Применение модифицированного метода дискретных источников к задаче дифракции поля точечного источника на теле вращения в плоскослоистом волноводе Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ К ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА НА ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ В ПЛОСКОСЛОИСТОМ ВОЛНОВОДЕ

Кюркчан Александр Гаврилович,

МТУСИ, Москва, Россия;

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Фрязино Московской обл.

ФГУП ЦНИИС, Москва, Россия,

agkmtuci@yandex.ru

Маненков Сергей Александрович,

МТУСИ, Москва, Россия, mail44471@mail.ru

DOI 10.24411/2072-8735-2018-10113

Работа выполнена при частичной

поддержке РФФИ

(проекты 16-02-00247, 18-02-00961)

Ключевые слова: дифракция волн, метод дискретных источников, акустический плоскослоистый волновод.

Рассмотрена дифракция поля точечного источника на абсолютно жестком теле вращения, расположенном в океаническом волноводе в виде в плоского слоя, который ограничен с одной стороны абсолютно мягкой границей, а с другой - жидким однородным полупространством. Предполагается, что волновое число внутри слоя непрерывно зависит от вертикальной координаты. Решение задачи основано на применении модифицированного метода дискретных источников (ММДИ). Построение носителя вспомогательных источников осуществляется путем аналитической деформации границы рассеивателя. Выведено интегральное уравнение первого рода относительно неизвестной функции, распределенной на вспомогательной поверхности, расположенной внутри исходной поверхности тела. Приведен численный алгоритм нахождения функции Грина рассматриваемой слоисто-неоднородной среды. Алгоритм основан на использовании сплайн-аппроксимации спектральной плотности функции Грина. Интегральное уравнение алгебраизуется при помощи разложения ядра и неизвестной функции в ряды Фурье. При вычислении матричных элементов соответствующей алгебраической системы использовалось интегрирование в комплексной плоскости. Проведена проверка корректности полученных результатов при помощи сравнения численного (на основе разложения по сплайнам) и аналитического метода расчета функции Грина волновода для постоянного профиля скорости звука. Построена зависимость невязки краевого условия на поверхности тела. Показано, что максимальный уровень невязки не превосходит 2Ч0-7. Проведено сравнение результатов расчета волнового поля, полученных при помощи ММДИ и при помощи метода поверхностных интегральных уравнений. Показано, что результаты расчетов, полученные двумя методами отличаются не более чем на 0,02%. Получены зависимости волнового поля от вертикальной координаты для двух форм рассеивающего препятствия в случае постоянного и линейного профиля скорости звука в слое. Установлено существенное различие поведения волнового поля в случае постоянного профиля и в случае линейного профиля при достаточно малом градиенте скорости звука.

Информация об авторах:

Кюркчан Александр Гаврилович, зав. каф. ТВ и ПМ, д.ф.-м.н., Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия;

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Фрязино Московской обл., Россия; ФГУП Центральный научно-исследовательский институт связи, Москва, Россия

Маненков Сергей Александрович, доцент каф. Мат. анализа, к.ф.-м.н., Московский технический университет связи и информатики,

Москва, Россия

Для цитирования:

Кюркчан А.Г., Маненков С.А. Применение модифицированного метода дискретных источников к задаче дифракции поля точечного

источника на теле вращения в плоскослоистом волноводе // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №7. С. 4-11.

For citation:

Kyurkchan A.G., Manenkov S.A. (2018). Application of the modified method of discrete sources to the problem of diffraction of the field

of the point source on the body of revolution in the layered waveguide. T-Comm, vol. 12, no.7, pр. 4-11. (in Russian)

Введение

В настоящее время является актуальной проблема распространения звуковых волн в океаническом волноводе, в частности, при зондировании кораблей или каких либо других объектов. Во многих работах [1-4| при описании процессов дифракции и распространении звуковых волн в океане рассматривалась модель океанической среды в виде однородного плоского слоя, лежащего на однородном полупространстве, или однородного слоя с абсолютно жестким дном [5]. При этом не учитывалась зависимость скорости звука в слое от вертикальной координаты. Тем не менее, реальные среды являются неоднородными, то есть их характеристики зависят от координат, В частности, представляет интерес рассмотреть задачу дифракции на теле вращения, расположенном в слое, скорость звука в котором непрерывно зависит от вертикальной координаты.

В работе [6] была рассмотрена двумерная задача дифракции элекгромагнитного поля на бесконечном цилиндрическом теле, расположенном в слое, окруженном двумя однородными полупространствами. Для решения задачи применялся модифицированный метод дискретных источников (ММДИ) |7-10]. Исходная краевая задача сводилась к интегральному уравнению первого рода, ядро которого выражается через функцию Грина (ФГ) слоисто-неоднородной среды. Для нахождения ФГ использовался базис из сплайнов. Данная работа по существу является обобщением работы [6] па трехмерную задачу дифракции. В отличие от работы [6J в данной статье используются различные ортогональные координаты для построения носителя вспомогательных источников. Это позволяет существенным образом сократить объем вычислений на компьютере.

1. Решение задачи при помощи ММДИ

Рассмотрим математическую постановку задачи. Введем декартову систему координат, причем ось z направим вдоль оси вращения рассеивателя (см. рис. 1). При этом преполагаем, что ось вращения тела перпендикулярна границам плоского слоя. Обозначим вертикальную координату центра рассеивателя через z0. Полное звуковое

поле удовлетворяет уравнению Гельмгольца всюду вне области, занимаемой телом:

4р+k\z)p=^(Р-РоЖф-фиЖ^), (1)

р

где k(z) - волновое число (при z > h, где h — толщина слоя, волновое число среды постоянно и равно к0), 6(х) - дельта-функция, (p,cp,z) - цилиндрические координаты. В формуле (1) р = р° + р], р" - поле точечного источника в отсутствии тела, р1 - вторичное (рассеянное) поле. Точечный источник располагается в точке с цилиндрическими координатами /j, = (p0?0,Zo), причем 0 <z0<h. В силу осевой

симметрии задачи можно считать, что координата источника ф0 равна нулю. На поверхности тела S выполняется условие Неймана для полного поля

др

дп

= 0,

(2)

где д/дп - производная вдоль внешней нормали к поверхности тела. Граница слоя г = 0 - абсолютно мягкая, а на границе 2 = И выполнены условия сопряжения

_[ др

,-,,-0 Но &

где р,, ц0 - плотности сред внутри и вне плоского слоя. На бесконечности выполняется условие предельного поглоще-

| = I 1Ф

(3)

:=/i+0

ния:

limр* = 0, Im£(z) < 0, r = +z3.

(4)

В соответствии со стандартной схемой ММДИ будем искать решение краевой задачи в виде потенциала простого слоя

р(г) = р°(г)+ ■ (5)

В формуле (5) 2 — носитель вспомогательных источников, расположенный внутри тела, 3{г') - неизвестная функция, заданная на Е , С(Я,Р')- ФГ рассматриваемой слоистой среды. В результате подстановки (5) в граничное условие (2) на поверхности тела получим следующее интегральное уравнение первого рода [6-10]:

¡Jinks'=

J дп ™

дп

teS.

(6)

(

1 т )

К л

1'ис. 1. Геометрия задачи

Сделаем замечание относительно корректности интегрального уравнения (6) (см. также [11]). Как следует из его вывода уравнение (6) имеет гладкое ядро (так как поверхности тела и вспомогательная поверхность разнесены па некоторое расстояние). Поэтому существенной проблемой при решении уравнения (6) является устойчивость решения. Здесь нужно отметить два момента. Во-первых, при решении задач методом вспомогательных источников результатом является не распределение неизвестной функции ./ на вспомогательной поверхности, а некоторый функционал от этой величины, который является устойчивым. Во-вторых, аналитическая деформация исходной поверхности тела, которая используется в настоящей работе для построения вспомогательной поверхности, позволяет строить устойчивые численные алгоритмы благодаря тому, что при увеличении параметра деформации исходной поверхности тела (ниже этот параметр обозначен б) дискретные источники

движутся по кратчайшим путям, сгущаясь вблизи особенностей продолжения поля внутрь поверхности тела 110].

Рассмотрим вопрос о построении носителя Z для неизвестной функции J . Как было указано во введении, для быстрой сходимости численного алгоритма, вспомогательная поверхность должна выбираться при помощи аналитической деформации границы расееивателя. Поясним это подробнее. I Гредположим вначале, что поверхность тела S задана в сферических координатах

л- = rsin Осоэф, у = /-sin Osinip, z = rcosO + z((, (7) где г — г(9) - уравнение поверхности тела в локальной системе координат (начало которой расположено в центре тела) и 0 е [0, я].

Введем переменную Щ0) = г(0)ехр(/0) - z + ip, где (р,ф,z) - цилиндрические координаты (для упрощения записи мы не вводим новых обозначений для локальных координат). Основная идея ММДИ состоит в том, чтобы сделать угол 0 комплексным, то есть заменить угол 9 па угол С) + i б в формуле для С(6) - Здесь 5 - положительный параметр, определяющий степень деформации исходной поверхности тела. Параметр 5 изменяется в диапазоне 0 < б < ónras, где выбор величины 6 . которая определяет

максимальное значение параметра 8 , подробно рассмотрен в работах [6-10]. Заметим, что если 5 = 0, то переменная £ е С где С - контур на комплексной плоскости С , соответствующий контуру осевого сечения расееивателя и конгруэнтный ему. Если начать увеличивать б, то С будет сжиматься и мы получим новый контур, который может быть выбран в качестве коп гура осевого сечения поверхности I. Для нахождения сферических или декартовых координат точки на вспомогательной поверхности используем формулы [8]

гг = |С|> 0v =■ argС = г(9 + /6)ехр(/е-5), (8) соответственно для сферических и

jc2 = Im^costp, yz = Im£¡sinq), z1=ReC¡+z0, (9) для декартовых координат точки на вспомогательной поверхности Z,

Пусть далее поверхность тела S задана в вытянутых сфероидальных координатах:

х = /shasinpcosíp, у = /shasinpsinф,

z = / chacos{i + z0 причем уравнение S (в локальной системе координат) имеет вид a = a(P), где [ie[0,л]. Тогда вводится комплексная переменная Z(P) = u(p + /5) + i(p + /б) и вспомогательная поверхность оиределяегся соотношениями [8, 9]

a£ =RcZ> pz=1mZ, (li)

где (av, Рч,ф) - сфероидальные координаты «образа» точки с координатами (а,р,ф) на исходной поверхности. Для

получения декартовых координат точки на вспомогательной поверхности нужно вновь использовать формулы (9), в которых в данном случае с,(|3) - z + iр = fch Z{р).

Дтя иллюстрации выбора носителя вспомогательной поверхности предположим, что тело представляет собой вытя-

(10)

нутый сфероид, так, что поверхность 5 описывается уравнением а = а0. Тогда в соответствии с формулой (11) имеем: ¿ф) = а„-5 + /р и а.^ао-5, р,: = р • То есть, вспомогательная поверхность также будет сфероидом, лежащим внутри 5 и еофокуспым с поверхностью тела. Заметим, что в случае сферических координат мы обозначим а = 1пг, р = 0. Таким образом, будем считать, что поверхность тела задана уравнением а = а(Р) в соответствующей ортогональной системе координат.

Рассмотрим метод построения ФГ слоистой среды, в которой расположено тело. Заметим, что приведенный ниже алгоритм нахождения Ф1 является обобщением метода расчета ФГ, изложенного в [6], па случай трехмерной задачи дифракции. Как известно, ФГ" является решением краевой задачи [12]:

ДО + к2(г)С = -5(х- л-')б(у - /)5(г - /),

Ol =G\

U/i+0' ц dz

i

С(г,Г)=— f fÓ(^n,z,z')> йяг J J

(13)

е\1т=о, (12)

1 до

-=:,-<! Мо & .-=л+(1 Для нахождения ФГ запишем ее в следующем виде

4тг

х ехр(-/^(л' - х') - /'п(3' - у'МШц.

Спектральная функция представляет собой

решение одномерной краевой задачи

д" + (к2 (7) - ) С = -6(2 - г'),

«<3(0) = 0, <14> С(/7-0) = ¿(Л + 0), 6'(Н - 0) = УС'(/7 + 0),

в которой к = +г|2 , V = jt / ц0. Представим G в виде суммы син[улярной и регулярной части:

G = GS+Gr, (15)

где

G, =-

Здесь к] = к{г') ■ Знак квадратного корня в формуле (16)

выбирается из того условия, что его мнимая часть должна быть не положительна. При подстановке (16) в интеграл Фурье (13) получаем

1

Gs(/:,r") = ^-т J j G,(,2,2')exр((Л' - Л'') - /у - >-')) х (17)

fwnf—Str

4 nR

где Я=\г— г'\. При этом регулярная часть спектральной плотности ФГ' С является решением краевой задачи

У

(18)

'6ит+(к\г)~к2)6г = (к?-к2(г))61, ¿ДО) = -ел(0),

6'г(И)+д',(И) = -ф20 -К2АУ.

Здесь мы учли, что при г>И функция С выражается известным образом:

6 = А ехр (-/(2 - Л)А2-к2)> (19)

где А - неизвестная постоянная. Очевидно, что в последних двух уравнениях в (18) можно исключить неизвестную величину А. 1 Гереходя далее к цилиндрическим координатам в формуле (13) с учетом (17), получим выражение для ФГ: С(г,г') = С!.(г,г') + Сг(г,г') =■

ехр(—г/:, /?) 1

4 л/г

2л

|(?г (к, г, г'Уо

(20)

селя.

У - 1,2,...,£

(23)

(25)

1-1 ^ ' = (к^кг%))03{2;), 7 = 2,1-1,

(26)

котором - ^(х-х')2 +(у-у')2 , (х) - функция Бсс-

В случае постоянного профиля скорости звука (при к{г) — к]) внутри плоского слоя, функция с,, имеет вид 112]:

Сг(к,7,г') = -^[-ехр(-1у(г + г')) - Кехр(-гу(2/? - г + г')) + ^

+2/ К 51 п( уг) ехр (-1 у( 2/г - -') ) ] '-——,

-'у^ + Кехр(-;2у/г))

где

У = у = = (22)

В случае произвольного профиля скорости звука необходимо решать краевую задачу (18) численно. С этой целью используем сплайн-аппроксимацию неизвестной функции СД2) [6]. Выберем точки коллокации на интервале [0, Л]:

. АС/-1)

Для краткости мы опустили все аргументы кроме 2 у функции С? ■ Видно, что матричные элементы данной системы зависят от значений сплайнов и их производных в точках коллокации. Поэтому, вычислив заранее значения сплайнов и их производных, можно существенно сократить время вычислений на ЭВМ.

Для дальнейшего решения задачи необходимо учесть осевую симметрию рассматриваемой геометрии. Сделаем

замену неизвестной функции У по формуле [8,9]:

= + ^ • <27>

В формуле (27) А и И,- = Ая = - коэффициенты Ламе

соответствующей системы координат (то есть это могут быть сферические или сфероидальные координаты) в точке с координатами (аЕ, рЕ,(р') на вспомогательной поверхности

Точка означает дифференцирование по р'. Разложим неизвестную функцию /(?') и ФГ в ряды Фурье:

/(Я')=£/Др')ехр(//жр'),

(28)

1

СХг,Г) = -~ (сцр.а'.ЮезфО'т), т = (р-<р\ (29)

С М=-<Х>

где

ОТ от

4л

Г

я

(30)

Затем введем сетку на рассматриваемом интервале: 0, I = !,2,...,<у,

1-Ц + + 2,„,,/., (24)

И, I = Ь + \,Ь + 2,...,Ь + у.

В формуле (24) ц - порядок сплайнов, причем ц четное число. Данный выбор узлов сетки соответствует условию в копцевых точках интервала [0,/?] типа «нет узла» [13]. Далее запишем:

I

+ \о,

где В? (г) - В-сплайн порядка с; - неизвестные коэффициенты. Коэффициенты при базисных функциях удовлетворяют линейной системе, получаемой при помощи метода коллокации:

В формуле (30) Jm(x) - функция Бесселя порядка т.

В результате подстановки выражений (28) и (29) в уравнение (6) получим бесконечную систему одномерных интегральных уравнений (СИУ) первого рода относительно неизвестных гармоник функции 1(г'):

к 0

т = 0,±1,±2„.„ Р е [0, л],

= Вт{р) = --11^ехр(-^ф, (32) он 2л ^ дп

где р°(г) = + = <?Дг,г0) + О,(?,г0). Для численного решения одномерных интегральных уравнений (31)

использовался метод коллокации, описанный в работах [6-10].

Заметим, что под интегральное выражение во втором слагаемом в формуле (30) содержит особенности на комплексной плоскости к. Л именно, имеются точки ветвления к = ±к0 и полюсы, которые расположены на действительной ОСИ (в случае отсутствия поглощения в дне) или вблизи нее. Интеграл в формуле (30) удобно вычислять, используя замену к = sin , и переходя к интегрированию но контуру Г, показанному на рис, 2.

Im

iA

Z

л 1Г/2 Ке ф

Рис. 2. Комплексная плоскость переменной ф

Точками на рисунке показаны полюсы подинте]ральной функции. Величина Д выбирается равной порядка 0,2-0,5. При таком выборе контура не возникает трудностей при интегрировании в окрестности полюсов и точек ветвления. Таким образом:

Gxm=k¡ Jg,(A, sin y,z,zV,„{¿ipsmi(>)x

(33)

и ц0 2000 кг/м (параметры сред взяты из работы [3]), координаты источника р0 = h /2, z0 = h/2, координата р точек наблюдения р = /?/2 в случае сферы и р = /? /3 в случае сфероида, угол наблюдения <р = 180 ■ Частота источника / = 140 Гц. Центр обоих рассейвателей располагался в середине слоя (то есть ?0 = h 12). При вычислении ФГ методом на основе сплайнов мы выбирали ¿ = 50 и порядок сплайнов с]- 8. Как видно из таблицы результаты расчета поля отличаются не более, чем на 0,01%, то есть имеется хорошая точность результатов, получаемых при использовании сплайнов. Видно также, что полное поле практически равно нулю при z = 0, то есть в точке на верхней границе слоя, что согласуется с постановкой задачи.

Таблица 1

Сравнение результатов расчета волнового поля для постоянного профиля скорости звука, полученных двумя методами

Значение координаты Z, м Дифракция на сфере Дифракция на сфероиде

ММДИ для постоянного профиля Вычисление ФГ с помощью сплайнов ММДИ для постоянного профиля Вычисление ФГ" с помощью сплайнов

0 9.361470-Ш7'3 9.360864-10"13 5.905157-КГ" 5.907065-10'"

3.789403 tí, КО 1879-10"1 8.801110-10"* 4.640632-10- 4.640900-1 IT1

7,578807 2,15649310-* 2.156686-103 3.614811-10- 3,614463-Iff3

11.36821 2.332295'I О'3 2.332226-10° 2.010339-105 2.010271-104

15.15761 4,189371 ■ 1О'3 4.189335-10'3 5.215462-10J 5.215304- Ю-3

18.94702 1,149541 -10"3 1,149750-10J 3,633970-10- 3,633959-КГ3

22.73642 2.518205-ИГ' 2.518133-10"3 1.998978-10-' 1.998957-10"3

26.52582 1,2082 ЮТ О 5 1.208087-10 1 4.135630-10- 4,135530-10'3

30.31523 1,741079-1 (Г1 1.741167-10'' 2,853135-10'3 2.852925-10'3

34.10463 2.902997T0'3 2.903019 I0J 5.87037 НО"3 5.870394-10"3

х*/т(А,р'5т ц/Ьт ^ соб \\>с1\\>.

При расчетах мы вычисляли интеграл в формуле (33), разбивая его на сумму интегралов по прямолинейным участкам контура Г. При этом подинтегральную функцию в формуле (33) вычисляли, решая систему (26) для каждого комплексного значения переменной к,

2, Результаты расчетов

Для тестирования разработанного метода было проведено сравнение результатов расчета волнового поля для задачи рассеяния поля точечного источника на абсолютно жесткой сфере и сфероиде, расположенных в слое с постоянной скоростью звука. В таблице ! приведены значения модуля волнового поля, полученные при помощи методики расчета ФГ, основанной на применении сплайнов, и при помощи формулы (21), Размеры тел были следующие: радиус сферы а = 8.52616 м, полуоси сфероида а{ -8.52616м, ^ /3

(а - полуось вдоль оси г) толщина волновода

/) = 34,1046 м , скорости звука в слое и в дне с — 1500 м/с и

Су = (1675 + /15.34) м/с, плотности сред ц = 1000 кг/м '

В качестве еще одной проверки разработанной методики была вычислена невязка краевого условия на контуре осевого сечения вытянутого сфероида рассмотренных выше размеров, расположенного в слое с переменным волновым числом, Невязка вычислялась по формуле

ИР.Ф)| =

tí

ехр(/М<р) - ^ ß„(ß)exp(im<p)

(34)

где М - максимальный номер гармоники но угловой координате. Невязку находили в точках, расположенных на контуре осевого сечения тела посередине между точками кол? локации, причем угол <р = 0. Рассматривался случай, когда квадрат волнового числа внутри слоя изменялся но закону

|П]

k2(z) = k;(\-x0(z/ h)), (35)

где т0 =0.1, парамезр kt = Inf /с, где f = 140 Гц. Размеры слоя, параметры сред и координаты источника были те же, что и выше. Тело располагалось в середине слоя. Соответствующие кривые зависимости невязки приведены на рис. 3. Число дискретных источников было взято равным N - 50, то есть было небольшим.

У

И

Литература

Рис. 6. Распределение поля по сечению волновода. Дифракция на сфероиде (р = И / 2 ). Кривая I - постоянный профиль, 2 -линейная зависимость квадрата волнового числа

И

Рис. 7. Распределение поля по сечению волновода. Дифракция на сфероиде (р = А). Кривая I - постоянный профиль, 2-линейная зависимость квадрата волнового числа

Остальные параметры задачи такие же, как и для таблиц, приведенных выше. Кривые 1 на рисунках соответствуют случаю постоянного профиля внутри слоя, а кривые 2 соответствуют зависимости волнового числа внутри слоя вида (35). Как видно из рисунков кривые 1 и 2 отличаются значительно, несмотря па малое значение градиента скорост и звука.

1. Кравцов Ю.А., Кузькин В.М.. Петников, В. Г. Дифракция волн на регулярных рассей вателях в многомодовых волноводах // Акустический журнал, 1984. Т. 30. № 2. С. 339-343.

2. Hackman R.H., Sammelmann С. S. Multiple scattering analysis for a target in an occanic waveguide // J. Acoust. Soc. Am. ¡988. V.84. №5, pp. 1813-1825.

3. Григорьева H.С.. Фридман Г.М. Рассеяние звука сферической упругой оболочкой, помещенной в волновод с жидким дном // Акустический журнал, 2013. Т. 59. № 4. С. 424-432.

4. ГЬигорьева Н.С., Фридман Г.М. .Дифракция звуковых импульсов на упругой сферической оболочке, помещенной в океанический волновод // Акустический журнал, 2014. Т. 60. № 3. С. 230-239.

5. Папкова Ю.И. Поле точечного источника в неоднородном гидроакустическом волноводе с плавающим на поверхности телом // Акустический журнал, 2015. Т. 61. № 4. С. 484-4S9.

6. Маненков С.А, Применение модифицированного метода дискретных источников к задаче дифракции на неоднородности, расположенной в непрерывно-слоистой среде II Радиотехника и электроника, 2009. Т. 54. № 5. С. 541-549.

7. Кюркчан А.Г.. Минаев С.А., Соловейчик А.Л. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особенностях дифракционного поля II Радиотехника и электроника, 200 !. Т. 46. № 6. С. 666-672.

8. Kyurkchan А.С.. Manenkov S.A. Application of different orthogonal coordinates using modified method of discrete sources for solving a problem of wave diffraction on a body of revolution // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 2012. V. 113, pp. 2368-2378.

9. Маненков C,A. Новая версия модифицированного метода дискретных источников применительно к задаче дифракции на теле вращения // Акустический журнал, 2014. Т. 60. № 2, С. 129-136.

10. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Математическое моделирование в теории дифракции с использованием априорной информации об аналитических свойствах решения. М.г Медиа Паблишер, 2014. 226 с.

I 1. Кюркчан А.Г., Анютин А.П. О корректности задач дифракции, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма I рода с гладким ядром II Радиотехника и электроника, 2006. Т.51. №1. С. 54-57.

12. БреховскихЛ.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.

13. К. Де Бор. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио п связь, 1985.304 с.

14. Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции, М,: Изд-во МГУ, 1987. 208 с.

APPLICATION OF THE MODIFIED METHOD OF DISCRETE SOURCES TO THE PROBLEM OF DIFFRACTION OF THE FIELD OF THE POINT SOURCE ON THE BODY OF REVOLUTION IN THE LAYERED WAVEGUIDE

Alexander G. Kyurkchan, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia; Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, Fryazino, Russia; Central research institute of communication, Moscow, Russia, agkmtuci@yandex.ru

Sergey A. Manenkov, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, mail44471@mail.ru

Abstract

Diffraction of the field of a point source on absolutely rigid body of revolution located in an oceanic waveguide in the form of the plane layer which is limited on one hand by the absolutely soft border, and with another by the fluid homogeneous half-space is considered. It is supposed that the wave number in the layer continuously depends on the vertical coordinate. The solution of the problem is based on the application of the modified method of discrete sources (MMDS). Construction of the carrier of auxiliary sources is carried out by use of the analytical deformation of the border of the scatterer. The integral equation of the first kind relative unknown function distributed on the auxiliary surface located in the initial surface of the body is derived in the paper. The numerical algorithm of finding of the Green function of the considered stratified inhomogeneous medium is offered. The algorithm is based on use of a spline approximation of the spectral density of the Green function. The algebraization of the integral equation is carried out by expansion of the kernel and the unknown function into Fourier series. On calculating of the matrix elements of the corresponding algebraic system the integration in complex plane is used. The check of the correctness of the received results by means of comparison numerical (based on the expansion in splines) and analytical method of calculation of the Green function of the waveguide for the constant profile of acoustic velocity is carried out. The dependence of the residual of the boundary condition on the surface of the body is plotted. It is shown that the maximum level of the residual does not exceed 2^ I0-7. Comparison of the results of calculation of the wave field obtained by means of MMDS and by means of the surface integral equations method is carried out. It is shown that the results of calculations obtained by two methods differ no more than for 0.02%. Dependences of the wave field on the vertical coordinate for two shapes of the scattering obstacle in the case of the constant and linear profile of acoustic speed in the layer are obtained. The essential difference of behavior of the wave field in the case of constant profile and in the case of linear profile is shown at rather small gradient of acoustic speed.

Keywords: diffraction of waves, method of discrete sources, acoustical planar-stratified waveguide.

References

1. Kravtsov Yu.A., Kuzkin V.M., Petnikov V.G. (1984). A wave diffraction on the regular scatterers in multimode waveguides. Akusticheskiy Journal, no. 2, pp. 339-343.

2. Hackman R.H., Sammelmann G.S. (1988). Multiple scattering analysis for a target in an oceanic waveguide. J. Acoust. Soc. Am., no. 5, pp. 1813-1825.

3. Grigorieva N.S., Fridman G.M. (2013). Scattering of sound by an elastic spherical shell immersed in a waveguide with a fluid bottom. Acoustical Physics, no. 4, pp. 373-381.

4. Grigorieva N.S., Fridman G.M. (2014). Diffraction of sound pulses on an elastic spherical shell submerged in an oceanic waveguide. Acoustical Physics, no. 3, pp. 248-257.

5. Papkova Y. I. (20I5). The field of a point source in an inhomogeneous hydroacoustic waveguide with a body drifting on the surface. Acoustical Physics, no. 4, pp. 440-445.

6. Manenkov S.A. (2009). The modified discrete source method applied to the problem of diffraction by an irregularity located in a continuously layered medium. Journal of Communications Technology and Electronics, no. 5, pp. 515-523.

7. Kurkchan A.G., Minaev S.A., Soloveichik A.L. (2001). A modification of the method of discrete sources based on prior information about the singularities of the diffracted field. Journal of Communications Technology and Electronics, no. 6, pp. 615-621.

8. Kyurkchan A.G., Manenkov S.A. (2014). Application of modified method of discrete sources for solving a problem of wave diffraction on a multilay-ered body of revolution. Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer, no. 10, pp. 295-303.

9. Manenkov S.A. (2014). A new version of the modified method of discrete sources in application to the problem of diffraction by a body of revolution. Acoustical Physics, no. 2, pp. 127-133.

10. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2014). Mathematical modeling in the theory of diffraction using a priori information about the analytic properties of the solution. Moscow. 226 p. (in Russian)

11. Kyurkchan A.G., Anyutin A.P. (2006). The well-posedness of the formulation of diffraction problems reduced to Fredholm integral equations of the first kind with a smooth kernel. Journal of Communications Technology and Electronics, no. I, pp. 48-51.

12. Brekhovskikh L. M. (1973). Waves in layered media. Moscow, 343 p. (in Russian)

13. C. De Boor. (1985). A practical guide to splines. Moscow, 304 p. (in Russian)

14. Galishnikova T.N., Ilyinsky A.S. (1987). Numerical methods in problems of diffraction. Moscow, 208 p. (in Russian) Information about authors:

Alexander G. Kyurkchan, Head of Department, Professor, D.Sc., Moscow Technical University of Communications and Informatics Russia; Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, Russia; Central research institute of communication, Moscow, Russia

Sergey A. Manenkov, Docent of the Mathematical Analysis Department, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia