Анализ управляемого фугоидного движения космического аппарата при входе в атмосферу Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м III 19 7 2

№ 2

УДК 629.196.3

АНАЛИЗ УПРАВЛЯЕМОГО ФУГОИДНОГО ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ

Э. И. Федан

Рассматривается методика анализа продольного управляемого движения центра масс аппарата при входе в атмосферу, основанная на применении асимптотического метода ВКБ к решению уравнений движения нестационарной линейной системы. Предполагается, что управление траекторией осуществляется изменением угла крена аппарата, имеющего постоянную балансировку. В качестве исходной информации используются показания датчика перегрузки, жестко закрепленного в аппарате. Определяется рациональное значение передаточного коэффициента системы, минимизирующее дисперсию промаха конечного параметра.

Управляемое пассивное торможение космического аппарата (КА) атмосферой планеты — важный и ответственный этап космического полета. Этой теме посвящено большое количество литературы (см.* например, [1] — [9]). Основное внимание в ней [1—8] уделяется вопросам управления траекториями входа.

Наиболее просты и надежны системы управления с отслеживанием номинальной траектории. Номинальная траектория задается в виде программы изменения перегрузки, которая измеряется либо в связанных с аппаратом осях, либо в осях, неподвижных в инер-диальном пространстве. В качестве аргумента программы рассматривается время [1] или интеграл от перегрузки [4, 7, 8], называемый обычно кажущейся скоростью [4].

Наиболее простым способом регулирования аэродинамических сил, действующих на аппарат, является изменение угла крена аппарата, имеющего постоянную аэродинамическую балансировку. В конструктивном отношении такой способ изменения подъемной силы КА может быть просто реализован с помощью небольших струйных органов стабилизации аппарата по крену.

В настоящей статье предлагается методика анализа управляемого движения центра масс аппарата при использовании простой

схемы управления с отслеживанием программной зависимости перегрузки от скорости. Методика применима для круговых и сверх-круговых скоростей входа в атмосферу.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Будем использовать основные допущения, принятые в статье [9]: #</? (отсюда g — g0 = const, R = const, VKp == ■//?£<> = const), sin 10 | <^[ 101« 1, так что sin 0^6 и cos 0=^1. В отличие от [9]

будем считать, что плотность зависит от высоты и относительной

Такое представление формулы для плотности атмосферы позволяет анализировать влияние ее переменных вариаций по широте и высоте полета [Н — высота, /? — радиус планеты (Земли), ^ — ускорение силы тяжести, 0 — угол наклона траектории к горизонту,

раметр аппарата, р —плотность атмосферы, V—скорость КА, О — вес КА, 5 — характерная площадь КА, индекс я0“ соответствует условиям в точке входа в атмосферу].

Если в качестве независимой переменной выбрать относительную скорость х, а в качестве зависимой переменной — продольную перегрузку пх, то уравнения продольного движения с учетом (1) можно преобразовать к виду

Угол наклона траектории 0, время полета t и дальность I определяются из следующих соотношений:

V/

скорости х — — Г/—'

*кр

Р~РоС*)* ХН-

(1)

я* = °.

---продольная перегрузка, = —баллистический па-

(2)

у

где штрих обозначает дифференцирование по дс, К=---------аэроди-

^ х

намическое качество КА, у — угол крена КА. Для изотермической атмосферы (р = р0£_х") уравнение (2) принимает вид

<-тя-+^“'=^да(Лсо^ + Т71)-

| ЛГ э1п т | >

Смещение аппарата в направлении, перпендикулярном плосксь ст$ исходной орбиты, можно определять с помощью двух линеаризованных уравнений , :

4* = -К»'" Ъ Й —.

где ф — угол курса, а / — боковое отклонение КА. В правой части

йф х- I

уравнения для опущено слагаемое---------в предположении, что

иХ Н у г\

х^_[_ п х /?

В уравнении (2) не учитывается влияние движения аппарата относительно центра масс на движение центра масс. Такое упрощение справедливо, если управление является „мягким11, т. е. отсутствуют большие угловые скорости по крену.

УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЕЙ ВХОДА В АТМОСФЕРУ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОШИБКИ УПРАВЛЕНИЯ

Одной из важных задач управления КА при входе в атмосферу является обеспечение посадки в заданный район при спуске с орбиты спутника (первая задача). Более сложно обеспечить точную посадку аппарата, входящего в атмосферу со второй космической или с ббльшей скоростью, на поверхность планеты (вторая задача), особенно в том случае, когда район посадки удален на большое расстояние от условной точки входа в атмосферу (Щ = 100 км). При этом траектория входа в атмосферу разделяется на три участка [6, 7] — участок первого погружения в атмосферу, участок вылета в разреженные слои атмосферы и участок второго погружения в атмосферу. Существенное влияние на точность посадки оказываем разброс параметров траектории при вылете из атмосферы после первого погружения в нее, поскольку возможности компенсации отклонения дальности на участке второго погружения ограничены и определяются величиной аэродинамического качества. Близкой к этой задаче, но более сложной в конструктивном решении из-за необходимости создания разгонного импульса после вылета из атмосферы является задача выведения аппарата на околопланетную орбиту путем управляемого аэродинамического, торможения его при входе в атмосферу планеты (третья задача). Здесь, так же как и в предыдущем случае, основной целью управления является возможно более точное выдерживание параметров траектории в момент вылета из атмосферы.

Особенность управления во второй и третьей задачах заключается в том, что процесс управления траекторией полета с помощью аэродинамических сил заканчивается раньше, чем аппарат достигнет конечной точки. В связи с этим разброс характерного параметра Ф (точки вторичного входа в атмосферу во второй задаче или высоты апогея траектории отражения в третьей задаче) определяется отклонениями параметров траектории 8УК, 86к, в момент вылета из атмосферы. В том случае, когда в апогее прикладывается один разгонный импульс для перевода аппарата на круговую орбиту, эти отклонения будут определять и „деформацию" конечной орбиты.

Разброс характерного параметра Ф в линейном приближении и при условии, что влиянием случайных вариаций плотности атмо-

сферы на изменение величины Ф можно пренебречь, поскольку вылет из атмосферы происходит в очень разреженных ее слоях, определится выражением

дФ дФ дФ дФ

8Ф + + (3,

Эту величину, вызванную отклонениями траекторных параметров в момент вылета из атмосферы t — T, можно представить в виде суммы двух слагаемых 8Ф = 8Ф1 4- 8Ф2.

Слагаемое 8Ф1 обусловлено так называемыми методическими ошибками управления, т. е. ошибками, которые появляются при идеальном отслеживании номинальной траектории. Эти ошибки могут возникать, в частности, вследствие отсутствия полной информации о регулируемых параметрах движения (У, б, Н, Ц. При управлении могут использоваться такие величины, как перегрузка и интеграл от этой перегрузки. Слагаемое 8Ф2 связано с динамическими ошибками системы управления, которые могут быть небольшими при оптимальном управлении. Ясно, что методические ошибки характеризуют предельные возможности выбранной системы управления и в значительной степени определяют целесообразность ее применения.

Основные возмущающие факторы, оказывающие влияние на точность управления, представляют собой отклонения параметров траектории входа в атмосферу, параметров атмосферы и аэродинамических характеристик аппарата от расчетных значений. Рассмотрим вопрос о влиянии этих факторов на изменение параметров траектории в конце первого участка погружения в атмосферу при идеальном отслеживании программы пх{х).

Отклонение скорости входа в атмосферу. При управлении с отслеживанием программной зависимости пх(х) практически отсутствует реакция системы на незначительное изменение скорости входа в атмосферу (81/0 да 10~4) в связи с тем, что „начальное отклонение Ых(х0) располагается внутри зоны нечувствительности датчиков перегрузки (Ъпх = 2пхЪУ0). Имеющееся отклонение 81/0 переносится к моменту вылета из атмосферы. Здесь 81/0— отклонение относительной кажущейся скорости У=\х\ = У/УКр в момент входа в атмосферу. ..

Вариация параметров- атмосферы. При больших вариациях плотности атмосферы заметное отклонение угла наклона траектории

£0 может быть вызвано изменением параметра Х =----------\~Jff в точ~

ке вылета из атмосферы:

8х + "-8(з1) 8Г

80. = - 0 4 ' — 0

(знак „—“ сверху означает осредненную величину). В случае в этом соотношении появится еще член вида

1

№хк

5|йПпро\_га й 1пр08р0

ёх ) х йх р0

Выражение для 86к получено в предположении, что идеально отслеживается номинальная программа пх(х), т. е.

8я-'=8(^)"а

В том случае, когда система управления включается по достижении некоторого небольшого значения перегрузки (пх — ивкл~ 0,001-ь 0,05), наличие отклонения 8Х приведет к смещению высоты включения системы и, следовательно, к изменению скорости вылета

ЬVк = -gЩp^^g- МвкМ

Уо 61/Д(я,

Отличие реальных аэродинамических характеристик от расчетных. Изменение реальных аэродинамических характеристик КА можно представить в виде отклонений следующих параметров:

коэффициента сопротивления сх>. аэродинамического качества К и балансировочного угла атаки а. Из этих отклонений наиболее сильное влияние на точность управления оказывают параметры Щ и 8а.

Рассмотрим вопрос о выборе оптимального направления измерения связанной перегрузки пс (фиг. 1), для которого ошибка в определении кажущейся скорости 8^., обусловленная отклонениями аэродинамического качества Щ и балансировочного угла атаки 8а (а следовательно, и ошибка в скорости вылета), будет минимальной. Будем предполагать, что аэродинамические характеристики аппарата не изменяются в зависимости от числа М в диапазоне больших гиперзвуковых скоростей. Можно показать, что оптимальное направление зорЬ при котором среднеквадратическое отклонение а-рк скорости вылета будет минимальным [7],

(я_ ^____________________д»*/Г=7^__________________

\°Кк]ш1П Г 02 ~ ’

у \+~(,\+К2 + К')* + 2г^-(\+К* + К*)

V °к

определяется из следующего выражения:

К (1 + К2 + Ка) + ГК (2 + К2 + 2/0

еоР1 — 7^ Г2 ~ »

— + (I +Ка)(1 + К2 + К*) + Г -^(2 + к2 + 2Ка)

\°а } °«

где ак, аа—среднеквадратические разбросы аэродинамического качества при номинальном балансировочном угле атаки и угла атаки

соответственно; г —безразмерный коэффициент корреляции величин Киа, 1/к=тт—■> — производная аэродинамического качества

*0 К

по углу атаки при номинальном балансировочном угле атаки.

Таким образом, оптимальный угол установки акселерометра равен .—■ ССбал ®орі*

В случае идеального отслеживания программной зависимости пх(х) для нормально распределенных величин 8К, 8а, 81/0, 8Х, Ып выражение для максимальной величины 8Фітах (суммарной методической ошибки) можно представить в виде

8Ф

1 тах '

~д\Гк ' +

8

дФ

П *

дФ 8Х дЯк X "вкл

дФ 8Х дК к X

+

дУк

2Н/2

Для задачи выведения в заданный апогей //а = /?а — Я после торможения космического аппарата в атмосфере приближенные „производные рассеивания“ при //*< 1 (//„-<1000 км) и 0К<1 (0„<ЛОО) имеют вид:

2НІ дВ. , Г /??. АН2 дЛа. 00

:Л[ Л V ЕЯ-

где

Яа = —

Н\ + Йк

нк

дЄк

ні + ьгк

2 *

Як

АНАЛИЗ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Для расчетных возмущений, которые обычно задаются на практике, на всей траектории выполняется условие Ьпх<^пх, поэтому исследовать устойчивую систему можно с помощью линеаризации (фиг. 2).

А/? г- номинальная траеятория линеаризованное решение

0,1

точнвеш ретеяие неяа-мейяяй системы

/ V

\ ЛПХ

0,0 к Д ч Г? \

7 / ч \

/ Г/ / /А / N

/ / / * / / \ ч V

/V \ V ч

> N

1,ї ~1,3 -1,} -10 X

Фиг. 2

Для исследования возмущенного управляемого движения запишем уравнение в вариациях

У"-~У' + (^ + ^№)у = -№***

где у =Ьпх = пх — пх ном (х). Величины вариаций 80, Ы, Ы определяются из следующих соотношений:

': ,' ^ • 1 2 ■

У-пЬшУ.

Rlx у Rlx*

i=-Vfj''kix--ft**

8£ =/?

X Xq

Будей рассматривать линейное управление

Т Тном— К [пх Пхиом(х)] kn

dtir (dn

и?-Ы <*>

(4)

где индексом „ном“ обозначены номинальные параметры. Записывая выражение (4) в вариациях

®Т = ®Тном У ^пУ + ^п X ном>

где 8тном и Ыхти — инструментальные ошибки отсчета угла крена и задания программы пх иоы(х) соответственно, и учитывая, что

: ■ > 8Кэф = S/C|T=0 COS -Г„ом — /С|т=0 Sin fH0M O-f,

получим уравнение, описывающее управляемое движение,

, y"+(*h-х)-у,+ + 1 п* у =7(*)>

где

f (-*-) ~ R ^ COS Тном ~~Ь R^-K Sin Тном [®Тном _Ь 'J^x ном (•’О] -R(Kcosf-]-^)b\,

(5)

k^KR'kkn sin Тном, k’n = КЯ№к Slfl Тном,

8Я|т=о — отклонение аэродинамического качества аппарата, сбалансированного на постоянном угле атаки.

Заметим, что в случае, когда ("ЗГ" ’ т* е‘

+ 8р0 (*)] е~хн, функция f{x) включает дополнительный член

( п(х) пх \ п

3 ------- Ьр’0(х) + ъ. 8р" (х).

Ро Ро-*/ 0 Ро 0

При входе в атмосферу со сверхкруговой скоростью (х0<—1) неуправляемое возмущенное движение (кп = 1г^=*0) является апе^-

,

риодически неустойчивым, поскольку при л:< — 1------

Вид функций <7 (х) = со2 (х) для различных скоростей входа

(К0 = 7750, 11 ООО, 15 ООО м/сек) показан на фиг. 3. На этой же фигуре

представлены номинальные зависимости пх(х) для тех же скоростей входа (ах = 0,0002 м‘г/н).

, Введение управления (4) при к^ = 0 приводит к эквидистантному смещению кривой ^ (х) = ш2 (*) в положительном направлении оси ординат

" = ^ + . (6)

Для обеспечения статической устойчивости необходимо, чтобы

■ ' ь - 1 (х*~Х П' 4 )

: /?>-АГ51пЪ)0М ^ п\ Кк X*) -

Вводя подстановку у = г\х\312, преобразуем уравнение (5) (предполагая, что к-п 0) к виду

.г" + *>*{х) г--=/(х), (7)

где У ■■ V . ' , .

ь; : V »ч*)=4^+Ц2-/& + *«, , (8)

;; г , : ■ /(*)=/(•*) и[“3/2-, 1 :

Применяя метод ВКБ [10], представим решение уравнения (7) при /(х) = 0 в виде

—~—- ЭШ Г юй; -]----г—— С0;5 Г “ (9)

■ к»м I I

При этом "отметим, что необходимое условие применимости решения (9) имеет вид [10]

...Г - X

‘ ■ 2ш4

: д

шш"--------2" ш/2

« I.

Используя асимптотическое решение (9), запишем решение неоднородного уравнения (7): . ■,

2,

2 = ->■ . Э1п * (Х.);,+ г0 у —тЧ-£ОЪ<? (X) +

у со (х0) ю (х) К “1А) ■: -

где

<Р (х) — J <•> (&) <Я, <Р (jc, и) = J Ш (5) dt,

Х0 U

3

4 = - -2~Ув I■* 1~5/2 + Уо I■* 1_3/2» z0 = .Уо I X\~ъ>\

У о и Уо ~ начальные значения переменных уравнения (5). Отсюда ______

г'(х) = г'-уГ-1Ш(х)

'(*о)

cos<p(x)

— *oy*(xo)»(Jc)sin?(x) + | costp(A:, u)du. (11)

Х0

Отметим, что движение рассматриваемой управляемой системы (при отсутствии сигнала Ъпу') характеризуется слабым демпфированием—убывание амплитуды колебаний в системе пропорционально |л|3/2.

■5,0

\М0

2,5

1 (Г) 1 а2 ^)ч' [

[ «. \ J п*

\ /• \ \ / / \

* / \ \ J ! г / \

/ / Л / \

\ V \

-0, 5 -i Г"' -1.S X

-ъ* 7 в ям/сел о

-к* Лкм/сек-, 5°5 i \ \

-Va * 15лм/сех; ' 1 \

-/

-/

9

OJO

т

-005

-ojo

гГ |\ . v\ 3

1 1 V I \Jr\ J/T= -10%

W Q ru". 1 1 'I n

/Ал 4 \Й л\

V II { У \

V \\ 9 \ Г ^ А м (Л -У/

1 V 1\ к />1 7 j \ т \р \1{

V А «/

«V? // // //

1 7 - точное решение -приближенное

решение по формулам ( 10) и (11)

Фиг. 3

Фиг. 4

Для медленно изменяющейся правой части f(x), обусловленной наличием отклонения аэродинамического качества, ошибки отсчета угла крена и т. п., можно выписать приближенное частное решение неоднородного уравнения (7) в следующем виде:

z(x)^—f(x о) z'(x)

1

у о>3 (ЛГ0) О) {х)

/м

COStp(Ar) +

f(x) а>3(х) ’

(о3 (Х0)

fix)

sin?(*) + -^y-

Запись решения линеаризованного уравнения в виде (9) справедлива и для начального участка кривой ш*(л), на котором она изменяется довольно быстро вследствие большой производной

= #\Ьх + > 1. Это связано с тем, что по характеру пере-

менности коэффициент О)2 (х) близок к функции

"■М-(Лх+В)» ■

для которой выражение (9) является точным решением уравнения

г" + ш2 (х)г = 0.

Однако в этом случае коэффициенты, зависящие от начальных условий (20 и г'0), будут отличаться от коэффициентов решений (10) и (11).

О степени применимости ВКБ-решений можно судить, сравнивая аналитические решения (10) и (11) с решениями, полученными путем численного интегрирования исходного уравнения (7) на ЭЦВМ. На фиг. 4 представлены результаты расчета по уравнению (5) для случая й„=1 рад, к^ = 0, К = 1, т„ом = 72°, 17 (рассматривается номинальная траектория выведения аппарата в апогей /Уа = 400 км при следующих условиях входа: У0— 11 км/сек, 60 = — 5°,8). Возмущения заданы в виде начального отклонения у'0 = Ьпх (х0) = 3 и отклонения аэродинамического качества ДК = — 10%.

Приведенные результаты неприменимы к траекториям, для которых номинальное значение угла крена тном близко к нулю и влияние нелинейности Кэф=Ксоэ7 велико.

Рассмотрим вопрос о выборе рационального значения передаточного коэффициента Анализируя выражение (3) для 8Ф2, нетрудно показать, что имеется область значений /г„, для которой величина среднеквадратического отклонения оФа будет минимальной. Действительно, при £„->0 система становится неуправляемой и зФ-»оо, поскольку система неустойчива. При оо существенно

<?Ф

возрастает слагаемое ^-80к, поскольку 80к, определяемое величиной

(11), для рассматриваемой слабодемпфированной системы прямо пропорционально У/?„.

Следует отметить, что при больших значениях кп система будет существенно нелинейной и анализ ее должен производиться другими методами (см., например, [11]).

Численное исследование системы для частного случая входа со второй космической скоростью показывает, что значение кп, близкое к оптимальному, определяется из условия

/ \/+ 8*пТном + Лх = 2т, (12)

— 1,4

где п зависит от величины и вида ошибки задания программы ном (•*•) ( 1 < я •< 1,5). Соотношение (12) соответствует тому, что на интервале управления от х0 до хК должно укладываться 1,0—1,5 яосредненных“ периода собственных колебаний системы

2* (хк — л:0)

$ «О (&)<«

Существенное влияние на рассматриваемую систему оказывают знакопеременные (по отношению к стандартной атмосфере) отклонения плотности. Такие возмущения могут привести к значительным динамическим ошибкам ввиду слабого демпфирования колебаний в системе. С целью упрощения анализа выберем 8р0(х) таким образом, чтобы в уравнении (7) для р = [р0 Ч- 8р0 (лг)] ехр (—Х//) была

/(х) = Л(а3/2(х) sill

га|ю(Е)Л+ <р0

(13>

где коэффициент п характеризует частоту возмущающей силы, А — амплитуду, <»(£) определяется формулой (8). Выбор модельного возмущения 8р0(л), создающего квазипериодическую правую часть вида (13), обусловлен тем, что с помощью простого аналитического решения уравнения (7) удается оценить влияние быстро изменяющегося отклонения плотности атмосферы при варьировании частоты п и начальной фазы ср0.

Частное решение неоднородного уравнения (7) для (13) будет иметь вид:

’ при пФ 1

■ А '' ''

2част = -—----—■==- [п Sin cp cos сро + cos у sin Уд — sin (ray -f Уо)]. (14)

(га2 — 1)у ш(х)

г'аст = А ^ [« cos'cp cos <fe - sin <p sin <f0-n cos (ray + y0)], (15)

tt 1 . •

при П.'гг 1

Z4aCT^--4=[sin<pCOScpo-'PCOS(cp-^-cpo)], (16)

: ■ 2уш(х)

z -

част

r = [sin у sin y0 + cp Sin (y -j- y0)], (17)

X

где . <j> =-j'o> (?)сй.

**0 I 1 ■

В качестве примера на фиг. 5 представлены кривые у(х) и у'(х) возмущенного движения для f(x) = A sin п(х — х0) (номинальная траектория соответствует начальным условиям V0 — 11 ООО 'м\сек> 0О = — 5°,8, Н0 = 100 км и выведению аппарата в апогей #а = 400 км).

Формулы (14) —(17) позволяют сравнить максимальные значения z и z' для резонансного (я=-1) и нерезонансного {пф \) случаев и, следовательно, оценить динамические ошибки системы при изменении частоты и начальной фазы у0. Для небольших значений knr когда срд^2к, амплитуда колебаний не успевает сильно возрасти за один период [см. (16), (17)] поэтому раскачка системы вследствие резонанса (га = 1) будет не очень значительной. Результаты, представленные на фиг. 5, иллюстрируют влияние,изменения частоты на амплитуды у и у' [случай f(x) = 30 sin 30 (х — х0) является резонансным—л =1]-.

Демпфирующие свойства системы можно значительно повысить введением сигнала k^y'. В этом случае формула (8) принимает вид

м - ^- т (*■ - тТ+^

при этом изменяется и вид преобразования функции

-4-

у = г | х |3/2 е п .

Отметим, что в данном случае метод ВКБ применим лишь для малых значений к-а и небольших возмущений, при которых система не выходит на ограничение по углу крена.

Автор выражает благодарность А. И. Курьянову и В. А. Яро-шевскому за внимание к работе и ценные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Lоvе J. A. and NeustadtL. W. A simple re-entry guidance systems. A1AA Preprint, No 319, 1963.

2. Wingrove R. A servey of atmosphere re-entry guidance and control methods. IAS Paper, No 63- 86, 1963.

3. P e r 1 m u 11 e r L. D. and Carter J. P. Reference trajectory re-entry guidance without pre-launch data storage. A1AA Paper. No 65—48, 1965.

4. Уколов И. С., Тюлин Е. А., Митрошин Э. Й. Управление космическим летательным аппаратом на участке входа в атмосферу с помощью системы переменной структуры. «Космические исследования', т. 5, вып. 6, 1967.

5. Траджесер М., Хоаг Д. Система управления и наведения космического корабля .Аполлон". Сб. „Автоматическое управление космическими летательными аппаратами*, М., „Наука”, 1968,

6. Охоцимский Д. Е., Бухаркина А. П., Голубев Ю. Ф. Управ-

ление движением при входе в атмосферу. „Космические исследования*, т. 7, вып. 2, 1969. ■

7. Глазков А. Г. и др. Управление космическим аппаратом при входе в атмосферу. „Космические исследования*, т. 7, вып. 2, 1969.

8. Алексеев К. Б. и др. Маневрирование космических аппаратов. М., „Машиностроение", 1970.

9. Ярошевский В. А. Приближенный расчет траекторий входа в атмосферу. „Космические исследования-, т. 2, вып. 4, 5, 1964.

10. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М., „Мир“, 1965.

11. Волосов В. М. Усреднение в системах, обыкновенных дифференциальных уравнений. „Успехи математических наук", т. 17, вып. 6 (108), 1962.

8—Ученые записки № 2

Рукопись поступила 141VII 1971 г.

113