Асимптотика коэффициентов рассеяния в модифицированных методах вспомогательных токов и нулевого поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

Асимптотика коэффициентов рассеяния в модифицированных методах вспомогательных токов и нулевого поля

Ключевые слова: дифракция и рассеяние волн, метод вспомогательных токов, метод нулевого поля, особенности аналитического продолжения волнового поля.

Выполнены исследования асимптотики (по порядковому номеру) коэффициентов рассеяния (т.е. коэффициентов в представлении дифракционного поля рядом по волновым гармоникам) в модифицированном методе Т-матриц в зависимости от углов падения первичной плоской волны. Выполнены также исследования указанной асимптотики для усредненных по углам падения первичной волны коэффициентов рассеяния. Эта асимптотика тесно связана с геометрией множества особенностей аналитического продолжения дифракционного поля в нефизическую область (внутрь рассеивателя). Поскольку геометрия множества особенностей может быть определена априори (до решения соответствующей краевой задачи), то указанная асимптотика позволяет, в частности, контролировать правильность решения краевой задачи и точность найденного решения. Знание асимптотики коэффициентов рассеяния позволяет оценить (правда, довольно приближенно) размеры и геометрию рассеивателя, что является одной из важнейших ступеней в решении обратной задачи рассеяния. Осуществлено также сравнение двух вариантов реализации метода Т-матриц: на основе модифицированных методов вспомогательных токов и нулевого поля. В обоих случаях численная реализация методов основана на использовании техники дискретных источников. Элементы Т-матрицы не зависят от угла падения первичной волны и определяются лишь геометрией рассеивателя и видом краевых условий на его границе. Это позволяет легко выполнять важные в ряде приложений (например, в радиоастрономии, в биофизике и др.) операции усреднения характеристик рассеяния по углам падения первичной плоской волны (углам ориентации рассеивателя). При расчете диаграмм рассеяния различных тел обоими методами получена высокая и примерно одинаковая точность, что подтверждено, в частности, с помощью проверки выполнения оптической теоремы. Однако асимптотика (по порядковому номеру) коэффициентов рассеяния диаграммы оказалась принципиально различной.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-02-00062).

В этом соотношении и = г/" + г/, причем и" — первичное (падающее) поле, и - вторичное (рассеянное) поле.

Кюркчан А.Г.,

зав. кафедрой, д.ф.-м.н., МТУСИ, agkmtuci@yandex.ru

Смирнова Н.И.,

доцент, к.ф.-м.н., МТУСИ, nadya-ussi@yandex.iv Чиркова А.П.,

аспирант, МТУСИ, chirkova_alla@bk.iv

Введение

Модифицированные методы вспомогательных токов (ММВТ) и нулевого поля (ММНП) относятся к числу наиболее эффективных современных инструментов решения задач дифракции и рассеяния волн 111, Подчеркнем еще раз, что речь идет именно о модифицированных вариантах указанных методов, т.к. только эти вариан ты позволяют создавать корректные и эффективные численные алгоритмы. Упомянутая модификация существенным образом опирается на априорную информацию об аналитических свойствах волнового поля [1].

Постановка задачи и вывод основных соотношений

Прежде, чем формулировать цель настоящей работы, кратко остановимся на существе обоих методов. Пусть для простоты речь идет о решении двумерной задачи дифракции на компактном рассеивателе, занимающем область О с границей 5- Пусть на границе 5" раесеивателя выполняется импедансное краевое условие

1. Модифицированный метод вспомогательных токов

В основе метода вспомогательных токов (МВТ), одной из реализаций которого является метод дискретных источников

ВОЛНОВОГО ПОЛЯ I/ (г)

(МДИ), лежит представление следующим интегралом

2л

в котором . _ - фундаментальное решение

уравнения Гельмгольца (функция Грина свободного пространства), С> — область внутри О, ограниченная простой замкнутой кривой Е, описываемой в полярных координатах уравнением г = к (0), /.¡(в) ~ вспомогательный «ток», распределенный на носителе Е.

С использованием представления (2) краевая задача (I) сводится к решению следующего интегрального уравнения

fm

Щ

и — -

Z du

= 0-

(1)

¡к С дп _

где 2 - величина импеданса на границе (направляющей) 5, к — (УлУи - волновое число и волновое сопротивление (импеданс) соответственно во внешней среде.

к дп где Z — i^W, =

В соответствии с теоремой существования носитель Z должен охватывать множество А особенностей аналитического продолжения волновою поля u\r) в область D [1]. Кроме того, в соответствии с модифицированным вариантом МВТ (ММВТ) [2] носитель I строится при помощи аналитической деформации границы раесеивателя S вплоть до множества А.

Одним из наиболее распространенных способов решения уравнения (3) является метод дискретных источников. В соответствии с этим методом интеграл в левой части урав-

У

нения (3) заменяется суммой точечных источников, локализованных на Е

оп

= я<2)(*1?-?„|)-

(7)

(8)

п=\

-!рв»

причем мы ввели обозначение (У*®7) = 3 (кгл)е В матричных обозначениях система (5) примет вид:

К*

•а=Ъ, а=(К ) Ъ у

(9)

где

А:ивг =Кивт(г г )•

1Ш1 Ут > Л )

Итак, С использованием принятых обозначений имеем: с=Зш" -а=уш' •(КШГУ,)-Ь = Т'Ь, (Ю)

где Т = (К"вгу] и есть искомая Т-матрица, связывающая коэффициенты Ь падающего поля с коэффициен-

тами ср рассеянного.

(4)

причем г„ = {%(&„),вя}.

Далее, левая и правая части в уравнении (2) друг к другу приравниваются в так называемых точках коллокации. В результате для нахождения амплитуд дискретных источников а получается следующая система алгебраических

уравнений

^апКмвт{гт-гп) = -и\гт), гит = \,...,И- (5)

П—\

В приведенных соотношениях

г/МВТ,- — ч уМВТз\|

К (Г«>ГЯ)=К (^ОЦ^

причем Кшт(г;гп) =

кк(<р) Вг р(<р) дф

где к((р) = ^р1 {(р) + р'2{<р) . г - р{(р) - уравнение границы 5 в полярной системе координат,

В приложениях большой интерес представляет задача нахождения усредненных по углам падения первичной волны характеристик рассеяния различных объектов (см. [3, 4]). Такого рода характеристики удобно вычислять, если имеется выражение коэффициентов разложения рассеянного поля по некоторому базису через коэффициенты разложения падающего (первичного) поля с помощью матрицы, не зависящей от углов падения первичной волны. Такого рода матрицу в литературе по традиции, восходящей к пионерской работе Уотермена [5], называют Т-матрицей. В нашем случае Т-матрицу можно получить следующим образом. Как известно, в области г>гт, = шах п. (в)

11 0 ¿4

|г-Р£ |)= X Jp(krт)Hf\b■)eip^) ■

у-

Теперь с использованием (6) из (2) по аналогии с (4) будем иметь

г. ! р=-оо

где

2. Модифицированный метод нулевого поля

Аналогично, при использовании ММНП краевая задача может быть сведена к интегральному уравнению

\УдН\;\к\У-Т> |) к дп'

(И)

где принято обозначение

Е , как и выше, — некоторая простая замкнутая кривая внутри 5 • В соответствии с техникой ММНП кривая Е строится при помощи аналитической деформации границы 5 вплоть

до множества А [1,4].

Для решения уравнения (11) снова применим метод дискретных источников, в соответствии с которым интеграл в левой части уравнения (11) заменяется суммой точечных источников,локализованных на 5

(12)

дп'

Затем левая и правая части (11) приравниваются друг к другу в точках коллокации на Е. В результате, как и в ММДИ, получим алгебраическую систему следующего вида

ЪпК^{гт^-и\гтУ (13)

и=1

в которой

Г„ = {Р(<Р,Х<Р„} = {ГЗп><РП}> гт = {гъ((рт),<рт} = {гш,<рт}, 1Де г, (<р) -уравнение кривой Е в полярных координатах.

Всюду вне 3 дифракционное поле в рассматриваемом случае в соответствии с (12) представимо суммой точечных источников:

(14)

и-1

Таким образом, в системе (13) и в соотношении (14) фигурирует одно и то же представление, которое корректно лишь в области вне множества А особенностей волнового поля.

В матричных обозначениях система (13) примет вид:

Кшп-а=Ь, а=(Кгшп)~1 -6»

. Ь = {ЬЛ1, ь„=-и\7у

(15)

где

=

И'

(V р(/рш) д(р

С использованием соотношения (6), в котором г следует заменить на гя, а в на <рп, из (14) и (12) получим

W

Г.

(16)

причем cp=fjallJ¡

мнп . р»

¡1=]

где

В матричных обозначениях:

с=Г"п .а = ^мнп ■{КМНП)~ХУЬ=Т-Ь, где Т = Змнп ■(КМНПУХ -Т-матрица.

Из (16) для диаграммы рассеяния g{(p) имеем

(17)

(18)

Полученные соотношения, как и в традиционном методе Т-матриц, позволяют легко осуществлять усреднение характеристик рассеяния частиц по углам ориентации. Так, например, для усредненной по углам ориентации диаграммы рассеяния из (18) получим (см., например, [1])

(19)

\imñp\

'—>оС' i

ср\ = ст ■

(23)

причем (см. (17))

{с) = Т'(ь). (20)

Если, например, = ехр(-Йгсоз($?-<р„)) - плоская

волна, а ориентация частицы по отношению к углам облучения (р{) - равновероятна, т.е. w{(p^) - 1/2л", то при использовании ММТМ, как следует из (15)

1 г"

(¿0 = -— íexp(-M?-,(ая)eos{а„, - %))cbpQ = -Jü (Ц(а,„))' 2 п ¡

(21)

При использовании же ММДИ, действуя по аналогии, как видно из (9), получим

(b„,) = -J0(/cp(<pj). (22)

Оценка правильности и точности решения является достаточно сложной проблемой. Имеется сравнительно немного критериев такого рода оценки. К наиболее распространенным относятся проверка выполнения краевого условия [1] и оптической теоремы [6]. Но эти критерии не дают полной гарантии правильности получаемых результатов.

Поскольку конечной целью в методе Т-матриц является расчет коэффициентов рассеяния ср = то целесообразен критерий, позволяющий оценить правильность вычисления этих коэффициентов. В частности, представляет интерес, какой из двух обсуждаемых в настоящей статье методов позволяет более точно рассчитывать коэффициенты Общепринятые критерии, к сожалению, ответа на этот вопрос не дают.

Как известно [1, 7J коэффициенты -с удовлетворяют

следующему предельному соотношению

в котором — степень диаграммы рассеяния [1,7].

Эта величина может быть найдена при помощи следующей простой формулы [1, 7]: & = /сгпм /2> где — расстояние до наиболее удаленной от начала координат особенности аналитического продолжения волнового поля внутрь рассеивателя.

Вели для нахождения коэффициентов ср исходить из строгих соотношений, как, например, в случае МВТ, из формулы

2к

= \nWyj р{кгъте>рвс1в*

о

следующей из (2) и (6), то, разумеется, в обоих случаях мы получим один и тот же результат.

Однако в силу того, что в МТМ и на основе МВТ и МНП соответствующие интегральные уравнения решаются с использованием представления рассеянного поля при помощи дискретных источников, особенности которых распложены на носителе, асимптотика (23) будет разной в этих методах.

Численные результаты

Проиллюстрируем изложенное на конкретных примерах. На рис. 1 приведена диаграмма рассеяния плоской волны, падающей под углом (р() — л"/2 на эллиптический цилиндр с

полуосями поперечного сечения ка = 3, к с — 7, рассчитанная при количестве N дискретных источников, равном 300. Результаты расчетов по ММВТ и ММНП графически совпали. На рис. 2 приведен график амплитуд |с | в зависимости от номера п.

"П. 40

Эти графики также совпали для обоих методов.

У

Наконец, в таблице 1 приведены значения амплитуд | сп \ для обоих методов.

Таблица 1

и Коэффициенты рассеяния ММНП Коэффициенты рассеяния М МВТ

<-30 0 0

-30 8,847561-10 /■2,345414-Ю"'1 8,847561 Ю 18 -г -2,345414-10"17

-29 -9,042145.Ю"17 + /■2,179573-Ю"16 -9,042145-Ю"17 + /-2,179573-10 16

-28 8,30051 -10 16 -/■2,139946-Ю'15 8,30051 -КГ16 -/•2,139946-КГ15

-27 -7,902142-Ю"'5 + /- 1,853088-Ю 14 -7,902142-10"15 + /. 1,853088.10""

-26 6,792257-10 14 -/. 1,696613-10 13 6,792257-10 м -/. 1,696613-10

-25 -5,990037-Ю"'3 + г-1,361399-Ю"'1 -5,990037-Ю"13 + /. 1,361399 10 12

-24 4,79829-10"'2 -г-1,15592 10 " 4,79829- Ю"1" -/. 1,15592-Ю 11

-23 -3,894399-10"" + 1-8,5384.10 " -3,894399.10"" + /-8,5384 10""

-22 2,891435-Ю"10 -/- 6,679429-Ю"'° 2,891435-Ю"'" -/■6,679429.10 10

-21 -2,143029-Ю"4 + М,506187.10"" -2,143029 10"'' + / 4,506187-¡О"'

-20 1,465334.10"' -/■ 3,222449-Ю'" 1,465334.Ю"! -/■ 3,222449 -Ю"*

-19 -9,824684-10"' + /■ 1,966553-Ю 7 -9,824684-10"8 + I-1,966553-10"7

-18 6,139799-Ю"? -/. 1,273247-Ю"6 6,139799-Ю 7 -/. 1,273247-Ю"6

-17 -3,680766-Ю 6 + /■6,94519-10"6 -3,680766-10 6 + /■6,94519-Ю"6

-16 2,083009-10 5 -/■4,02195-10"5 2,083009-Ю"5 -/■4,02195-Ю"5

-15 -0,00011 +0,000193; -0,00011 +0,000193/

-14 0,000557-0,000984/ 0,000557 - 0,0009841

-13 -0,002543 + 0,004076/ -0,002543 + 0,004076/

-12 0,011368-0,01789/ 0,011368 -0,01789/

-11 -0,04364 + 0,062096/' -0,04364 + 0,062096/

-10 0,168766-0,226967/ 0,168766-0,226967/

-9 -0,524246 + 0,632894/ -0,524246 + 0,632894/

-8 1,706131 - 1,818157/ 1.706131 - 1.818157/

-7 -4,033605 + 3,799364 / -4,033605 + 3,799364/

-6 10,573295-7,506212/ 10,573295 -7,506212/

-5 -17,068411 + 10,345957/ -17,068411 + 10,345957/

-4 33,048947 - 6,972620 / 33,048947-6,972620/

-3 -29,46136 + 6,283893/ -29,46136 + 6,283893/

-2 30,840626 + 24,867282 / 30,840626 + 24,867282 /

-1 -21,654211 + 18,846133/ -21,65421 I + 18,846133/

0 -8,87714+ 16,061234/ -8,87714+ 16,061234/

1 -77,060034+ 19,216097/ -77,060034+ 19,216097/

2 -8,87714+ 16,061234/ -8,87714+ 16,061234/

3 -21,654211 + 18,846133/ -21,654211 + 18,846133/

4 30,840626 + 24,867282/ 30,840626 + 24,867282/

5 -29,46136 + 6,283893/ -29,46136 + 6,283893/

6 33,048947 - 6,972621 33,048947-6,97262/

1 -17,068411 + 10,345957/ -17,068411 + 10,345957/

8 10,573295-7,506212/ 10,573295 -7,506212/

9 -4,033605 + 3,799364/ -4,033605 + 3,799364/

10 1,706131 - 1,818157/ 1,706131 - 1,818157/

П -0,524246 + 0,6328941 -0,524246 + 0,632894/

12 0,168766-0,226967/ 0,168766-0,226967/

13 -0,04364 + 0,062096/ -0,04364 + 0,062096 /

14 0,011368 -0,01789/ 0,011368-0,01789/

15 -0,002543 + 0,004076 / -0,002543 + 0,004076/

16 0,000557-0,000984/ 0,000557-0,000984/

17 -0,00011 +0,000193/ -0,00011 +0,000193/

18 2,083009 -10 5 -/■4,02195-10"- 2,083009- Ю 5 -/-4,02195-Ю"5

19 -3,680766-10"' + /■6,94519-Ю"6 -3,680766-10"6 + /-6,94519-Ю"6

20 6,139799-10 7 -/■ 1,273247-10^ 6,139799-Ю 7 -1,273247 ]О"6

21 -9,824684-Ю"' + /- 1,966553-10 7 -9,824684-] О"8 + /-1,966553-Ю-7

22 1,465334-Ю"8 -/-3,222449-10"' 1,465334-Ю"' -/•3,222449-10"8

23 -2,143029-Ю"" + ■ 4,506187-1 -2,143029-10"' + /-4,506187.10"''

24 2,891435-10"10 -/-6,679429-10"'" 2,891435- Ю"ш -/-6,679429 .Ю"10

25 -3,894399-10"" + /■8,5384.10"" -3,894399.10"" + /-8,5384-Ю""

26 4,798290 -Ю"1- -/■ 1,155920-Ю"" 4,798290-Ю"'" -/-1,155920-10""

27 -5,990037-10"" + /■ 1,361399-Ю"'2 -5,990037-10"'3 + /-1,361399 Ю-1"

28 6,792257-10"14 -/- 1,696613-Ю"1; 6,792257-Ю"ы -/-1,696613-Ю"13

29 -7,902142-Ю"15 + г-1,853088-КГ14 -7,902142-10"'* + /- 1,853088-Ю"14

30 8,300511-Ю"16 -/■2,139946-Ю"'5 8,300511 10 16 -/-2,139946-Ю"15

>30 0 0

Видно, что результаты совпадают с весьма высокой точностью. Однако совершенно другая картина возникает при вычислении коэффициентов сп высоких номеров, таких,

при которых может быть использована формула (23). В силу того, что и в ММ ВТ и ММПП соответствующие интегральные уравнения решаются с использованием представления рассеянного поля при помощи дискретных источников, особенности которых расположены на носителе, в качестве ве-

личины <7 в (23) нужно брать значение ki\J 2 в ММПП, где

(напомним) =тахр((р)> либо значение кг^/2, где

<р

К = шах Г (ff) в ММВТ. Отметим при этом, что поскольку

II в IV

в соответствии с техникой ММВТ носитель Е предельно плотно охватывает множество особенностей волнового поля, то величина krlt/2 оказывается достаточно близкой к величине ¿г-¿г /2.

max /

Перейдем к рассмотрению дальнейших примеров. Сначала рассмотрим расчет величины а при использовании

ММВТ для вычисления коэффициентов Сп. В качестве первого примера рассмотрим задачу дифракции на эллиптическом цилиндре С полуосями ко — 3, кс — 4- Величина

ki\ J2 здесь равна примерно 1.323. Расчет по формуле (23) при количестве дискретных источников N = 80 и максимальном номере Р (т.е. таком, при котором формула (23) используется в виде <у = ) равном Р = 500 дал сле-

дующий результат: a ^ =1.3202, где <т d - значение величины а", найденное по формуле (23) для коэффициентов (с ^ усредненной по углам падения первичной плоской

волны диаграммы рассеяния (см. формулу (20)). Точное значение - (j = 1.322876 [1,7].

Аналогично для эллипса с полуосями ка = 3, кс = 7, у

которого кгп/2 = 3,1623 при N = 300 и Р = 500 было

получено а =3 1679 (точное значение- ст=3.162278).

усред

Рассмотрим теперь примеры решения задач дифракции на цилиндрах с поперечным сечением в виде многолистни-ка, т.е. фигуры, описываемой в полярных координатах уравнением р(<р) = с + a cos q<p, а<с, q - количество лепестков многолистника. В качестве первого примера рассмотрим цилиндр с сечением в виде двулистника с параметрами ка — 3, кс — 5- Здесь расчеты при количестве дискретных

источников N = 80 и Р = 500 дали следующий результат: а =2 8722* Точное значение величины и для этой фи-

усред

гуры - а- 2.843612 .

Аналогично для десятилистника с параметрами ка = 2, кс — 4 расчеты, выполненные при N = 480 и

Р = 600 привели к результату а =2.9689, в то время,

ус ре о

как точное значение - ег = 2.9553.

Мы видим, что расчеты асимптотики коэффициентов рассеяния при помощи ММДИ дают вполне приемлемый результат.

Перейдем к результатам, полученным при помощи ММТМ. Снова вначале рассмотрим эллиптический цилиндр с полуосями ка — 3, кс — 4- Для такой геометрии величина кг0/2 равна 1.9988. В таблице 2 приведены результаты расчетов величины <j ? для различных значений п при количестве N дискретных источников, равном 80.

Таблица 2

р 100 150 200 250 300 350 400 500

^ .л-;;"1 1,9710 2.0062 1.9160 2.0031 1,9979 1.9929 2.0020 1.9990

Мы видим, что величина (Т , приближается к значению кг0/2, как об этом и было сказано выше. Точность выполнения оптической теоремы при этом составила 7.6383-Ю"14.

Результаты аналогичных расчетов для эллиптического цилиндра с полуосями ка = 3, кс = 1, для которого

¿^,/2 = 3.4991, приведены в таблице 3. !'асчеты проводились при N = 300.

Таблица 3

Р 150 200 250 300 350 400 450 500

^усред 3.4416 3.4429 3.5045 3.5129 3.5047 3.4851 3.470)4 3.5035

Здесь снова проверка оптической теоремы показала высокую точность 1.5099-10~ы .

В таблице 4 приведены результаты расчета величины (7 для двулистника с параметрами ка- 3, кс = 5, для

которого кг0 /2 — 3.9994, при N = 80. Погрешность выполнения оптической теоремы здесь составила величину, равную 5.2202-10"10.

Таблица 4

Р 150 200 250 300 350 400 450 500

^усред 4.0178 3.9485 4.0081 4.0007 3.9933 4.0039 3.9935 3.9993

В качестве последнего примера рассмотрим задачу дифракции на цилиндре с поперечным сечением в виде десятилистника с параметрами ка — 2, кс = 4 • У такой фигуры

кг0/2 = 2.9995.

Расчеты проводились при количестве дискретных источников N = 1000. Результаты приведены в табл. 5. Здесь оптическая теорема выполнялась с погрешностью, равной

6.7001-ИГ".

Таблица 5

Р 250 300 350 400 450 500 550 600

^усред 3,0023 2.9935 2,9876 2.9841 2,9833 2.9836 2,9890 2.9975

Итак, выполненные исследования показали, что, несмотря на то, что диаграмма рассеяния считается обоими методами с весьма высокой точностью (что показывает, в частности, проверка оптической теоремы), асимптотика коэффициентов рассеяния оказывается правильной лишь при использовании метода вспомогательных токов.

Л итерятура

1. Кюркчан Л.Г., Смирнова Н.И. Математическое моделироиа-ние в теории дифракции с использованием априорной информации об аналитических свойствах решения. - М.: ООО «ИД Медиа 11аблншер», 2014. - 226 с.

2. Кюркчан А.Г., Минаев С.А.. Соловейчик А.Л. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особенностях дифракционного поля И РЭ. 2001, т. 46, №6. -С. 666-672.

3. Mishchenko M.I. Light scattering by randomly oriented axially symmetric particles. J. Opt Soc.Am.A. Vol 8, № 6, 1991, pp. 871-882.

4. Юоркчан А.Г., Смирнова НИ. Модифицированный метод Т-матриц. РЭ, 2014, том 59, № 1.-С. 27-36.

5. Waterman PC. New formulation of acoustic scattering // J. Acoust.Soc. Amer.,- 1969. - V. 45. - PP. 1417-1429.

6. Шендеров E.Jl. Излучение и рассеяние звука. Ленинград: Судостроение, 1989, - 304 с.

7. Апельцин В.Ф., Кюркчан А.Г. Аналитические свойства волновых полей. - М,: Изд-во МГУ, 1990, -208 с.

Asymptotics of scattering coefficients in the modified methods of auxiliary currents and null field

Kyurkchan Alexander G., Moscow technical university of communication and informatics, Russian Federation, Moscow, Head of the Department,

agkmtuci@yandex.ru

Smirnova Nadezhda I., Moscow technical university of communication and informatics, Russian Federation, Moscow, Associate Professor,

nadya-ussi@yandex.ru

Chirkova Alla P., Moscow technical university of communication and informatics,Russian Federation, Moscow, Postgraduate, chirkova_alla@bk.ru Abstract

In work researches of an asymptotics (on serial number) dispersion coefficients (i.e. coefficients in representation of a diffraction field nearby on wave harmonicas) in the modified method of T-matrixes depending on hades of primary flat wave are executed. Also researches of the specified asymptotics for the dispersion coefficients average on hades of primary wave are executed. It is known that this asymptotics is closely connected with geometry of a set of features of analytical continuation of a diffraction field in not physical area (in the lens). As the geometry of a set of features can be defined a priori (to the solution of the corresponding regional task), the specified asymptotics allows to control, in particular, correctness of the solution of a regional task and accuracy of the found solution. Besides, the knowledge of an asymptotics of coefficients of dispersion allows to estimate (the truth, it is quite approximate) the sizes and geometry of the lens that is one of the major steps in the solution of the return problem of dispersion. In work also comparison of two options of realization of a method of T-matrixes is carried out: on the basis of the modified methods of auxiliary currents and a zero field. In both cases numerical realization of methods is based on use of equipment of discrete sources. Elements of the T-matrix don't depend on a hade of primary wave and are defined only by geometry of the lens and a type of regional conditions on its border. It allows to carry out easily important in a number of appendices (for example, in radio astronomy, in biophysics, etc.) operations of averaging of characteristics of dispersion on hades of primary flat wave (corners of orientation of the lens). At calculation of charts of dispersion of various bodies both methods received the high and approximately identical accuracy that is confirmed, in particular, by means of check of implementation of the optical theorem. However the asymptotics (on serial number) coefficients of dispersion of the chart was essentially various.

Keywords: diffraction and scattering of waves, method of auxiliary currents, method of a null field, singularities of analytical continuation of a wave field.

References

1. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. Mathematical modeling in the theory of diffraction using a priori information about the analytic properties of the solution. Moscow, 2014. 226 p.

2. Kyurkchan AG, Minaev SA, Soloveitchik AL. A modification of the method of discrete sources based on prior information about singularities of the diffracted field / Journal of Communications Technology and Electronics, No 6, 2001. Pp. 615-621.

3. Mishchenko M.I. Light scattering by randomly oriented axially symmetric particles / J. Opt. Soc. Am. A. № 6, 1991. Pp. 871-882.

4. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. The Modified T-Matrix Method / Journal of Communications Technology and Electronics, No 1, 2014. Pp. 22-30.

5. Waterman P.C. New formulation of acoustic scattering / J. Acoust. Soc. Amer., V 45, 1969. Pp. 1417-1429.

6. Shenderov E.L. Radiation and scattering of a sound. Leningrad, 1989. 304 p.

7. Apel'isin VF., Kyurkchan A.G. Analytical properties of wave fields. Moscow, 1990. 208 p.