Об устойчивости тангенциального разрыва в сжимаемой проводящей жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.91

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО РАЗРЫВА В СЖИМАЕМОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ

о Т1 ТУ______, А л Г»_______

±5. í . х^и^цлсишм, /л.. гула,дзе

Рассмотрена задача тангенциального разрыва в сжимаемой проводящей жидкости, находящейся во внешнем магнитном поле. Путем анализа известного дисперсионного уравнения получено обобщенное условие устойчивости поверхности разрыва по отношению к малым возмущениям, из которого в пределе несжимаемости следует известное условие С. И. Сыроватского. Показано, что сколь угодно малая сжимаемость играет дестабилизирующую роль, сужая область устойчивости разрыва.

Устойчивость тангенциального разрыва в непроводящей жидкости как без учета, так и с учетом сжимаемости исследована достаточно подробно [1,2]. В магнитной гидродинамике задачу устойчивости тангенциального разрыва в несжимаемом приближен и! впервые решил С. И. Сыроватский [3] (см. также [4]). Он получил условие устойчивости поверхности разрыва, которое при коллинеарности волнового вектора /с, скачка скорости V и напряженностей магнитных полей по разные стороны поверхности Нх и #2 имеет вид

Для сжимаемой проводящей жидкости устойчивость тангенциального разрыва рассматривалась многими авторами, однако результаты, полученные ими, не только не переходят в условие (1), а наоборот, диаметрально противоречат ему. Наиболее типичными в этом отношении являются работы [5 - 8]. На это обстоятельство было указано в работе [9], в которой впервые была корректно сформулирована задача устойчивости тангенциального разрыва и показано, что он неустойчив к возмущениям, распространяющимся в виде поперечных волн Альфвеновского типа по обе стороны поверхности

номер 11, 2003 г.

Краткие сообщения по физике ФИ АН

разрыва. В настоящей работе продолжен анализ, начатый в [9], и дан исчерпывающий ответ на поставленную проблему.

Дисперсионное уравнение, описывающее собственные колебания поверхности МГД тангенциального разрыва при £ = О, имеет вид:

<4+^ = 0, (2) р1±У1 ТГч

где

К = VI - (К - ир)\ (3)

[с? - (к - иру\ [VI - (К- - иру\

СУЪ - (С? + Vli){Vx - иру ' 1 ;

где Vi - скорость течения, Уд, = Н0{/у/4ттр^ - скорость Альфвена (индекс "0" означает равновесные значения); С, = ■^дР1/др1 - скорость звука; 11р — ш/к - фазовая скорость возмущения, причем, г — 1,2 относятся соответственно к областям 2 > 0 и 2 < 0.

Уравнение (2) получено из уравнений идеальной магнитной гидродинамики, когда векторы к, Ц и Я0, направлены вдоль оси X, а малые возмущения задаются в виде поверхностных волн, затухающих при Z = ±оо, т.е.

{/1(12:^ ¡=а ехр(—кт\г) ехр[г(£х — ^ г

$2{хг{) ~ ехр(&т2г) ехр[г(&х —

Предполагается также, что сумма возмущенных газокинетических и магнитных давлений по обе стороны поверхности разрыва равны, т.е. скачок при 2 — 0

где фигурные скобки означают скачок величины, давление Р связано с плотностью р уравнением состояния. В несжимаемом пределе, когда С, —» оо, гп\ — т2 = 1, уравнение (2) переходит в уравнение Сыроватского [3, 4].

Тангенциальный разрыв устойчив, если корни уравнения (2) являются реальными числами. Из (4) видно, что при реальных £/р величины т, также реальные числа, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Отрицательность тп\ означает мнимость т,-, а это, как следует из (5), противоречит требованию поверхностности возмущений. Таким образом, необходимо требовать положительность т-, из чего следует действительность т. Обозначив М, = С} — (К — 11р)2 и I), =

С?VI — (С? + У£)(У — £/р)2: МЫ увидим, что неравенство т\ > 0 равнозначно следующим трем системам неравенств:

а)

б)

в)

М{ > О ТУ,- > о

д > о

М{ > о

ту,- < о А < О

м,- < о ту,- > о

А < О

ир е

+ К-;

ч/с? + ^ " ^С? + VI

иг<Е

- С, + К-; -^4,- + и

- УАг + К ; -С. + V

и

и

Ум + У,; С, + К-

С. + К; Км + V

(7)

(8)

(9)

Фазовые скорости, заключенные в интервале (7), соответствуют поперечным МГД волнам Альфвеновского типа [10], и таким образом, реализация случая а), что возможно при любых соотношениях между характеристическими скоростями С и Уд, означает, что в среде распространяются именно эти волны. Интервалы (8) и (9) соответствуют продольным магнитозвуковым волнам, причем, случай б) реализуется, когда С > Уд (малая сжимаемость), а случай в) - когда С <Уа (большая сжимаемость).

Так как по условию задачи т,- > 0 (г = 1,2), то уравнение (2) может иметь реаль ные корни лишь в том случае, когда ТУ,- имеют разные знаки, что возможно, если по одну сторону поверхности разрыва реализуется случай а), а по другую - случай б), т.е. по одну сторону разрыва возмущения распространяются в виде поперечных волн Альфвеновского типа, а по другую - в виде магнитозвуковых волн. Таким образом, условие устойчивости тангенциального разрыва получается из требования пересечения интервалов (7) и (8), которое при У\ = V и У2 = 0 имеет вид

V-

СгУ

А1

у/с[+УЦг

< -УЛ2 У <

СгУ

АХ

у/С? + VI,

-У

А2-

(10)

В предположении С2 > УА2 выражение , 2 2 2 » 1, и окончательно симметризирован-

V ^2+^.42

ное условие устойчивости МГД тангенциального разрыва можно записать в виде

V <

С\УА\

С2УА2

х/^+Ж № + VI,

(11)

номер 11, 2003 г.

Краткие сообщения по физике ФИАН

Легко показать, что из (11) следует условие Сыроватского (1) (смотри [9]). Кроме того, математические расчеты показывают, что сколь угодно малая сжимаемость ведет к дестабилизации разрыва, так как критическое значение квадрата скорости течения уменьшается на величину

\\

PrClVl,

Т/-2

vAl)

+

P2CjVl У , ( н!

(, л rl \ I ~ I rr~Z

+

Но

\ у*л />2 V )

V.

У Ы)

Таким образом, нам удалось получить условие (11) устойчивости тангенциального разрыва в сжимаемой проводящей жидкости, которое в пределе несжимаемости жидкости переходит в известное условие Сыроватского (1).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Гидродинамика, М., Наука, 1986.

[2] Ж в а н и я И. А., К и р ц х а л и я В. Г., Р у х а д з е А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 10, 35 (2003).

[3] С ы р о в а т с к и й С. И. ЖЭТФ, 23, (1952).

[4] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М., Наука, 1982.

[5] Sen А. К. Phys. Fluids, 7, 1293 (1964).

[6] Р а г k е г Е. N. Astrophysics Journal, 139, 699 (1964).

[7] Т а 1 v а г S. P. J. Geophys. Res., 69, 2702 (1964).

[8] G е г v i n R. А. % Red. Mod. Phys., 40, 652 (1968).

[9] К i r t s k h a 1 i a V. G. Planet Space Sci., 42, N 6, 513 (1994).

[10] Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика, М., Ф-М Литература, 1962.

Институт общей физики

им. А. М. Прохорова РАН Поступила в редакцию 26 ноября 2003 г.