Ветровая неустойчивость и упругие колебания тонкой пластинки Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 539.3:534.1; 532.526

С.Г. Гестрин, Е.А. Животова, А.Н. Сальников ВЕТРОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОЙ ПЛАСТИНКИ

Показано, что ветровая неустойчивость неоднородного течения с профилем скорости может приводить к развитию упругих колебаний тонкой пластинки с характерной длиной волны. Получены дисперсионное уравнение и инкремент неустойчивости, обладающий максимумом в длинноволновом диапазоне. Исследованы решения уравнения Рэлея вблизи полюса.

S.G. Gestrin, E.A. Zhivotova, A.N. Salnicov WIND INSTABILITY AND ELASTIC OSCILLATIONS OF THIN PUZZLE

It is shown here that the wind instability in inhomogeneous flow with velocity profile may give rise to the development of elastic oscillations of thin puzzle with characteristic wavelength. The dispersion relation and the instability growth rate which have maximum in the long-wave region were obtained in the article. The solutions of Rayleigh equation near the pole where investigated here as well.

Одна из основных задач теории гидродинамической неустойчивости - это задача о генерации волновых возмущений сдвиговыми потоками [1]. В этом плане наиболее простой и хорошо изученной является неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (КГ), развивающаяся на тангенциальном разрыве скорости [2]. Значительно более сложной является задача о взаимодействии волн различной природы с течением, в котором скорость изменяется непрерывно по координате z. Было показано [3], что нарастание волн на поверхности глубокой воды связано с их резонансным взаимодействием с воздушным течением над поверхностью. Резонансное усиление поверхностных волн происходит в критическом слое сдвигового потока, где его скорость U(zc) близка к фазовой скорости поверхностной волны. Данный механизм мы в дальнейшем будем называть ветровой неустойчивостью. В работах [4-6] был изучен магнитогидродинамический аналог ветровой неустойчивости, в котором поверхностная альфвеновская волна нарастала вследствие взаимодействия со сдвиговым течением замагниченной плазмы. Была исследована устойчивость плоской границы раздела двух сред, цилиндрической струи, разрыва угловой скорости вращения жидкости для дозвуковых и сверхзвуковых движений.

Механизмы перечисленных выше неустойчивостей привлекались рядом авторов для описания широкого круга волновых процессов, начиная от раскачки волн на поверхности океана и в атмосфере Земли [7] и заканчивая образованием колоссальных волновых структур, наблюдаемых в ряде

астрофизических объектов: кометных хвостах, выбросах из активных ядер галактик, галактических дисках и т.п. [4-6]. Основная сложность описания в рамках неустойчивости КГ состоит в невозможности объяснить выделенность длины волны наблюдаемой структуры, так как инкремент неустойчивости КГ не имеет максимума в длинноволновой области.

Ветровая неустойчивость естественно приводит к наличию характерного масштаба Хшах наиболее быстро растущих волн. Инкремент ветровой неустойчивости имеет максимум, когда резонансный слой находится на расстоянии порядка ^/4п от границы раздела.

Ветровая неустойчивость с физической точки зрения аналогична затуханию, или нарастанию в неустойчивом случае колебаний в бесстолкновительной плазме по механизму Ландау.

Резонанс реализуется между поверхностной волной и частицами среды в гидродинамическом потоке. Частицы жидкости, движущиеся в резонансном слое и обгоняющие волну, отдают ей энергию, а отстающие отбирают. Если обгоняющих частиц больше, то волна усиливается [2].

Исследуем резонансное взаимодействие волн изгиба в тонкой пластинке с обтекающим ее квазиламинарным гидродинамическим потоком, в котором пренебрегаем вязкостью и нелинейными эффектами. Движение жидкости предполагаем плоскопараллельным, причем в качестве и(£) выбираем логарифмический профиль средней скорости, характерный для турбулентного погранслоя над гладкой твердой поверхностью. Как известно, в этом случае возмущение скорости в потоке удовлетворяет уравнению Рэлея. Такой подход к описанию течения впервые применялся Майлсом [3].

Предположим, что пластинка имеет толщину к и расположена перпендикулярно к оси 2 (см. рисунок). Граница между пластинкой и жидкостью совпадает с плоскостью ХУ. Жидкость занимает нижнее полупространство (г<0) и движется со скоростью и(г). Уравнение, описывающее свободные колебания пластинки, имеет вид [8]:

д 2й д4й

р= -В- ^

д г2

д х

(1)

где р - плотность материала пластинки; ^ - вертикальное смещение ее точек (компоненты смещения этих точек в плоскости ХУ являются величинами второго порядка малости по сравнению с ^ и потому полагаются равными 0 [8])

ЕЬ3

В =

12 (1 -о2-)

(2)

В формуле (2) Е - модуль Юнга; а0 - коэффициент Пуассона. При наличии жидкости к правой части уравнения (1) прибавим давление жидкости р и на поверхности пластинки получим:

, д2С п д4С

р Ь—= -В—— +

д г2

д х 4

Р (хУ )|

(3)

Возмущенные величины в жидкости будем искать в виде бегущих волн p = p(z )exp i (kx -rot) и т.п. Из системы уравнений гидродинамики находим:

Р = ik2 [> + kU0 uz ] uz =-i и С , (4)

где uz, Z , P - z-компонента скорости, вертикальное смещение точек, плотность жидкости соответственно, U0 = U' (z = 0), штрихом обозначена производная по z.

Величина uz удовлетворяет уравнению Рэлея:

С \

U' (z У

ш

•+k2

U (z У---і б . k

= 0,

(5)

где 5>0 - малая добавка, определяющая правило Ландау - Линя обхода особой точки при 1т ш=0 [1]:

ш

U (zc ) = Re -

k

Считая, что Z = Z 0 exp i (kx -rot )и Z = Z на возмущенной поверхности пластины, из (3) и (4) находим дисперсионное уравнение для поверхностных волн:

(6)

DkA-p h ш2 = ^~ k

7

и

— I ш +kU0

VUz Jz=0

ш

Входящая в (Т) величина (и 'Juz У,=0 может быть представлена в виде:

VUz J(z=0У

k + і Im

VUz J(z=0У

(Т)

(В)

Мнимая часть в выражении (8), как будет показано ниже, может быть определена из уравнения (5).

Когда жидкость неподвижна, из (7) получим следующую связь между ш и к.

к5

ш2 = в ——, (9)

р + ь р к

что совпадает с полученным ранее в [8]. Если в жидкости существует профиль скорости и реализуется условие резонанса (6), то частота имеет малую мнимую часть, определяющую инкремент ветровой неустойчивости ш = шя + /у . При р >> р из (7) находим первые два члена разложения шя в ряд по степеням (р/р).

ш,

y.

1 p D/2

2 p32 h32

Im

ph

V Vz J(z=0У

hk ’

(l0)

(11)

Для определения входящей в инкремент мнимой части (8) записываем уравнение, сопряженное к уравнению Рэлея:

( \

U''( z У

U (z У —+ іб v 7 k

-+k2

= 0.

(12)

Умножая (5) на и*, а (12) на и2 и вычитая (12) из (5), а затем интегрируя полученную разность по 2 от 0 до -го с учетом вклада полюса, получим:

и - и

z

z

Im

full =п um 1Uz(Zc)!2. (13)

Vuz 7(z=0)

Как видно из уравнений (13) и (11), величина инкремента ветровой неустойчивости определяется решением уравнения Рэлея вблизи полюса (см. приложение).

Учитывая, что при большом значении k (k|zc| >> 1) отношение

Uz(zc)|2/U(0)2 - exp(-2k|zc|), и подставляя (13) в (11), находим инкремент неустойчивости:

Y*-!f^UHexP(-2kW). (14)

2 р/2 h/2 \U (zc Л

Предполагаем в дальнейшем, что вблизи поверхности пластины при z<0 в

жидкости формируется логарифмический пограничный слой [2]:

7 U

U (z) = 2,5 и* ln-Lb-. (15)

0,13 и

Данное выражение справедливо для |z| > v/v*, где и - вязкость жидкости, и* = д/а/р , р - сила трения, действующая на единицу площади поверхности пластинки. Непосредственно к пластинке прилегает тонкая прослойка жидкости |z| < и/и*, называемая вязким подслоем, в котором профиль скорости линейный: U(z) = |z|и2/и .

Предполагая, что резонансный слой, определяемый выражением (6), находится внутри логарифмического слоя (15), и вычисляя производные в (14), находим:

Y - ~~ 3/ ^3/, ,exP(- 2%|). (16)

2 р'2 h'2|zc|

Из выражения (16) видно, что при k|z cl >> 1 инкремент неустойчивости спадает экспоненциально.

В случае малого волнового числа k < k* = 10 и*(р h/D )12, когда фазовая скорость рассматриваемой волны и^<10и*, ее совпадение со скоростью потока осуществляется в вязком подслое [2]. Для таких волн, как следует из (14), инкремент неустойчивости у=0, так как профиль скорости здесь линейный и U"(z)=0.

Таким образом, инкремент ветровой неустойчивости имеет максимум при

2 k|zc (k)| - 1. (17)

Заметим, что zc = zc (k), так как фазовая скорость рассматриваемых волн согласно

(10) является функцией k.

Рассмотрим пример для алюминиевой пластинки толщиной h=1 мм, помещенной в воздушный поток. Для Al: E-70 ГПа а0-0,34, р-2,7-103 кг/м3. Предполагая, что р=0,1 Н/м2, р =1,293 кг/м3 (воздух), и = п/Р , П=17,2 мкПа-с, находим и*=0,278 м/с. Из (17) и условия резонанса (6), записанного для профиля (15), определим длину наиболее быстро растущего возмущения ^max-1,439 м, а также положение резонансного слоя: zc(kmax)-0,114 м

(kmax = 2п/^max ) .

Для того, чтобы резонансное взаимодействие могло реализоваться, необходимо, чтобы скорость натекающего потока превосходила фазовую скорость волн изгиба в пластинке Umax > roR/kmax -6,826 м/с. При этом roR-29,807 с-1 и у-3,794 с-1.

Для слоя льда модуль Юнга и коэффициент Пуассона могут быть определены по продольной cl=2700 м/с и поперечной ct=1500 м/c скорости звука и по плотности льда р=0,9-103 кг/м3 [9]:

E _

_рС(-4С)

% - 2с"

_8,377 ГПа, а0 _ "* _ 0,277.

2 ( - с2 )

(с2 - С2)

При толщине льда И_3 мм имеем: В-20,415 Нм, ^шах_2,406 м, гс(кшах)-0,191 м, Шд-18,76 с-1, у-3,984 с-1. Необходимая скорость потока итах > юд/кшах -7,182 м/с.

Как видно из рассмотренных примеров для алюминия и льда, инкремент ветровой неустойчивости у(кшах) имеет существенную величину, что приводит к быстрому нарастанию волн изгиба. Ветровая неустойчивость может препятствовать образованию сплошного слоя льда при замерзании водоема, раскалывая его на льдины размером порядка -^шах.

Исследованная в работе ветровая неустойчивость возникает вследствие резонансного взаимодействия волн изгиба в пластинке с обтекающим ее гидродинамическим потоком. Наличие максимума инкремента приводит, в отличие от других видов неустойчивости, к возникновению выделенного масштаба возмущений. Из приведенных оценок следует, что неустойчивость имеет место уже при весьма небольшой скорости обтекания.

(18)

Приложение: решение уравнения Рэлея вблизи особой точки

Как видно из (11) и (13), величина инкремента ветровой неустойчивости определяется структурой решений уравнения Рэлея вблизи особой точки. Разлагая и (г) в ряд Тейлора вблизи особой точки, получим из (5):

и •(.. ) / и'(г, ) + к 2 ''

г -

_ 0.

Перейдем в (П.1) к безразмерной переменной х _ 2к (г - гс) :

2 -и.

и •(.с ) / и' (2, ) +11 0.

ч 2кх 4 у

Используя обозначение X = - и• (гс)/и'(гс)2к, из (П.2) получим:

и2+и. (- 4+ХУ_0-

Данное уравнение является частным случаем уравнения Уиттекера [10]:

(П1)

(П2)

(П3)

и 2 +и.

2 - 1 ^ 1 X т 4 —+----- 4

4х

х

2

_0.

(П.4)

V у

При т _ ±1/2 уравнение Уиттекера совпадает с уравнением Рэлея в форме (П.3). Если 2т не равно никакому целому числу, то общим решением будет:

_ С1 МХ,т (Х) + С2 МX,-т (Х),

х 1 — т+—

1

МХт(х)_ е 2х 2ГI т +----Х,2т +1, х 1_

х1 — т+—

_е 2х 2

1+-

х +

2

т - X +1 т - X + —

2^ 2У х2 +....

(П5)

1!(2т +1) 2! (2т + 1)(2т + 2)

Х 1

— -m+—

22

, ч -x -“+1 f 1 Л

m (x) = е 2 x 2 m + 2-Х,-2m + u] =

- m-Х + — |- m - Х +— If - m-Х + —

2 x + ^-----------------------— x2 +....

1 + -

l!(- 2m +1) 2!(- 2m +1)(- 2m + 2)

(П6)

где Б - вырожденная гипергеометрическая функция.

Если 2т - целое число, то, по крайней мере, одна из двух функций М(х) является решением. Видно, что при т_1/2 знаменатели в I х_т(х) обратятся в 0. Функция I Хт(х)

остается решением.

M 1 (x) = е 2 x

Х,—

2

. 1 -Х (1 2

1 +--------x +------------L x2 + .

2

2!-2 • 3

(П.7)

из которого следует, что решение М 1 (х) в особой точке х_0 обращается в ноль.

Х,—

2

Для нахождения второго решения вблизи особой точки, пренебрежем в уравнение Уиттекера в ее окрестности слагаемым 1/4 по сравнению с Х/х, тогда получим:

х uZ+Xuz = 0. (П.8)

Равенство (П.8) может быть выполнено в двух случаях.

Во-первых, если и^(х = 0) = const; uz ~ х. Данная ситуация соответствует уже найденному решению M 1 (х). Действительно, при х<<1 из (П.7) находим M 1 (х)- х,

Х,— Х,—

2 2

M" 1 (х )«-1.

Во-вторых, если и"" ~ x 1 и uZ=const. Интегрируя (П.8), находим:

(z (zcУ

1+UN

U ’(Zc)

(z - zc )ln2k (z - zc У

(П.9)

Найденное таким образом решение (П.9) остается конечным в точке г = гс.

Другим решением уравнения Уиттекера является функция Жх (х). Если 2т - не

целое число, то

Tjr ( ч А(- 2m) ( Л A(2m)

WХ,„ (x)^^----~^MK„ (x) + - v '

AI 2-m-Х

AI 2 + m-Х

(П.10)

Если 2т - целое число (в нашем случае 1), то функция Мя_т (х) теряет смысл. В

этом случае в качестве линейно независимых решений уравнения Уиттекера можно взять функции М 1 (х) и Ж ! (х) . При малом значении х:

Х,-

2

Х,-

2

W— (x)

,2

• + xO(|lnx|).

(П.11)

А (1 -X)

Таким образом, Ж 1 (х) представляет собой решение, ограниченное при х_0, что

подтверждает упрощенные вычисления, проделанные выше.

x

2

1

2

ЛИТЕРАТУРА

1. Степанянц Ю.А. Распространение волн в сдвиговых гидродинамических течениях / Ю.А. Степанянц, А.Л. Фабрикант // Успехи физических наук. 1989. Т. 159. Вып. 1. С. 83-123.

2. Ландау Л. Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1986. 736 с.

3. Бетчов Р. Вопросы гидродинамической устойчивости / Р. Бетчов, В. Криминале. М.: Мир, 1971. 340 с.

4. Гестрин С.Г. Ветровая неустойчивость и спиральные структуры в кометных хвостах / С.Г. Гестрин, В.М. Конторович // Письма в астрономический журнал. 1984. Т. 10. № 10. С. 790-796.

5. Гестрин С. Г. Ветровая неустойчивость и винтовые возмущения релятивистских замагниченных струй / С.Г. Гестрин, В.М. Конторович // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1986. Т. 91. № 3. С. 779-791.

6. Гестрин С.Г. Ветровая неустойчивость в астрофизике (применительно к джетам, кометным хвостам, спиральной структуре галактик) / С. Г. Гестрин, В. М. Конторович // Радиофизика и радиоастрономия. 1998. Т. 3. № 3. С. 259-272.

7. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана / О.М. Филлипс. Л.: Гидрометеоиздат, 1980. 280 с.

8. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1987. 246 с.

9. Кларк С. Справочник физических констант горных пород / С. Кларк. М.: Мир, 1969. 543 с.

10. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: Наука, 1965. 703 с.

Гестрин Сергей Геннадьевич -

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная физика» Саратовского государственного технического университета

Животова Екатерина Алексеевна -

ассистент кафедры «Прикладная физика»

Саратовского государственного технического университета

Сальников Александр Николаевич -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная физика» Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 30.10.06, принята к опубликованию 05.12.06