CC BY
16
УДК 533.9
О НЕУСТОЙЧИВОСТЯХ ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО РАЗРЫВА
В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
В. Г. Кирцхалия, А. А. Рухадзе
Исследуются неустойчивости тангенциального разрыва по отношению к возбуждениям поверхностных и объемных волн в сжимаемой жидкости. Поверхностные волны возбуждаются при любых скачках скорости в потоке жидкости. Однако при заданном угле распространения волн существует критическое значение скачка скорости, выше которого поверхностные волны в потоке возбуждаться не могут. Объемные же волны возбуждаются при скачках скорости, превышающих скорость звука в жидкости, причем механизм их возбуждения связан с вынужденным черепковским излучением потока в покоящейся части жидкости. Определены условия возбуждения обоих типов неустойчивости и максимальные инкременты их развития.
Л. Д. Ландау в 1944 году рассмотрел задачу устойчивости тангенциального разрыва в потоке жидкости со скачком скорости и показал, что в случае несжимаемой жидкости разрыв всегда неустойчив (см. [1], §29), а по отношению к возбуждению поверхностной волны в сжимаемой жидкости разрыв неустойчив в условиях (см. [1], §84, задача 1)
О < V2 < 8с2. (1)
Здесь V - скачок скорости в тангенциальном разрыве, а с - скорость звука в жидкости Условия (1) относятся к случаю распространения поверхностной волны вдоль разрыва. При произвольном же угле распространения д в (1) следует заменить V —♦ исоэг?. С учетом этого обстоятельства в [1] справедливо заключается, что и в сжимаемой жидкости
номер 4, 2003 г.
Краткие сообщения по физике ФИ АН
тангенциальный разрыв неустойчив всегда, причем максимальный инкремент достигается при V2 = 3с2 и равен 1ти!тах = 0.5кс, где к - компонента волнового вектора вдоль разрыва.
Однако в работе [2] было показано, что уже при скоростях разрыва
V2 > (2 + \/8)с2 и 4.85с2 (2)
дисперсионное уравнение, положенное в основу анализа устойчивости в [1], теряет смысл, поскольку предположение о поверхностности волн возмущений перестает быть справедливым; волна становится объемной1. Поэтому для правильного решения задачи устойчивости тангенциального разрыва при больших скоростях, V > с, следует решать ограниченную в поперечном к разрыву направлении задачу и учесть возможность вынужденного излучения звука с поверхности разрыва. Эта задача и решается в настоящей работе.
Рассмотрим плоский слой идеальной жидкости с толщиной 2а, причем в области 0 < х < а жидкость движется со скоростью и||0г относительно покоящейся части жидкости, занимающей область —а < х < 0. Считая, что на ограничивающих слой поверхностях при х = ±а возмущения жидкости обращаются в нуль, легко получить дисперсионное уравнение
(ш — ку)2 ш2
Здесь ш - искомая частота, а к - компонента волнового вектора возмущений вдоль разрыва, т.е. параллельно скорости и (повторим, что при распространении возмущений в плоскости разрыва под углом $ к скорости V следует в (3) произвести замену и —> усоэ'д). Величины и к2 даются выражениями:
к, =
(ы - Ы)2 2 2 Ш
2
ч — т. к2, к2 — к . (4)
с1 с*
Для поверхностных волн /тк12 > 0, причем в пределе неограниченного потока жидкости (а —> оо) из (3) следует уравнение
— — (5)
(и — ку)2 и2'
1На это обстоятельство при нарушении условий (1) еще раньше было обращено внимание в работе
подробно проанализированное в [1, 2]. В противоположном пределе малой толщины слоя. << 1 из (3) имеем
к2 к2
«1 _ «2 (б)
(и — кг)2 ш2
Подставляя в (6) выражения (4), находим, что тангенциальный разрыв в слое малой толщины неустойчив по отношению к длинноволновым возмущениям при условиях
О < и2 < 4с2, (7)
причем максимальный инкремент достигается при V2 — |с2 и равен
кс
1тштах ----- -^-д. (8)
Заметим, что длинноволновая неустойчивость чувствительна к граничным услови ям, принятым выше, которые носят модельный характер. Поэтому полученный результат следует рассматривать как качественный.
Принципиально более интересной нам представляется неустойчивость тангенциального разрыва по отношению к коротковолновым объемным возмущениям, которая обусловлена вынужденным черенковским излучением звука с поверхности разрыва. С этой целью проанализируем уравнение (3) в условиях
к] >0, /с2 = -к2 < 0, к2а » 1,
\ш — ку| << кс, (9)
когда в области 0 < х < а описываемые уравнением (3) волны поверхностные, а в области —а < х < 0 - объемные (звуковые). В условиях (9) происходит резонансное возбуждение звука в жидкости, т.е.
/ 2 2
О, = ку+ 8 = ^к2с2+ 6, (10)
где 8 « ш, а п = 1,2,3... целые числа, причем из условия к2а >> 1 следует, что в (10) следует брать тг >> 1. (Это позволяет перейти к пределу неограниченной жидкости. а —> оо, заменив ^ —► кх.) Уравнение (3) в условиях (9) сводится к виду
г \ 3 6 \ с
2
. ш I а2ш2
аИЪка. (11)
Один из корней этого уравнения имеет 1т8 > 0 и соответствует нарастанию возмущений во времени
-1 + гл/3 ( с
,2
\ 1/3
;аИЪка . (12)
и; 2 \а2ш2
Видно, что Яеш < ку, что и свидетельствует о черенковской природе неустойчивости. Кроме того, так как и » кс, то для развития неустойчивости требуется, чтобы V » с. В пределе а к >> 1 из (12) находим
г _ -1-Пу/з и2к\1/3
и; 2 \аш2)
(13)
Этот результат можно получить из формулы для усредненной плотности нормального потока энергии в преломленной волне, полученной в [1] (см. §84, задача 2) при решении задачи Френеля на поверхности тангенциального разрыва:
_ с2кш \В\2^
Последний множитель в этом выражении представляет собой плотность энергии преломленной волны. Формула (14) позволяет записать закон сохранения энергии для преломленной волны в слое толщины а покоящейся части жидкости:
д \В\2
= <15>
Отсюда для слоя толщины а при учете (10) для медленно меняющейся амплитуды волны возмущения ^ —» 8 и из (15) получим
3
¡с
(16)
<5У с2 к
/ 1' , со 1 аиг
что соответствует (12) в пределе ак » 1.
В заключение заметим, что рассмотренная излучательная неустойчивость тангенциального разрыва обладает малым инкрементом развития по сравнению с инкрементом нарастания неустойчивости тангенциального разрыва по отношению к возбуждению поверхностной волны. Их отношение порядка (ак)2 < 1.
Работа выполнена при поддержке грантов Миннауки "Университеты России" и " Ведущие Научные Школы".
ЛИТЕРАТУРА
[1] JI а н д а у Л. Д., JI и ф ш и ц Е. М. Гидродинамика, М., Наука, 1988.
[2] Ж в а н и я И. А., Кирцхалия В. Г., Рухадзе А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 10, 35 (2002).
[3] Kirtskhalia V. Planet Space Sei., 42, N 6, 513 (1994).
Институт общей физики Поступила в редакцию 12 мая 2003 г.
им. А. М. Прохорова РАН
