Влияние эффективного поля тяжести на развитие неустойчивости тангенциального разрыва Текст научной статьи по специальности «Физика»

номер 4, 2006 г.

Краткие сообщения по физике ФИАН

УДК 533.591

ВЛИЯНИЕ ЭФФЕКТИВНОГО ПОЛЯ ТЯЖЕСТИ НА РАЗВИТИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО РАЗРЫВА

В. Г. Кирцхалия, А. А. Рухадзе

Проведен анализ устойчивости тангенциального разрыва для сжимаемых жидкостей в поле тяжести, перпендикулярной поверхности разрыва. В линейном приближении получено дисперсионное уравнение, которое в пределе слабого поля тяжести переходит в уравнение, исследованное в наших предыдущих работах [1, 2]. Показано, что в пределе сильного поля тяжести неустойчивость не стабилизируется и переходит в резонансную конвективную неустойчивость, сносимую потоком.

1. Исходим из системы уравнений гидродинамики, дополненной уравнением состояния:

^ + Л\хр\' = О, Р = Р(р).

Здесь р - плотность, V - скорость жидкости, Р - давление, а д - ускорение однородного и постоянного поля тяжести. Невозмущенную скорость Уо(г) направим вдоль оси X и считаем неоднородной вдоль оси Z. параллельной полю тяжести д. В направлении

оси 2 считаются неоднородными и равновесные плотность ро(г) и давление Ро(г). В

—»

равновесии, когда д || 02, очевидно, выполняются соотношения:

^Г+Ро9 = 0; Р0 = Ро(роУ, = и\г), (2)

Краткие сообщения по физике ФИ АН

номер 4, 2006 г.

где и (г) - неоднородная скорость звука в жидкости. Кроме того, считаем, что Ро(г) и ро(г) плавно неоднородны вдоль оси 2, за исключением плоскости г = 0, на которой они претерпевают скачок.

Для малых возмущений равновесных величин р', Р', V зависимость этих возмущений от времени и координат с учетом симметрии можно принять в виде

/(ж, у, г, *) = /(г) ехр[¿(Л® - и;*)], (3)

где шик- частота и волновой вектор. Из линеаризированной системы (1) при этом можно получить следующее уравнение для возмущения давления:

(р р' /7 р'

+ *(г)^--Ь2(г)Р' = 0, (4)

' V > Л

\JUAj

тле

, Л 9 ,2, , т2 . 2д ¿и (ш - кУр(г))2

"^ = ЩГу Ь'{2) = + Щг) Тг--(о)

Ниже будет проанализировано уравнение (4), причем граничные условия на поверхности разрыва г — 0 получены из самого уравнения (4) (либо линеаризированной системы (1)) путем интегрирования по малому переходному слою вблизи поверхности разрыва. Они записываются в виде

Г ¿£1__р> )

=0- (6)

V ) 2=0

Таким образом задача сформулирована: необходимо решить уравнение (4) в областях г < 0 м г > 0 и сшить решения на поверхности г = 0 с учетом граничных условий (6).

2. Приступая к решению сформулированной выше задачи, заметим, что, согласно уравнениям (2), среда неоднородна и равновесные величины Ро(г) и ро(г) являются, вообще говоря, функциями 2 в областях г > 0 и г < 0. Как следствие, коэффициенты уравнения (4) также неоднородны, что затрудняет его решение. Однако в изотермическом приближении скорость звука (] определяется однородной температурой среды и

поэтому является постоянной. Неоднородными в этом приближении оказываются толь-

—♦

ко плотность среды ро{г) и скорость Уо(г), скачком меняющиеся на поверхности г = 0. Поэтому коэффициенты уравнения (4) оказываются постоянными и, следовательно, его решениями в областях г > 0 и г < 0 будут

номер 4> 2006 г.

Краткие сообщения по физике ФИ АН

_ \ C\eXlZ при z > О Г1'2 ~ \ С2еХ2* при z <0,

К')

где XI и Хг определяются характеристическим уравнением и, в предположении, что в области г < 0 жидкость покоится, равны:

Xi =

Х2 =

2 Щ \

9

2 №

4U*

+ Jfc2-

(ш - кУ0у

¡д2 2 ш2

(8)

(9)

Отметим, что значения Хг и Х2 получены с учетом необходимости выполнения условий

Rexi < 0, Rex2 > 0.

(10)

Удовлетворив граничным условиям (6), получаем дисперсионное уравнение малых колебаний, описывающее неустойчивость тангенциального разрыва

Pi(Up-Vo? Щ

1 +

1 +

- Щ)

PiVl

Ul

1 -

1 +

Ак2и1[Щ - (Up - v0y]

(11)

где Up — u>/к - фазовая скорость возмущения.

В пределе д —> 0 уравнение (11) переходит в дисперсионное уравнение для малых колебаний тангенциального разрыва в отсутствие поля тяжести, исследованное в наших предшествующих работах [1, 2]. Этот предел соответствует условию слабого поля тяжести

д2 < 4k2U\

В обратном пределе сильного поля тяжести из (11) получаем:

Pi(up - v0y Р2к2Щ[и1 - (и, - Уо)2)

(12)

(13)

Щ 92

Полагая, что скачок плотности не слишком велик, т.е. р2 > Рг, в правой части уравнения (13) можно принять 11р ~ Уо, после чего получим

Краткие сообщения по физике ФИАН_номер 4, 2006 г.

К-Г-го, - д2 ^

откуда находим спектр нарастающих колебаний

-^Н-^тШ- (15)

Таким образом, сильное поле тяжести при выполнении условия, обратного (12), не стабилизирует неустойчивость тангенциального разрыва, хотя с ростом д инкремент нарастания возмущения падает. Неустойчивость становится конвективной и сносится со скоростью потока Уо.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ж в а н и я И. А., К и р ц х а л и я В. Г'., Р у х а д з е А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 10, 35 (2002).

[2] К и р ц х а л и я В. Г., Ру хадзе А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 4, 50 (2003).

Поступила в редакцию 25 января 2006 г.