Влияние деформаций кручения на магнитный переход Фредерикса в прямоугольной ячейке нематика Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Серия: Физика Вып. 1 (16)

УДК 544.25, 536.764

Влияние деформаций кручения на магнитный переход Фредерикса в прямоугольной ячейке нематика

С. В. Бурылов

Институт транспортных систем и технологий НАН Украины,

49005, Днепропетровск, ул. Писаржевского, 5

Рассмотрен индуцированный магнитным полем переход Фредерикса в прямоугольной ячейке нематического жидкого кристалла (НЖК). В исходном состоянии нематик ориентирован однородно в плоскости сечения ячейки, на обкладках которой заданы жесткие граничные условия для директора НЖК: на верхней и нижней обкладках - планарные, на левой и правой -гомеотропные. Магнитное поле Н направлено перпендикулярно плоскости сечения ячейки. Найдено критическое значение Нр поля перехода Фредерикса, выше которого возникают ориентационные деформации НЖК в прямоугольном слое, аналитически получено выражение для профиля ориентации директора в полях Н > Нр и исследованы зависимости формы профиля от значения модуля кручения ^22 и величины внешнего магнитного поля.

Ключевые слова: нематический жидкий кристалл, переход Фредерикса, деформации кручения.

1. Введение

Жидкие кристаллы являются уникальными оптически активными материалами, которые широко используются в современных устройствах обработки и отображения информации [1, 2]. Основным элементом этих устройств служит ячейка размером порядка 10 ^103 мкм, заполненная жидким кристаллом определенного типа. Граничные условия на стенках ячейки задают исходную ориентацию директора жидкого кристалла. С помощью внешних воздействий, например, используя магнитные или электрические поля, можно управлять ориентацией директора. Это в свою очередь дает возможность управлять оптическими характеристиками ячейки (преломлением, поляризацией, отражением и др.), что и лежит в основе работы устройств с использованием дисплейных технологий.

Во внешнем магнитном поле Н основным ориентационным эффектом, который наблюдается в ячейках, заполненных нематическим жидким кристаллом (НЖК), является т.н. переход Фредерикса [2]. Он состоит в том, что искажение исходной (как правило, однородной) ориентации директора происходит только в полях Н, превышающих некоторое критическое значение Нр . Общая теория магнитных переходов Фредерикса для пло-

ских слоев НЖК, когда распределение директора зависит только от одной поперечной к слою координаты, была разработана достаточно давно (см., например, [2]). Позже в работах [3, 4] она была развита для случая двумерных деформаций поля директора, когда последний зависит от двух координат, лежащих в плоскости сечения ячейки. При этом рассматривались геометрии переходов Фредерикса, в которых директор n и магнитное поле H были ориентированы также в этой плоскости. В частности, была решена задача о переходе Фредерикса в прямоугольном слое при наложении однородного магнитного поля и показана роль конформных отображений, позволяющих обобщить полученное двумерное решение на случай областей с криволинейными границами в неоднородных магнитных полях.

Отметим, что в геометрии, отвечающей рассмотренному [3, 4] прямоугольному слою, имеет место комбинация двух типов деформаций НЖК: продольного (splay) и поперечного (bend) изгибов. Они характеризуются модулями упругости Кп и

К33 соответственно. В общем случае произвольных значений Кп и К33 двумерное уравнение равновесия НЖК во внешнем магнитном поле является существенно нелинейным. Поэтому при его решении в работах [3, 4] было использовано т.н.

© Бурылов С. В., 2011

двухконстантное приближение K1 1 = К33 = К . Оно оправдано, т.к. при средних температурах существования нематической фазы модули упругости К и К достаточно близки по своей величине. Несмотря на такое упрощение, полученное в двухконстантном приближении двумерное описание перехода Фредерикса по сравнению с одномерным аналогом в большей степени отвечает реальным ячейкам НЖК, имеющим конечные размеры.

Теоретическое рассмотрение, представленное в работах [3, 4], не учитывает, однако, третий тип возможных деформаций поля директора, а именно

- деформаций кручения (twist). Они возникают, в частности, тогда, когда к нематику, однородно ориентированному в плоскости сечения ячейки, приложено магнитное поле, направленное перпендикулярно указанной плоскости. Деформации кручения характеризуются модулем упругости К22 , который по своей величине, как правило, меньше констант Kjj и К33. Это отличие должно влиять на величину порога перехода Фредерикса и на форму профилей ориентации директора в магнитном поле. Теоретическому анализу данных вопросов и посвящена настоящая работа.

Материал статьи структурирован следующим образом. В разд. 2 описана геометрия задачи и показан вывод уравнения равновесия НЖК в магнитном поле. В разд. 3 найден порог перехода Фредерикса в заданной геометрии. Метод разделения переменных в нелинейном уравнении равновесия НЖК и предварительный анализ констант интегрирования представлены в разд. 4 и 5 соответственно. В разд. 6 получены выражения для профиля ориентации директора в магнитном поле. В разд. 7 дан анализ ориентационных искажений и исследованы зависимости формы профиля ориентации директора от величины внешнего магнитного поля и значения модуля упругости К . Выводы представлены в заключении (разд. 8).

2. Постановка задачи

Рассматривается неограниченная вдоль оси у ячейка нематика прямоугольного сечения с размерами Lx х Lz вдоль осей х и z соответственно.

Полагаем, что начало декартовой системы координат совмещено с левым нижним углом сечения, поэтому область, занятая нематиком, имеет координаты

0 < х < LX , -да < у <да , 0 < z < LZ . (1)

Считаем также, что на всех четырех обкладках ячейки заданы жесткие граничные условия для директора, причем на нижней ( z = 0 ) и верхней (z = LZ) сторонах прямоугольного слоя они отве-

чают планарному сцеплению вдоль оси x, а на левой (x = 0) и правой (x = Lx) - гомеотропному, т.е. также вдоль оси x. Следовательно, в исходном состоянии директор п0 нематика ориентирован

однородно: п0 = [1,0,0].

Включаем внешнее магнитное поле вдоль оси y : H =[0, H ,0]. Если величина диамагнитной

анизотропии %а нематика положительна, то возможным искажениям поля директора будут отвечать двумерные деформации вида

п = [cos(®),sin(®),0] , Ф = Ф(x,z). (2)

Найдем уравнение равновесия для угла Ф(x,z). Будем исходить из общего выражения для свободной энергии НЖК во внешнем магнитном поле:

F = 1 j dV{к„ (V • n)2 + К22 [п • (V X п)]2 +

2 V

+ K33 [n x(Vx n)]2 -Xa (п • H)2 - (3)

—K24V • [п X (V X п) + п • (V • п)]},

где К24 - поверхностный модуль упругости. Подстановка распределения (2) в выражение (3) дает

F =1 j dV [(К11 sin2 Ф + К 33 cos2 ф)ф 2 +

2 V (4)

+ К 22 •Ф 2 -X aH 2 sin2 ф] ,

здесь ф = дФ/dt. Видно, что в отличие от работ [3, 4] функционал (4) зависит от трех объемных модулей упругости - К11, К22 и К33, т.е. в рассматриваемой геометрии имеют место все три типа объемных деформаций НЖК: кручение, продольный и поперечный изгибы. В то же время поверхностные упругие деформации в данной геометрии отсутствуют, т.к. функционал свободной энергии не зависит от константы К24 .

Минимизация функционала (4) по переменной Ф дает искомое уравнение равновесия

[к„Яп2 ф + К33 cos2 ф] фxx + К22Фzz +

(5)

+ [(К„ - К 33 )-Ф 2 +X aH 2 ]• sin Ф-cos Ф = 0,

где Ф tt = д2 ф/dt2 . Граничные условия для уравнения (5) имеют вид

Ф( x = 0, z) = Ф^ = LX, z) = 0,

Ф( x, z = 0) = Ф^, z = LZ) = 0.

Перейдем к анализу возможных искажений поля директора.

3. Порог перехода Фредерикса

Прежде всего, найдем пороговое поле перехода Фредерикса в прямоугольной ячейке, т.е. магнитное поле, при котором исходное однородное состояние нематика становится неустойчивым. Для этого рассмотрим слабые отклонения угла Ф(х, z)<< 1 от исходного состояния Ф0 = 0 и разложим подынтегральное выражение в свободной энергии (4) в ряд с точностью до второго порядка малости. В результате для изменения свободной энергии получим интеграл вида

SF =1 ¡[Kзз-Ф2 + K22-Ф2-XaH2Ф2] dV. (7) 2

Функцию Ф(х, z), удовлетворяющую граничным условиям (6), представим в виде ряда Фурье

( \ \

“ “ . nk . nm

Ф = ^^Хkm Sin ----х • Sin --z , (8)

k=1 m=1

где X km - коэффициенты разложения, k и m -

целые положительные числа. Подстановка выражения (8) в выражение (7) и последующее интегрирование по сечению прямоугольного слоя дает следующее выражение для изменения свободной энергии в расчете на единицу длины ячейки:

пк пт

X • sin z

V Lx J V LZ

гг ад ад

8Fl = LxLz_

Я к=1т=1

п2к 2K„ п2т 2K-

- -XaH 2

(9)

Исходное однородное состояние является устойчивым, если величина 8^ из выражения (9) больше нуля при произвольных значениях к и т . Это накладывает ограничение сверху на величину внешнего магнитного поля: 8^ > 0, если

И < Ир , где Ир - пороговое поле перехода Фредерикса. Значение Ир определяется из условия 8^ = 0 при наименьших значениях к = т = 1, что дает

л К

HF -■

Vx7 \

33

+ -

K

22

(10)

L

■Ь],

L

ным для аналитического решения, поэтому по аналогии с работами [3, 4] используем

двухконстантное приближение К х = К33 = К . В результате получим следующее уравнение:

КФ „ + К 22 Ф zz +Х aH 2 • sin Ф-cos Ф = 0. (11)

Введем новые переменные

Wx~ Ял/Х7

4k

-z.

VK2

(12)

Тогда уравнение (11) и граничные условия (6) пе репишутся в виде

Ф +Ф + sin Ф- cos Ф = 0,

Ф(~ = 0, ~) = Ф

X = -

Ф(~, ~ = 0) = Ф

X, z =

WX7

4к hJÜ

lx ,z

7

J

\

= 0,

(13)

(14)

VK

22

= 0.

Метод аналитического решения уравнения (13) является модификацией метода решения классического уравнения синус-Гордона ^шє-ОоМоп) [5]. Этот модифицированный метод был показан в работах [3,4]. Рассмотрим его более подробно.

Функцию Ф(х,~) в новых переменных (12) будем искать в виде:

ф = 2аг^(х • г), х = х(~), г = г(~). (15)

Подстановка выражения (15) в уравнение (13) и

последующее умножение на дает

(1 + X2 72 )2/(4Z 3Х)

X

Z” - 2

Z

+ -

1 X"

Z2 X

(16)

1 7 ”

= 2(X')2 -XX + X2----------------------

7 2 73

-‘Х ^2

При И > Нр величина 8PІ становится меньше нуля для первых мод возмущения (8), поэтому исходное состояние теряет устойчивость.

4. Метод разделения переменных

Для определения характера ориентационных искажений в полях И > Ир рассмотрим уравнение равновесия (5) с граничными условиями (6). При произвольных значениях констант упругости нематика уравнение (5) является достаточно слож-

здесь штрихи обозначают производные функций X (~) и 2 (~) по соответствующей переменной. Продифференцируем (16) сначала по ~, а затем по ~. Очевидно, что после этой операции правая часть уравнения (1 6) будет тождественно равна нулю, а левая запишется как

= 0 . (17)

Домножая (17) на (23 ¡2Х '2 ’X), видим, что переменные разделяются. Следовательно, функции X (~ ) и 2 (~) должны удовлетворять уравнениям

2 X X Z ” - 2 " Z Л 2 - 2^ • X ”

_ Z V Z J Z3 _ X _

7

+

L

L

2

2

X X

X" г л г3 г" „ 1 г Л 2

= 4а, — 2

_ X _ г" _ г 1 г у

= 4a, (18)

здесь (4a) - константа разделения переменных.

Рассмотрим уравнение (18) для функции X (~). Его первый интеграл равен

(X"/X)- 2aX 2 = Ь , (19)

где Ь - постоянная интегрирования. Умножаем (19) на (XX), интегрируем еще раз и выражаем из полученного соотношения квадрат производной

(X ')2 = ¿X4 + bX 2 + с, (20)

здесь с - еще одна постоянная.

Перейдем теперь к уравнению (18) для функции 2 (~). Первый интеграл этого уравнения имеет вид

/ \2 г" „і г'I 2а -----2 — +-----------= -ё,

г

г

(21)

здесь знак минус перед константой интегрирования ё выбран из соображений удобства при дальнейших вычислениях. Умножаем (21) на (г'/г3), интегрируем и находим из полученного выражения квадрат производной

(г ')2 = яг4 + ёг2 + а,

(22)

(X')2 = а(в - X2)(с - X2), (г')2 = с(б - г2)(о - г2),

(24)

здесь

в =

4 ас

Б =

Ь +1 - -\/(Ь +1)2 - 4ас

2а

2с

- Ь + ЛІЬ 2 - 4ас Ь +1 + 7(Ь +1)2 - 4ас

С =-------------------, о =-------------------------

2а

2с

(25)

В следующем разделе будет показано, что новая форма записи уравнений для функций X (~) и 2 (~) (24) дает возможность при дальнейшем интегрировании легко перейти к эллиптическим интегралам с помощью таблиц [6] или с использованием замены переменных интегрирования.

Согласно выражениям (14)-(15) граничные условия для уравнений (24) имеют вид

X (~ = 0) = X

г (~ = о) = г

X =

-‘X

= 0,

= 0.

(26)

где g - постоянная.

Выражения (20) и (22) для производных функций X (~) и 2 (~) содержат пять констант. Однако только три из них независимые. Соотношения между константами находятся при подстановке (20) и (22) в исходное уравнение (16). Эта подстановка дает (1 + Ь + ё)\_2^2 -1]+ 2(с-g)• 22 = 0 , т.е g = с и ё = -(Ь +1). Следовательно, общие выражения для квадратов производных имеют вид

(X')2 = ¿X4 + bX 2 + с, (2 ')2 = с2 4 - (Ь +1)2 2 + а.

(23)

Дальнейшее интегрирование уравнений (23) дает решения в эллиптических функциях. Для того чтобы получить эти решения, необходимо представить правые части уравнений (23) в более удобном для дальнейшего использования виде и провести предварительный анализ констант интегрирования.

5. Анализ констант интегрирования

Запишем правые части уравнений (23) в виде произведения полиномов второго порядка, т.е. решим квадратные уравнения относительно X и 22; в результате получим

Прежде чем перейти непосредственно к интегрированию уравнений (24), проведем предварительный анализ констант интегрирования а, Ь , с, В , С , Б , О для рассматриваемой геометрии задачи. Из уравнений (23)-(24) видно, что их правые части неотрицательны. Это условие должно выполняться и на границах ячейки, т.е. при X = 2 = 0 - см. (26). Отсюда сразу следует, что

а = сБО > 0, с = аВС > 0 .

(27)

Обсудим теперь возможные значения постоянных Ь , В , С, Б , О. Из выражений (27) получаем

С = (с/аВ), О = (а/сБ) = (ВСБ)-1,

(28)

ВС> 0, БО> 0 .

Для константы Ь из выражений (25) имеем два условия

Ь 2 > 4ас, (Ь +1)2 > 4ас .

(29)

Для дальнейшей оценки константы Ь обсудим ожидаемый ход зависимости X (~). На границах

интервала [0, (и-УхО")] эта функция принимает нулевые значения, а в центральной области должна иметь экстремум. В точке экстремума производная X', а следовательно, и правая часть уравнения (24) равны нулю. Это выполняется, если хотя бы одна из констант В или С положительна,

1

г

а в точке экстремума функция X достигает этого положительного значения. Но если одна из констант положительна, то в силу (28) положительна и вторая константа. При этом очевидно, что максимуму функции X2 будет отвечать минимальная из констант В или С (в противном случае в интервале В < X2 < С правая часть первого уравнения (24) будет иметь отрицательные значения, что недопустимо). Положительная определенность констант В и С из (25) накладывает ограничение на постоянную Ь - она должна быть отрицательной. Подстановка отрицательных значений Ь в выражения (25) с учетом неравенств (27) показывает, что минимальной является константа В . Сказанное выше можно записать в виде

b <0, C >B >X2(~)> 0 .

(30)

Проводя аналогичные рассуждения для функции 2 (~), с учетом (25) находим

(b +1)> 0, G > D > Z2(~)> 0 .

(31)

'=!

dX

0д/а\в - X2 ]-[(c/aB)- X2 ]

(32)

Bj ^ - —■ F(<p, v) ,

c 0 yji -v sin y a

Ф - arcsin(x/VB), v- B^p2 ,

(33)

a-(ac)14, p-(a/c)1/4.

ч1/4

Здесь мы ввели обозначение эллиптического интеграла первого рода Б(ф, V). Заметим, что

0 < V = В^а/с = У В/С < 1, поскольку мы показали, что все константы положительные и В < С . Из (33) функция X (~) выражается через эллиптический синус Якоби

г ^

X --------sn

Р

(34)

Аналогично уравнениям (32)-(33) интегрируем второе уравнение (24):

Окончательно из выражений (30) и (31) имеем -1 < b < 0, а для положительно определенных констант а и с с учетом выражений (29) получаем

l4ac < min{- b, (b +1)}.

Перейдем к интегрированию уравнений (24).

6. Вычисление эллиптических интегралов и функций

Прежде всего, отметим, что свободная энергия нематика (4), уравнения равновесия (5) и (13), а также граничные условия (6) и (14) инвариантны относительно замены Ф ^ -Ф. Это означает, что состояния с наклоном директора (2) вдоль и против поля энергетически полностью эквивалентны. Для определенности положим Ф > 0. Тогда из соотношения (15) следует, что функции X(~) и Z (~) либо обе положительны, либо обе отрицательны. Также для определенности будем считать, что эти функции положительны и при извлечении квадратных корней из правых частей уравнений (24) будем брать знак плюс перед каждым из знаков корня. Тогда с учетом соотношения C = (c/aB) из выражений (28) и граничных условий (26), после интегрирования первого уравнения (24) от границы ячейки x = 0 до текущей координаты x, получим

■-Í

dZ

Vc[D - Z 2 ]■ [(a/cD)- Z 2 ]

dy

a 0-^1 - ц2 sin2 y

- :£■ F(e, ц),

(35)

Є-arcsin(Z/VD), ц-(о/p2). Отсюда находим функцию Z (~) :

Z -Рл/Ц'

sn

л/ц

-■z, ц

(36)

Для преобразования правой части уравнения (32) можно сразу использовать таблицу [6] перехода к эллиптическим интегралам или провести замену

переменных X = VB sin у. В последнем случае из

(32) имеем

Теперь в выражениях (34) и (36) надо определить постоянные интегрирования. Из четырех констант а , р , V и ц, входящих в (34) и (36), только

три являются независимыми, т.к. все эти константы выражаются через исходные постоянные а, Ь и с. На данном этапе определения постоянных интегрирования вместо {а, Ь, с} мы можем выбрать в качестве независимых три новых константы {а, V, ц} . Это удобно, т.к. в функцию Ф(~,~) из (15) постоянная р вообще не входит.

При определении констант {а, V, ц} используем сначала вторую пару граничных условий (26) при

~ = (н4г~а1х1^К) и ~ = (Ял/&2/л/К7). Учитываем, что эллиптический синус sn(y, д) является

периодической функцией при вещественном аргументе у . Нули этой функции расположены на расстоянии полупериода, который равен 2К(д), где К(д) = Р(я/2, д) - полный эллиптический интеграл первого рода. Чтобы зависимости X(~) и 2 (~) удовлетворяли указанной паре граничных условий

а

■х, V

а

а

и деформированному состоянию отвечал минимум свободной энергии, в размеры ячейки должно укладываться по одному полупериоду этих зависимостей (по аналогии с разд. 3). Тогда из выражений (26), (34) и (36) следуют два соотношения:

1Х = 2КМ

■IV л

а н4г~а Уц л/К 22

Ь2 = 2 К (ц).

(37)

К

К

—V К2 (V) = —22 ц К2 (ц).

(38)

X

Т1

9 9

с + аВ а - В + сВ

(39)

В

В

^(1 + v 2 )+^(1 + ц2 )= 1.

V ц

Подставив сюда выражения для а из (37), получим второе условие связи констант V и ц:

К

(1 + v 2 К 2 ^)+ К 22 (1 + ц 2 )к 2 (ц) = ±

4

4 X аН 2

(41)

Ф( х, г) = 2аг^

2ВД

X, V

V Тх

8П

2К(ц)

Нрхv К (v) = Нрх цК (ц)

2, ц

(42)

(43)

НРх (1 + V2 )к2 (V) + Н2р2 (1 + ц2)к2 (ц) = (пН/2)

Нрх ='

Тх V

К_ X а

НР2 = '

К

(44)

(45)

Выражая из каждого соотношения величину

(аНУх7/2)2 и приравнивая полученные результаты, находим равенство, связывающее константы V и ц:

Еще одно условие, связывающее указанные константы, можно получить из выражений (25) для постоянных В и Б . Найдем из каждого выражения константу Ь и приравняем полученные соотношения:

Здесь константы Нрх и отвечают порого-

вым полям перехода Фредерикса в плоских слоях [2], неограниченных вдоль осей г их соответственно.

7. Исследование ориентационных искажений

Перейдем к анализу ориентационных искажений в полях Н, превышающих пороговое значение Нр. Покажем сначала, что из соотношений (42)-(45) следует само наличие порога.

Из выражения (42) видно, что в однородном состоянии V = ц = 0 . Рассмотрим малые искажения однородной структуры с V << 1 и ц << 1. Учитывая, что в этом случае [6]

( V2 1

— +... (46)

4 )

ВД=п

2

С использованием уравнений (33) и (35) выразим постоянные В и Б через V, ц и р. Тогда, учитывая, что р = а /4с , из выражения (39) находим

(40)

и аналогично для К(ц) разложим выражения (43)

и (44) в ряды с точностью до второго порядка малости по V и ц; в результате получим

Нрх V = НР2 ц ,

Нрх [1 + ^72)] + Н2Р2 [1 + (3ц72)] = Н2.

Из этих выражений находим

_ 2Нрі (Н2 - Н2Рх - Н2р2)_ 252 (Н2 - Н2Р)

(47)

V2 =

3НРх (НР2 + НРх )

3Н 2

ц2 = 2НРх (н2 - НРх - Н2Р2) _ 2(н2 - НР)

Г1

3НР2 (НР2 + НРх )

352Нр

Таким образом, соотношения (37), (38) и (41) полностью определяют постоянные {а, V, ц} при заданном поле Н . Теперь, используя выражения (15), (34), (36), (38) и (41), а также переходя с помощью соотношений (12) к естественным переменным х и 2 , можно представить окончательный результат решения задачи в следующем виде: ґ ( \ ( \\

(48)

здесь введен параметр анизотропии ячейки

S = (НрZ/Нрх) = (Lх/Lz)7К22/к . Из выражений (48) следует, что искажения возникают только в полях Н > Нр , где

Н

-I

НШ + Н'р2 = '

К К 22

-----+ ^^. (49)

х

Т2

1^ о

Данный результат совпадает с точным решением (10) в приближении К11 = К33 = К .

71

71

X

а

п

Ь

2

Выражения (48) показывают также, что принятое нами приближение V << 1 и ц << 1 отвечает

магнитным полям

\2 , ,2

{И/Ир)2 -1 = к2 -1 << шт{ э/282, 382¡2 }, (50)

здесь к = И/Ир - безразмерное магнитное поле. В этом приближении с использованием выражений (46) и (48) можно найти угловую зависимость Ф{х, г) из (42):

Ф(х, г) и 2

2ІИ 2 -1) .

3

Л Г Л л

Б1П

(51)

Видно, что эта функция удовлетворяет граничным условиям (6) и отлична от нуля только при к = ( И/Ир )> 1.

Обсудим положение экстремума функции (42) и величину максимального угла отклонения директора в этой точке. Из выражения (42) следует, что максимальному значению Ф(х, г) будет отвечать точка пересечения экстремалей эллиптических синусов по координатам х иг . Линии экстремалей проходят на расстоянии четверти периода эллиптических синусов, т.е. при

ВД х. = К(,), !К<Н1г„ = К(ц).

(52)

Отсюда мы получаем вполне ожидаемый результат: экстремум функции Ф( х, г) реализуется в центре ячейки при {х. =(Ьх/2), г. =(Ь2/2)}. Его

величина равна

Ф. = 2аг^(л/у^|1). (53)

Теперь рассмотрим форму профиля функции (42) в сильных полях, когда дополнительные модули ~ = лі 1 - V 2 и ~ = -у/1 - ц2 эллиптических функций много меньше единицы. Используем в этом случае разложение [6]

V2 4

К(у)«Л(у) +— (Л(~)-1) +... , Л(,) = 1п- (54) 4 V

и соответственно для К(ц). Тогда в первом порядке малости по V и ~ из уравнений (43) и (44) получим

Л2 (V) = 52Л2 (~),

8[л2 (V) + 5 2Л2 (~)] = л2к2 (1 + 52).

Отсюда находим

(55)

V = 4ехр

Ґ ;кУІ 1+ 52 А

лкУі

+ 52

45

Рис. 1. Зависимость угла Фт от безразмерного поля к = {И/Ир) для ячейки с

8 = 1, Ир = 42Ирг = 42Ирх (кривая 1) и для плоского слоя с 8 = да, Ир = ИР2 (2)

Формулы (56) показывают, что сильным полям, когда ~ << 1 и ц << 1, отвечает условие

к = (И/Ир) >> тах <! -

81п2

851п2

4 + 52 л л/ 1+ 52

(57)

В этом случае для профиля функции (42) справедливо соотношение

17

Ф и 2агС^|

1-

~2 ~2 V 2 +ц2

X БП

X БП

2К

2К

4

V? Л

V х

2 ) ^х

~7 \

г

'1 - 21'

(58)

~2 Л 1 - ^

2 / Ьг V 2 /

здесь V и V определяются выражениями (56).

Проиллюстрируем проведенные расчеты графическим материалом. На рис.1 показаны зависимости максимального угла Ф отклонения директора от величины безразмерного магнитного поля к для прямоугольной ячейки с параметром анизотропии 5 = 1 и для плоского слоя с 5 = да .

В случае прямоугольной ячейки при 5 = 1 из (43) и (53) следует ц = у = tg(Ф./2), а из (44) -неявная зависимость Фт(к):

(

К

Ф

tg—

2

лк Ф

= — соб—., (59)

2

2

Этой зависимости отвечает кривая 1 на рис.1.

При переходе к плоскому слою и построении кривой 2 было проведено сопоставление методов расчета поля директора для двумерных (0 < 5 < да) и одномерных (5 = 0 или да) задач. Остановимся на этом вопросе более подробно.

л

х

г

X

X

4

Рис. 2. Профиль функции Ф{х, г) для прямоугольной ячейки с 8 = 1 в безразмерном магнитном поле к =1.01 (а), 1.1 (б),

1.5 (в), 3 (г). Расстояние между линиями уровней равно (я/20)

Используем метод решения двумерной задачи для определения ориентационных искажений в плоском слое, бесконечном вдоль оси х, т.е. при 5 = ж . Рассмотрим угол Ф как функцию только координаты г . Для этого положим в выражении (15) X(~) = 1. Тогда для коэффициентов уравнения (22) будут справедливы соотношения g = а и ё = 2а -1. Второе уравнение (24) перепишется как

(2 ')2 = а (в - г2 )(1 - в22), в =1 - 2а->/Гг4а.

Б 2а

(60)

Результат интегрирования этого уравнения с учетом граничного условия 2(~ = 0) = 0 приводит к

выражению 2 =4Б• би(л/а~/л/Б,в). Подставим

в него значение а = в/(1 + Б)2 , полученное из второго соотношения (60), и используем граничное условие 2 (~ = Ид/хО^/^¡К22) = 0 . В результате искомая функция Ф(г) будет иметь вид

Ф = 2аг^[л/Б • Бп(2К(В)г/Ь2 ,Б)],

(61)

(И/Ир2 ) = (2/я)(1 + Б) К (Б).

Выразим этот результат через угол Фт отклонения директора в центре слоя, как это принято при решении одномерных задач. Из первого соотношения (61) находим Б = tg2 (Фт/2). Перейдем во втором соотношении (61) к другому модулю К(Б) [6]: (1 + Б)К(Б) = к(2лБ/(1 + Б)). Тогда, для неявной зависимости Ф т (к), представленной кривой 2 на рис. 1, получим выражение

к = (И/Ир ) = (2/я)К(ет Фт ), Ир = Ир2 . (62)

Этот результат хорошо известен в одномерной теории переходов Фредерикса [2]. Заметим, что при 5 = 0, когда слой бесконечен вдоль оси г , мы получим решение (62) с заменой Ир% ^ Ирх .

Вернемся к рис.1. Он показывает, что в относительных единицах магнитного поля к = И/ИЕ кривые для прямоугольной ячейки (кривая 1) и для плоского слоя (кривая 2) достаточно близки между собой. При переходе к абсолютным значениям магнитного поля, например, в терминах к = И/Имы получим, однако, только качественное сходство рассматриваемых зависимостей. В двумерном случае при 5 = 1 величина порога

Ир из выражения (49) в 42 раз выше, чем в одномерном (т.е. при 5 = ж). Поэтому при переходе к значениям магнитного поля к кривая 1 сместится вправо по оси абсцисс и растянется пропорционально корню из двух.

О

Рис. 3. Совмещение профилей функции Ф(х,г) при К = К22 и 2К22 для квадратной ячейки в поле к = 2. Темный фон: Ф(К = К22 ) - Ф (К = 2К22 )> 0, светлый фон: Ф(К = К22)-Ф(К = 2К22)< 0.

О 0.5 х/1х 1

О 0.5 2/12 1

Рис. 4. Сечения профилей Ф(х,г) по осям х (а) иг (6) для квадратной ячейки при К = К22 (сплошные линии) и 2К22 (пунктир). Плоскости сечений: х/Ьх и г/Ь2 = = 1/8 (кривые 1), 14 (2), 12 (3)

Изменение профиля функции Ф(х,г) из выражения (42) в зависимости от величины внешнего поля к для прямоугольной ячейки с 5 = 1 показано на рис. 2. В соответствии с формулой (53) максимум функции Ф(х, г) реализуется в центре ячейки. Слабым полям, когда согласно (50) -(к2 -1)<< 1.5, отвечает профиль, представленный на рис. 2, а. Он полностью описывается соотношением (51). Случаю сильных полей в соответствии с

(57) отвечает условие к >> 1.25, но уже при к = 3 профиль функции, показанный на рис. 2, г, практически полностью согласуется с распределением

(58). С ростом поля в центре ячейки формируется площадка с Ф(х,г) и я/2 , а вблизи стенок - тонкие слои с сильными деформациями поля директора.

На рис. 3 и 4 приведено сравнение профилей Ф(х, г) при различных значениях К и Кц в поле к = 2 . В качестве исследуемой мы выбрали квадратную ячейку с Ьх = Ьх , чтобы минимизировать влияние размеров ячейки на форму профилей.

0 0.5 х/1х 1

0 0.5 1

Рис. 5. Средние сечения профилей Ф(х,г) по осям х (а) и г (6) для квадратной ячейки при К = Кц (сплошные линии) и

2К22 (пунктир) в поле к = И/Ирг = 1.8 (кривые 1), 2.5 (2), 4 (3)

Рис. 3 и 4 показывают, что формы профилей Ф(х, г) при К = К22 и 2К22 близки между собой. Это только качественное сравнение, поскольку профили рассчитаны при равных относительных значениях к магнитного поля. Но даже в этом случае видно, что в средней части ячейки профиль Ф(К = 2 К22) в сравнении с профилем Ф(К = К22) расширяется по оси г и сужается по оси х .

При количественном сопоставлении профилей можно рассматривать их при равных значениях к магнитного поля - см. рис. 5. Здесь важную роль играет величина порога Ир (49). В нашем случае

Ир (К = К22 ) = 42Ир2 и Ир (К = 2К22 ) = 43Ир2 ,

поэтому при равных значениях к кривым, показанным на рис. 5 пунктиром (К = 2К 22), отвечают меньшие надпороговые поля и соответственно меньшие деформации поля директора. С ростом поля количественные отличия между профилями при К = К22 и 2К22 нивелируются. При этом более важную роль начинают играть качественные отличия, характерные для рис. 3 и 4.

8. Заключение

В настоящей работе исследован переход Фредерикса в прямоугольной ячейке нематика. Геометрия задачи отвечала геометрии твист перехода Фредерикса в плоском слое, который дополнительно ограничен двумя боковыми стенками. Показано (4), что в данной геометрии имеют место три типа объемных деформаций поля директора: кручение, продольный и поперечный изгибы. Определено (10) поле Ир перехода Фредерикса и показано, что оно зависит от размеров ячейки и от

модулей упругости K22 и K33. В приближении *11 = K33 = K найдено двумерное распределение (42)-(45), задающее профиль ориентации директора в полях H > HF. Получены аналитические выражения для максимального угла (53) отклонения директора в центре ячейки и для формы профилей в слабых (51) и сильных (58) полях. Показано, что величина модуля кручения K22 влияет на форму профиля ориентации. Установлено, в частности, что при уменьшении K22 по сравнению с K , когда деформации кручения становятся энергетически более выгодными, чем деформации изгиба, профиль сужается в направлении вертикальных (боковых) и расширяется в направлении горизонтальных стенок ячейки.

Список литературы

1. Yen P., Gu C. Optics of liquid crystal displays. John Wiley & Sons, Ltd. 1999. 452 p.

2. Пикин С. А. Структурные превращения в жидких кристаллах. М.: Наука, 1981. 336 с.

3. Аэро Э. Л. Теория переходов Фредерикса в нематических жидких кристаллах в криволинейных замкнутых областях, помещенных в неоднородное магнитное поле // Высокомолек. соед. Сер. А. 1995. Т. 37, № 8. С. 1286-1299.

4. Аэро Э. Л. Плоские граничные задачи для уравнения синус-Гельмгольца в теории упругости жидких кристаллов // Прикл. матем. и мех. 1996. Т. 60, вып. 1. С. 79-87.

5. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983. 294 с.

6. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1964. 344 с.

The influence of twist deformations on the magnetic Freedericksz transition in a rectangular nematic cell

S. V. Burylov

Institute of Transport Systems and Technologies, Ukrainian Nat. Acad. of Sci.,

Pisarzhevskogo st., 5, 49005, Dnepropetrovsk, Ukraine

The magnetically induced Freedericksz transition in a rectangular nematic cell is considered. In the initial state a nematic director orientation is uniform in the cross section of the cell. An applying magnetic field H is normal to this section. The magnetic Freedericksz transition threshold HF for the rectangular cell is determined, an analytical description of a director orientation profile for fields H > HF is obtained and dependences of a profile shape upon the applying magnetic field and values of the twist elastic module K22 are investigated.

Keywords: nematic liquid crystal, Freedericksz transition, twist deformation.