Влияние краевых эффектов при дифракции плоской волны на конечной решетке, состоящей из большого числа элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Влияние краевых эффектов при дифракции плоской волны на конечной решетке, состоящей из большого числа элементов

Метод продолженных граничных условий (МПГУ), предложенный в работе [1] был применен впоследствии к широкому кругу задач дифракции, и во всех случаях была продемонстрирована его высокая эффективность [2]. Основная идея метода состоит в переносе граничных условий с поверхности рассеивателя на вспомогательную поверхность, расположенную на небольшом расстоянии от исходной. Ключевые слова: При таком подходе краевая задача сводится к решению интегрального уравнения с гладким ядром.

краевые эффекты, Данное обстоятельство позволяет существенным образом упростить вычисления, так как не возникает

дифракция плоской волны. вычислительных проблем, связанных с наличием сингулярности в ядре интегрального уравнения.

Кюркчан А.Г., Маненков СА, Смирнова Н.И., Смирнов В.И.,

МТУСИ

В настоящей работе рассмотрена двумерная задача дифракции плоской волны на эквидисгантой решетке, состоящей из бесконечного либо конечного числа тонких экранов. В первом случае задача сводится к решению интегрального уравнения относительно тока, распределенного на центральном элементе решетки, а во втором - к системе интегральных уравнений относительно токов, распределенных на всех элементах решетки. При этом в случае многоэлементной решетки возникает проблема, связанная с большим объемом вычислений, из-за необходимости нахождения токов на всех элементах решетки. Для преодоления указанной трудности использовался подход, предложенный в работе [3]. Идея приближенного решения задачи состоит в том, что на большом числе элементов, расположенных в центре решетки неизвестные токи отличаются лишь множителем Флоке от тока на центральном элементе. Таким образом, задача сводится к нахождению тока на центральном элементе решетки и на относительно небольшом числе «краевых» элементов.

Для решения интегральных уравнений, к которым сводится задача дифракции на конечной или бесконечной решетке, использовалась сплайн-аппроксимация неизвестных токов, точнее использовался базис из В-сплайнов [4,5]. При разложении тока по сплайнам необходимо предварительно выделить особенности на краях элемента решетки. Предлагаемый подход позволяет существенным образом повысить точность получаемых результатов.

I. Решение задачи дифракции на бесконечной решетке.

Рассмотрим двумерную задачу дифракции плоской волны на периодической решегке из бесконечно тонких экранов. Пусть на решетку, расположенную вдоль оси Ох с периодом Ь, падает плоская волна под углом (р к оси Ох (см. рис.1).

Электрический вектор падающего поля ориентирован вдоль оси Ог, направленной вдоль образующей элементов решетки. Элементы решетки будем считать идеально проводящими. Таким образом, электрический вектор падающего поля имеет единственную составляющую

/^\ /* ь N / Ч .

Л Г

Рнс.1

Обозначим через С/\х,у) соответствующую составляющую рассеянного поля. С использованием теоремы Флоке можно записать следующее представление

и'(х,у) = е*** £ J0(x',y')H<02> х

/<=-*> 0 х [ку1(х -х')2+(у- у' )2

- ток на контуре сечения 50 цен-

4 оп

трального элемента решетки. В соответствии с МИГУ, запишем приближенное граничное условие [{/°(^Д') + С/'(^>')]|^=0, (3)

где 50<? - вспомогательная поверхность, смещенная относительно исходной поверхности центрального элемента решетки на малое расстояние 3 ■ В результате подстановки формулы (2) в (3) сведем задачу к следующему интегральному уравнению первого рода с гладким ядром

X \Мх',/)Н<02)(кУ1(х-х')2+(у-/)Лж' =

_ _^-1'кхсо$^Чку$т^

(4)

где (*,_у)е50(<.

Будем считать, что уравнение контура 5 экрана задано в параметрической форме:

х = х0(1), у = у0(О' (5)

где / - безразмерный параметр, который изменяется в интервале [—/„,/(,]• Тогда уравнение вспомогательного контура имеет вид:

*=*,(')> у=уЛО» <6>

где

*о(') + ^и УАО = Уо(0~^#, _______ КО КО

КО = V*о + Уо ■ (7)

Здесь точка означает дифференцирование по параметру /. Перепишем интегральное уравнение (4), выделив в явном виде особенности тока на краях контура экрана . Для этого сделаем замену:

■/„(*о(0.л,(0)- У'\ ' 'еК»'о]-V'о'-'

В результате уравнение (4) примет вид

'о

|К(Г,0Л(')

с//

яг?

Е'!(х,у) = и"(х,у) = ехр(-Исхсоь<р„ - вт <ри) •

ге[-/0,/0],

где

(I)

(9)

К(т,1) = £ е-»кЬа*9° н™ (к^х,(т) - Д£о(/))2 + СиЛг) - л(/))2) •

ум—оо

(10)

В силу того, что мы выделили особенности токов на краях экрана, функция ./„(/) может быть аппроксимирована кусочномногочленными функциями. Представим в виде линейной

комбинации В-сплайнов. Разобьем интервал [—/0,/0] точками

гп = _/о +(и-0.5)-^-* п-\,2,...,М N

(П)

и выберем на рассматриваемом интервате сетку, в соответствии с формулами:

-/0, « = 1,2....к,

(12)

I. =

В формуле (20) номер О выбирается таким образом.

чтобы отношение /?/((£)+ 1)6) было меньше единицы.

В этом случае ряд (19) сходится абсолютно. Заметим, что функция б имеет логарифмическую особенность при

совпадении аргументов, а добавочная функция является регулярной. Воспользуемся интегральным представлением функции Ганкеля [7]:

./ ЛГ/2+/00

Н)2\]кЬ) = — [ ехр(-/ДЛсо5(// - Пу/)с!ц/

7Г *

-л72-/оо

Подставим эту формулу в (20). Тогда получим

./ я!2+/оо

* НV Г11 --/I 1/0-1 1/Г - 1111/ ,

-с/у/ +

1 -ехр(-/а+)

(21)

-/оо-т/2

(22)

, /7 = А: +1, А: + 2,

-/сс-л72

ехр(-/(£? + 1)а_ - /'V) 1 -ехр(-/«_)

с!у/

где А: - порядок сплайнов, причем Аг - нечетное число. Данный выбор соответствует условию в концевых точках интервала [—/„,/„] типа «нет узла» [6]. Имеем далее

Л(о=2>,а‘(')* (13)

я=|

здесь Д* (/) - сплайн порядка А, принимающий ненулевые значения на интервале [7„,/я+*]> п = 1,2,..., /V • Подставим далее

формулы (13) в уравнение (8) и приравняем полученные равенства в точках коллокации, которые выберем в точках г, • В

результате получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:

(14)

в которой

г»

где а± — кЬ сот// ± ^ ■ Подынтегральное выражение в

формуле (22) содержит полюсы на комплексной плоскости переменной у/, которые расположены на действительной оси и соответствуют собственным волнам Флоке. Для преодоления трудностей, связанных с интегрированием в окрестности полюсов перейдем к интегрированию по контуру Г, который составляет 45° с осью Ке<// . Этот контур состоит из отрезка, соединяющего точки -л /2-1Л/2, л72 + ;'л-/2 и лучей (-л!2-/ао,-я72-/л72), (л72 + /я72,я72 + /оо) [4, 5]. Так как подынтегральная функция является гладкой в некоторой окрестности этого контура, то она легко интегрируется с помощью стандартных численных методов.

Отметим, что в частном случае, когда решетка составлена из лент, можно вычислять функцию Грина решетки более простым способом. В этом случае ядро интеграль-

ного уравнения имеет вид

= |К(гт,1)Вкп (/) . _, Ьт = _е-^(г.>с««н*мг.*п*, С(Х,Х',3) = X Ы(х-х')2 +д2) ■ (23)

-10 Фо /—*

.(15)

Полученная матрица СЛАУ хорошо обусловлена, так как ядро интегрального уравнения имеет максимум при совпадении аргументов (ядро интегрального уравнения (9) близко к ядру уравнения, имеющего логарифмическую особенность).

Рассмотрим вопрос о вычислении ядра интегрального уравнения, то есть функции Грнна решетки, которая имеет вид:

С(х,у,х',у') = ]Г е-т^н(Ь

(16)

С помощью теоремы сложения для функций Бесселя запишем ее в виде:

С = С+СГ, (17)

С помощью преобразования Пуассона эта функция может быть записана в виде:

С(х,х',6) = -£

При

кЬ „“Г,

2 л — т-соь ср„ ко

^^■т-ксоиц, |(дг-х')

II -I — т-соьа).. ' 1 кЬ 0

| в (24) полагаем

.(24)

\\-\^т-со&<рА I -1- (25)

С, = ^ Н{02)[ку](х - х'+ ]Ь)2 + (у - у')2 |ехр(//£)' (|8)

(19)

Таким образом, при | т |—> оо

Сг=^1(кр)ехр№)11(£)' где х-х' = рсо%в, у - у = рыП#.и

Ж X

/,(£) = X Я«2)(у*6)ехр(«у£) + (-1)' X Н'2)(]кЬ)ехр(-и4У

/Ч

,2л- ,|/и|

С — /и =

а-

(26)

А

где д- — — ■ С учетом (26) перепишем формулу (24)

2л- Я следующим образом:

%-ад іп«ьі С(х,х\<?) = —-----------.-*«»-*•> «л

+—е кЬ

АгЛ І БІП I

СОБ^,,

/—і(х-х') —

е * е ./я

К

-і-к(х-х') ь)

г Є

( т

I - ^ - + СОБ (р{)

+5+ (дг - х’,6) + 5_ (.V - х\3) где

-/—к(х-х') — Є * Є

. т к

(27)

5±(х-х',3)-е

і

' - а-‘^х-х')ю^—\п л

Коэффициенты отражения Я((ра) и прохождения Т((ри)

решетки, как известно, выражаются через диаграмму центрального элемента gn((p) следующим образом:

*(«,) = тг^— ко$\т\(ри

где

7’(%) = |-тт-—

дОБШ фц

ч

*„(«») = |Л(Ое'ь"

( / )С05ф+іку0(/ )БІП <(>

сії

Гї 5” х/'о-'

(28)

(29)

0 05 1 1.5 2 25 3 3.5 4 45 5

Рис. 2

0 0 5 1 1.5 2 2.5 3 15 4 4.5 5

сарра

Рис. З

На рис. 2, 3 приведены результаты расчетов величин Я{(рп) и Т((ри) соответственно в зависимости от величины параметра К для решетки, составленной из лент шириной а при различных значениях величины д = \ - .

Ь

Рассматривалось нормальное падение плоской волны.

Па этих рисунках кривая I соответствует значению (9 = 0.1, кривая 2 - 6» = 0.2, 3 - (9 = 0.3, 4 - 0 = 0.4, 5 -(9 = 0.5,6- 0 = 0.6,7- 0 = 0.7, 8- 0 = 0.8.9- 0 = 0.9 Кривые графически совпадают с результатами, приведенными в монографии [8].

2. Решение задачи дифракции на конечной решетке

Представляет интерес сравнение результатов моделирования характеристик рассеяния бесконечной периодической решетки и конечной, состоящей из +1 элементов (N»1) с теми же геометрическими параметрами, что и в бесконечной решетке. Как указано во введении, задачу будем решать с использованием подхода, предложенного в работе [3]. Выделим 2NX +1

«центральных» элементов, распределения токов на которых будут отличаться от 3(>(1) лишь множителем

Флоке е~чкЬсжчъ, ца оставшихся 2(Ы — N ^ элементах

решетки токи ] (/) будем считать различными. Таким

образом, для нахождения неизвестных токов ,У(1 (/), .] (!)

(где у = 1,2(УУ — Л',)) будем иметь следующую систему из 2(N - N.) +1 интегральных уравнений:

-(|У|+1) 'о , 'о ,

£ Г У (/)/: (г,г)-=Ц+ р0(,ж/0(г,от^Ц +

Рлг-І Фо-Г і Фо-Г

♦ і рА'ЩМ-гт-7

у=\,+|_,0 V'» '

_ г )с<К(Ц, (г Івіп )

(30)

где

-Г0<г<10, /=-N,-N+1...........-(Л/1 + 1),0,ЛГ, +

Ядра системы (30) имеют вид

К1}(т,1) = Я,',21 [к^{х£(г) - дг„(/) + (/ - ЛЬ)2 + (>>й.(г) - д'.Д/))2)

(31)

(32)

Ч-М,

х[ку]Шг) - х0(1) + (/ - ц)Ьу + (>>,,(г) -у0(1)У |

Система (30) решалась по той же схеме, что и интегральное уравнение для бесконечной решетки, то есть при помощи сплайн-аппроксимации неизвестных токов.

3. Результаты расчетов.

На рис. 4 приведена диаграмма рассеяния конечной решетки, составленной из лент для следующих параметров задачи: 0 = 0.5, 6 = 0.999/1. Рассматривалось нормальное падение плоской волны. Число элементов решетки составляло N = 25, а число N. =15- Как видно из рисунка график диаграммы симметричен относительно 180°, то есть уровень прямого и обратного рассеяния одинаков. Данный факт согласуется с физической картиной данного явления. На рис. 5, 6 представлены графики диаграммы рассеяния для решетки из полукруглых экранов радиуса а. Коэффициент прозрачности решетки ра-

бесконечных решеток. Как видно из рисунков при не слишком малых углах падения плоской волны (не скользящее падение) зависимости коэффициентов отражения и прохождения конечных и соответствующих бесконечных решеток близки между собой, то есть характеристики рассеяния конечных решеток могут быть найдены путем решения задач дифракции на соответствующих бесконечных решетках в этом диапазоне углов падения плоской волны.

1. Кюркчан А.Г., Анютин А.П. Метод продолженных граничных условий и вейвлеты. Доклады РАН, 2002, Т.385, №3. - С. 309-313.

2. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Решение задач дифракции методами продолженных граничных условий и дискретных источников.

- Радиотехника и электроника, 2005, Т.50, №10. - С. 1231-1238.

3. Кюркчан А.Г. Влияние краевых эффектов на диаграмму антенной решетки. Радиотехника и электроника, 1980, Т.25, №4. -С. 703-709.

4. Маненков С.А. Применение сплайн-аппроксимации для решения задачи дифракции на незамкнутом экране в плоском волноводе. РЭ, 2007. Т.52.№ 12. - С. 1413-1421.

5. Маненков С.А. Применение сплайн-аппроксимации для решения задачи дифракции на периодической решетке, расположенной над киральным полупространством. РЭ, 2009. Т.54. № 10. С. 1196-1206.

6. К. Дс Бор. Практическое руководство по сплайнам. - М.: Радио и связь, 1985.

7. Абрамовиц М., Стнган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979.

8. Шестопалов В.П., Кириленко Ф.Ф., Масалов С.А., Сиренко Ю.К. Резонансное рассеяние волн. Т.1. Дифракционные решетки. Киев: Наукова думка, 1986.

Литература