CC BY
41
Применение модифицированного метода дискретных источников к решению задач дифракции на инвариантых относительно фиксированных углов поворота рассеивателях
Рассмотрена двумерная задача дифракции на бесконечном цилиндре с сечением в виде различных многолистников (в том числе с большим количеством лепестков). Рассматривается условие Дирихле на границе тела. Задача решена при помощи модифицированного метода дискретных источников (ММДИ). Отличие алгоритма, предложенного в настоящей работе, от предшествующих версий ММДИ заключается в использовании инвариантности геометрии рассеивателя относительно фиксированных углов поворота. При помощи дискретного преобразования Фурье исходная краевая задача сведена к решению нескольких интегральных уравнений первого рода относительно образов неизвестного тока, распределенных в диапазоне углов (-а/2, а/2), где а — угол, при повороте на который геометрия контура не изменяется. Приведены зависимости диаграммы рассеяния и распределения невязки краевого условия на контуре рассеивателя. Численные результаты получены для многолистников, у которых уравнение контура выражается в виде суммы двух гармоник Фурье по угловой координате с кратными "частотами". Рассмотрена дифракция на првильных многоугольниках. Показано, что предлагаемый подход позволяет существенно сократить объем вычислений.
Ключевые слова: дифракция волн, метод дискретных источников, симметрия относительно углов поворота.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-02-00062, 14-02-00976).
Баранова В.А.,
МТУСИ, аспирант каф.ТВ и ПМ, [email protected]
Кюркчан А.Г.,
МТУСИ, зав. каф. ТВ и ПМ, д.ф.-м.н., [email protected]
Маненков С.А.,
МТУСИ, доц. каф. Мат. анализа, к.ф.-м.н., [email protected] Введение
Рассмотрена двумерная задача дифракции на бесконечном цилиндрическом теле, контур сечения которого инвариантен относительно поворота осей координат на некоторый фиксированный угол. Ранее в работах [1-3] для решения задачи дифракции на цилиндрических телах произвольного сечения, а также на телах праще!шя, использовался модифицированный метод дискретных источников (ММДИ). Основная идея этого метода состоит в построении вспомогательного контура, расположенного внутри контура осевого сечения тела. Выбор вспомогательного контура в рамках ММДИ осуществляется при помощи аналитической деформации контура сечения тела. Ранее ММДИ применялся к задачам дифракции на телах с эллиптическим сечением, с сечением в виде суперэллипса и многолистника. Данный подход обладает высокой скоростью сходимости в указанных выше случаях и позволяет получать волновое поле и его характеристики е высокой точностью. Однако в случае, если рассматривается, например, дифракция на многолистинке с большим количеством лепестков, то объем вычислений становится достаточно большим. В то же время ясно, что фигура типа многолистника или правильного многоугольника обладает симметрией относительно поворота осей координат на соответствующий угол. Как известно при использовании ММДИ краевая задача сводится к интегральному уравнению первого рода относительно неизвестного тока на вспомогательном контуре. В случае модификации ММДИ, предложенной в настоящей работе, исходное уравнение превращается в систему интегральных уравнений, количество которых равно количеству лепестков многолистника или ребер многоугольника. При этом в каждом уравнении интегрирование осуществляется лишь по части вспомогательного контура, ограниченного одним лепестком многолистника
Т-Сотт #11-2014
либо одним ребром многоугольника. Таким образом, имеется выигрыш в объеме вычислений примерно равный количеству лепестков.
Постановка задачи н вывод основных соотношений
Рассмотрим математическую постановку задачи. Пусть на бесконечное цилиндрическое тело с контуром сечения 5 падает плоская волна
ив(г,<р) = схр(-/Ъ,со5(^-х))• ^''
Здесь /г - полярные координаты, % - угол падения
волны. Считаем, что начало координат расположено в центре симметрии контура рассеивателя, а ось 2 направлена вдоль образующей тела. Предполагаем, что на контуре тела 5 выполнено условие Дирихле для полного поля
(«°+и')| =0 (2)
В формуле (2) л1 - вторичное (рассеянное) поле. Как указано во введении контур сечения тела обладает симметрией, точнее справедливо равенство
(3)
Р\ f=
«0 €[0,2*1-
где г = р(ф) - уравнение контура S в полярной системе координат, М - число лепестков многолистника, либо число сторон многоугольника и т.д. Вторичное волновое поле удовлетворяет условию излучения на бесконечности.
Ьудем решать поставленную задачу при помощи ММДИ. Как следует из работ [1-3J исходная краевая задача с использованием представления для волнового поля
и(Я) = u°(r) + ¡G(f,r)j{r')ds' > W
сводится к интегральному уравнению
¡G(r,r')j(?')ds' = -u\r),
rzS-
(5)
В формулах (4) и (5) I — вспомогательный контур, на котором распределен неизвестный ток Д?'),
С(г,г') = Я0(2< (к | г - г' |) - функция Грина (ФГ) задачи. Уравнение вспомогательного Контура в полярной системе координат имеет вид ? = р(ф), где
13
л
ф = arg ç, р(ф) =j ç |, ç « р(<р + (6)
Здесь S - положительный параметр, отвечающий за степень деформации контура тела. Заметим, что уравнение вспомогательного контура обладает свойством (3), то есть свойством симметрии.
Учтем симметрию исходного и вспомогательного контуров. Введем в рассмотрение углы
'Pi=(P„+~, ï>s =Ш +Щт> As = 0,1,2.....(М-1)- (7)
M M
Я Я
л7'л7
уравнение (5) можно записать в виде
Здесь
<Ро,<Ро е
В результате интегральное
J_ M
2JTS я М-1 M M
Î-0 2тГ1 д-
(8)
M M
= -и (p(<p(),<pi), / = 0,1,2.....(М-1)
При этом ФГ примет в новых переменных следующий
вид
С{рщ Ш= н™ (Щ-s > -
(9)
где
= ^Р2{%) + Р~(Фы)-2р(<ри)р(ф(>)ом(у„ -ф{) + ^ j •(1 °>
Таким образом, ФГ зависит только от разности индексов / и При этом, как видно из (10), ФГ является периодической функцией (с периодом М) целочисленного индекса. Учитывая, что неизвестный ток обладает свойством периодичности по индексу .V, можно представить его в виде дискретною преобразования Фурье (ДПФ) [4]
(И)
тральных уравнении вида
ItIM
J à„,(<Р»,Фа)j„(ф„)d% = -Ûl(<pa), m = 0,1.....(M- l),
я Я
~м'м
в которой
\ м
-О 1 V<' Г , ч ( 2tts ") i2i
*S=Yi ехр I ~'кр(<ра уcos [Щ+~м~ х) —)
il я m s
(12)
(13)
(14)
Таким образом, ядра и правые части системы (12) представляются в виде ДПФ ядра и правой части исходного уравнения (5). Как видно из (12) в полученной системе интегрирование ведется лишь по интервалу__Л.
м'м.
Одной из основных характеристик волнового поля является диаграмма рассеяния. Запишем ее в виде ДПФ
ия/М
2(<Pi)-% J ¿.(ft.ft&ÎÂtfft •expi^^-1'
-XIM \ M J
(15)
i Л'~' (
'ikp(p0)œs\ <pQ - фа
1Я S
~MÏ
ilnms M .
(16)
Численные результаты
Система (12) решалась методом коллокации. Разобьем интервал изменения переменной (ри е [—ж / М,я! А/] точками
2л-
<Р<», ~ ■
я
"л7 + ~MN
где )т{фд) - неизвестные функции угла ф^. В результате подстановки (II) в уравнение (8), получим систему ипте-
п__11 „_] 2 V. и заменим интегралы
2).......
в левой части формулы (12) суммами Римана. Далее приравняем полученное равенство в точках коллокации, которые выберем на контуре тела 5.
Для тестирования разработанного алгоритма была рассмотрена задача дифракции плоской волны на многолистни-ке вида
р((р) = я(1 + тсоьМ(р) ■ (17)
На рис. 1 показаны угловые зависимости диаграммы рассеяния указанного многолистника С параметрами ка = 5, г = 0.9, М =40- Пунктирной кривой на рисунке изображена зависимость диаграммы рассеяния кругового цилиндра радиуса ка = 9.5, в который вписан рассматриваемый многолистник. Как видно из рисунка обе диаграммы практически совпадают, что соответствует физической картине исследуемой задачи.
10-1
8- |
6-
4-
2-
где
-■—1—I—I—I—1—'—I—I—I—I—1 (р
О 50 120 180 240 300 360
Рис. I. Сравнение диаграммы рассеяния многолистника и кругового цилиндра
Для контроля точности получаемых результатов была проверена оптическая теорема, которая имеет вид
2 я '
Как показывают расчеты относительная разность между правой и левой частью равенства составляет не более 10"14 для указанного выше многолистника при N = 60 - Таким образом, имеется высокая точность вычисления диаграммы рассеяния.
Далее проиллюстрируем преимущество предлагаемого подхода по сравнению со стандартным ММДИ. На рис. 2 и 3 показаны угловые зависимости модуля невязки краевого условия на части контура многолистника, ограниченного ОДНИМ лепестком (то есть ¡р е / м, ж / М] )■ Рис. 2 соответствует стандартному ММДИ, а рис. 3 иллюстрирует результаты, полученные при использовании повой версии ММДИ,
14
T-Comm #11-2014
У
Т-Сотт #11-2014
15
л
Рис. 6. Диаграмма рассеяния для многоугольника
В формуле (2Ü) обозначено ; = ехр(а + iß) ■ Функция (20) осуществляет конформное отображение единичного круга на плоскости / на контур правильного М-угольника на плоскости при условии, что сг = 0 ■ Очевидно, что пару (а,р) можно рассматривать как новые ортогональные координаты, вместо исходных полярных координат.
Как показано в [1-3] для применения ММДИ необходимо, чтобы особенности волнового поля, обусловленные геометрией рассенвателя, располагались внутри контура сечения тела. Поэтому для решения задачи с использованием ММДИ аппроксимируем контур сечения тела при помощи функции (20), причем выберем а = а0, где а„ - малый положительный параметр. При такой аппроксимации контур сечения полученного тела не будет иметь особенностей (они будут располагаться внутри контура сечения «нового» рассенвателя), т.е. будет гладким. Заметим, что контур тела является координатной линией в ортогональных координатах («,/)). При этом вспомогательный контур I имеет уравнение а - or0 -S , то есть также является координатной линией. Как показывают расчеты необходимо выбирать параметр S = а0, то есть вспомогательный контур должен быть максимальным образом "натянут" на особенности, расположенные в угловых точках контура тела [5]. В новых переменных система интегральных уравнений (12) примет вид
г/М
| G.iÄ.Ä&tÄVÄ » -««(/U m=o,i,..„(M-i),
-/г/.l/
,—]> (22)
0 I м м_
в которой ядра и правые части вповь выражаются по формулам (13) и (14), а углы ipu и ф{) определяются по формулам
pg=argOM Wi = агё Qißa)' (23)
Для решения (22) применялся метод коллокации, причем мы выбирали точки коллокации в виде
+ 1,2.....N,
" М ш{ 2)
а затем находили соответствующие значения углов по формулам (23).
На рис. 6 приведены угловые зависимости диаграммы рассеяния для двух тел с сечением в виде правильного 5 и 6-у голышка (соответственна сплошная и пунктирная кривая на рисунке). Геометрии тел показаны на врезке к рнс. 6.
Длина стороны многоугольников составляла ка = 5 , плоская волна падала вдоль оси ,v. 11араметр ст„ = 0.005 , число дискретных источников N - 200. Как видно из рисунка имеется локальный максимум у диаграммы рассеяния в направлении обратного рассеяния в случае дифракции на 6-угольпике. При дифракции на заострении 5-угольника диаграмма имеет минимум в направлении обратного рассеяния.
1. Кюркчан Л.Г., Минаев С.А., Соловейчик A.JI. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особенностях дифракционного поля II Радиотехника и электроника, №6. 2001,-С. 666-672.
2. Кюркчан А.Г.. Маненков С.А.. Негорожина Е С. Решение задачи дифракции электромагнитного поля на телах вращения при помощи модифицированного метода дискретных источников Н Радиотехника и электроника, №1 I, 2006. - С. 1285-1293.
3. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Математическое моделирование в теории дифракции с использованием априорной информации об аналитических свойствах решения, — М.: ООО «ИД Медиа I [аблишер», 2014. -226 е.
4. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. - М-: Радио и связь, 1987.-272 с.
5. Маненков С.А. Новая версия модифицированного метода дискретных источников применительно к задаче дифракции на телевращения // Акустический журнал, №2, 2014. - С. 129-136.
Литература
Application of the modified method of discrete sources to the solution of the problems of diffraction on the scatterers,
which are invariant with respect to the fixed rotation angles
Baranova Victoria A., Moscow Technical University of Communications and Informatics, Russian Federation, Postgraduate of the TB and AM Department, [email protected] Kyurkchan Alexander G., Moscow Technical University of Communications and Informatics, Russian Federation, Head of the TB and AM Department, [email protected] Manenkov Sergey A., Moscow Technical University of Communications and Informatics, Russian Federation, Docent of the Mathematical Analysis Department, [email protected]
Abstract. The paper considers two-dimensional problem of wave diffraction by an infinite cylinder w'th a cross section in the form of various multi-lobes (including w'th much number of lobes). We consider the Dirichlet condition on the boundary of the body. The problem is solved by using a modified method of discrete sources (MMDS). The main difference of the algorithm proposed in this paper from previous versions of MMDS is to use the invariance of the geometry of the body with respect to the fixed angles of rotation. Using discrete Fourier transform the initial boundary problem is reduced to solving the integral equations of the first kind relative to the images of unknown current distributed in the angular range, where is the angle at which rotation of the contour geometry is not changed. In the paper it is shown the dependence of the scattering pattern and distribution of the residual of the boundary condition on the contour of a scatterer. Numerical results are obtained for multi-lobes which contour equation is expressed as a sum of two Fourier harmonics in the angular coordinate with multiple "frequencies". Also diffraction on the regular polygons are considered. It is shown that the proposed approach can significantly reduce the amount of computation. Keywords: diffraction, method of discrete sources, rotation symmetry.
References
1. Kyurkchan A.G., MinaevSA, Soloveitchik A.L. A modification of the method of discrete sources based on a priory information about the singularities of the diffracted field / Radiotekhnika i elektronika, No 6, 2001. Fp. 666-672.
2. Kyurkchan AG, Manenkov SA,, Negorogina E.S. The solution of the problem of electromagnetic field diffraction on bodies of revolution by the modified method of discrete sources / Radiotekhnika i elektronika, No 11, 2006. Fp. 1285-1293.
3. Kyurkchan AG, Smirnova N.I. Mathematical modeling in the theory of diffraction using a priori information about the analytic properties of the solution. Moscow, 2014. 226 p.
4. Vasilev E.N. Excitation of bodies of revolution. Moscow, 1987. 272 p.
5. Manenkov SA. A new version of the modified method of discrete sources in application to the problem of diffraction by a body of revolution / AkusticheskiyJournal, No 2, 2014. Pp. 129-136.
16 T-Comm #11-2014
Л
