Ветровая неустойчивость газовых подсистем галактических дисков Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

УДК 519 УДК 533.951

С.Г. Гестрин, К.В. Кочелаевская

ВЕТРОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ГАЗОВЫХ ПОДСИСТЕМ ГАЛАКТИЧЕСКИХ ДИСКОВ

Показано, что в присутствии достаточно сильного кольцевого магнитного поля, характерного для некоторых галактик, наличие даже слабой особенности на кривой вращения приводит к возможности существования локализованной поверхностной моды, необходимой для развития ветровой неустойчивости. Эта особенность представляет собой скачок второй производной от угловой скорости. Также существенно, чтобы магнитное поле возрастало или убывало медленнее, чем 1/r, с удалением от галактического центра. В этом случае возникает спиральная структура с числом рукавов, зависящим от отношения между скоростью вращения возле особенности и альфвеновской скоростью в диске.

Ветровая неустойчивость, спиральная структура, особенность кривой вращения, локализованные поверхностные волны

S.G. Gestrin, K.V. Kochelaevskaya

WIND INSTABILITY IN THE GASEOUS SUBSYSTEMS OF GALACTIC DISCS

It is shown that under the presence of sufficiently strong circular magnetic field typical for some galaxies very, including the weak peculiarity on the rotation curve results in the existence of the localized surface mode required for the development of wind instability. This peculiarity is derived from the angular velocity. It is also necessary that the magnetic field grow or decrease slower than 1/r with the distance from the galactic center. In this case, the spiral structure arises with the number of arms being defined by the ratio between the rotation velocity around the peculiarity area and the Alfven speed in the disc.

Wind instability, spiral structure, peculiarity on the rotation curve, localized surface mode

Ранее в ряде работ [1-3] была рассмотрена ветровая неустойчивость (ВН), которая может быть ответственна за возникновение спиральной структуры в газовых подсистемах галактик. В настоящей работе показано, что при достаточно сильном кольцевом магнитном поле, характерном для некоторых галактик [4, 5], для развития ВН требуется наличие лишь весьма слабой особенности на кривой вращения, которая обеспечивает существование локализованной моды. Такой особенностью является скачок второй производной от угловой скорости. Необходимо также, чтобы вблизи области корота-ции, где скорость вращения галактического диска совпадает с фазовой скоростью спиральной волны, магнитное поле росло с удалением от центра галактики или спадало медленнее, чем 1/r. При этом возникает спиральная структура с числом рукавов, определяемым отношением скорости вращения диска вблизи особенности к альфвеновской скорости в диске.

Для ряда галактик характерно наличие кольцевого [4] магнитного поля. Покажем, что, создавая дополнительную упругость газового диска, магнитное поле существенно влияет на его спиральную структуру, которая, как было показано в [5], в достаточно богатых газом галактиках может представлять собой волны плотности, распространяющиеся в межзвездном газе и нарастающие вследствие гидродинамических неустойчивостей.

Магнитное поле в галактических дисках генерируется, например, благодаря действию механизма магнитного динамо, приводящего к созданию структур с преобладанием азимутальной компоненты поля. Мы примем простейшую модель чисто кольцевого магнитного поля, которая широко использовалась в литературе [4, 5].

В настоящей работе в качестве причины возникновения спирального узора рассмотрена BH, возникающая благодаря резонансу между поверхностями волнами на особенности кривой вращения W(r) и вихрями, локализованными вблизи радиуса коротации Rc, где скорость вращения диска совпадает с фазовой скоростью спиральной волны. Показано, что при Hф Ф 0 для существования поверхностной волны и развития ВН достаточно лишь наличия скачка второй производной от угловой скорости (рис. 1), в то время как в отсутствие поля поверхностные волны и связанные с ними гидродинамические неустойчивости возникают на скачке либо на изломе угловой скорости W(r). Показано также, что при наличии кольцевого магнитного поля ВН существует при любой скорости спадания W(r) во внешней части диска, в то время как в отсутствие поля требовался достаточно быстрый спад вблизи коротационного резонанса (если W(r) » r~m, то m > 2.

Рис. 1. Пример кривой вращения со скачком 0"(г): Яо - радиус скачка; Яс - коротационный радиус; Я - точка ВКБ поворота уравнения (1)

Газовый диск галактик, находящийся в азимутальном магнитном поле Нф(г), будем описывать при помощи системы магнитогидродинамических уравнений:

ЭП - - - 1 - 1 Г - -

+ (V, У)П = —-Ур + —-И Н, Н ] —Уу зе; Эt - 4р-

dH dt

= rot [v,Н]; div Н = 0, (1)

^ + Лу V = 0. Эt

Здесь V , -, р - соответственно скорость, плотность газовой подсистемы и давление; - гравитационный потенциал, создаваемый звездной подсистемой. В силу малости массы газовой подсистемы диска по сравнению с массой звездной подсистемы в (1) мы пренебрегли гравитационным потенциалом фгаз по сравнению с узв.

Усредним систему (1) по г на типичной толщине диска I и линеаризуем ее для возмущения вида ехр/(тф — К^) , где т = 0, 1, 2, ... - азимутальное число. Полагая в дальнейшем, что волны, распространяющиеся в газовой подсистеме, в силу ее малой массы не влияют на звездную подсистему диска, будем пренебрегать возмущениями гравитационного потенциала Считая также для простоты газодинамическое давление много меньшим, чем давление магнитного поля, получим

• * ^ 1 Н Ф

/ю V. + 2ДуФ =---

г Ф 4рр0 г

Э 1 Э

^ (гФ)- шкг + ф ——(гН ф)

* С /ю УФ = —

■ф

1 К Э

р _э_

р2 г2 Эг

^ тт2 Л

Н

Ф0 г 2

8р

20 4рр0 г Эг Э

(г•Нф),

/ю Рг = р0 дг(г Пг) + /тРоПФ , (гкг) + /тЬф = 0,

Эг

(2)

(3)

(4)

(5)

К =

тН ф ю г

(6)

где ю* = ю — тО - частота возмущений в системе координат, вращающейся с угловой скоростью тю, С2 = 20 (20 + гю') - квадрат локальной эпициклической частоты; р0, Нф - невозмущенные,

усредненные по толщине диска I значения плотности и магнитного поля

Л

V 1 2

Н0 = - { Н (^

. 1 —у

; О -

угловая скорость вращения; Кг, Кф, уг, уф - возмущения магнитного поля и скорости. Исключая из уравнений (2), (3) и (4) уф и р, находим

/ '2" ■ / 20 К Э.(г • Нф) =

/ю V г---х \г + - * _

ю 4рр0 юг Эг

Нф 1

_э_

Эг

х-

_э_

Эг

4рр0 г

( Н 2 ^ Н ф 0 г 2

Кф Э

(г • Кф)—/тК+——(гНф) НфЭг

* 3

ю р0 г3

х

(7)

V 8Р у

т 1 К Э

Э

(гНф) — — (гпг) —

т С

4рр0 ю* г Эг4"ф Эгч',г/ ю* 20Пг

Исключая далее из (7) с помощью (5) и (6) Кф и уг, получаем уравнение для радиальной компоненты возмущения магнитного поля, которое наиболее удобно для следующего анализа:

1

(гКг)'' + - (гКг)' — (гкг) х \ г

4т0 1 1 (гН ф ) ' +(тП ^

ю* г2 Нф

+ -

2 (гНф)' — 1 •2 Нф г2

(гН ф )' Н ф

1

*2 гю у г

(гН ф)' Н ф

+

(8)

С2 — ю*2 т21 Л + + Г = 0.

V

а

г

Уравнение (8) является магнитогидродинамическим аналогом уравнений Рэлея [6]. Поскольку для большинства галактик выполняется условие О^ ))па , (8) можно приближенно записать в виде

(гКг)'' + 1(гКг)' — (гкг) г

4От 1 1 , „ С2 — ю*2 т2

—*--7-(гН ф )' + --2-+

ю*+ /5 г2 ф ф V2, г2

= 0.

(8а)

Первое слагаемое в коэффициенте при г Кг содержит полюсную особенность, отвечающую резонансу поверхностных волн, локализованных на особенности кривой вращения с вихревыми возму-

2

2

2

щениями на коротационном радиусе Rc, сносимыми со скоростью вращения диска w(Rc). Такой вид условия резонанса (w = m W(Rc)) полностью связан с рассматриваемым предельным случаем (Сзеук = 0) и наличием только волн, бегущих по окружности диска. Отсутствие в (8) полюсов, связанных с резонансом поверхностных волн с возмущениями, движущимися относительно вращающегося диска, аналогичными альфвеновской и быстрой магнитозвуковой волне, объясняется взаимной компенсацией соответствующих резонансных слагаемых в рассматриваемом предельном случае, что легко видеть на примере соответствующего уравнения Рэлея в плоской геометрии [4].

В (8) 5 ® +0 - добавка, задающая правило обхода особой точки, штрих означает дифференцирование по r.

Из (5) и (6) следует связь между возмущениями магнитного давления Рн = Н jhjj 4p и радиальным возмущением скорости vr:

Рн ="'Р0 (К ^. (9)

(rhr) w

Отсюда, используя тот факт, что vr = — iW*X (где X - смещение границы (см. рис. 1), соответствующей в интересующем нас случае скачку кривизны кривой вращения), находим связь между pH и X:

2 (rhr)' Рн =—p0v'v r'

(rhr)

x.

(10)

Из непрерывности рН на скачке О"(г) (приложение) с помощью (10) находим граничное условие, подставляя в которое решение уравнения (8), получим дисперсионное соотношение

(rhr)'

(rhr)

(rhr)'

R0 — 0

(rhr)

(11)

R0 + 0

Найти решение (8) в общем случае произвольной кривой вращения и магнитного поля Нф(г), разумеется, не представляется возможным. Однако, так как нас будет интересовать малый инкремент возникающей вследствие резонанса неустойчивости, нам достаточно будет определить

(гК )'

Im-

(rhr)

с помощью приема, восходящего к работе Майлса, после чего поле можно будет вы-

R0 +0

числить, ограничившись ВКБ приближением. Величины, входящие в (11), должны определяться из уравнения (8а), откуда в ВКБ приближении при достаточно малых уА получаем

— К ( г ]

гКг гс а- ехр |а^г , (г < Я0),

1йо )

—1

rhr rc а 2/2 exp

f r Л — { а 2dr

V R0

(r > R0),

(12)

где

au(r)

c2,2 - w*2 + m 2 + 2 n'u r2

(13)

представляют собой поперечные волновые числа, индексы 1, 2 относятся соответственно к областям г < Я0 и г > Я0.

Из (8а) может быть определена также Im-

(rhr)'

(rhr)

возникающая в результате обхода полюса.

Rd+0

Для этого построим уравнение, сопряженное к (8а):

R

0

2'

12

2

40т у С2 —ю*2 —

ю* — /5 г2 Нф ( ф) + -2 ~2

пА

= 0.

Поступая далее аналогично работе Майлса, находим

1т

(гкг)'

(К)

= 4л

0(ЯС) 1

(гН ф У,

«с Ке К («с )2(*С)

Я0 + 0

0'(Яс)| ад Нф«) К(Я0)2«)

Подставляя (12) в (11), представим дисперсионное уравнение в виде

(14)

(15)

ап

1 0 Я

^ 0 /О"

(01 —02') + —а 21т

4 пА^"1 2 (гКг)

«0+0

(16)

Здесь а0 ° а1(«0 — 0) = а2(Я) + 0); Па0 ° Vа (Я); 00 ° ОД).

Из (16) находим выражения для частоты и инкремента поверхностных волн на скачке 0"(г):

/

г

ю » т0г

2 т 2 2

%0 + ~~2 ПА0 — ПА0 «0

г

10Я0

V4 пА0

2

Л7э

(01 —02)

2л 2 /г> ч У» — ПА0 П А («С )

1 ^°0Я°(01 —0 2') 4 пА0

л К

(гН ф У

0(«С) 1

( т 2

С2( Яс ) + "Г ПА ( Яс ) Я„

л—12

V

ехр

у

У

( Яс — 2 |

V «0

22

0'(«С )| «С2 Нф («С ) V

У па (г)

2 т 2

%0 + ПА0 Яа

С2(г) — (ю — т0(г))2 + т2 ^

2 ^ г 2

(17)

(18)

*

Неустойчивости соответствует у > 0. Отсюда видно, что при Нф Ф 0 ВН развивается при растущем или спадающем поле медленнее, чем 1/г при магнитном поле в области коротационного резонанса и при сколь угодно медленном убывании 0(г) для г > Я0.

Номер наиболее быстро растущей моды ттах определяется максимумом инкремента у по т. Моды с т = 0 и т = 1 ВН не раскачиваются (при т = 0 в (8) выпадает резонансное слагаемое, а при т = 1, как видно из (7), не может быть реализовано условие резонанса).

При т > С0«0 /^А0 инкремент убывает с ростом т

У

2 _т_ 2

X0 + ПА0 «0

Л —12 (

у

ч— у\ 22

т

С 2( Я ) + пА ( Яс )

«0 у у

Таким образом, точное значение ттах зависит, как видно из (18), от функциональных зависимостей 0(г) и уА(г) и должно определяться численно. Отсюда следует, что при Vа » 3 + 4Сзвук (что

необходимо для выполнения условия р0С2 << р0пА, использованного в данной работе) и типич-

ных для галактик числах Маха небольшими т (т < 6+7).

00 «0 С

V звук

звук

л

< 10

ВН приводит к преимущественному нарастанию мод с

ОС

а б

Рис. 2. Спиральный узор, возникающий при развитии ВН в кольцевом магнитном поле (линии проведены вдоль максимума волны плотности): а - волна с т = 2, образующая спиральную структуру с баром; б - волна с т =5

Особый интерес представляет случай т = 2, при котором возмущение плотности р межзвездного газа имеет вид бара, переходящего в туго закрученную спираль (рис. 2 а) в точке ВКБ поворота Я уравнения (8а):

exp(/2j)exp < J

[«с \

C2(r) - (w- 2W(r))2 , 4

П2а (Г)

+ -jdr\, (r < «с),

p rc exp(i2j) exp< - J

«с

С 2(r) - (w-2W(r))2

nA (r)

+ 4т dr\

(«0 < r < R),

p rc exp

f

i 2

j +

w r

n A (r X

exp

g r n A (r X

(r > R)

(19)

Как видно из (12), вблизи r = 0 основную роль в ttj^r) играет слагаемое ni1 IR1, которое определяет скорость убывания амплитуды волны с приближением к центру галактики. Чем больше m, тем быстрее спадает амплитуда. Следовательно, волны с m > 3 могут убывать с удалением от «с, не доходя до ядра галактики и образуя m-рукавный спиральный узор (рис. 2 б), характерный для некоторых галактик, в которых спиральная структура вблизи от ядра отсутствует (NGC 309).

Таким образом, в работе показано, что при наличии достаточно сильного кольцевого магнитного поля, характерного для ряда галактик, для развития ВН требуется лишь наличие слабой особенности (скачка W'(r)) на кривой вращения. Необходимо также, чтобы вблизи коротационного радиуса напряженность магнитного поля росла с удалением от центра галактики или спадала медленнее, чем 1Ir.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гестрин С.Г., Горбатенко Б.Б., Межоннова А.С. Резонансное взаимодействие сдвигового магнитогидродинамического течения с колебаниями тонкой пластины // Известия вузов. Физика. 2015. № 5. С. 29-34.

2. Гестрин С.Г., Сальников А.Н., Сергеева Е.К. Резонансное взаимодействие упругих колебаний тонкого стержня со сдвиговым течением мелкой воды // Известия вузов. Физика. 2010. Т. 53. № 1. С. 28-33.

p

r

r

3. Гестрин С.Г., Сергеева Е.К. Ветровая неустойчивость и резонансное взаимодействие упругих колебаний тонкой пластинки со сверхзвуковым газодинамическим потоком // Известия вузов. Физика. 2011. Т. 54. № 3. С. 89-94.

4. Sofue X., Takano T. The configuration of magnetic fields in the spiral galaxies M31 and M33 // Publ. Astron. Soc. Japan. 1981. № 33. P. 47-55.

5. Roberts W.W., Yuan C. Application of the density-wave theory to the spiral structure of the Milky way system III: Large-scale hydromagnetic shock formation // Astrophys. J. 1970. № 161. P. 877-902.

6. Гестрин С.Г., Сергеева Е.К. Численный метод исследования дифференциального уравнения Рэлея // Вестник СГТУ. 2011. Т. 4. № 2с. С. 77-80.

Гестрин Сергей Геннадьевич -

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Физика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А., профессор кафедры «Инженерная физика, электрооборудование и электротехнологии» Саратовского государственного аграрного университета имени Н.И. Вавилова

Кочелаевская Кристина Владимировна -

кандидат философских наук, доцент кафедры «Инженерная физика, электрооборудование и электротехнологии» Саратовского государственного аграрного университета имени Н.И. Вавилова

Статья поступила в редакцию 15.12.15, принята к опубликованию 10.06.16

Sergey G. Gestrin -

Dr. Sc.; Professor

Department of Physics,

Yuri Gagarin State Technical University

of Saratov, Рrofessor

Department of Engineering Physics, Electrics and Electrotechnology,

N.I. Vavilov Saratov State Agrarian University

Kristina V. Kochelaevskaya -

Ph.D., Associate Professor,

Department of Engineering Physics, Electrics and

Electrotechnology,

N.I. Vavilov Saratov State Agrarian University