Дифракция моды волновода из метаматериала на зеркальной антенне, расположенной вблизи волновода Текст научной статьи по специальности «Физика»

Дифракция моды волновода из метаматериала на зеркальной антенне, расположенной вблизи волновода

Рассмотрена дифракция четной моды симметричного диэлектрического слоя на зеркальной антенне, в виде двух экранов произвольной формы. Предполагается, что экраны расположены симметрично вблизи диэлектрического слоя. В качестве первичного поля рассматривалась низшая (основная) мода плоского волновода. Задача решалась при помощи метода продолженных граничных условий. Основная идея метода состоит в переносе граничных условий с поверхности рассеивателя на вспомогательную поверхность, расположенную на малом расстоянии от исходной. С использованием симметрии исходная задача дифракции сведена к интегральному уравнению относительно неизвестного тока на поверхности экрана, расположенного в верхнем полупространстве Интегральное уравнение, в свою очередь, сведено к алгебраической системе с использованием метода коллокации. Предложен эффективный метод вычисления матричных элементов алгебраической системы, осно-

.. ванный на интегрировании в комплексной плоскости. Приведены зависимости коэффициента отражения и про-

Ключевые слова: дифракция волн, волновод _ - п

" хождения моды волновода от нормированной толщины слоя, а также диаграмма рассеяния в дальней зоне. Для

из метаматериала, метод продолженных

проверки корректности получаемых результатов проведена проверка выполнения закона сохранения энергии

граничных условии.

и построены зависимости невязки краевого условия. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 12-02-00062, 14-02-00976).

Алероева Х.Т.,

МТУСИ, аспирант кафедры ТВ и ПМ, [email protected]

Маненков С.А.,

МТУСИ, доцент кафедры Мат. анализа, к.ф.-м.н., [email protected]

Введение

В настоящее время представляет большой интерес исследование дифракции электромагнитных воли на препятствиях, расположенных в средах, имеющих отрицательный коэффициент преломления, то есть, г» метаматериадах, Как известно такие материалы имеют свойства, существенно отличающие их от обычных диэлектрических сред. В частности, при распространении воли в волноводах из метаматериала, в данных структурах существуют так называемые прямые и обратные волны 111. У прямых волн вектор Умова-Пойтинга и вектор распространения моды направлены в одну и ту же сторону, а у обратных волн - в разные стороны. Ранее в работе [1| была рассмотрена дифракция направляемой моды на обрыве волновода из метаматериала. Приведены дисперсионные уравнения и свойства мод дискретного и непрерывного спектра для данной структуры. Представляет интерес рассмотреть задачу другого типа - дифракцию поверхностной моды волновода из метаматериала на топком экране, расположенном вблизи волновода.

В качестве волноведушей структуры в работе рассмотрен планарный волновод, состоящий из плоского слоя, показатель преломления которого отрицателен, окруженный одинаковыми диэлектрическими полупространствами. Падающее ноле представляло собой симметричную моду низшего типа, распространяющуюся в исследуемой структуре [ I |. Рассмотрены два случая дифракции в волноводе: случай, когда модуль показателя преломления внутри слоя больше показателя преломления окружающей слой среды и наоборот, когда модуль показателя среды внутри слоя меньше показателя преломления окружающего пространства. Для решения задачи использовался метод продолженных граничных условий (МШУ), который предложен в [2-5]. Основная идея МИГУ состоит в том, что граничное условие краевой задачи «переносится» на вспомогательную поверхность, расположенную на небольшом расстоянии от исход-

ной поверхности в области, где определяется поле. С использованием функции Грина (ФГ) слоистого волновода, исходная задача дифракции сведена к решению интегрального уравнения первого рода относительно искомой функции (тока) с гладким ядром. Для решения интегрального уравнения применялся метод коллокации, причем неизвестные функции разлагались по базису из кусочно-постоянных функций. Существенным отличием рассматриваемой задачи дифракции является то обстоятельство, что в данном случае приходится учитывать слоистый характер среды. В такой ситуации в методе коллокации возникает необходимость вычислять двойные интег ралы. "Зто обусловлено видом ФГ для плоскослоистой среды. С целью ускорения работы численного алгоритма ФГ разбивалась ira два слагаемых, одно из которых представляет собой ФГ однородного пространства, а второе обусловлено наличием волновода. Двойные интегралы, о которых шла речь выше, обусловлены вторым слагаемым ФГ, которое являются достаточно медленно меняющейся функцией координат. При интегрировании интегрального слагаемого ФГ можно использовать более грубую аппроксимацию, например, применять формулу Гаусса с небольшим количеством узлов или использовать формулу прямоугольников. При нахождении Ф1 ' возникает также проблема интегрирования в окрестности полюсов. Дчя преодоления указанной трудности применялся метод, основанный на выделении особенностей под интегрального выражения ФГ, с последующим численным интегрированием гладкой функции.

Постановка задачи

Рассмотрим математическую постановку задачи. Пусть бесконечная незамкнутая цилиндрическая поверхность S (экран) расположена симметрично в верхнем и нижнем полупространствах вне плоского слоя толщиной 2d (см. рис. 1а). Предполагаем, что характеристики окружающей слой среды равны а, //,, а внутри слоя s2, » причем последние две

величины могут быть отрицательными. В качестве первичного поля выберем низшую четную моду плоского волновода (см, ниже), С целью уменьшения объема вычислений будем рассматривать только полупространство, расположенное над серединой волновода. В этом случае на плоскости, проходящей через ось симметрии волновода, необходимо поставить условие Неймана для полного поля. Введем систему координат так, как показано на рис. 16. Ось z направлена вдоль образующей цилиндрической поверхности.

В силу того, что задача двумерна, можно рассмотреть отдельно случаи Е- и поляризации, В дальнейшем будем рассматривать только случай ^-поляризации.

\ к, Г

К 2(1

)

а)

у=-сЗ

б)

Рис. I. Геометрия задачи

Предполагаем, что полное поле вне поверхности 5 экрана удовлетворяет уравнениям Гельмгольца с волновыми числами = 11 кг ~ кл1е2^2 (ПРИэтом ИеА:, <0) сре-

ды вне и внутри слоя. Здесь к — волновое число в вакууме. На верхней границе слоя волновое поле удовлетворяет условиям сопряжения, которые, имеют вид

1 5 и

М, су

(1)

ди

ду

=о-

(2)

у=-а

Е- — ий(х,у) — •

с

Iе

На поверхности экрана 5 выполнено условию Дирихле: = 0 * (3)

В формулах (1-3) и = и° +и\ причем и] - вторичное (рассеянное) поле, а падающее поле и0 определяется по следующим двум формулам [1]. В случае, если >

^собС/?-, {у + еГ)) ехр(-1рх), -<И<у< 0 ^ |со5(^2£/)ехр(-/71^-г^), у> О где р2 = ^к; - р1, р, = ^р2-к2 ■ В формуле (4) р - постоянная распространения моды, которая удовлетворяет дисперсионному уравнению [I]:

Если же < к{, но | |> 1, то

(АсЦр2(у+<П)ехр(-10х), -с!<уй 0 (6) {ех^-р^-^х), у > 0

где а = 1 / сЬ(р2(/) иРг = рх = <]р2-к; ■ При этом

дисперсионное уравнение имеет вид

р2сИ1п(р2с/) = ■ (7)

Таким образом, мы нормировали поле моды так, что в точке максимума оно равно единице. В случае если в среде есть потери, то знак мнимой части р отрицателен, а действительная часть может быть любого знака (соответственно для прямой или обратной волны). Отметим, что нри | < кх

поверхностная мода, задаваемая уравнением (6) будет прямой, то есть для нее Яер > 0 ■ В рассматриваемой структуре, вообще говоря, также могут распространяться высшие моды дискретного спектра. Кроме указанных граничных условий вторичное поле удовлетворяет условию излучения на бесконечности:

Нти = 0, 1т<0-

(8)

Вывод интегрального уравнения

Получим интегральное уравнение относительно неизвестного тока на поверхности экрана. Будем искать решение рассматриваемой задачи в виде:

(9)

В формуле (9) Дг') - неизвестный ток на поверхности 5, а С - ФГ рассматриваемой слоистой среды. Нетрудно показать, что ФГ вне волноведущего слоя имеет следующий вид [б]:

= + у), (10)

где

(П)

I ди Г* о & дУ

а на нижней (как было указано выше) поле удовлетворяет условию Неймана

С„(х, у,х\уг} = ^ Н^ (^(х-х')2+(у-у')2).

, « ,

= [Я(к)ехр(-г>|(у+у')-¿к(х-х')) — * <12> 4 к 1 у,

В этих формулах обозначено:

И2\"Л-'У-МГ-А). (13)

Г,I <14>

В формуле (14) 1т^<0 и <0 при |лт|>^, и

к |>| к21 соответственно. Таким образом, в (10) мы выделили ФГ свободного пространства с параметрами ех, щ ■ Добавочная ФГ обусловлена наличием Гранин раздела сред. Отметим, что функция К(к) в формулах (12) и (13) представляет собой коэффициент отражения плоской волны от волноведущего слоя.

В соответствии с МПГУ подставим далее формулу (9) в граничное условие (3), которое поставим на вспомогательной поверхности 5-, расположенной на небольшом расстоянии от поверхности 5 экрана. В результате мы получим следующее интегральное уравнение:

| в(г,Г)]{г')<Ь' = -и\г), геЗу (15)

Заметим, что рассматриваемая задача дифракции сведена к нахождению неизвестного тока лишь на границе экрана, так как записанное выше выражение для поля удовлетворяет

аналитически граничным условиям на верхней и на нижней границах волн «ведущего слоя л условию на бесконечности. Таким образом, имеется выигрыш в объеме вычислений.

Численное решение интегрального уравнения

И н те [рать нос уравнение (15) репшлоеь численно при помощи метода коллокации. Для этого задаем уравнение контура экрана в параметрической форме *-=.*(/), _)■=_></), г е[О,/0]-

Уравнения вспомогательного контура имеют вид [51

V ¿Г

хя = х-

•В

Ул=У+

X +_(>

xff

(16)

7?

+У

г, = (í? — 0.5)—, л = 1,2...../V-

N

(17)

(18)

¡M

в которой

N

(19)

(20)

В результате замены, используя четность подинтегральной функции, получим

+ \1(х-х')2 + (у + у')2)) +

. л-/2+/00

I (Л(у/) - Rr )ехр{-г7г( (_у + у')х ¿71 J

(22)

где ^ - малый положительный параметр. Точка означает дифференцирование по параметру. Далее вводим сетку на интервале [0,/,, ]:

Неизвестную функцию разлагаем но базису из кусочно-постоянных функций. Тогда в результате стандартной процедуры получим СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов с„'

х cos у/) cos( (г - х') s i n i// )dt//)

где обозначено ц -ihllll В формуле (22) выделено сла-

+5

гаемое, являющееся результатом интегрирования асимптотики подинтегральной функции в формуле (12), Благодаря такой записи и од интегральное выражение в (22) убывает достаточно быстро на бесконечном участке контура интегрирования. К о нзур интегрирования Г и особенности подинтегральной функции изображены на рис. 2 (для наглядности па рисунке показан весь контур, а не его половина, как в формуле (22)). Под интегральная функция в соотношении (22) не имеет точек ветвления, то есть ее особенностями являются только полюсы. Заметим, что в соответствие с принципом предельного поглощения в формуле (22) полюсы, отвечающие прямым волнам, обходятся слева, а полюсы, отвечающие обратным волнам - справа (см, рис. 2).

[in ф

Рассмотрим подробнее вопрос о численном нахождении ФГ волновода. Как видно из формул (12) н (13) добавочная часть ФГ выражается в виде несобственного интеграла от функции, содержащей различные особенности на комплексной плоскости переменной к. В частности, подинтегральное выражение имеет полюсы, соответствующие собственным модам плоского волновода. Уравнение полюсов имеет вид

= о- (21>

Данное уравнение переходит в дисперсионное уравнение (5), либо в (7), соответственно при |£2| >кг и (|РИ

В случае, если в средах отсутствует поглощение, полюсы расположены непосредственно на действительной оси (в этом случае собственные волны распространяются без затухания). Точнее если | ^ |> , то корни (21) расположены

на интервалах НА2|,-А,), (А,,||), а в случае по-

люсы расположены вне интервала (-к{,к\)- Кроме того,

имеется медленная сходимость интеграла в формуле (12) на бесконечности, в случае если точка наблюдения и точка источника расположены вблизи верхней границы слоя. Таким образом, формула (12) не может быть непосредственно применена для вычисления добавочной ФГ. Для преодоления трудностей, связанных с вычислением интеграла в (12) в нем была сделана замена переменной по формуле к = к1$Я1у/ •

1

■к/2

I

Re-ф

Рис, 2. Комплексная плоскость

¥

Запишем далее интеграл в формуле (22) в виде

гг/2+fo .

2тг

ф)

Ж

2тг1 J q(i//)

qm

где c/(r//) = /а i A', cost// + iy2 ts(y2d), ¿o = arcch I ki > • 11 ^ = arcch

K¡2 ч

+ f т*

Лт/ ) )

(23)

f П-1

м при

Л *.,

¡MÍ

J/4 Ш -ij

при I i i< t, а остальные

обозначения очевидны. В формуле (23) для краткости опушены соответствующие аргументы у подинтегральной функции. Первый и третий интегралы в (23) берутся от

гладких функций и могут быть вычислены стандартными методами (при этом в третьем интеграле целесообразно вновь интегрировать по переменной /с). Второй интеграл в (23) вычисляем при помощи замены цг~д!2 + с последующим применением равенства [6, 7]

I { £

±71 + /' 1п

¡т Ш> 4г

(24)

где

—

- & ~ зна1|ение переменной £ в полюсе.

(25)

где

г? = №, 0</</0 = -^=, Уп >«■ 3Десь « " э™ макси" V 2 V2 Р

|Д|

10'

Суммирование ведется по полюсам, расположенным на действительной оси при £>()■ Верхний знак в формуле (24) соответствует прямым волнам, а нижний - обратным. Дня определения знаков в (24) можно ввести малое поглощение в среде внутри волноведущего слоя, В результате полюсы, соответствующие прямым и обратным волнам, смещаются с действительной оси соответственно в нижнюю и верхнюю полуплоскости на плоскости переменной Таким образом, мы можем определить, какие полюсы соответствуют прямым либо обратным волнам.

Результаты расчетов

Для проверки разработанного алгоритма были построены зависимости невязки граничного условия на вспомогательном контуре 5,,. На рис. 3 и 4 построены зависимости модуля невязки от величины для параболического экрана,

расположенного вблизи плоского слоя. Уравнения контура экрана имеют вид

\у = уй+2ф

10"5

10"'

11 1 2

\ N ___

! \ """

И

;

1Л

0.0

0,2

0.4

0.6

о.а

1,0

Рис, 3. Распределение невязки краевого условия на контуре рассеиаателя в виде параболического экрана. Случай | к21>

0,0 0,2 0.4 0,6 0.8 1.0

Рис, 4. Распределение невязки краевого условия на контуре рассеиаателя в виде параболического экрана. Случай I к-, |< к

Закон сохранения энергии в рассматриваемом случае имеет вид [5]:

мальный размер экрана по оси у. Рис. 3 соответствует следующим параметрам задачи: диэлектрическая и магнитная проницаемости в сердцевине и оболочке волновода соответственно е2=-3, Я; =-'.5 и ?1=4, = 1, а рис. 4 -е2 — —2, - -2 и £,=4.5, щ =1- Для обоих рисунков безразмерный параметр р - - г,-,;;, | = 4 - Размеры

экрана а = 3л, р = ял/з , величина у0 = Л /10, где Л = 2п!к

-длина волны. Г1рн выбранном соотношении между а и п

экран виден из фокуса под углом 60 . В качестве падающего поля рассматривалась низшая обратная (рис. 3) или прямая (рис. 4) мода волновода. Заметим, что при выбранных параметрах в волноводе распространяется только одна незатухающая собствен пая волна. Кривые 1-3 на рисунках соответствуют числу точек коллокации на одной длине волны равному ^.=20, Ыл = 40. Видно, что уровень

невязки уменьшается с ростом числа точек коллокации и при дг =40 не превышает КГ5 на большей части контура рассеивателя.

Для контроля точности получаемых результатов было также проверено выполнение закона сохранения энергии при дифракции моды на параболическом экране.

В формуле (26) р = рм^ - мощность моды, падающей на экран, Ц0> Ти - коэффициенты отражения и прохождения моды, которые определяются следующим образом [5]

г.+ш

& = | ехр(-Р]у(1)-1рхЦ))(]1,

г, Л/2 д, г„+Ш2

7-„=1 + №'£с„ | ехр(-Р1у0) + 1Рхи)№,

(27)

<Н г„ -1,12

где

ЦТ = При | кг \> к,

2 иЖ

(28) (29)

IV =--- "Ри | к1 \< к. ■

В предыдущих формулах уу,; - квадрат нормы моды, который выражается по формуле

1 0 1 » , л'о = — 4у-

(30)

Мг -V « о

Далее, р -это мощность, рассеянная в верхнее полупространство, причем

lei о,вп

о.е

0.4-

0.2-

0.0-

А

Л

11

i l/щ I ; 1

j VA \

V г— Г——i г——

0 45 80 135 130

1'ис. 14. Угловая зависимость диаграммы рассеяния при дифракции на параболическом экране (/■' = 4.5 ). Случай |>&

ш

1.5-

1.0-

0.0

Л

/

Ai

/ N

Г Г —ч / \

/ 1

45

90

135

180

Рис. 15. Угловая зависимость диаграммы рассеяния при дифракции на параболическом экране ( Р - 2.82 )• Случай |

1е1

2.0

1.5

1.0-

0.5

0,0

(\

Л А

Л Ч

f Л/

/

Ф

соответствует физической картине рассматриваемого явления, так как с ростом ширины волновода падающее поле сосредоточено внутри вол но ведущего слоя, а вне его практически равно нулю (см. рис. 5). Видно, что при малой толщине слоя в случае обычного диэлектрического волновода имеется различие зависимостей коэффициента отражения для ленты и параболического экрана. Зависимости коэффициента прохождения практически одинаковы для обеих геометрии экрана.

1 2 3 4 5 6

Рис. 17. Зависимость модуля коэффициента отражения молы от нормированной толщины слоя F ■ Случай ¡ ц >t

JTJ

о.а-

0.4-

0.2-

I ч i&i

2 1

— 1

0 45 90 135 1В0

Рис. 16, Угловая зависимость диаграммы рассеяния при дифракций на параболическом экране (F = 4.5 )• Случай 11¡, |< t .

Рисунки 17 и 18 иллюстрируют зависимости модуля коэффициента отражения /¡( и прохождения jv¡ моды волновода из метаматериала, у которого | Iq |> А-, (кривые /) и обычного диэлектрика (кривые 2) от нормированной ширины слоя (то есть параметра /г). Рассматривалась дифракция па ленте (сплошные кривые) и параболическом экране (штриховые кривые). Все размеры н параметры сред те же, что и выше. Как видно из рисунков с ростом толщины волновода коэффициент отражения моды уменьшается, а коэффициент прохождения монотонно стремится к единице. Этот факт

Рис. IS. Зависимость модуля коэффициента прохождения моды от нормированной толщины слоя F ■ Случай 111> к,

На рис. 14 и 20 показаны зависимости модуля коэффициента отражения /?(| и прохождения тц низшей моды волновода из мета матер и ал а для случая k2 |< & (характеристики сред - см. выше).

Рис. 19. Зависимость модуля коэффициента отражения моды от нормированной толщины слоя F . Случай ;< fi] ■

Литература

lTJ

1

1 1 ¿ 1

J. 1

/ \ J

- - - - -1

0 1 2 3 4 5 6

Рис. 20. Зависимость модуля коэффициента прохождения моды от нормированной толщины слоя г. Случай ц, \<к,■

Кривые I относятся к дифракции па ленте, а кривые 2 — к рассеянию на параболическом экране. Как видно из рисунков в отличие от предыдущего случая зависимости коэффициентов отражения и прохождения имеют осциллирующий характер. Кроме того, при р« 0.5 коэффициент прохождения моды практически равен нулю.

1. Маненкое А.Б,, Геролиматос П. Г., Тигелис И.Г. Рассеяние на обрыве плоского волновода из метаматериала // Изв. вузов. Радиофизика, № 3, 2010. - С, 210-220.

2. Кюркчан А.Г.. Анютин А.П. Метод продолженных граничных условий и вей влеты Н Докл. AM, №3, 2002. - С. 309-313.

3. Кюркчан А.Г.. Маненкое С.А. Ослабление электромагнитного поля большим выступом импедапеной плоскости // Радиотехника и электроника, № 12, 2004.-С. 1413-1420.

4. Кюркчан А.Г.. Смирнова ИИ. Решение задач дифракции методами продолженных граничных условий и дискретных источников. // Радиотехника и электроника, № ¡0, 2005. - С. 1231-1238.

5. Маненкое С.А. Применение сплайн-аппроксимации для решения задачи дифракции на незамкнутом экране в плоском волноводе.// Радиотехника и электроника, № 12, 2007.-С. 1413-1421.

6. Калинченко Г.А.. Кюркчан А.Г.. Лерер А.М. и др. Расчет коэффициентов прохождения и отражения собственных волн в плоском диэлектрическом волноводе при наличии вблизи него посторонних предметов. // Радиотехника и электроника, № 9, 2001. -С. 1087-1095.

7. Кюркчан А.Г., Маненкое С.А. Новый метод решения задачи дифракции на компактном препятствии в плоскослоистой среде. // Изв. вузов. Радиофизика, № 7, 1998. - С. 874-888.

Diffraction of metamaterial waveguide mode on the mirror antenna located near the waveguide

Aleroeva Hedi T., Moscow Technical University of Communications and Informatics Russian Federation, Postgraduate of the TB and AM Department, [email protected]

Manenkov Sergey A., Moscow Technical University of Communications and Informatics Russian Federation, Docent of the Mathematical Analysis Department, [email protected]

Abstract

The paper considers diffraction of even mode of symmetric dielectric layer on the mirror antenna in the form of two screens of arbitrary shape. It is assumed that the screens are disposed symmetrically near the dielectric layer. As the primary field the lower (main) eigenmode of the waveguide is considered. The problem is solved by the method of continued boundary conditions. The main idea of the method is to transfer the boundary conditions from the surface of the scatterer to the aux1iary surface located at a small distance from the initial one. Using the symmetry of the original diffraction problem it is reduced to the integral equation relative to the unknown current on the surface of the screen, located in the upper half-space. The integral equation, in turn, is reduced to the algebraic system using the collocation method. In the paper, we propose an effective method for calculating of the matrix elements of the algebraic system, based on integration in the complex plane. The dependences of the reflection and transmission coefficients of the waveguide mode versus the normalized thickness of the layer, as well as the scattering pattern are presented in the paper. To validate the results obtained we checked the law of conservation of the energy and presented the dependences of the residual of the boundary condition.

Keywords: diffraction of waves, metamaterial waveguide, the method of continued boundary conditions. References

1. Manenkov A.B., Geraiimatos PG, Tigeiis I.G. Scattering from an abruptly terminated planar metamaterial waveguide / Izvestiya vuzov. Radiofizika, No 3, 2010. Pp. 210-220.

2. Kyurkchan AG., Anyutine A.P. The method of continued boundary conditions and wavelets / Doklady AN, No 3, 2002. Pp. 309-313.

3. Kyurkchan AG., Manenkov SA Weakening of an electromagnetic field by the large asperity of the impedance plane / Radiotekhnika i elektronika, No 12, 2004. Pp. 1413-1420.

4. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. The solution of problems of diffraction by methods of the continued boundary conditions and discrete sources / Radiotekhnika i elektronika, No 10, 2005. Pp. 1231-1238.

5. Manenkov S.A Use of a spline approxmation to solve the problem of diffraction by an unclosed screen located in a planar waveguide / Radiotekhnika i elektronika, No 12, 2007. Pp. 1413-1421.

6. Kalinichenko G.A., Kyurkchan AG, Lerer AM. etc. Calculation of transmission and reflection coefficients of eigen-waves in a flat dielectric waveguide in the presence of close it foreign objects / Radiotekhnika i elektronika, No 9, 2001. Pp. 1087-1095.

7. Kyurkchan AG., Manenkov S.A A new method of solving the problem of diffraction on a compact obstacle in layered medium / Izvestiya vuzov. Radiofizika, No 7, 1998. Pp. 874-888.