Моделирование усредненных характеристик рассеяния в двумерной задаче дифракции на диэлектрическом теле методами диаграммных уравнений и т-матриц Текст научной статьи по специальности «Физика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСРЕДНЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РАССЕЯНИЯ В ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ТЕЛЕ МЕТОДАМИ ДИАГРАММНЫХ

УРАВНЕНИЙ И Т-МАТРИЦ

DOI 10.24411/2072-8735-2018-10258

Демин Дмитрий Борисович,

МТУСИ, Москва, Россия, [email protected]

Ключевые слова: диаграмма рассеяния, метод диаграммных уравнений, метод Т-матриц, диэлектрический рассеиватель, усреднение, оптическая теорема

Рассматривалось решение двумерной задачи дифракции на диэлектрическом бесконечном цилиндре произвольного сечения двумя универсальными методами: методом диаграммных уравнений (МДУ) и методом Т-матриц (МТМ). Впервые приведено обобщение МДУ для поиска усредненных характеристик рассеяния в случае диэлектрического рассеивателя. Усреднение проводилось по углам облучения. Проведено сравнение методик усреднения в МДУ и МТМ. Показаны преимущества и недостатки двух методов и проведено сравнение результатов расчета для различных геометрий поперечного сечения цилиндра: круга, эллипса, двулистника и суперэллипса. Для проверки сходимости численного алгоритма двух методов проверялось выполнение оптической теоремы как в отсутствии поглощения, так и при его наличии внутри тела. Как и ожидалось, МТМ показал высокую скорость сходимости и высокую точность для всех так называемых рэлеевских тел. Скорость сходимости численного алгоритма МДУ оказалась несколько хуже, чем у МТМ, но точность вычислений в МДУ была выше. Показано, что МДУ можно применять к более широкому классу геометрий рассеивателей, а именно ко всем так называемым слабо невыпуклым рассеивателям, к каковым относятся и все рэлеевские тела, а также к телам с неаналитической границей. Численный алгоритм МТМ для большинства нерэлеевских тел неустойчив и приводит к неверным результатам. Разработанная методика усреднения в МДУ и МТМ может быть легко обобщена на случай слоистых тел и нескольких диэлектрических тел.

Информация об авторе:

Демин Дмитрий Борисович, доцент кафедры "теории вероятностей и прикладной математики", к.ф.-м.н., доцент, МТУСИ, Москва, Россия

Для цитирования:

Демин Д.Б. Моделирование усредненных характеристик рассеяния в двумерной задаче дифракции на диэлектрическом теле методами диаграммных уравнений и т-матриц // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2019. Том 13. №4. С. 27-35.

For citation:

Demin D.B. (2019). Simulation of averaged scattering characteristics of dielectric particles in a 2d diffraction problem using pattern equation method and t-matrix method. T-Comm, vol. 13, no.4, pр. 27-35. (in Russian)

Введение

По многих приложениях радиофизики таких как радиолокация, метеорология, радиоастрономия, лазерная дефектоскопия и др. необходимо получать хотя бы и приближенные значения не только обычных величин, характеризующих рассеяние электромагнитных волн частицами, но и их усредненные аналоги. Наиболее важными из таких усредненных характеристик являются полный поперечник рассеяния, поперечник поглощения и диаграмма рассеяния, усредненные по ориентация« частиц в пространстве, а в некоторых случаях и по их размерам и диэлектрическим свойствам материала. Такие усредненные характеристики наблюдаются в большинстве случаев при реальных измерениях рассеяния от хаотически расположенных частиц.

До недавних пор наиболее эффективным методом получения усредненных характеристик был метод Т-магриц (МТМ) [11. Этот метод достаточно универсален для многих задач рассеяния как на одиночном геле, гак и на г руппе тел. С вычислительной точки зрения этот метод хорошо себя зарекомендовал в основном для так называемых рэлеевских тел, т.е. таких тел, у которых все особенности аналитического продолжения дифракционного поля лежат внутри окружности, вписанной в сечение цилиндра (двумерный случай).

Целью данной работы было продемонстрировать возможности получения усредненных характеристик другим универсальным методом, а именно - методом диаграммных уравнений (МДУ) [2, 3] и сравнить результаты расчета и методики усреднения в МДУ и МТМ. Для простоты изложения двух методик усреднения была рассмотрена двумерная (скалярная) задача дифракции на рассеивателе, представляющем собой бесконечный магнито-диэлектрический цилиндр произвольного сечения.

Ранее при помощи МДУ уже было проведено усреднение характеристик рассеяния для одиночного пмпсдансного цилиндра и группы цилиндров [4, 5]. Было продемонстрировано, что МДУ обладает рядом преимуществ по отношению к МТМ.

1'ис. I. Геометрия задачи

Во-первых, МДУ является строго обоснованным методом, и для него установлены точные границы применимости, что отличает его от других численных методов решения задач дифракции и рассеяния. Был строго установлен класс геометрий рассеивателей, для которых численный алгоритм МДУ устойчив к погрешностям вычислений и обладает высокой скоростью сходимости [!-4, 6|. Нужно отмстить, что полученные ограничения слабо зависят от сложности геометрии рассеивателей, а определяются, главным образом размерами систем. Во-вторых, МДУ применим для всех так называемых слабо невыпуклых тел, к которым относятся и все выпуклые (в том числе и рэлеевские) тела, а также для тел е изломами границы (т.е. с нарушениями аналитичности ограничивающего их контура). Однако МДУ уступает МТМ в простоте реализации и скорости вычислении характеристик рассеяния [4-5].

Изложим кратко математические формулировки МДУ н МТМ и сравним методики усреднения в этих методах.

Постановка задачи

Пусть на магнитнодиэлскгрнческий цилиндр с направляющей 5 (рис.1) падает электромагнитная волна, описываемая функцией и (?) , не зависящей от координаты вдоль оси цилиндра, у которой либо электрический, либо магнитный вектор напряженности кол ли неарен оси цилиндра (оси г ). В первом случае (Е-поляризация) обозначим буквой и величину Е. (т.е. Е(г) = н(г)ч:), а во втором случае (Н-поляризация) - величину Н ■ Тогда на границе рассеи-вателя 5 будут иметь место краевые условия;

(1)

а *

аи ои

, у- — .-

» г дп .4 СП

где у = ш / /_1а = ¡_1г {в случае £-поляризации) или у = £■,/е„=£г (в случае Н-полярнзации); и' — поле внутри ди ,

цилиндра; производная — берется вдоль плоского вектора дп

внешней нормали п к контуру £0,£, и //„,//,. - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости во внешней среде и в области О, а £г и цт - относительные

диэлектрическая и магнитная проницаемости в 0 \ величина и, равная

и=и°+и1, (2)

есть полное поле вне цилиндра; и"- первичное (падающее) поле, а и' — вторичное (дифракционное) поле.

Как известно, волновые поля «' и и удовлетворяют Однородным волновым уравнениям Гельмгольна

Д«1 +к~и] =0, Аи' +кУ =0, (3)

в которых к = Од/ад, , А'; = - к^£г/.1г - волновые

числа во внешней среде и в области О соответственно, а поле и' удовлетворяет еще условию излучения Зоммерфельда на бесконечности, ко торое 1; двумерном случае имеет вид:

Гш1,

дг

где г — длина радиус-вектора точки наблюдения.

1 ¡111 л/Г

- + ЙИ1 =0.

(4)

Формулировка МДУ

Основу метода составляет сведение исходной краевой задачи для уравнения Гельмгольца (здесь (1)-(3)) к интегро-операторному уравнению II рода относительно диаграммы рассеяния {т.е. спектральной функции волнового поля).

Так, всюду в Я" \ Ви (где В0 - выпуклая оболочка особенностей продолжения поля и внутрь рассеивателя, Ва с , О - область внутри границы 5 вместе с самой ЭТОЙ границей) поле и (г, ф) предетавимо следующим интегралом плоских волн (интегралом Зоммерфельда) [6, 7]:

J !ТГ1*Ы

и\г,<р) = — Ы^ + у/)ехр(-(7!тсо5у/)£Уу/ = (5)

7Г *

-ж/2-Щ

в котором g({p) —диаграмма рассеяния волнового поля и1, связанная с ним асимптотическим равенством

u\r,<p) = -exp^-ihr + ijj g(</>) + о\

4 J\dn дп

¡kr

ds ■

(8)

U^^H^r-r'Ms'.

4; Von an)

(9)

fll=-oq

«W) = У c^^(Ar)^'.

Я|=—3s

„'(r,<p) = YaJJk^ -

1

дп л1рЧ<Р)+(РХР)У~ У ' 8r d(P

ds = ^p2((p) + (p'{<p)Y d<p,

(13)

и в соответствии с краевыми условиями (1), получим соотношение

ui {1кр(ф)с<з%(а- ф) - ¡кр'(ф)$т(а - ф))

—^г . кг ОС.

(6)

Из волнового соотношения Грина для поля и в двумерном случае

и из асимптотики (6) с учетом асимптотики функции Н'„2)

(функции Ганкеля второго рода пулевого порядка), получим следующее интефальное представление для диаграммы (см. подробнее [6])

(14)

х expfifcr cos(« - j Из (14) с учетом (12) получим

*<«>я4 J £ I1

(Д p(tp) J

- ikJt (к, (щр(ф) cos(ö - tp) - p'(<p) sin(« - (p) )}ехр((Ар{(0) cos{« - ip))dtp,

(14a)

Поступая аналогичным образом с уравнением (9), с использованием (I), (2) и (12), придем к соотношению

. 2т

j jg Up+ w) '(А'; (ikpi p) с о s у/ - ikp'(£>) sin tp )Н];>(кг) +

II г

+ k.p(<p)H'a\kr) + in£^-Hr-\kr) lle-'-'^^dipt/tp,

I Н<Р) J)

где

р L. V дг Ш<Р) д<Р,

(16)

По аналогии с (7), поле и внуфи области D удовлетворяет интегральному соотношению

Для вывода дальнейших соотношений воспользуемся следующими разложениями в ряды Фурье

дп\ р(<р)

Символом Г в (15) обозначен контур интегрирования в (5).

Уравнения (14)-(16) образуют систему иитегро-алгебраических уравнений относительно диаграммы рассеяния. Из полученной системы путем подстановки разложения диаграммы рассеяния в ряд по некоторому базису можно вывести систему алгебраических уравнений МДУ.

Подставляя в (14а) разложение (10), придем к алгебраической системе вида

(10) (11) (12)

Ст ~ ¿С а»

(17)

Л=—ЗО

в которой

4,» =4 fl-i kAvmkpiM-M^uKmwskpm-

рт )

В (11)-(12) функции и 3т есть функции Ганкеля

второю рода и функции Бесселя соответственно различных порядков.

Заменив в выражении (8) величины и на и', с использованием соотношений

i

рш

pd<p.

(18)

Аналогично, из уравнения (15) с использованием разложения (10), получим

аш = а" +

(14)

где

^ Р<<Р) ) J (21

(20)

J.

[3 векторно-матричных обозначениях системы (17) и (19) примут следующий вид

с~ Аа\ а' - а" + Вс _ (21)

или

с = С 1 Аа"

где С = I — А • В, а / - это единичная матрица той же размерности, что А и В .

Формулировка МТМ

13 МТМ основополагающим соотношением является соотношение нулевого поля;

где г ей и В— область внутри 5.

Из (23) и краевых условий (1) следует, что

= (23а)

4 дп дп )

Подставляя в (23а) разложения (12) и учитывая, что внешнее поле и" есть плоская волна

п--<о

|£ Л,(кг)н™{кг~,

оо

Г < 1ГНП ),

получим

со

IX £..... =ап'

где

а„ = -(-0 « .

11одетавляя в (29) разложения {I I), (12) и учитывая, что

г > = шах р{(р)),

г

получим систему

(30)

(31)

где

Н„т =0 (32)

Системы (26) и (31) в векторно-матрнчной форме имеют следующий вид:

да' = а и с = На' , откуда

с = Нд-'а = Та, (33)

где Т = Я(Г' (Т-матрипа).

так называемая матрица перехода

(24)

(25)

(26)

(27)

Усреднение в МДУ и МТМ

Диаграмма рассеяния (#{#>)), усредненная по углам облучения <ра ((рв - угол падения первичной плоской волны), может быть найдена по формуле;

т ■ -г

где скобки <.,> означают усреднение по углам ср{), То есть, чтобы получить усредненные характеристики рассеяния, нужно усреднять коэффициенты разложения ст диаграммы рассеяния g{ф). Эти коэффициенты могут быть найдены из соотношений

<с) = С 'А(аа), (МДУ) (35)

(с) = Т(а). (МТМ) (36)

В случае падения плоской волны и\г,(р) = еи равномерного распределения случайного угла (ри на отрезке [О, 2л"] имеем: 1

(28)

Из волнового соотношения Грина (7) и краевых условий (1) имеем

я»

к>=-(-')" р^щ=-¿„о-<м™>

(37)

(38)

2/г |

=Т \\(к,р(<р)н'^(к,р(<р)) + т^н*\к1рир)) Ъй{кр(<р))-

4 „ ^ Р(9) 1

- у •

(МДУ)

2л*

Как видно из формул (37) и (38) в МДУ при усреднении коэффициентов а не удается избавиться от интегралов, тогда как в МТМ усредненные коэффициенты (ап} вычисляются довольно легко.

Для проверки сходимости численных алгоритмов и достоверности расчетов в обоих методах проверялось выполнение так называемой оптической теоремы, которая вытекает из закона сохранения энергии. Согласно этой теореме при наличии потерь в веществе сумма полного (интегрального) сечения рассеяния ст, Й сечения поглощения ааЬ5 должна

равняться (с точностью до константы) со знаком минус действительному значению диаграммы рассеяния в направлении падения внешнего поля и0 (двумерная задача), т.е.

4

О. + а, = —---;-= <7

(39)

где

,5м1 , 2 "

кл

<j„h, = - — Imcf/i—cis. t j я»

<Эя

(40)

(4!)

Величина (7, введенная В качестве обозначения правой

части уравнения (39), обозначает полное сечение так называемой «экстинкции» (англ. «extinction»), т.е. мощности, создаваемой внешними источниками и прошедшей через замкнутую поверхность S (дословный перевод слова «extinction» - гашение).

Из (40) с учетом (10) следует, что 4

Г" »=—00

(40а)

Формула (40а) может быть использована для вывода формулы вычисления полного (интегрального) сечения рассеяния }, усредненного по углам облучения (р(). Именно

2л я

кл"

кл

(42)

11а основании (44) в случае МТМ из (42) следует, что

(45)

к 1 / к

Из формул (42)-(43) видно, что для вычисления {ст.у при

помощи МДУ придется вычислять интеграл по углам облучения <ра либо от выражения, зависящего от коэффициентов

Ся((рп), которые являются решениями системы (22), либо от

выражения {(ра )а°р {<рл ), которое может быть найдено при помощи формул (16), В случае МТМ, формула (45) показывает, что величина иг,) вычисляется достаточно легко:

нужно лишь просуммировать квадраты модулей элементов Т-матрицы {эти элементы вычисляются фактически один раз, так как не зависят от условий падения внешнего поля). Таким образом, вычисление интегральных усредненных характеристик рассеяния численным алгоритмом МДУ является достаточно сложным по сравнению с МТМ, что сказывается на скорости их вычисления.

В следующем разделе приводятся примеры вычислений характеристик рассеяния обоими методами и их сравнение.

Численные результаты

В качестве конкретных примеров была рассмотрена задача дифракции на диэлектрическом цилиндре, поперечное сечение которого 5 имеет геометрию круга, эллипса, дву-листника и суперэллипса.

При численном решении бесконечные системы в МДУ и МТМ решались методом усечения, т.е. диаграмма рассеяния раскладывалась в конечный ряд вида (10), в котором максимальное число гармоник выбираюсь равным некоторому натуральному числу N, Как было установлено ранее при решении импедансных краевых задач рассеяния при помощи МДУ для получения достаточно точных результатов число гармоник N можно брать приблизительно равным длине одного или нескольких диаметров описанною вокруг тела круга.

В случае когда границей 5 является круг ( р{(р) = а , а - радиус круга), при разложении диаграммы рассеяния в ряд (¡0) в полярных координатах численные алгоритмы МДУ и МТМ приводят к одним и тем же аналитическим формулам для коэффициентов рассеяния сп, а именно

I

ев=еГ*«Ш

7_

I

В МДУ

{|с„Г)- - t £ (<'• 'ЛЫО- 1Л);

m=_oo yj=-x Q

(43)

В МТМ

, I j ^ ® Я) а; ^

(К \rtz jK £К—щ - £ К!:

(44)

ш;13,(ьу„(*гя) - - к,н«\!юу'лы\

(46)

Тогда усредненные коэффициенты (сп} будут равны

\

' к J'а(к a)Jп{ки) - kJ'Aka)JJk,a) _У____

Ш'0(1} (ka)J„ (kta) - - к,Я<2) (Шс (к,а) 7

(46а)

Подставляя (46а) в (34), получим

{#(#>)) = (са ) = const, (466)

т.е. усредненная диафамма рассеяния для круга является постоянной величиной при любом угле облучения (ри.

Таким образом, в случае кругового цилиндра нет надобности в решении бесконечных алгебраических систем методом усечения. Для такой геометрии решение получается аналитически в виде явных формул для коэффициентов разложения С диаграммы рассеяния.

Во всех примерах, приведенных ниже, в качестве первичного поля рассматривалась плоская единичная волна, случай Е-подяризации.

Ниже в таблице I приведены расчеты величин cr , cr.lhx,

(о\ ) и правой части формулы (39) при Аго = 10, Ег — 4, fir — 1 и при различных значениях числа гармоник N . Нужно отметить, что для круга величины tJl, (Jahs и ((Tj) не зависят от угла облучения и, фактически, с =-{ст\ (что следует из формул (42) и (466)). В последнем столбце таблиц I и 2 указана величина Д =| ег5. + a - а \ -погрешность выполнения опт ической теоремы.

J.

i.

Таблица 1

Круг: ка = \а , щг =4, Ц„=\, <ра = О

N -ьау* А

10 29.99445761013(158 2.8-10'" 29.99445761013061 29.99445761013061 0

п 30.28164754287957 -3.98-1С" 30.2816475428796 30.28164754287959 1.4 ■Ю-'4

15 30,44<><№790718925 -5 10"" 30,4499979071893 $0.44999790718929 1.7.ЦГ"

30 30.450001733268)2 -1.95-101" 30.45000173326887 30.45000173326К8 7 3,5'II)"

25 30.45000! 73326883 -4,6-[<ГИ 30.4500017332688» 30.450001733М887 1.110"

В таблице 2 приведены результаты расчета характеристик рассеяния для круга при ка = 8. ег= /лг=\ — 4/ (поглощающий случай).

Таблица 2

Круг: ка = 8 , £г = = 1 -4г, = О

N <7>={СГ>} 11.4. (39) %

8 20.84406410% 13 3.60526375172908 24.50432786134244 1.77.10""

10 21.331672437204 3.6052637521 К186 24.93693618938605 2.48 10"

15 21.333557931211 3.60526375219029 24.938821683401Й4

17 21.333557931212 3.60526375219023 24.93882168340234 1.410 м

20 21,333557931212 3.60526375219023 24.93882 168340234 10'"

Из таблиц I и 2 видно, что для всех значений N оптическая теорема выполняется с точностью примерно IО м. При этом точность вычисления величины (о^) при N ~2ка

составляет примерно 11-12 верных знаков после запятой.

В качестве следующего примера рассмотрим задачу рассеяния па эллиптическом цилиндре с большой и малой полуосями а и Ь . Как известно, эллипс является рэлеевской геометрией при условии, что а!Ь< л/2 (см. [6, 7]). В таблицах 3 и 4 приведены результаты расчета для рэ лее не кого эллипса ( ка = 4 ,кЬ - 2.83 ) и для нерэлеевского (ка = 4, кЬ = 2). В обоих случаях ег = 4, /,1г = 1, ф0 = 0 .

Время вычисления не усредненных характеристик в МДУ й МТМ практически одинаково. Что касается усредненных характеристик, то для расчета величины (ст.) в МДУ затрачивалось дополнительное время, равное примерно половине времени вычисления обычных (не усредненных) характеристик, в то время как в МТМ для вычисления (¿Г,) никакого

дополнительного времени пе затрачивается, что объясняется формулой (45). Например, общее время, затрачиваемое алгоритмом МДУ для вычисления всех характеристик рассеяния при N - 20, составило примерно 15 сек, а в МТМ — 10 сек. На рис.2 приведена усредненная по углам облучения <ра диаграмма рассеяния эллипса с полуосями ка = 4,кЬ = 1. Кривые, приведенные при N = 20 и N =30, были получены при помощи МДУ, при этом нужно отметить, что все кривые, которые получались с помощью МДУ при N>30, полностью совпадали с той, что была получена при N =30, Кривые, полученные при помощи МТМ при N < 30, полностью совпали с теми, что были получены при помощи МДУ. Однако, как видно из рис. 2, при N = 40 график диаграммы, полученный с помощью МТМ, сильно отличается от того, что был получен при помощи МДУ, что свидетельствует о разрушении вычислительного алгоритма в МТМ.

Таблица 3

Эллипс: ка = 4.кЬ = 2.83, ег — 4, цг = 1, =0

а) МДУ

N П,ч, (39) Д

15 9.0855780 8.910-' 9.085667(1 10.0303697 5.3-10"

20 9.0856106 7.2-104" 9.0856179 10.0311568 1,4-10""

25 9.0856(168 2.3-10'1 9.0856070 10.0312620 3.1 10'"

30 9,0856069 -7.99-10'' 9.0856069 10.0312642 5,3-10""

о) МТМ

N П.ч. (39) А

15 9.0856069 -5.3-10"" 9.0856069 10.0312645 ИГ"

20 9.0856069 1.6-10-" 9.0856069 10.0312645 5.3-10"11

25 9.0856069 -10" 9.0856069 10.0312645 6.9-10'13

30 9.0856069 1.9-10'10 9.0856069 10.0312645 1,9-10"10

Таблица 4

Эллипс: ка~4,кЬ~2,ег = 4, //г =). <ра = 0 а) МДУ_

N <7У О",л, 11.4.(39) А

20 3.34092360 0.0561872 3.39711084 18.81766616 6.25-10"

25 3.35577430 0.0317549 3.38753118 18.95907141 1.92-10'"

28 3.36351461 0.0246781 3.38823403 19.00831345 4.13-10'5

30 3.37350393 0.020074! 3.39358831 19.06015634 1,01-10--4

35 3.37392077 0,0126106 3.3865933! 19,09074367 6.18-10"'

40 3.36944185 0.0209534 3.38934700 19.00777389 0.001048

5) МТМ

N <т. П.Ч. (39) Д

20 3.38332058 -0.00013 3.38332058 19.17648469 0.00013

25 3.38332058 -0.671829 3.38332057 19,17648470 0.671829

28 3.38331970 1705.20709 3.38.332010 19.17649327 1705,20709

30 3.38334063 -69184.3218 3.38332854 19.17620331 69184.3218

35 3.35865777 2.49-10,; 3.41115196 19.07052944 2.49-10

40 2.11436016 -3.67.10" 2.53309425 24.14083803 3.67 10"

Рис. 2. Усредненная диаграмма рассеяния для эллиптического цилиндра

Из таблицы 4 видно, что численный алгоритм МДУ обеспечивает точность выполнения оптической теоремы в диапазоне примерно от 10 к при N = 20 до 10 ' при N = 40, при этом в значении интегрального сечения рассеяния ст< устанавливается примерно два верных знака после запятой. В то же время численный алгоритм МТМ демонстрирует хорошую точность выполнения оптической теоремы только при некоторых (небольших) значениях чие-

ла гармоник N ( N < 20), я при N > 20 величина Д начинает сильно увеличиваться и уже при jV=40 достигает значения порядка 1014. Все это только подтверждает тот факт, что алгоритм МТМ численно неустойчив для всех «нерэлеевеких» геометрий тел при росте размеров алгебраических систем и может давать относительно приемлемые результаты только при небольших значениях N.

Были проведены вычисления характеристик рассеяния для эллиптических цилиндров больших размеров в сечении. Так, в таблице 5 приведены расчеты для случая эллиптического сечения с параметрами А« =10, kb = 5. Значения относительных диэлектрической ь~г и магнитной прони-наемостей здесь были выбраны одинаковыми и равными величине 1-/, что соответствует случаю сильного поглощения внешнего поля в цилиндре.

На рисунках 3 и 4 представлены как обычная (не усредненная), так и усредненная диаграммы рассеяния для данного случая. Отмстим, что при N <30 диаграммы, полученные как при помощи МДУ, так и при помощи МТМ, полностью совпадают. Однако, как видно из приведенных рис. 3 и 4, при N= 35, график, полученный при помощи МТМ, сильно отличается от того, что был получен при помощи МДУ.

Таблица 5

Эллипс: ка = 10, kb = 5, е= //г = 1 -/, <рп=я!2 а) МДУ

N (Т1 11.ч. (39) К) Д

20 17.356+9165 18.75992075 36.11641240 15.29381431 1.93-10"

25 18.30168135 19.65230376 37.95397947 15.80040867 5.64-10*

30 18.96804446 20.21329836 39.18317021 16.15307919 0.0018271

32 19. J9660859 20.31464200 39.54494630 16.19221318 0.03369

35 19.22571403 20.34527464 39.57670654 16.25161841 0.0057128

6) МТМ

N (Т, 11.ч. (39) Д

20 19.88250940 21.19403403 41.06572118 16.50130999 0.0108222

25 19.88248243 697.309518 41.06558900 16.50148611 676.1264118

30 19.88262102 9258405.559 41.06589614 16.50150173 9258384.376

35 20.31808524 4.41-10" 41.27583678 32.67204755 4.41-10"

10 9 8 7 6

; 5

J

4

3

'^aAI

-N-30.35 (МДУ)

—* N=30 (МТМ) -----^=35 (МТМ >

--- г'У'у"-,,- - -1-

О 45 90 135 180 225 270 315 360 ф,(град)

Гнс. 3. Диаграмма рассеяния эллиптического цилиндра

135 180 225 270 315 360 Ф0. (град)

Рис. 4. Усредненная диаграмма рассеяния эллиптического цилиндра

Далее, в таблицах 6-7 приведены результаты расчета характеристик рассеяния для двулистника. Как известно, контур 5 двулистника в полярных координатах может быть задан уравнением р(<р) = (/(1 + гсоз2р) {параметр т характеризует степень «невыпуклости» геометрического контура). Двулистная, как это было показано в [2], [6]-|7|, является рэлеевскнм при условии, что г < 0,2653 , при этом бесконечная система МДУ остается фредгольмовой (т.е. разрешимой методом редукции) для всех г < I / 3. Таблица 6 соответствует данным для рэлеевского двулистника (г = 0.265), а таблица 7 - для не рэлеевского (г = 0.33). На рис.5 приведена усредненная диаграмма рассеяния для н ерэ л ее вс ко го двулистника.

Таблица 6

Двулистник: ка = 4. г = 0.265 , $г = 4, Цг = Ь <р„ = 0 а) МДУ

N а, П.ч, (39) ы Д

18 26.84716320 0.004528 26.85169205 18.23086024 1,59-10'"

20 26.84957009 0.000851 26.85042195 18,24138383 8.88-10!

26 26.84981525 2.7М0' 26.84984154 18.24376197 8.63-10"т

30 26.84981890 6.45' 10* 26.84982534 18.24385136 1.44-10"

б) МТМ

N Щ П.ч. (39) m Д

18 26.84716320 0.0045288 26.85169205 18.24735217 9.03-1 О*

20 26.84887461 0. ООО 50 75 26.84893329 18.24258939 0.0004488

25 26.84985968 -5.8136437 26,84988502 18.24392373 5,8136691

30 26.84982119 145.03799 26.84983209 18.24386834 145.03798

Двулистник: а) МДУ

Таблица 7

: ка = 4,г = 0.33, ег= 4, /;г = 1, <?„ = 0

N Пл. (39) ы Д

18 28.4532718 0.0331824 28.4864635 17.8805542 9.27-1 О*

20 28.4633648 0.0396342 28.5030239 17.8900286 2.48-! IT*

25 28.5011951 0.0027018 28.5039363 17.9375689 3.93-10'

28 28.5051937 0.0018236 28.5070179 17.9415877 5.34-10"'

30 28.5063221 0.0004104 28.5067254 17.9430244 7.1*10*

5) МТМ

N <7, П.ч. (39) m д

18 27.8106682 0.8182114 27.5704892 17.8513355 1.0583904

20 29.0657825 -55.793626 29.2274620 18.1081924 55.955305

25 29.0923462 -3377956.84 29.0731055 18.1085726 3377956.82

28 28.7654903 2.53- 10й 28.8187129 18.0347677 2.53-10"1

30 28.2420379 7.14-10"- 28.1948970 17.8604778 7.14-10'"

В то же время в МДУ точность вычислений, с ростом размеров систем, только растет и находится на уровне, достаточном для численных расчетов и построения диаграмм рассеяния. Ьыло установлено, что только при чрезмерно больших значениях числа гармоник N ( N > 30 ) наблюдалось ухудшение сходимости численного алгоритма МДУ, что связано с ростом вычислительных погрешностей величин, в МТМ же ухудшение и фактически разрушение сходимости численного алгоритма для всех «нерэлеевских» геометрий цилиндра наблюдалось уже при jV > 20.

Литература

t. Mishçhenko ML, Travis L.D.. Lacis A.A. Scattering, absorption and emission of light by small particles. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. 486 c.

2. Кюркчан А.Г. Об одном интегральном уравнении в теории дифракции //Доклады АН. 1992. Т. 325. №2. С. 273-280.

3. Кюркчан А.Г. Об одном методе решения задач рассеяния волн "прозрачными" препятствиями П Доклады АН. 1997. Т. 352. №2. С. 180-183.

4. Демин Д.Б.. Кюркчан А.Г., Смирнова НИ. Усреднение по углам облучения в двумерной скалярной задаче дифракции // Т-Сошш; Телекоммуникации и транспорт. № 11.2012. С. 15-2!.

5. Демин Д.Б., Кюркчан А.Г. Усреднение характеристик рассеяния в чадачах дифракции воли ва нескольких импедансных телах на основе метода диаграммных уравнений // Т-Сотт: Телекоммуникации и транспорт. № 11. 20! 3. С. 123-129.

6. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Математическое моделирование в теории дифракции с использованием априорной информации об аналитических свойствах решения. М.: ИД Медиа Паблишер, 2014. 226 с.

7. Апеяьцин В.Ф.. Кюркчан А.Г. Аналитические свойства волновых полей, м.: Изд. МГУ, 1990. 208 с.

SIMULATION OF AVERAGED SCATTERING CHARACTERISTICS OF DIELECTRIC PARTICLES IN A 2D DIFFRACTION PROBLEM USING PATTERN EQUATION METHOD AND T-MATRIX METHOD

Dmitrii B. Demin, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, [email protected]

Abstract

This article considers solution to 2D diffraction problem for dielectric infinite body using pattern equation method (PEM) and T-matrix method (TMM). For the first time, PEM is summarized to search averaged scattering characteristics for a dielectric scatterer case. Averaging is made for radiation angles. Averaging methods in PEM and TMM are compared. Advantages and disadvantages of two methods are indicated and calculation results are compared for different geometries of cylinder cross section: circle, ellipse, twolobe, and superellipse. To verify the convergence of numerical algorithms of two methods, fulfillment of optical theorem was checked both in absence of absorption and in its presence inside the body. As expected, TMM has demonstrated a high speed of convergence and high accuracy for all so-called Rayleigh bodies. Convergence speed of PEM numerical algorithm turned out to be slightly worse than the one of TMM but calculation accuracy of PEM was higher. It is demonstrated that PEM can be applied to a wider range of scatterer geometry, namely, to all so-called weakly non-convex scatterers, which include all Rayleigh bodies and bodies with non-analytical boundary. TMM numerical algorithm is unstable for the majority of non-Rayleigh bodies and leads to wrong results. The developed method of averaging in PEM and TMM can be summarized easily for the case of layered bodies and several dielectric bodies.

Keywords: scattering pattern, pattern equations method, T-matrix method, dielectric scatterer, averaging, optical theorem. References

1. Mishchenko M.I., Travis L.D., Lacis A.A. (2002). Scattering, absorption and emission of light by small particles. Cambridge: Cambridge University Press. 486 p.

2. Kyurkchan A.G. (1992). A new integral equation in the diffraction theory. Soviet Physics-Doklady. Vol. 37, no.7, pp. 338-340.

3. Kyurkchan A.G. (1997). On a Method for Solving Problems of Wave Scattering by "Transparent" Obstacles. Doklady Mathematics. Vol. 55, no.1, pp. 136-139.

4. Demin D.B., Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2012). Averaging by the radiation angles in 2-D diffraction problem. T-Comm, no.11, pp.15-21. (in Russian)

5. Demin D.B., Kyurkchan A.G. (2013). Averaging of scattering characteristics in wave diffraction problems on several impedance bodies by using pattern equations method. T-Comm, no 11, pp.123-129. (in Russian)

6. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2016). Mathematical Modeling in Diffraction Theory Based on A Priori Information on the Analytic Properties of the Solution. Amsterdam: Elsevier. 280 p.

7. Apel'tsin V.F., Kyurkchan A.G. (1990). Analytical properties of wave fields. Moscow: Mosk. Gos. Univ. 208 p. (in Russian) Information about author:

Dmitrii B. Demin, Assistant Professor, Ph.D., Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia