Использование априорной информации при анализе дифракции волн на тонких экранах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Использование априорной информации при анализе дифракции волн на тонких экранах

Ключевые слвоа:

дифракция волн, тонкие экраны, диаграмма рассеяния.

На основе метода продолженных граничных условий разработана методика расчета характеристик волнового поля для задачи дифракции на тонких экранах. Рассмотрен гибридный подход для случая дифракции на ленте большого по сравнению с длиной волны размера. Приведены результаты расчетов диаграммы рассеяния волнового поля.

Алероева Х.Т., Кюркчан А.Г.,

Маненков С.А.,

МТУСИ

Введение

Существует много работ, посвященных дифракции волн на незамкнутых тонких экранах [1]-[7]. Одним из эффективных методов решения данной задачи является метод продолженных граничных условий (МПГУ), предложенный в работе [5]. Основная идея метода состоит в переносе граничных условий с поверхности рассеивателя на вспомогательную поверхность, расположенную на небольшом расстоянии от исходной. При )том задача дифракции сводится к решению интегрального уравнения первого или второго рода относительно неизвестного тока, распределенного на контуре экрана. Для решения данного уравнения обычно использовались методы, основанные па разложении неизвестного тока по базису из кусочнопостоянных функций. Отметим также, что в работе [5] исполь-ювался базис из вейвлетов Хаара. В настоящей работе МПГУ строится па основе двух базисов: базиса из сплайнов и полиномов Чебышева (с весовой функцией, учитывающей особенности на краях экрана).

В работе рассмотрена также задача дифракции плоской волны на широкой по сравнению с длиной волны металлической ленте. Для решения этой задачи использовался гибридный подход [8]. На центральной части экрана неизвестный ток вычислялся в явном виде с использованием приближения фи-зи чес кой оптики, а на краях ленты ток находился численно с использованием МПГУ на основе базиса из кусочнопостоянных функций. В работе проведено сравнение данного гибридного метода и решения, полученного с использованием сплайнов либо полиномов Чебышева.

1. Решение задачи с использованием МПГУ

на основе различных базисов.

Рассмотрим двумерную задачу дифракции иа бесконечной незамкнутой цилиндрической поверхности (экране). Геометрия жрана приведена на рис. 1.

Пусть тело облучается плоской волной вида: и°(х,у) - ехр(-И<х со&<р0 - Исуьт<р0), (1)

где к - волновое число, (р{) - угол падения волны. Предполагаем, что ось 2 направлена вдоль образующей цилиндрической поверхности. В дальнейшем будем рассматривать случай /Г-поляризации падающего поля. Как известно, задача дифракции сводится к краевой задаче, причем волновое поле удовлетворяет граничному условию вида

(2)

Рис. 1. Геометрия задачи

Здесь и =и° + и', где (У1 - рассеянное поле. В формуле (2) величина и равна тангенциальной компоненте Е, электрического вектора. На бесконечности рассеянное поле удовлетворяет условию излучения

Пт£/'=0, 1т* <0. (3)

Г-» 00

Будем решать поставленную задачу с помощью МПГУ. При использовании МПГУ краевое условие ставится на вспомогательной поверхности 5^, расположенной на малом расстоянии от поверхности рассеивателя (см. рис. I). Используя теорему Грина, можно записать хорошо известное интегральное уравнение первого рода относительно неизвестного тока на поверхности экрана [5-6]:

\с(г,г'У(г')ск' = -и0- (4)

5

В формуле (4) и С(Я,г') = Яо2)(А:|г-Я'|).

Штрих означает переменную, по которой производится интегрирование. Заметим, что в данном интегральном уравнении ядро является гладкой функцией, так как точка источника и точка наблюдения не совпадают, то есть находятся на разных поверхностях. Такая структура ядра полученного интегрального уравнения очень удобна для построения вычислительных алгоритмов.

Для решения уравнения (4) можно использовать различные методы. Рассмотрим два подхода, основанные на методе коллокации. Первый метод основан на разложении неизвестного тока по В-сплайнам [6-7]. Будем считать, что уравнение контура 5 экрана задано в параметрической форме:

* = *,(/), У = УЛ0 (5)

где / - параметр контура, который изменяется в интервале \—в,9\. Пусть уравнение вспомогательного контура имеет вид:

* = *,(*■), У = УЛТ)' Г є [-0,0]. (6)

Тогда интегральное уравнение (4) может быть записано в виде:

и

JK(r,l)pt(t)dr = b(r). г є [—0,0], -о

(7)

следующее интегральное уравнение:

о

\p(t)K(T,t)n(t)dt=b(T)<

(Ю)

-о

20 г„ = -0 + (я - 0.5)—.

я = 1,2,..., jV,

(11)

L =

Ги-(»-|)/2 +Ги-(г-|)/2-1

0, n = W + l,W + 2,...,N + v',

jV

'YuAmnCn=bm, m = \,2,-N,

П=I

в которой

0

(14)

сразу же будем исходить из уравнения (10). Неизвестный ток представим в виде:

модели/в)

(16)

где ядро и правая часть выражаются по формулам:

А-(г,0 = С(га.(г),гД0)М0. Ь(т) = ~и° (гв(т)) (8)

Здесь //,(/) = У(г5(/)) и /1,(1) = ^х; +у~ ■ Точка в данных

формулах означает производную по параметру I или г .

Для численного решения уравнения (7) выделим в явном виде особенность тока на концах экрана. Тогда мы получим

Здесь Тп(х) - полиномы Чебышева первого рода.

Далее подставим формулу (16) в уравнение (10) и приравняем полученное равенство в точках коллокации следующего вида [10]:

гт = в cos

лг(2/л +1) 2(N + 1)

(17)

(9)

где р(1) = \/\1в2 -г . При этом новая неизвестная функция //(/) = //,(/)/р(!) будет гладкой. Представим функцию //(/) в виде линейной комбинации В-сплайнов с четным количеством узлов. Разобьем ин тервал [-в,в] точками

где щ = 0,1,2...,N ■ Выбранные точки коллокации с точностью множителя 0 являются нулями полинома Чебышева с номером Д' + І. В результате подстановки получим СЛАУ вида (14). При этом

в

4.= \к(тт,1)Тп(Чв)-==

в -I

С помощью замены / = 0 COS ОТ данные интегралы сводятся к следующим

(18)

А„,„ = [К (тт, <9 cos а) cos nada

(19)

и выоерем на рассматриваемом интервале сетку, в соответствии с формулами [9]:

-0, п = 1,2,...,к,

где V - порядок сплайнов, причем V нечетное число. В случае V = 1 имеем базис из хорошо известных кусочнопостоянных функций. Данный выбор сплайнов соответствует условию в концевых точках интервала [—0,0] типа «нет узла» [9]. Таким образом

N

2>Х(о <13>

н=I

где В'п(() - сплайн порядка У, принимающий ненулевые значения на интервале [/„,/„+,.], я = 1,2,...,Л^. Подставим далее формулу (13) в уравнение (10) и приравняем полученное равенство в точках коллокации, которые выберем в точках г„. В

результате получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:

2. Гибридный подход при решении задачи дифракции на ленте.

Рассмотрим дифракцию плоской волны (1) на ленте полушириной ка, вытянутой вдоль оси у . Будем считать, что ширина ленты ка» I. Рассеянное поле представим в виде суммы [8]:

а

и'(.\\у)= |/'°(У)Ч:1(а/г +(у-/)2 )ф’+

-а

+|./' (У )//02 1 ( Цг +(у-/)2)м>’ +|/2 (У )Н'о1 (к^хг +(у-У)2 ) ф'

-и ц

(20)

где у"(у) - ток в приближении физической оптики, кото-

рый равен

2 дх

. Параметр а. выбирается на

основе численных экспериментов. Вторые и третьи члены в формуле (20) представляют собой добавочные слагаемые, обусловленные краевыми волнами. При этом токи /(у) и у -(у) неизвестны. Подставим далее сумму (20) в граничное условие (2) на поверхности ленты. В результате получим следующую систему двух интегральных уравнений относительно неизвестных токов /(у) и у'2(у)

_________ а __________

|У(У)Ч2,(^ +(у-У? )#+ р2(У)До2>( Цд1 +(у-У)2 )ф'=

Атп= \р№(.тт,0в;№, Ьт=Ь(тт). (15)

-в

Отметим, что ядро интегрального уравнения имеет квазило-гарифмический характер при совпадении аргументов (то есть

К(г,/):1п((г-г)2 +<52), где 8 - малый параметр), поэтому

соответствующая линейная система хорошо обусловлена

Рассмотрим далее второй подход, основанный на разложении неизвестного тока по многочленам Чебышева. При этом

а ___________

=-]/(У)Ч2)(ф2 +CF-yr)ch!-lf{S,y\ -а<у<-0\

(21)

j f(y')Hl2> [kjs1 +(у-у')2 )<// + jfiy'wp^kyls2 +(у-у')2 )<&'

—а ах

а ___________

= ~ + (у-у')2)dy'-U°(S,y), at <у<а

(22)

Для решения системы (21), (22) представим неизвестные токи в виде разложения по базису из кусочно-постоянных функций и применим метод коллокации аналогично изложенному выше. В результате получим СЛАУ, причем интегралы, через которые выражаются матричные элементы будем вычислять, используя формулу прямоугольников. Таким образом, СЛАУ примет вид

N

Аис1 + Л'1 г2-И'

лтпсп іііпп т

-I (23)

X А”»с"+А"’»с"=' т=2’-дг

П= I

где

*2, =Н?'(к^2+№-?.?)' Р<Я = 1.2. т = ІД........N

причем

,1

УЛ =-а + -

N

п — 2

2 а-а.( П

Уп =°і +—Ч п— ' " 1 Л' ( 2

Отметим, что предложенный подход близок к методу краевых волн [11], однако, в отличие от [11] краевые токи здесь определяются численно.

3. Результаты расчетов.

Для тестирования разработанного подхода, были проведены расчеты диаграммы рассеяния волнового поля для разной формы экрана. В таблицах 1 и 2 представлены значения модуля диаграммы рассеяния, полученные при помощи МГ1ГУ, основанном на базисе из В-сплайнов, и МПГУ, основанном на базисе из полиномов Чебышева. Всюду в дальнейшем порядок сплайновых функций равен у = 9.

Таблица 1

% = 0 % = 45“

(р. Базис из Полиномы Базис из Полиномы

град. сплайнов Чебышева сплайнов Чебышева

0 6.307537 6.308288 1.271886 1.272023

18 2.983969 2.983719 1.375209 1.374731

36 0.9651915 0.9656910 4.365358 4.365763

54 1.046808 1.046669 3.809223 3.809628

72 0.6371431 0.6371051 2.108445 2.108445

90 0.6512585 0.6513725 1.466757 1.466644

Таблица 2

* II О £ н <«л

<р. фал. Базис из сплайнов Полиномы Чебышева Базис из сплайнов Полиномы Чебышева

0 6.742512 6.742683 2.623877 2.623983

18 2.782534 2.782409 1.772332 1.772284

36 1.442266 1.442218 6.114971 6.115278

54 0.9271202 0.9269879 5.120334 5.120428

72 0.9696330 0.9694194 0.8913387 0.8911730

90 1.101082 1.100798 1.131193 1.131043

где у„ = ^р/2, в = а/у/Тр . причем 2а - расстояние между

концевыми точками экрана. Параметр смещения вспомогательного контура (кратчайшее расстояние между исходным и вспомогательным контурами) составлял £д' = КГ'. Количество сплайновых функций для ленты и параболического экрана равнялось 25 и 45, а число полиномов Чебышева - 20 и 30 соответственно. Как видно из таблиц 1 и 2 относительная разность между результатами, полученными при помощи двух методик, не превосходит 5 10-1, что подтверждает правильность полученных результатов.

Для контроля точности вычислений была проведена проверка выполнения оптической теоремы, которая имеет вид

сг, =-Яе(я(«»о))’

где

_1_

2л

(25)

— интегральный поперечник рас-

сеяния, причем £((р) - диаграмма рассеяния волнового поля. Все размеры экранов те же, что и выше. В рассмотренном выше случае модуль относительной разности А левой и правой части в формуле (25) не превосходил

10 4. Данный факт также подтверждает корректность получаемых результатов.

На рис. 2 представлена угловая зависимость модуля диаграммы рассеяния для ленты полушириной ка = ^80 . Лента вытянута вдоль оси у. Угол падения волны составлял 45'. Задача решалась с использованием гибридного подхода, описанного выше. Синей линией на рисунке показана зависимость диаграммы для ка, = ка 12, черной -

для Аг«, = 2 и красной - для ка, = 0 . Как видно из рисунка, решение, полученное с помощью выделения геометрооптического тока, позволяет получать достаточно точный результат даже при небольших размерах краевых областей на концах ленты, где решение находится численно. Рисунки 3-6 иллюстрируют поведение диаграммы рассеяния для ленты с полушириной ка = 25 и ка = 50 для двух углов падения плоской волны. Синей линией на рисунке показана зависимость диаграммы для ка, = ка 12,

черной - для ка, = 5 и красной - для ка, = 0 . Как следует

из рисунков, при увеличении размера ленты точность расчетов увеличивается. Кривые, иллюстрирующие результаты гибридного метода и кривые, полученные без выделения геометрооптического приближения в центре ленты (то есть, при ка, = 0 ) практически совпадают.

Таблица 3

В таблице 1 приведены значения диаграммы для ленты с полушириной ка = 6.2832, для двух углов падения плоской волны, а в таблице 2 - значения диаграммы для параболического экрана с размерами ка = 6.2832, кр = 2- Уравнение контура параболического экрана имеет вид

{*,(')«*-'2 ,,<в (24) Ы(0 = 2/у0 11

Полиномы Чебышева Кусочнопостоянные функции (ка, =0) Г ибрнлный подход ка| = ка / 2

0 8.962004 8.9427431 8.9251779

18 1.265358 1.2792016 1.2674373

36 1.406883 1.4133428 1.3776058

54 0.9532505 0.9430587 1.0062725

72 0.7544433 0.7548689 0.7465861

90 0.6424837 0.6392463 0.6092156

Рнс.2. Диаграмма рассеяния ленты полуширины ка — -JsO ■ Угол падения ^ _ !L.

Рис.З. Диаграмма рассеяния ленты полуширины ка = 25. Угол падения (р0 =0-

Угол падения ^ _ _.

Рис. 5. Диаграмма рассеяния ленты полуширины ка - 50. Угол падения <р{] = 0 •

Рис. 6. Диаграмма рассеяния ленты полуширины ка = 50 • Угол падения ,п — .

В таблице 3 приведены значения модуля диаграммы рассеяния ленты полушириной ка = >/80 (см. выше), полученные при помощи гибридного подхода и путем использования МПГУ без выделения геометрооптического приближения. Как видно даже при данном относительно небольшом размере экрана имеем удовлетворительную точность для гибридного метода

Литература

1. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. - М.: Радио и связь, 1982.

2. Литвиненко Л.Н., Просвирник С.Л. Спектральные операторы рассеяния в задачах дифракции волн на плоских экранах. -Киев: Наукова Думка, 1984.

3. Nosich A.I., Andrenko A.S. Scattering and mode conversion by a screen-like inhomogeneity inside a dielectric slab waveguide. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1994. v.42, p.298-306.

4. Кюркчан А.Г., Анютин А.П. Метод продолженных граничных условии и вейвлеты. Доклады РАИ. 2002, т.385, №3. -С. 309-313.

5. Манеиков С.А. Применение сплайн-аппроксимации для решения задачи дифракции на незамкнутом экране в плоском волноводе. Радиотехника и электроника. 2007, т.52, №12. -С. 1413-1421.

6. Манеиков С.А. Применение сплайн-аппроксимации для решения задачи дифракции на периодической решетке, расположенной над киральным полупространством. Радиотехника и электроника, 2009. т.54, № 10. - С. 1196-1206.

7. Богомолов Г.Д., Клеев А.И. Использование модифицированного метода продолженных граничных условий для расчета открытых резонаторов. Радиотехника и электроника, 2011. т.56, №10.-С. 1187-1193.

8. Кюркчан А.Г. Влияние краевых эффектов на диаграмму антенной решетки. Радиотехника и электроника, 1980. т.25, №4.-С. 703-709.

9. К. Де Бор. Практическое руководство по сплайнам. - М.: Радио и связь, 1985.

10. Gerolymatos P.G., Manenkov А.В., Tigelis I.G., Amditis A.J. Metal iris influence on guided-mode diffraction. J. Opt. Soc. Am. 2006 v. 23, no. 6. P.I333-I339.

11. Уфнмцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. - М.: Сов. радио, 1961.