CC BY
22
ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
УДК 539.3:001.891.54; 532.526
С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников, Е.К. Сергеева, Е.В. Щукина МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗОНАНСНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОГО СТЕРЖНЯ СО СДВИГОВЫМ ТЕЧЕНИЕМ «МЕЛКОЙ ВОДЫ»
Показано, что резонансное взаимодействие тонкого стержня со сдвиговым течением «мелкой воды» приводит к развитию ветровой неустойчивости. Получены дисперсионное уравнение и инкремент неустойчивости. С уменьшением «скорости звука» происходит уменьшение диапазона длин волн, в котором существует неустойчивость. Приведены численные оценки частоты и инкремента волн изгиба для различных параметров течения.
Ветровая неустойчивость, неустойчивость Кельвина - Гельмгольца, инкремент, дисперсионное уравнение.
S.G. Gestrin, A.N. Salnicov, E.K. Sergeeva, E.V. Shukina
THIN ROD ELASTIC OSCILLATIONS RESONANCE INTERACTION MATHEMATIC MODELING WITH SHEAR FLOW «SMALL WATER»
This is a research of the resonance interaction of a thin rod with shear flow «small water» section which brings to development of wind instability. The dispersion equation and increment of instability is given here. Wave band with instability is being diminished by diminution of acoustic speed. The authors also present the numeric evaluations of frequency and increment of flexural waves for different parameters of flow.
Wind instability, Kelvin - Gelmgolts instability, increment, dispersion equation.
Если течение газа происходит со скоростью, сравнимой со скоростью звука c, или является сверхзвуковым, то в уравнениях газодинамики необходимо учесть сжимаемость среды. Изучению различных вопросов, связанных с устойчивостью потока сжимаемой среды, посвящено большое количество работ. Так, в работах [1-5] была исследована неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (КГ) для тангенциального разрыва скорости в сжимаемой жидкости при различной геометрии течения. Расчеты показывают, что в плоской геометрии при
U0 > 2^2с неустойчивость КГ тангенциального разрыва стабилизируется для волн, бегущих
вдоль скачка [2], однако, сохраняется для волн, бегущих под углом к вектору скачка скорости. В работах [6-8] было исследовано влияние сжимаемости на поверхностные альфвенов-ские волны в магнитогидродинамическом аналоге ветровой неустойчивости (ВН). Было показано, что в пределе vA >> (уА - альфвеновская скорость) наиболее быстро нарастают возмущения, распространяющиеся под углом л/4 к скорости потока Ц (у) [6, 7].
Известно, что замечательную аналогию движения сжимаемого газа представляет движение в поле тяжести несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, если глубина слоя жидкости достаточно мала по сравнению с характерными размерами задачи. В приближении «мелкой воды» жидкость рассматривают как двумерную среду, обладающую в каждой точке определенной скоростью и характеризующуюся толщиной слоя И [2]. Малые возмущения такой системы представляют собой длинные гравитационные волны, распространяющиеся со скоростью с = . Эта скорость выполняет в данной системе ту же роль, что
и скорость звука в газодинамике. Указанная аналогия позволяет моделировать быстрые околозвуковые, или сверхзвуковые течения газа течением «мелкой воды» с относительно небольшой скоростью порядка с = . В связи с этим значительный интерес представляет
вопрос о развитии гидродинамических неустойчивостей на «мелкой воде».
Ранее в работе [9] было показано, что с максимумом увн связан выделенный масштаб упругих колебаний тонкой пластинки, возникающих при обтекании ее неоднородным течением с профилем скорости. При развитии ВН резонансное усиление поверхностных волн происходит в критическом слое сдвигового потока, где его скорость близка к фазовой скорости поверхностной волны: Ц0 (ус)« ю/к. Инкремент ВН при малых к растет степенным образом, а
при больших убывает по экспоненциальному закону уВН <х ехр(- 2кус), что приводит к максимуму, определяемому из условия 2кус « 1 [7, 8].
Ниже исследовано резонансное взаимодействие волн изгиба в тонком стержне со сдвиговым течением «мелкой воды». Предполагаем, что движение жидкости происходит вдоль стержня, ориентированного по оси X, и является плоскопараллельным (см. рисунок). Стержень имеет прямоугольное поперечное сечение со сторонами а и И1, причем И1 << а. С двух сторон стержня (у < 0; у > И1 ) находится жидкость, равновесная глубина которой И2. В дальнейшем для простоты вычислений будем предполагать И1 « а. Жидкость, находящаяся при у > И1, покоится, а занимающая полупространство (у < 0), движется со скоростью Ц0 (у) .
В дальнейшем для ее описания воспользуемся системой уравнений гидродинамики для мелкой воды, которая в линеаризованном виде имеет вид:
’ +
дХ дх
д
дИ
ду
дх
(1)
-vx , 4-vv ттіґ ч -к
--Г + Uo (У ^ + VyU0(y ) = - g —, (2)
дt ix -x
—v -v —h
+ Uo (y )-x = - g f. (3)
-t -x -y
Здесь h - глубина жидкости: vx и vy - возмущенные компоненты ее скорости; g - ускорение свободного падения, штрих означает производную по у. В системе (1)-(3) уравнение (1) является аналогом уравнения неразрывности, (2) и (3) - уравнения Эйлера. Глубину h будем искать в виде:
h(x y;t ) = h2 +? 2(x, у; t). (4)
^2 - смещение точек поверхности жидкости, связанное с наличием в ней гравитационной волны. Давление жидкости на глубине z:
p(x y, z;t) = p 2 g(h( x y;t) - z ) + Po, (5)
где p0 - атмосферное давление над поверхностью жидкости. Усредняя давление по высоте жидкости (y < o), находим:
_ 1 h2 11
p (x, у; t) = i-j p(x, у, z;t )dz = po +-p2 gh2 +-p2 g^2(x, y;t). (6)
h2 o 2 2
Среднее давление жидкости при y > h1 определяется аналогично. Таким образом, в нулевом приближении эти два давления компенсируют друг друга. Заметим, что колебания стержня происходят под действием разности давлений с двух его сторон, которая, согласно (6), появляется в первом приближении и имеет вид:
Ap(x;t) = 2 p 2 g[(x, у =0;t)- ?2 (л у = Кt)]. (7)
Уравнение, описывающее свободные колебания стержня, при которых прогиб стержня ^1 происходит в направлении оси Y, имеет вид [10]:
д 2с —4с
p1^l^l = -0^4L, (В)
1 it2 —x4
где p1 - плотность материала стержня; О - жесткость на изгиб; S = a h1 - площадь поперечного сечения. Если выполняется неравенство a >> h1 и деформация стержня однородна вдоль оси Z, то:
о=Eh3a, (9)
12
где E - модуль Юнга.
При наличии жидкости к правой стороне (В) надо прибавить силу, действующую со стороны жидкости на единицу площади поверхности стержня, т. е. разность между давлениями жидкости с двух сторон стержня (7):
д\ = EK д\ , 1
---- —------------1--.
—t2 12 —x4 2
Предполагая, что ^(x,t)к expi(kx-at), из системы (1)-(3) находим:
pA = - -2 +2 p 2 g[ (x, у =0;t) - ? 2(x у = Кt)]. (10)
г v'l
(и0 (0) - ю)1 v- - kU0(0)
p2 g ?2 (x, У = 0;t) = p2-------------„г /y,2-------------((U0 (0) - a) ?1 (x, t) . (1 1)
k 2 -
'2 (U0 (0)-a)
c2
Здесь с = ^£И2 - скорость гравитационных волн, которая для «мелкой воды» выполняет роль скорости звука. В дальнейшем будем предполагать, что жидкость при у > к1 покоится. Тогда, аналогично (11), имеем:
ш
V Уу J у=н
к2 -
ш
-ш^(х; г).
(12)
Из системы (1)-(3) получим уравнение для компоненты скорости Vу:
2к
VУ+-
2 2 с а
(у )
V — V У У
и; (у)
с и0 (у)'
са(у) .
и; (у) —шк - '8
+ 2
+а 2 Су )
= 0.
В (13) а(у) - поперечное волновое число:
(Ш 0 (у)-ш)2
а
!(у)-к2 -
(13)
(14)
Заметим, что (13) совпадает с уравнением Рэлея, полученным ранее для сжимаемого газа [7, 11] с точностью до замены скорости звука с на скорость гравитационных волн с. Малая добавка 5 > 0 определяет правило Ландау - Линя обхода особой точки при 1т ш = 0
и о (у с) = Ле^к ■ <15>
Подставляя (12) в (10), находим дисперсионное уравнение для поверхностных волн:
(Ш0 -ш)
- ки0
ш
V Vy J у=0
к2 -
(Ш0 -ш)
-(Щ,-ш)--^#
ш
к2 -Ш
(16)
Входящая в (16) величина (у'у^у) =0 должна быть определена из уравнения Рэлея (13).
При р2 << р1, из (16) получим приближенные значения вещественной и мнимой частей частоты:
С Е Л ^
Е ' ^к2,
ш,
.12р,.
-1 £2((и0 -шк)2 fк2 - ((и0 -шк)
4 р1 И1ш1
2 л-1 С /Л
1т
V vy J у=0
(17)
(18)
Величина 1т(//^) =0, определяющая значение у, найдена в работе [7]:
/у =0
1т
V.: л
= к
и0(ус) Ле (^(ус )У(ус)Л
V VУ J у=0
К (ус)| I Vy (0)У (0)
(19)
Здесь У(у) - решение уравнения, сопряженного к (13) [7].
Используя метод ВКБ (см. [12]), находим приближенное решение уравнения (13):
Аа 12 (у )ехр
- } С ра + а(, )1 А
у
2
0
Аа 72 (у)ехр -|а(^^
у
Здесь учтено, что при переходе от (28) к (29) предполагалось а2 (у) >> р2 (у)/4.
2
с
2
2
с
2
с
с
у
2
с
V
Как показали расчеты, проведенные ранее [7], вблизи резонансной точки, когда уравнение (13) можно приближенно записать в виде:
V - V
У У
иЦ Ус)
и0 (ус Ху - ус)
= о.
(21)
одно из его решений проходит через ноль при У = ус, в то время как второе остается конечным
1 + ирР( Ус )
ио (Ус)
Су - Ус)1п2к Су - Ус) I •
В качестве оценки из (22) возьмем:
у ( о Л
VУ(Ус)~а /2(Ус)ехР -|а(5)(Ь •
V Ус У
Подставляя (23) в (18) и полагая vy(ус) « У(ус), из (18) находим:
(22)
(23)
^Р2 (Си0 -®Д )
у^с> 2
и0(Ус)
4 Р1 Кю*к2 ^ - (и0 - и0 (ус)))/ и0 (Ус )|
( 0
х ехр
с
2 Л
- 2к |.1 -Ш?кШ^ (у,
Ус
где
и0 (Ус ) =
Е
12 Рь
(24)
(25)
Неустойчивость имеет место, если выполняется условие и"(ус)< 0, т.к. при этом У(к) > 0. Учет сжимаемости, т.е. конечной величины «скорости звука» с приводит к стабилизации коротковолновых возмущений к > к1 = (с + и0 )(12р1 /Е)2 / ^ , а также длинноволновых
возмущений с к < к0 = (У0 - с)(12р:/Е)2/^ . Поскольку фазовая скорость рассматриваемых волн растет с ростом к, то очевидно, что, начиная с к > к2 = итах (12Р^Е)12/ она превосходит максимальную скорость течения. Для таких волн у(к) = 0, т.к. условие резонанса для них не реализуется. Таким образом, в коротковолновой области граница неустойчивости может быть определена из неравенства к < т1п(к1, к2). Из (24) видно, что с ростом к инкремент у(к) убывает экспоненциально.
В областях к < к0 и к1 < к < к2, как показывают вычисления:
у( к )~лр^ (и0 0 )
8 р, Кк®Й0 (и0 - и0(Ус))
и"(У ) I У0(кп > I------------- I
0 ( ) ехР I- 2 I л/а2 (кп, УМу[, (26)
-1
\и0 (у)|
Ус
где кп - корни уравнения:
I д/|а2 (к, У )| dy = Г п +1 1л,
У0 (к)
(27)
у0(кп) - точки, в которых а2 (к, у) = 0. Величина и0(ус) определяется из (25) при к = кп. Заметим, что при и0"(ус) < 0 неустойчивость отсутствует, т.к. при этом у(кп) < 0, т.е. является декрементом. Для существования нарастающих во времени решений в этом случае необходимо и,0(ус) > 0 .
1
1
Будем предполагать в дальнейшем, что вблизи поверхности пластины при у < 0 в жидкости формируется логарифмический пограничный слой [2]:
и0 (у) = 2,5V, . (28)
* 0,13у
Данное выражение справедливо для |у| V, (V - вязкость жидкости, V, = д/а2/Р2 ,
а2 - сила трения, действующая на единицу площади поверхности стержня). Непосредственно к стержню |у| < V/V* прилегает тонкая прослойка жидкости, называемая вязким подслоем, в котором профиль скорости линейный:
и„ (у ) = |уЬ’,2/ V. (29)
Предполагая, что резонансный слой, определяемый (25), находится внутри логарифмического слоя (28), и вычисляя производные в (24), находим:
-------1— 1Хр (_ 2к 1ПиЩ'ША. (зо)
4 р А“*к 1 _(ио - ио (у,))У И [ .Л с \
Из (29) видно, что при больших к инкремент у(к) убывает благодаря наличию экспоненциального множителя. При малых к < к0 неустойчивость отсутствует. Таким образом, инкремент ветровой неустойчивости имеет максимум при:
2к | М ф к 1. (31)
у, (к )» с
Предположим, что имеется алюминиевый стержень толщиной Ъ1 = 0,03 м, помещенный в «мелкую воду» глубиной к2 = 10 м. Для А1: Ек 70 ГПа, р1 к 2,7-10з кг/мз; для воды:
р2 = 1000 кг/мз, V = 10-6 м2/с, с к 9,9 м/с. Принимая 5 к 20 Н/м2, находим V* = д/а/р2 к к 0,141 м/с. Из (31) и условия резонанса (25), записанного для профиля (28), определим волновое число наиболее быстро растущего возмущения ктах = 0,122 м-1 (А^х « 51,502 м), а также положение резонансного слоя ус(ктах) к 4,401 м. Фазовая скорость волн изгиба в стержне Vф = 0(ктах)/ктах ~ 5,38 м/с, частота шЯ0(ктах)к 0,656 с-1. Расстояние от пластинки, на кото-
ром и(у) имеет вид (28), составляет у к 35v / V* к 2,482-10-4 м. Подставляя данное значение у в
(29), находим и(у*) к 4,935 м/с. Моделируя столь большое изменение скорости на столь малом расстоянии скачком, принимаем на поверхности пластины и0 = 4,935 м/с. Из (30) инкремент неустойчивости утах к 0,285 с-1. Согласно полученным оценкам, видно, что утах < ю^0(ктах), однако при выводе (30) предполагалось выполнение более сильного условия: у << ш^0. Тем не менее, из данной оценки следует, что в области максимума инкремент по порядку величины оказывается сравнимым с Шд0, что означает быстрое развитие неустойчивости.
Рассмотрим теперь область к > ктах. Для к = 0,13 м- находим Vф = шя0 (к)/к к
к 5,732 м/с, ш^0(к) = 0,745 с-1, ус(к) = 10,636 м, у(к) к 0,056 с-1, т.е. у(к) <<шд0(к), что оправдывает предположения, в которых получено (30).
Заметим, что для волн с к > 0,336 м-1 (А < 18,7 м) подкоренное выражение в знаменателе (30) становится отрицательным, что означает их стабилизацию. Уменьшение глубины «мелкой воды» приводит к уменьшению «скорости звука» с. Так, если Л2 = 1 м, то с к 3,13 м/с и стабилизация происходит для к > 0,183 м-1 (А < 34,334 м) и к < 0,041 м-1 (А > 153,248 м). При Л2 = 0,1 м значение «скорость звука» с к 0,99 м/с, стабилизация происходит, если к > 0,134 м-1 (А < 46,889 м), а также, если к < 0,089 м-1 (А > 70,598 м). Как показывают приведенные оценки, с уменьшением «скорости звука» происходит уменьшение диа-
пазона длин волн, для которых существует неустойчивость. Полная стабилизация может наступить лишь в пределе с ^ 0.
Таким образом, в работе изучена ветровая неустойчивость изгибных колебаний тонкого стержня при его взаимодействии со сдвиговым течением «мелкой воды». Показано, что «сжимаемость» потока приводит к стабилизации коротковолновых, а в определенных случаях и длинноволновых возмущений, однако, в целом неустойчивость сохраняется. Инкремент ВН имеет максимум по к, что приводит к возникновению выделенного масштаба возмущений. С увеличением скорости потока происходит смещение максимума инкремента ВН в область более коротких волн. Получены оценки длины волны, частоты и инкремента наиболее быстро растущего возмущения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Степанянц Ю.А. Распространение волн в сдвиговых гидродинамических течениях / Ю.А. Степанянц, А.Л. Фабрикант // Успехи физических наук. 1989. Т. 159. Вып. 1. С. 83-123.
2. Ландау Л. Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1986. 736 с.
3. Birkinshow M. The Kelvin-Helmholtz instability for relativistic particle beams. Stability analyses in the time and space domains for vortex-sheet flows / M. Birkinshow // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1984. Vol. 208. P. 887-903.
4. Hardee P.E. Helical and pinching instability of supersonic expanding jets in extragalactic radio sources / P.E. Hardee // The Astrophysical Journal. 1982. Vol. 257. P. 509-526.
5. Turland B.D. Instabilities of Kelvin-Helmholtz type for relativistic streaming / B.D. Turland, P.A.G. Schouer // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1976. Vol. 176. P. 421-443.
6. Гестрин С.Г. Ветровая неустойчивость и спиральные структуры в кометных хвостах / С.Г. Гестрин, В.М. Конторович // Письма в Астрономический журнал. 1984. Т. 10. № 10. С. 790-796.
7. Гестрин С. Г. Ветровая неустойчивость и винтовые возмущения релятивистских за-магниченных струй / С.Г. Гестрин, В.М. Конторович // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1986. Т. 91. № 3. С. 779-791.
8. Гестрин С.Г. Ветровая неустойчивость в астрофизике (применительно к джетам, кометным хвостам, спиральной структуре галактик). II / С.Г. Гестрин, В.М. Конторович // Радиофизика и радиоастрономия. 1998. Т. 3. № 3. С. 259-272.
9. Гестрин С. Г. Резонансное взаимодействие упругих колебаний тонкой пластинки с гидродинамическим потоком / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников // Известия вузов. Физика. 2007. № 7. С. 77-80.
10. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1987. 246 с.
11. Бетчов Р. Вопросы гидродинамической устойчивости / Р. Бетчов, В. Криминале. М.: Мир, 1971. 340 с.
12. Фреман Н. ВКБ-приближение / Н. Фреман, П.У. Фреман. М.: Мир, 1967. 168 с.
Гестрин Сергей Геннадьевич -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная физика» Саратовского государственного технического университета
Сальников Александр Николаевич -
доктор технических наук, профессор,
Gestrin Sergey Gennadyevich -
Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Professor of the Department of «Applied Physics» of Saratov State Technical University
Salnikov Alexander Nikolayevich -
Doctor of Technical Sciences, Professor,
заведующий кафедрой «Прикладная физика» Саратовского государственного технического университета
Сергеева Елена Константиновна -
ассистент кафедры «Прикладная физика» Саратовского государственного технического университета
Щукина Елена Вячеславовна -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладная физика» Саратовского государственного технического университета
Head of the Department of «Applied Physics» of Saratov State Technical University
Sergeeva Elena Konstantinovna -
Junior member of teaching & research staff of the Department of «Applied Physics» of Saratov State Technical University
Shukina Elena Vyacheslavovna -
Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Assistant Professor
of the Department of «Applied Physics» of Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 05.05.09, принята к опубликованию 29.06.09
