Моделирование усреднённых по углам ориентации характеристик рассеяния волн частицам и сложной геометрии и фракталоподобным и частицами Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСРЕДНЕННЫХ ПО УГЛАМ ОРИЕНТАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК РАССЕЯНИЯ ВОЛН ЧАСТИЦАМ И СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ФРАКТАЛОПОДОБНЫМ

И ЧАСТИЦАМИ

Крысанов Дмитрий Владимирович,

Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия, [email protected]

Кюркчан Александр Гаврилович,

Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия;

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Фрязино Московской обл., Россия; ФГУП Центральный научно-исследовательский институт связи, Москва, Россия, [email protected]

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 16-02-00247а.

Ключевые слова: дифракция и рассеяние волн, метод Т-матриц, метод продолженных граничных условий, усредненная диаграмма рассеяния, фракталоподобные частицы.

Во многих областях современной науки и техники, таких как акустика, оптика, радиофизика, астрофизика, радиоастрономия, поляриметрия, биофизика и других, имеется большая потребность в эффективных инструментах, позволяющих исследовать характеристики рассеяния волн частицами различной, в том числе сложной геометрии, и возникает потребность в их эффективном решении. Один из наиболее широко применяемых методов решения задач дифракции - метод Т-матриц. Его популярность объясняется простотой и удобством вычисления важных в приложениях характеристик рассеяния компактных объектов, таких, как, например, диаграмма рассеяния частицы, усредненная по углам ориентации последней. Однако традиционный метод Т-матриц применим при решении задач дифракции лишь на так называемых рэлеевских рассеивателях. Напомним, что к классу рэлеевских относятся тела, у которых множество особенностей аналитического продолжения дифракционного (рассеянного) поля лежит внутри сферы (в двумерном случае - окружности), целиком содержащейся внутри рассеивателя. К такого рода рассеивателям как правило, не относятся тела сложной геометрии, а тем более - фракталоподобные тела.

В данной работе развито предложенное в [1] обобщение метода Т-матриц на основе метода продолженных граничных условий. Разработанная методика, обладающая всеми преимуществами метода Т-матриц, применима к исследованию задач дифракции на телах, имеющих изломы границы. Рассмотрены примеры моделирования характеристик рассеяния волн призмами с поперечным сечением в виде правильных многоугольников и первых итераций фрактала "снежинка Коха". Рассчитывались такие характеристики, как диаграмма рассеяния и усредненная по углам ориентации диаграмма. Для рассеивателей указанной выше геометрии осуществлена проверка выполнения теоремы Уфимцева о соотношении интегральных поперечников рассеяния идеально отражающего и абсолютно поглощающего ("черного") тела, сформулированная им для тел больших волновых размеров с гладкой границей. Показано, что для призм с поперечным сечением в виде правильных выпуклых шести- и восьмиугольников, теорема Уфимцева выполняется с приемлемой точностью.

Информация об авторах:

Крысанов Дмитрий Владимирович, Московский технический университет связи и информатики, магистрант, Москва, Россия Кюркчан Александр Гаврилович, Московский технический университет связи и информатики, зав. каф., д.ф.-м.н., Москва, Россия ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Фрязино Московской обл., Россия; ФГУП Центральный научно-исследовательский институт связи, Москва, Россия

Для цитирования:

Крысанов Д.В., Кюркчан А.Г. Моделирование усреднённых по углам ориентации характеристик рассеяния волн частицам и сложной геометрии и фракталоподобным и частицами // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2017. Том 11. №7. С. 17-22.

For citation:

Krysanov D.V., Kyurkchan A.G. (2017). Modeling averaged over the angles of orientation characteristics of the scattering by particles of complex geometry and fractal particles. T-Comm, vol. 11, no.7, рр. 17-22. (in Russian)

Введение

Метод Т-матриц (МТМ), предложенный Уотерменом более пятидесяти лет назад [2], в настоящее время широко используется при решении задач дифракции волн, возникающих в оптике, радиофизике, радиоастрономии и др. [3, 4]. Популярность этого метода объясняется, в частности, тем, что при решении задачи дифракции при помощи МТМ легко получить связь между коэффициентами разложения падающей и рассеянной волн по сферическому (или цилиндрическому) базису в виде простого соотношения [1,5J:

с - Та (1)

где а и с — векторы коэффициентов разложения по сферическому базису падающей и рассеянной волн соответственно, Т - матрица перехода. Поскольку значения элементов матрицы Т определяются лишь геометрией рассеивателя и видом краевых условий, то соотношение (1) позволяет легко выполнять, например, усреднение характеристик рассеяния частицы по углам ее ориентации [5]. Однако традиционный вариант метода Т-матриц применим к решению задач дифракции лишь на рэлеевских рассеивателях [5, 6].

В работе [1] было предложено обобщение метода Т-матриц на основе метода продолженных граничных условий (МПГУ). Идея МПГУ заключается в переносе граничного условия с поверхности рассеивателя на некоторую вспомогательную поверхность S-, которая располагается вне рассеивателя на некотором достаточно малом расстоянии S от его границы S- При этом носитель вспомогательного тока, создающего рассеянное иоле, остается на поверхности рассеивателя, В результате вместо точной постановки граничной задачи мы получаем приближенную, закладывая в решение погрешность порядка кб- В силу того, что любое численное решение краевой задачи (в том числе и базирующееся на строгом алгоритме), является приближенным, использование приближенных граничных условий вместо точных вполне допустимо,

К главным достоинствам МПГУ можно отнести его универсальность и простоту. Универсальность МПГУ проявляется в отсутствии ограничений на геометрию рассеивателя (в том числе он применим и для рассеивателей имеющих изломы границы, и для тонких экранов). Кроме того, МПГУ предлагает единый подход к решению краевых задач, не зависящий от их типа, размерности, геометрии поверхности рассеивателя и природы рассеиваемого поля.

Развитый в этой работе подход позволяет распространить технику Т-матриц на задачи рассеяния волн телами сколь угодно сложной геометрии. В качестве примеров рассмотрены двумерные скалярные задачи дифракции на призмах с поперечным сечением в виде первых двух итераций фрактала «снежинка Коха», правильных треугольника, шестиугольника и восьмиугольника, и краевым условием третьего рода.

Вывод основных соотношений

Рассмотрим решение внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца, т.е. задачу дифракции на компактном рассеивателе, занимающем область пространства D. В математической постановке такая задача сводится к нахождению в области D =M3\D решения U1 уравнения Гельмгольца

к дп

Аи1 + к2и1 = 0, (2)

где - волновое число, к е С, к удовлетво-

ряющею на границе 5 области Г) имнедансному краевому условию

= 0, (3)

где II =и"+Ц* - полное (падающее £_/" плюс рассеянное и1) поле, цг = — , 2, - поверхностный импеданс,

К

_ - дифференцирование по направлению внешней к 5 дп

нормали, а также условию на бесконечности.

Воспользуемся следующим представлением для решения уравнения Гельмгольца в области О [5]:

^ I пи пи

U4r)=Üu(r)^

дп' дп

(4)

в котором £ {г, г') —_Н(2) (к ■ \г — Я'|) ~ фундаментальное

о ' ф. и

решение уравнения Гельмгольца в К".

Для получения интегрального уравнения (ИУ) Фред-гольма второго рода, у которого ядро будет иметь для краевого условия 3-го рода более простой вид, чем у ИУ 1 рода, подставим представление (4) в тождество (У = [/' +£/и, тогда после выполнения дифференцирования по внешней к 5 нормали получим:

W dU{r) | гдЦ(г) к дп • дп'

Gv(r,r')-

IV dG,

f U'=t/°

(Я). (5)

к дп'

Потребовав в соответствии с МПГУ выполнения условия (3) на кривой 5 расположенной в М2 \ [) получим следующее интегральное уравнение Фредгольма второго рода с гладким ядром:

W dt/(r)

к дп

-"H+f

dU(r)( W эс(

дп I к дп

(6)

В качестве выбирается кривая, охватывающая 5 и отстоящая от нее на некоторое достаточно малое расстояние 3. В полярных координатах с использованием соотношений

д 1

Э« Jp-W + p'2^)

ds = yjp2{(p) + p'2((p)d(p,

к{<р) = ^р2{(р) + р'\<р),

. ,.dü p\(p')dU дг р(<р) д(р

дг р{(р) д(р

W

кк{ср)

дг р(<р) д<р

=J{(py

-G0(r,r)

= K(r;r)

T-Comm Том 1 1. #7-20 1 7

w

У

(г — р{(р)~ уравнение кривой 5 ) уравнение (6) примет следующий вид:

ккй{(р)

2а

Л<р) = и\г) |Л. + \к{г-г)Л(р^ф

(7) где

N

В соответствии с методом дискретных источников [5] заменим интеграл в правой части (7) суммой

н=|

IV

Р"

л I

IV

■^^¡г-г'!)-- , . О 1. кК^Р)

М;Хк I г -р\ф) дн'»(к I -11)"

Э/ р{ф)

^ = К(г-г„\

и=1

(8)

где ^ЧШШЧрШ,^}* п=\Ы ~

дискретные источники, ап - их амплитуды, N — количество источников.

Далее, приравняв левую и правую части (7) в точках кол-локации, выбранных на кривой и используя (8), получим

следующую систему алгебраических уравнений относительно величин а '■

В матричных обозначениях:

где T-J■KA -Т-матрица, а Ът = )-

Для диаграммы рассеяния из (13) будем иметь

,-т

(14)

(15)

(16)

IV

........ _........................(9)

кК3{(р)

гт = {% (} - {РЛ<РЛ<Р„}> где г - РбШ - уРав"

пение кривой

Представление для рассеянного поля имеет вид:

(Ю)

Всюду вне окруж[юсти. описанной вокруг 5, в соответствии с теоремой сложения имеем:

Н\?{к\г-г\)= £

Эг р(<р) Ъ(р

kp{(pV\Xkp{(P')) + ip^-Jrikp{(p')) Р{<Р)

откуда

Полученные соотношения, как и в традиционном методе Т-матриц, позволяют легко осуществлять усреднение характеристик рассеяния частиц по углам ориентации. Так, например, для усредненной по углам ориентации диаграммы рассеяния из (16) получим:

(]7)

причём (см. (15)): (с) = Т- (Ь).

Если, например £/ — плоская волна, а ориентация частицы по отношению к углам облучения т — равновероятна,

т.е. и'(^,)-1/2л",то

1 (18) <6,)=-— | ехр (-1кг8/ (а,)соз(«„ - ) ^-^ (кг^ (»„)). л» „

Численные результаты

Рассмотрим примеры применения изложенной выше техники. При этом будем иметь дело с задачами дифракции на рассеивателях, к решению которых в принципе не применим традиционный метод Т-матриц. В качестве такого примера рассмотрим задачу дифракции на первых двух итерациях фрактала "снежинка Коха", Геометрия рассеиватслей приведена на рис. 1,

;->Р<Р

(11)

IV

кк\ф)

кр(фУ]{кр(ф))+1р^,11Хкр(ф))

^ЛкрШ

Теперь объединяя(11) и(10)получим

N (

ш

(К<Р„)

(12)

Перепишем соотношение (12) в стандартном для МТМ виде

Рис. 1. Геометрия рассейвателей; цифры 1-5 над окружностями равны величине полярной координаты кг

Т-Сотт Уо1.1 1. #7-201 7

7Т>

У

Т-Сотт Том 1 1. #7-20 1 7

Таблица I

Результаты расчетов для первой итерации снежинки

N Значение невязки Результат проверки теоремы Уфимцева

Среднее Минимальное Максимальное

600 0.058239 0,00083063 0,22284 2,1408

400 0.038793 0.00034962 0.17451 2.1565

i 200 0.024089 0.00023091 0.17427 2.1642

1500 0.02327 0.00015943 0.I74I7 2.1687

Таблица 2

Результаты расчетов для второй итерации снежинке

N Значение невязки Результат проверки теоремы Уфимцева

Среднее Минимальное Максимальное

564 0.069393 0.0021486 083842 2.2601

852 0.041328 0.00093325 0.76171 2.2564

1716 0.020206 0.00073258 0.69465 2.2454

2868 0.012301 0.00053493 0.67944 2.2388

Таблица 3

Результаты расчетов для правильного треугольника

N Значение невязки Результат проверки теоремы Уфимцева

Среднее Минимальное Максимальное

300 0.086108 0.0011554 0.0011554 2,3501

600 0.040658 0.00040959 0.00040959 2,3668

900 0.026968 0.000269 0.000269 2,3767

1200 0.020197 0.00015699 0.00015699 2,3823

Таблица 4

Результаты расчетов для правильного шестиугольника

N Значение невязки Результат проверки теоремы Уфимцева

Среднее Мини мал ьное Макеи мальное

300 0.042902 0.00072449 0,48827 2.0980

600 0.021525 9.885Зе-05 0.4925 2.1 ПО

900 0.014363 0.00010432 0.49328 2.1160

1200 0.010777 9.5914е-05 0.49355 2.1186

Таблица 5

Результаты расчетов для правильного восьмиугольника

N Значение невязки Результат проверки теоремы Уфимцева

Среднее Минимальное Максимальное

300 0.035035 0,00054994 0,5262! 2,1026

600 0.017518 0,00029969 0,52391 2,1121

900 0.1)1 1694 0.00016785 0.52493 2.1162

1200 0.0087696 0.00016536 0.52408 2.1187

Как следует из таблиц, отношение интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего тела к поперечнику поглощающего тела для рассмотренных тел лишь приближенно соответствует теореме Уфимцева.

Представляет интерес более подробно проследить зависимость указанного отношения от размеров рассеивателей.

На рисунке 6 отображены величины отношения интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего тела к интегральному поперечнику рассеяния черного тела для рассматриваемых геометрий расссивателей при различных размерах.

Рис, б. Проверка теоремы Уфимцева при изменении размеров рассеивателей; Линия 1 -отношение интегральных поперечников рассеяния согласно теореме

Видно, что для рассеивателей с поперечным сечением в виде правильного шести- и восьмиугольника теорема Уфимцева выполняется с довольно неплохой точностью, что позволяет использовать ее при тестировании правильности получаемых результатов даже при решении задач дифракции на телах, имеющих изломы границы.

Литература

1. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Метод Т-матриц на основе метода продолженных граничных условий Н T-Comm. Телекоммуникации и транспорт. 2016. Т, 10. №1. С. 34-38.

2. Waterman Р. С. Matrix formulation of electromagnetic scattering II Proc. IEEE. 1965, v.53, pp. 805-812.

3. Mishchenko M. /., Videen G., Babenko К A., Khlebtsov N.G., Wrledt T. T-matrix theory of electromagnetic scattering by panicles and its applications: a comprehensive reference database. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, vol. 88, 2004, pp. 357-406.

4. Mishchenko MA., Zakharova N.T., Khlebtsov N.G., Videen G., Wriedt T. Comprehensive T-matrix reference database: A 2014-2015 update // JQSRT, v. 178 (2016), pp. 276-283.

5. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Математическое моделирование н теории дифракции с использованием априорной информации об аналитических свойствах решения, М,: ООО «ИД Медиа Паблишер», 2014.

6. Кюркчан Л.Г., Смирнова Н.И. Чиркова А.П. Метод Т-матриц на основе модифицированных методов вспомогательных токов и нулевого поля // Радиотехника и электроника. 2015, Т. 60. №3, С. 247-253.

7. Уфимцев П.Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике. М.: Бином, 2007.

T-Comm Vol. 1 1. #7-201 7

MODELING AVERAGED OVER THE ANGLES OF ORIENTATION CHARACTERISTICS OF THE SCATTERING BY PARTICLES OF COMPLEX GEOMETRY AND FRACTAL PARTICLES

Dmitry V. Krysanov, Moscow Technical University of Communications and Informatics Russian Federation, Moscow, [email protected] Alexander G. Kyurkchan, Moscow Technical University of Communications and Informatics Russian Federation, Moscow, [email protected] Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, Fryazino, Russia;

Central Research Institute of Communication, Moscow, Russia

Abstract

In many areas of modern science and technology, such as acoustics, optics, radiophysics, astrophysics, radio astronomy, polarimetry, biophysics and others, there is a big need for the effective tools allowing researching characteristics of wave scattering by particles of different, including complex geometry and there is need for their effective solution.

One of the most widely applicable methods for solving diffraction problems is the T-matrix method. Its popularity is explained by simplicity and convenience of calculation of important characteristics of scattering of compact objects in appendices, such, as, for example, scatter diagram of a particle, averaged on orientation angles of the last. However, the traditional T-matrix method is applicable at the solution of problems of diffraction only on so-called Rayleigh scatterers. We recall that the Rayleigh class includes bodies in which the set of singularities of the analytic continuation of the diffraction (scattered) field lies inside the sphere (in the two-dimensional case, the circle) entirely contained within the scatterer. To such scatterers usually, bodies of complex geometry, and furthermore - fractal bodies do not belong.

In this work generalization of the T-matrix method based on method of the continued boundary conditions proposed in work [1] is developed. The developed technique, which has all the advantages of the T-matrix method, is applicable to the study of diffraction problems on bodies with boundary breaks. Examples of modeling the characteristics of wave scattering by prisms with a cross section in the form of regular polygons and the first iterations of the fractal "Koch snowflake" are considered. Such characteristics as the scattering diagram and the scattering diagram averaged over the orientation angles were calculated. In addition, for the scatterers of the above geometry, the verification of the fulfillment of Ufimtsev's theorem on the relation between the integral cross-section of ideally conducting and absolutely absorbing ("black") body, which he formulated for bodies of large wave dimensions with a smooth boundary, is carried. It show that for prisms with a cross section in the form of regular convex hexagons and octagonals, Ufimtsev's theorem holds with an acceptable accuracy.

Keywords: diffraction and scattering of waves, method of T-matrixes, method of the continued boundary conditions, average scatter pattern, fractal particles.

References

1. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2016). T-matrixes method on the basis of the continued boundary conditions method. T-Comm, vol. 10, no.1, pp. 34-38.

2. Waterman P.C. (1965). Matrix formulation of electromagnetic scattering. Proc. IEEE, vol. 53, pp. 805-812.

3. Mishchenko M. I., Videen G., Babenko V.A., Khlebtsov N.G., Wriedt T. (2004). T-matrix theory of electromagnetic scattering by particles and its applications: a comprehensive reference database. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, vol. 88, pp. 357-406.

4. Mishchenko M.I., Zakharova N.T., Khlebtsov N.G., Videen G., Wriedt T. (2016). Comprehensive T-matrix reference database: A 2014-2015 update. JQSRT, vol. 178, pp. 276-283.

5. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2016). Mathematical modeling in the theory of diffraction using a priori information about the analytic properties of the solution. Amsterdam: Elsevier. 280 p.

6. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I., Chirkova A.P. (2015). The T-matrix method based on the modified auxiliary current and null-field methods. Journal of Communications Technology and Electronics, vol. 60, no. 3, pp. 232-238.

7. Ufimtsev P.Ya. (2007). The Theory of the Edge Diffraction Waves in Electrodynamics. Moscow: Binom. (in Russian)

Information about authors:

Dmitry V. Krysanov, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Master's Degree student, Moscow, Russia; Alexander G. Kyurkchan, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Head of the PT and AM Department, Moscow, Russia; Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, Fryazino, Russia; Central Research Institute of Communication, Moscow, Russia

w

T-Comm Tom 1 1. #7-20 1 7