Устойчивость фронта испарения при объемном нагреве мишени и дозвуковом разлете паров Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5

УСТОЙЧИВОСТЬ ФРОНТА ИСПАРЕНИЯ

ПРИ ОБЪЕМНОМ НАГРЕВЕ МИШЕНИ И ДОЗВУКОВОМ РАЗЛЕТЕ ПАРОВ

И. Н. Карташов, А. А. Самохин

На основе численного анализа дисперсионного уравнения для возмущений фронта испарения показано, что газодинамические возмущения в дозвуковом потоке пара приводят к увеличению инкремента неустойчивости, обусловленного объемным характером нагрева облучаемой мишени.

Устойчивость плоского фронта стационарного испарения конденсированного веще ства при интенсивном нагреве определяется, в частности, тепловыми и гидродинамическими возмущениями в конденсированной среде, а также газодинамическими возмущениями в потоке испаренного вещества (см., например, [1] и цитируемую там литературу). Имеется целый ряд физических задач, в которых каждое из этих возмущений может проявляться отдельно и независимо. Например, в случае сублимации определяющая роль принадлежит тепловым возмущениям, т.е. возмущениям температурного профиля, а при анализе устойчивости фронта медленного горения (задача Даррье-Ландау) тепловые возмущения вообще не учитываются, поскольку развитие неустойчивости в данном случае определяется прежде всего дозвуковыми газодинамическими возмущениями.

При интенсивном испарении, когда в потоке испаренного вещества число Маха М = и/ис = 1, т.е. скорость потока и вблизи поверхности мишени равна местной ско рости звука гхс, обратное влияние газодинамических возмущений на поведение конденсированной среды отсутствует и задача о поведении возмущений в конденсированной среде оказывается замкнутой. Подобные задачи об устойчивости фронта испарения в случае объемного и поверхностного возмущения рассматривались в ряде работ [1 3]. Общий случай объемного поглощения отличается от поверхностного возникновением дополнительного максимума инкремента неустойчивости, который связан с наличием

температурного максимума в глубине конденсированной среды. Неустойчивость фронта сублимации при объемном поглощении также связана с наличием температурного максимума, т.е. с положительным градиентом температурного профиля, направленным в глубь конденсированной среды. В то же время гидродинамические эффекты в конденсированной среде могут значительно изменить величину инкремента тепловой неустойчивости по сравнению со случаем чистой сублимации [1].

Роль газодинамических возмущений становится существенной при дозвуковом разлете паров, когда число Маха оказывается меньше единицы и задача о поведении возмущений в конденсированной фазе перестает быть замкнутой [1, 4]. Влияние газодинамических эффектов при М < 1 на устойчивость фронта испарения при поверхностном нагреве [5, 6] приводит к появлению еще одной дополнительной области неустойчивости, которая связана с неустойчивостью Даррье-Ландау. В настоящей работе исследуется неустойчивость фронта испарения в общем случае объемного нагрева и произвольных чисел Маха М < 1 в потоке испаренного вещества.

В лабораторной системе координат плоский невозмущенный фронт испарения движется в отрицательном направлении оси г по конденсированной среде, которая описывается уравнениями теплопроводности, Эйлера и непрерывности для несжимаемой жидкости с постоянными температуропроводностью х> теплоемкостью с и плотностью р1. В системе отсчета, связанной с движущимся фронтом испарения, стационарный профиль температуры определяется уравнением с граничными условиями

аг

дГ, д2Т, а1

ВТ,

= 0.

и я--* я~Т = —е

ог ох ср1 ^

дТ

Г,(-оо) = Гоо, р1УЬпе + СР1Х

2=0

Здесь предполагается, что поглощаемая интенсивность убывает по закону Бугера в глубь от поверхности фронта г = 0. Интерференционные эффекты, связанные с дифракцией падающего излучения на неоднородностях поверхности раздела [1, 2], здесь не рассматриваются.

Решение уравнения (1) определяет стационарный температурный профиль

Г, = Гзо + АТек°2 + 1 , 1— (еаг - ек°2) , ' (2)

ср1Х ко - ос 4 '

где ДГ = Т3 — Гоо, Г» и Гоо - температура на поверхности г = 0 и в глубине конденсированной среды соответственно, к0 — у/х■ Скорость фронта испарения и, зависящая от Т3 и М, определяется балансом энергии в конденсированной фазе / = р1у[Ьпе + сДГ], где /

- интенсивность поглощаемого в среде излучения, Lne - теплота испарения, которая, вообще говоря, может отличаться от ее равновесного значения [7]. Давление р/, и скорость фронта V в этом случае постоянны, поскольку тепловое расширение конденсированного вещества не учитывается.

Случай поверхностного поглощения получается из (2) путем предельного перехода а —+ оо. В этом случае правая часть в уравнении температуропроводности (1) переходит в сингулярную ¿-функцию, а граничное условие в (1) формально сохраняет свой прежний вид, поскольку оно не зависит от а. Такая трансформация уравнения ( 1 ) эквивалентна переходу к однородному уравнению температуропроводности и к новому граничному условию, которое в дополнение к имеющимся в (1) членам содержит поглощаемую на поверхности интенсивность излучения I. Эти два различных вида граничных условий могут быть получены из решения (2), которое дает два различных

o/yi

выражения для -gj при z = 0, в зависимости от порядка дифференцирования и перехода к пределу а —> оо.

В области z > 0 находится испаренное вещество, которое считается идеальным одноатомным газом с показателем адиабаты ср/с„ = 5/3 и описывается системой газодинамических уравнений непрерывности, Эйлера и адиабатичности. Невозмущенным решением этой системы являются постоянные значения плотности пара /?, давления р и компонент скорости их = 0, uz = и = Мис, где и2с = (ср/с„)(р/р).

Область вблизи плоскости z = 0, называемая кнудсеновским слоем, требует кинетического описания. Размеры этой области порядка длины свободного пробега и для возмущений с достаточно большой длиной волны ее можно рассматривать как разрыв, на котором формулируются законы сохранения потоков массы д\, импульса д?, энергии дз и два дополнительных соотношения (испарительные граничные условия), учитывающие неравновесность релаксационного процесса в кнудсеновском слое. В качестве испарительных граничных условий в данной работе используются те же соотношения, что и в [5, 6].

Для возмущений физических параметров вида exp(wi — ikx) (Reo; = 7 - инкремент неустойчивости) линеаризованная система уравнений для конденсированной среды записывается следующим образом:

dSv

-ik8vx + -г-1 = О, dz

dêvz 1 dSpi

uövz + v—— =---—,

OZ PI oz

ш8Ух + V

дух Не с — = —дР1, ог р1

(3)

шдТ1 + V—--1- 8У2 — + х* оТг - =--

Ог ог ог1 ср1

и при условии отсутствия волн, идущих к границе раздела из бесконечности, имеет

решение:

(4)

8у2 = 8ьекг, 8ух = —¡8уекг, 8р1 = + ку)8уекг,

8Т, = (Аеаг + 6у [Ве{к+а)г + Ве^к+ко)г) + (^8Т, - + ^ ^ £ - (В + Б)8у

= 42

где <7 удовлетворяет уравнению

д2 — дк0 — к2 — ш/х — О

(5)

с условием Кед > 0; 8Т3 = ¿7/(0) 4- ^дТ^дг - модуляция температуры поверхности с учетом смещения £ возмущенной поверхности раздела относительно г = 0, а постоянные А, В я Б даются следующими соотношениями:

а21

А =

1

В =

ср1х(а - д)(д + а- к0)'

а!__1_

- ах) (к + а- д)(д + к + а - к0)'

Д Т

ср1Х(ко - а).

1

(к + ко - д)(д + к)'

Из линеаризованной системы уравнений движения для пара

г и с ,

— гкр8их + р—--(- и—— = О,

ш8их 4- и

дг дг

д6их ik

= —'ор,

ог р

и>8иг 4- и

д

д8иг

1 дбр р дг '

ш + и^ I (8р-и2с8р) = 0,

получается следующее решение:

8р

8р = ]Г 6р = — 4- Л3е

7=1,2

—к3г

и;

(6)

(7)

8иг = £ А^е~к]Х + —А4е~кз*, (8)

= £ / 1ки + гА4е~кзг,

г^а Р(Ш ~ кзи)

где волновые числа kj с j = 1,2 и к3 определяются соотношениями:

к3 = и/и, {и2с - и2)к2 + 2шик, - ш2 - к2и2с = 0. (9)

Условие отсутствия волн, идущих из бесконечности, позволяет положить А2 = 0 в диапазоне М < 1. Остальные шесть постоянных определяются из граничных условий для возмущенных величин в плоскости 2 = 0, которые могут быть записаны в виде:

8ьг = + 8дг1р1, 8иг = + 8и,

8р1 = 8д2 - 2у8д! + ак2(, 8р = 8(д2 - дги),

+ + (10)

8их = 8ух + 1к{и —

Эти условия представляют собой законы сохранения потоков массы, импульса, энергии, а также условие непрерывности тангенциальной к поверхности возмущенного фронта компоненты скорости. Поток массы д\, как и связанная с ним величина V = д^/р^и поток импульса д2 зависят от Т3 и М, причем зависимость эта определяется кинетическими процессами в кнудсеновском слое. Выражения для д\{Т31 М) и д2(Т„,М) представляю собой уже упоминавшиеся выше испарительные граничные условия.

Таким образом может быть получена однородная система из четырех уравнений относительно 8у, 8Т3 и 8М, условие разрешимости которой и определяет дисперсионное уравнение для возмущений фронта испарения [4, 5]:

<и*||Л«|| = 0, (11)

в котором элементы детерминанта определяются следующими выражениями: п 1 п п 1 дд1 п 1 д9г

£>11 = 1, ¿>12 = -V, Аз =---^Г, £>14 =--7ГГ75

Р1 оТ8 р1 дм

п I 1 ил П ¿.г Г) О п дд2 ддх

Ди = р\{у + ш/к), В22 = ак, В23 = --2У—1 В24 = ш-2Уш,

An = cpiX {{k + a — q)B + (k + k0 - q)D),

D

32

cplX \{a-q)A-q

ад

dz

+

d2T,

z=0

D33 = cpixq +

d(giLne)

D43 =

w

du

dTs

D41 = 1, F d(g2 - g\u)

Д34 =

7

Ö22 n, z=0/

d(giLne) dM 1

(12)

ur

Da2 = - k(u - v),

ku dTs pu dTs

D44 =

^ du _ F d(g2 -giu) ku dM pu dM

где F

kiu: — k2

и

Уравнение (11) приводится к алгебраическому уравнению двадца-

к{ш — к\и)

той степени относительно величины q, определяемой соотношением (5).

При численном анализе уравнения (11) использовались следующие значения тепло-физических параметров, которые примерно соответствуют данным для жидкого кремния [8]:

pi = 2.Ъ2г/см3, х — ОЛсм2/с, с = 1.05 х Ю7эрг/г • К,

а = 220дин/см, L - 137 х 109эрг/г, m = 4.7 х 10~23г, (13)

Ps = nskBTs = рь ехр (77(1 - Ть/Т.)), т\ = 13.2, рь = 10един/см2,

Т0о - ЗООК, Ть = 3514ÜT.

На возможность уменьшения коэффициента поглощения а в кремнии по сравнению с типичными значениями для металлов указывалось в работе [8].

При М = 1 задача для конденсированной среды оказывается замкнутой, поскольку газодинамические эффекты в потоке пара не оказывают влияния на возмущения фронта перехода. В такой постановке проблема устойчивости исследовалась в работе [1]. На рис. 1 предельному случаю М — 1 для поверхностного поглощения при выбранных испарительных граничных условиях и температуре поверхности Ts = 1.51'ь соответствует сплошная кривая с максимумом инкремента 7m(km) = 0.59мкс~1 и правой границей при к = 1.59л«?сл1-1. Уменьшение числа Маха в потоке испаренного вещества приводит к уменьшению величины инкремента и сужению исходной области неустойчивости: при М = 0.74 величина 7m = 0.13л1к;с_1 и правая граница к = 0.59ж?ел«_1. Однако фронт испарения оказывается нестабильным в области меньших и больших значений к, что на рис. 1 соответствует появлению длинноволновой и коротковолновой областей с положительным инкрементом (штриховые кривые с 7т = 0.12л4?сс_1, кт = 0.03л« к.«

.-1

и

Рис. 1. Зависимость инкремента неустойчивости от волнового числа для кремниевой мишени при Т, = 1.5Ть для М = 1 и поверхностного поглощения (сплошная линия), М = 0.74 и поверхностного поглощения (штриховая линия), М = 1 и а = 1.53л«гсл«_1 (штрих-пунктирная линия).

Рис. 2. Зависимость инкремента неустойчивости от волнового числа для кремниевой мишени при Т= 1.5ТЬ и а - Ю-^мкм'1 для М = 1 (1), 0.8 (2), 0.6 (3), 0.4 (4) и 0.2 (5).

7то = 0.65.мк;с-1, кт = 0.91ж?с.и-1). Поведение дисперсионных кривых и сравнительная роль различных механизмов неустойчивости при испарении в условиях поверхностного нагрева и ограниченного разлета паров (М < 1) подробно анализировалась в [5, 6].

При М — 1 и уменьшении коэффициента поглощения а значение инкремента и размер исходной области неустойчивости также уменьшаются. На рис. 1 эта область при а = 1.53л«кл1-1 показана штрих-пунктирной кривой (7т О.Зблекс-1, кт = 0.28л«кл«-1). Но при этом же значении а появляется дополнительная коротковолновая область неустойчивости (вторая штрих-пунктирная кривая) с 7т = 1.35л*кс-1, кт — 1.18л« к л«-1. Зависимость этой кривой от а оказывается весьма резкой (пороговой): при а = 1.56л«кл«_1 эта область неустойчивости вообще отсутствует, а при изменении а от а = 1.55л«кл«_1 до о = 1.5л«кл*-1 максимальное значение инкремента изменяется от 7т = 0.2бл«кс-1 до 7т = 2.32.игсс~1. Дальнейшее уменьшение а приводит к "насыщению" роста 7т на уровне 7т = 24мкс'1. При а = 10-1л«?сл«-1 значение 7т = 22.42л«гсс-1, а при а = 10_2л«кл<_1 значение 7ТО = 23.82л<кс-1. Другими словами, данная область неустойчивости, обусловленная эффектами объемного нагрева, оказывается доминирующей при а < 1жкл«-1.

В отличие от исходной неустойчивости (М = 1 и о = оо) уменьшение М не сразу приводит к уменьшению инкремента в этой новой области неустойчивости. На рис. 2 показано поведение дисперсионных кривых для а — 10~2мкм~г при различных значениях числа Маха М = 1 (кривая 1); М — 0.8 (2); 0.6 (3); 0.4 (4) и 0.2 (5). Скорости испарения v в этих случаях равны 87.7 (1); 86.8 (2); 82.8 (3); 72.3 (4) и 48.6 см/с (5), а поглощаемые интенсивности - 4.06 (1); 4.02 (2); 3.84 (3); 3.37 (4) и 2.29 МВт/см2 (5). При уменьшении числа Маха от М = 1 величина инкремента и размер области неустойчивости вначале увеличиваются, достигают максимального значения, а затем снова уменьшаются до нуля при М —> 0.

Рис. 3. Зависимость инкремента неустойчивости от волнового числа для кремниевой мишени при Т= 2Ть для М = 1 и поверхностного поглощения (сплошная линия), М — 0.75 и поверхностного поглощения (штриховая линия), М = 1 и а = 8.1 мкм~г (штрих-пунктирная линия).

Рис. 4. Зависимость инкремента неустойчивости от волнового числа для кремниевой мишени при Т, - 2ТЬ и а = 1 мкм~1 для М = 1 (1), 0.8 (2), 0.6 (3), 0.4 (4) и 0.2 (5).

Аналогичное поведение дисперсионных кривых в околопороговой области наблюдается и в случае температуры поверхности Т3 = 2Ть (рис. 3). Сплошной кривой на рис. 3 показана зависимость инкремента от волнового числа для поверхностного поглощения и М = 1 с максимальным значением инкремента 7т = 2.84мкс'1, достигаемым при кт — \.Ъ2мкм~1. Отметим, что при М = 1 эта область исчезает с увеличением скорости фронта испарения до v и 1650сл«/с [1, 5]. При уменьшении М появляется и растет дополнительная длинноволновая область неустойчивости (штриховая кривая), в

0

0 2 4 6 8 .10

к, мкм"1

10 20 30 .40 к, мкм"1

то время как исходная область уменьшается и полностью пропадает при М = 0.987. Далее при М = 0.751 появляется коротковолновая область неустойчивости, в которой при М = 0.75 7 достигает значения ут — 4.24л«?сс_1 при кт — 9.31жкж-1. В длинноволновой области значения 7т и кт для того же числа Маха равны 7т = 1.42мкс~1 и кт = 0.08жкж-1 (штриховая кривая). Уменьшение коэффициента поглощения при М — I, как и в случае Т3 = 1.5Хь, приводит к уменьшению инкремента и сужению исходной области неустойчивости и появлению при а = 8.15жкж-1 дополнительной коротковолновой области неустойчивости, в которой при а = 8.1жкж-1 максимальное значение инкремента 7т = 8.32мкс'1 при кт = 8.03л1кж-1. В исходной же области при том же значении а величина 7т - 1.93мкс~1 при кт = \A\mkm~1. Этому случаю на рис. 3 соответствуют две штрих-пунктирные кривые. Значение а = 8.1жкж-1 выбиралось, как и на рис. 1, из тех соображений, чтобы 7т для всех кривых имело одинаковый порядок. Уменьшение о: ведет к быстрому росту 7ТО и его насыщению при а < 1жкж-1.

На рис. 4 показано поведение дисперсионных кривых для этой доминирующей по 7т области неустойчивости при различных значениях числа Маха М = 1 (кривая 1); М = 0.8 (2); 0.6 (3); 0.4 (4) и 0.2 (5). В этих случаях скорости фронта испарения V равны 685 (1); 678 (2); 647 (3); 565 (4) и 380 см/с (5), а поглощаемые интенсивности - 34.6 (1); 34.3 (2); 32.8 (3); 28.8 (4) и 19.6 МВт/см2 (5). Как уже отмечалось выше, поведение дисперсионных кривых слабо зависит от а при а < 1л«кж-1.

На рис. 5 показано поведение 7т (пунктирная кривая и правая ось) и кт (сплошная кривая и левая ось) в зависимости от числа Маха при а — 1 мкм~х и Г„ = 1.5Гь. В сравнении с рис. 2 видно, что величина максимума инкремента и его положение слабо зависят от а. Для а = 10~2мкм~г (рис. 2) имеем: 7ТО = 23.82ж?сс~1, кт = 1.74жкж~1 (М = 1); 7т = 37.71жкс-\ кт = 2.63мкм'1 (М = 0.8); -ут = 39.48.Micc-1, кт = 2.8мкм'1 (М = 0.6); 7т = 31.3%мкс~х, кп = 2.44мкм'1 (М = 0.4); 7т = ЬЗ.ОЗжкс"1, кт = 1.39мкм"1 (М = 0.2). В случае а = 1 до"1 (рис. 5): 7т = 10.16жкс-1, кт = \Л2мкм~г (М = 1); 7т = 29.24жкс-1, кт = 2.5мкм~г (М = 0.8); -ут = 32.43жкс-1, кт = 2.7мкм~1 (М = 0.6); -ут = 2Ь.ЪЬмкс~1, кт = 2.34мкм'1 {М = 0.4); 7т = 8.47жкс-1, кт = 1.23мкм'1 (М = 0.2).

На рис. 6 приведены аналогичные зависимости для Т3 = 2Ть- В данном случае различие в поведении дисперсионных кривых для а = \mkm~1 и а = 10~2мкм~л оказываются еще меньше из-за большей величины скорости испарения. Увеличение скорости фронта испарения V соответствует уменьшению безразмерного параметра от которого

зависит влияние эффектов объемного нагрева на поведение возмущений фронта испа-

Рис. 5. Положение (сплошная линия и левая ось) и величина (пунктирная линия и правая ось) максимума инкремента объемной неустойчивости при Г, = 1ЛЩ и а — 1л<кл<-1 в зависимости от числа Маха.

Рис. 6. Положение (сплошная линия и левая ось) и величина (пунктирная линия и правая ось) максимума инкремента объемной неустойчивости при Т, = 2Тъ и а — 1 мкм~1 в зависимости от числа Маха.

рения. Как уже упоминалось выше, эта зависимость является весьма резкой вблизи порога проявления объемных эффектов, но быстро "насыщается" с уменьшением этого параметра. Стоит отметить также, что в рассматриваемых режимах воздействия объемный характер испарения начинает сказываться еще при достаточно больших значениях безразмерного параметра ах/и > 1, когда максимум стационарного температурного профиля может не достигать критической области для перехода жидкость - пар. При более высоких значениях максимума температуры используемая модель невозмущенного состояния нуждается в дополнительных обоснованиях и модификациях в околокритической области. При достаточной термодинамической устойчивости перегретой жидкой фазы эти изменения не повлияют, однако, существенно на полученные здесь результаты, поскольку рассматриваемые возмущения слабо чувствуют эту область.

Таким образом влияние газодинамических эффектов при М ~ 0.6 приводит к заметному (в два раза) увеличению инкремента в той доминирующей области неустойчивости, которая связана с объемным характером поглощения. При этом соответствующее волновое число кт также возрастает примерно в два раза. Полученные численные значения инкрементов свидетельствуют о том, что в рассматриваемых режимах воздействия

фронт испарения может оставаться плоским на временах Т < Юис. На больших временах искажениями фронта уже нельзя пренебрегать.

ЛИТЕРАТУРА

[1] С а м о х и н А. А. Труды ИОФАН, 13, N 3, 99 (1988).

[2] А х м а н о в С. А., Емельянов В. И., Коротеев Н. И., Семиногов В. Н. УФН, 147, вып. 4, 675 (1985).

[3] Андреев С. Н., Мажукин В. И., Самохин A.A. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 31 (2001).

[4] К а р т а ш о в И. Н., Мажукин В. И, Перебейнос В. В., Самохин А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9-10, 22 (1996).

[5] К а р т а ш о в И. Н., Самохин А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 3, 33 (2002).

[6] К а р т а ш о в И. Н., Самохин А. А. Квантовая электроника, в печати, (2003).

[7] К а р т а ш о в И. Н., Мажукин В. И, Перебейнос В. В., Самохин А. А. Математическое моделирование, 9, N 4, 11 (1997).

[8] Yoo J. Н., Jeong S. Н., Greif R., Russo R. Е. J. Appl. Phys., 88, N 3, 1638 (2000).'

Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 18 ноября 2002 г.