимся случаем, когда форма спускаемого тела осесимметрична, а центр масс тела смещен ниже оси его геометрической симметрии на малую величину Ду<0: |Ду//|=е,|Ду|«1.
Примем, что аэродинамические коэффициенты данного тела определяются простейшими формулами:
тг=-Ах§1па, сх - сТо + Вх сова. (17)
Тогда
Атг = сг(а)е1Ду = ъхАтпго + гх&уВх сова, (в]А/?г^0 =е!ДуеТо), (18)
а
Р(а) = jmz(a)da, Р(а) = Р(а) + ЕхАуВх$та. (19)
Для (10) в качестве а0 подходящими являются корни а0 =90° и 55° соответственно уравнений F(a)~0 и /’(а) = 0, см. (10), (11'). Далее для простоты ограничимся значением а0 « тс/2, т. е. примем -Р(а0) «Р(а0). Хотя в случае Я0 = 100 км это ухудшает точность приближенного результата.
Для коэффициентов, входящих в (1) или (9), (9'); (17) — (19), зададим численные значения
4=0,05, сТо = 0,2, 5] =1,2, е1Ау = Ау/1 = -0,03, е{АусХ0 =-0,006, у = 57//г =0,0543 м2/кгс-с2.
Пользуясь (17), (18), определим для системы (1) или (9), (9') устойчивое (X/ «-41° и неустойчивое а и =150° балансировочные значения угла атаки.
Для начальных высот Я0 = 100-=-300 км зададим начальные: скорость входа У0 и скоростной напор д0(Н0) в соответствии с формулами
Г0=Л/290(100)/р(100), 90(Я0) = р(Я0)90(100)/р(100),
где р(Я0) — плотность атмосферы на высоте Я0 (по таблицам стандартной атмосферы 1981 г.); в частности, р(100) = 5,65 ■ 10-8 кгс с2/м4, #о(100) = 3 кгс/м2 — плотность атмосферы и начальный скоростной напор при Я0 = 100 км.
Зададимся значениями параметров
еХ, = А.|8т0„|Ко= (0,05 + 0,07), с-1 кх =е1ДусТо/еЛ, = -(0,12 + 0,0858) = -(2,4 + 1,72)4, с-
При перечисленных предпосылках для (1) численно решалась задача захвата — краевая первого порядка — как задача Коши интегрирования уравнений (1), или (9), (9'). Для каждого а0 подбиралось такое значение сого, чтобы в некий, заранее неизвестный момент ^ приближенно выполнялось условие со, = 0; далее проверялось, чтобы при небольшом уменьшении | со2() | происходил захват решения в область колебаний.
Расчеты показали, что для уравнений (1) или (9), (9') решение типа, проанализированного выше (см. пункты 6—8), реализуется в довольно широком диапазоне изменения параметров а0,еХ,Н0.
Так, при Я0 = ЮО км на точном критическом решении на большом массиве значений а0 е[-я, я] достигается вблизи захвата концевое значение угла атаки а1 «-10 рад. При а0 =я/2, еХ = (0,05 + 0,07) с-1 точное решение имеет параметры = <й0 =-0,24 с-1, /,=(47,5 + 38) с,
^ - 1,85; а из приближенных формул (12), (13), (16) при этом следуют данные: а>0 =-0,255 с-1, = (47,2 + 43,2) с, =(1,73 + 2,05), приемле-
мо согласующиеся с точными.
Во многом аналогичные выводы можно сделать по результатам расчетов для Я0 = 120 + 250 км; а при условии гк> 0,0635 с-1 также для Я0 = 300 км.
Н0 =10 0 хм, £к=0,051 с~\ д^Зкгс/м2
КО -1 а ПО формуле (и)
0,и • 1 * - •» » (ш)
-з -г -1 о -0,1 1 2 а.0,рад
~о,г ' и ' ' ' * '
Некоторые результаты точных численных решений даны на рис. 1—4, где темными и светлыми кружочками указаны аналитические значения со%, рассчитанные по
формулам (13), (14). Рис. 1, 2 соответствуют случаю #0 = 100 км, вХ - 0,057 с-1, д0 = 3 кгс/м2 ; рис. 3 — случаю Н0 = 200 км, еХ = 0,0635 с-1, q0 = 1,35-10-3 кгс/м2 (р0 = 2,55-10_и кгс-с2/м4);
рис. 4 — случаю #о=300 км, еЯ, = 0,07 с-1, q0 = 1,04-10-4 кгс/м2 (р0 = = 2-10-12 кгс-с2/м4].
Рис. 1
Ш*Р,С 1 Нкм, е А=0,057с \д0 =3кгс/м г, <х.0=0,95рад
кр -7 Но=200км 0,2 сХ=0,0635ч кр “V* ■ о по формуле(/?) Н0—300км 0,2 • » „ е\—0,07 1 - о по формуле (и) • » >■ {№) 1 1 1
-3 -2 -1 В -0,2 1 2 о.0,ра.д -3 -2 -1 0 1 . -0,2 1 2 <х,0град ~ ’ •
Рис. 3 Рис. 4
На каждом из рис. 1, 3, 4 изображена зависимость со*р от а0, определяющая граничную кривую, ниже которой располагается область авторо-тационных начальных условий, выше — область начальных условий, ведущих к захвату. Влияние д0 при аналитическом определении ю*р проявляется в случае Н0 = 100 км: значение при а0 = л/2 вычисляется по формуле (13), затем пересчетом по «энергетическому» соотношению, входящему в (9), находятся значения при q = qQ, а0 Ф л/2, см. рис. 1. В случаях Н0 = 200 + 300 км величина ц0 пренебрежимо мала.
В правой части каждой из граничных кривых на рис. 1,3,4 возникает небольшой скачкообразный излом, соответствующий наличию небольшой области неединственности решения краевой задачи о захвате [3], [4]. Причем решения, которыми определяется правая (после излома) часть граничных кривых рис. 1, 3, 4, имеют уменьшенное на 2л значение |а,| по срав-
нению с решениями, определяющими левую часть. Здесь (слева) а] « «-10 рад (рис. 1), а, «-41,3 рад (рис. 3), оц »-54 рад (рис. 4), что согласуется с данными аналитических формул (12), (13), (16).
На рис. 2 дан пример точной численной зависимости се>*р от времени t
(для Н0 = 100 км, вЯ, = 0,057 с-1, q0 = 3 кгс/м2 ) при coZ() = -0,26 с-1, а0 = = 0,95 рад. Последнее является средним между балансировочными значениями ai —-41°, аи =150° системы (1).
Для сравнения на рис. 2 нанесена зависимость от времени бесколеба-тельной угловой скорости <в(т) приближения (10') на интервале [0, t\ =46 с]. При t = ty в точном решении угловая скорость близка к нулю. На фазовой плоскости a,coz ему соответствует точка, близкая к седловой особой точке на сепаратрисе, где проходит также частное решение типа зависания в седловой точке. Кроме того, как показано в [3], [4], при изменении а0 может приблизиться к нулю предыдущий min|coz|. Уравнивание предыдущего и последующего значений min|coz(0| происходит в области неединственности решения задачи: при дальнейшем увеличении а0 предыдущий min| (oz(01 становится меньше последующего, что соответствует решению с уменьшенным | (Х|| на 2л.
10. Эмпирические закономерности. Отметим две из них для решений (9), (9').
1) Расчеты показали, что на критическом решении в окрестности вершин нескольких предзахватных нижних витков колебательной функции юz(t) начинает выполняться неравенство со2 < 2vqFm, тогда как признаком области вращения около центра масс тела является неравенство обратного знака со2 >2vqFm. Иными словами, в возмущенном движении на критическом решении наблюдаются некоторые отдельные непродолжительные нарушения условия периодичности ю2 по а.
2) Из расчетов критических решений усматривается, что медленно возрастающая функция со2 становится почти постоянной в течение времени прохождения предзахватного витка колебаний соz(t). (Это объясняется уменьшением в предзахватной ситуации влияния асимметрии тела на параметры решения.)
Значит, можно указать следующие условия близости решения (9), (9') к захвату в некий момент /,
(b\ =2vqxFm', (*йэ2/<#) =0 при F(a) = Fm. (20)
Согласно (20), при t = fj в окрестности верхней части предзахватного витка приближенно выполняется сепаратрисное энергетическое соотношение и становится постоянной величина со2. А далее при t>tx, как под-
тверждают расчеты, вместо (20) начинает выполняться неравенство со -const < 2vqFm, смысл которого пояснен выше.
Из (20) с учетом (9') найдем соответствующие моменту tx концевые, аналогичные (12) значения
®1 = ^fm/2ku v<ll=Fm/4k\’ (21)
После подстановки (21) в (10') и разрешения относительно <в0 получим аналогичные (13) — (14) расчетные формулы
=(b0x°^5Fm/k], =\n[Fm/4kfvq0). (22)
Значения co!J, определяемые первой формулой (22), являются промежуточными по отношению к (13), (14) и хорошо согласуются с точными на весьма большом массиве значений Щ,а0. В течение времени tx, определяемом второй формулой (22), происходит основное приращение угла атаки а, (и числа оборотов N{).
11. В заключение отметим, во-первых, что в случае осесимметричного тела, когда вместо неравенства (1') выполняется равенство
A mZQ = 0, (23)
из (13) следует верный по физическому смыслу результат: со^ = со, т. е.
невозможность возникновения авторотации, если спускаемое тело строго осесимметрично по форме и распределению масс.
С использованием метода усреднения и понятия линии центров колебаний угловой скорости случай (23) исследован, например, в [8].
Во-вторых, в случае асимметрии вращающегося спускаемого тела возможно применение свойств линии центров колебаний угловой скорости не
только непосредственное, описанное здесь выше, но и для упрощения (как
в [2] — [4]) интегралов, входящих в правые части усредненных по времени уравнений вида (5), (5') или (9), (9'), см. выше: примечание к пунктам 6—8.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шилов А. А. Влияние массовой и аэродинамической несимметрии тела на характер его пространственного движения//ДАН СССР.— 1968. Т..
183, №5. •
2. Л а р и ч е в а В. В., Ш и л о в А. А. Аналитический метод определения аналога сепаратрис при движении тела около центра масс в атмосфе-ре//Космич. исслед.— 1969. Т. 7, № 1.
3. Ларичева В. В. О разрывном характере аналога сепаратрис при движении асимметричного тела около центра масс в атмосфере//Ученые записки ЦАГИ.— 1972. Т. III, № 3.
4. Л ар и ч е в а В. В. Авторотация при полете в атмосфере асимметричного тела, вращающегося около центра масс в продольной плоскости//Труды ЦАГИ.—1915. Вып. Vm.
5. ЯрошевскийВ. А. Движение неуправляемого тела в атмосфере.— М.: Машиностроение.— 1978, гл. 5, стр. 161—163.
6. Л а р и ч е в а В. В. Эффективное преобразование и асимптотика одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений//ДАН СССР.— 1965, №2.
7. Ларичева В. В., Ефимов Г. Б. Асимптотика несимметричных колебаний маятника и эволюция разгонного движения точки в центральном поле притяжения/ЯТрепринт ИПМ им. М. В. Келдыша.— 1982. № 56.
8. Курьянов А. И., Ларичева В. В. Приближенные параметры перехода вращений в колебания около центра масс осесимметричного тела, входящего в атмосферу//Ученые записки ЦАГИ.— 1979. Т. X, № 6.
Рукопись поступила 31/Х 1997 г.
