Релаксационные механизмы при прохождении света в планарно ориентированной нематической пленке Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Серия: Физика Вып. 3 (18)

УДК 532.783

Релаксационные механизмы при прохождении света в планарно ориентированной нематической пленке

Ю. А. Еникеева, Н. Г. Миграновь

а Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы, 450000 Уфа, ул. Октябрьской революции 3 а к. 2.

ь Башкирский государственный университет, инженерный факультет, 450014 Уфа, ул. Мингажева 100.

В работе предложена математическая модель, позволяющая исследовать переориентацию директора нематического жидкого кристалла (НЖК) в тонкой ячейке под действием внешнего магнитного поля и процесс релаксации структуры директора при резком выключении искажающего поля. Показана зависимость вида возникающей деформации от таких параметров модели, как величина приложенного поля и энергия сцепления директора НЖК с поверхностью ячейки. В качестве приложения модели рассматривается описание прохождения света через слой НЖК, расположенный между скрещенными поляризаторами в процессе релаксации деформации поля директора.

Ключевые слова: нематический жидкий кристалл, магнитное поле, переориентация директора, энергия сцепления, релаксация вызванной деформации, объемная вязкость, поверхностная вязкость, коэффициент пропускания света.

1.Введение

Исследование возмущений поля директора в тонком слое планарно ориентированного НЖК во внешних электрических и магнитных полях до сих представляет определённый интерес как с точки зрения технологических процессов по усовершенствованию систем отображения информации (например, в производстве жидкокристаллических мониторов), так и установления новых закономерностей, связей между внутренними параметрами в физике вязко-анизотропных жидкостей. Поскольку в основе принципа работы ЖК-устройств лежит изменение направления директора во внешних полях (эффект Фредерикса), то становится ясным, что изучение динамики возникновения и релаксации подобных искажений в структуре распределения директора в малой ячейке ориентированного НЖК является, по сути, одной из важных задач физики конденсированного состояния. К тому же в нематических и смектических мезофазах остаются ещё не до конца выясненными механизмы переключений, представляющие отклики нелинейной системы на внешние возмущения.

В работе предлагается математическая модель, отражающая динамику распространения возмуще-

ний в одноосной вязко-упругой среде при воздействии на нее внешних магнитных полей. Следует отметить, что динамика искажений директора в объеме НЖК ранее исследовалась в работе [1]. Граничные условия на подложках, ограничивающих жидкие кристаллы, а также размеры рассматриваемой системы оказывают существенное влияние на поведение возмущений, возникающих в нематической мезофазе. В работе [2] для описания модели тонкого слоя нематика во внешних электрических полях было введено представление об анизотропии поверхностного натяжения между твердой подложкой и контактирующим с ней НЖК. А.И. Держанскийи и А.Г. Петров в работе [3] отметили, что, если ориентация нематического директора на поверхности меняется во времени (динамические граничные условия со слабой поверхностной энергией), то для такой математической модели можно ввести поверхностную диссипативную функцию. А. Сонет и Е. Вирга [4] обратили внимание на то, что введение поверхностной вязкости, по схеме предложенной Держан-ским, имеет серьезный недостаток, относящийся к совместимости временных производных директора на границах, выведенных из объемного и поверхностного динамических уравнений. В данной работе исследована модель динамики поведения де-

© Еникеев Ю.А., Мигранов Н.Г., 2011

формаций поля директора во внешних магнитных полях, с учетом изменений внутренних параметров НЖК.

2.Теоретический анализ

Рассмотрим тонкий слой НЖК толщиной ё в декартовой системе координат, где ось Ог перпендикулярна ограничивающим поверхностям, находящимся на г = ±с1/2 (рис. 1).

В нематике рассматриваются деформации продольного и поперечного изгибов в плоскости хОъ [5]. Обозначим через ф = ф(гё) угол между директором одноосного планарного нематика п и плоскостью границы ячейки. Искажение НЖК минимизирует свободную энергию системы на единицу поверхности ячейки

0/2 2

Р (р( г)) = | / (р, Ср/Ог; 2 )Сг + £ (р), (1)

-с /2 1=1

где ф1= ф(-0/2) и ф2= ф(0/2), ДфОф/сЬ'^) - плотность объемной энергии. Слагаемые g1(ф1) и g2(ф2) описывают поверхностный вклад в полную энергию. Условие минимума энергии будет

дф

ё

д/

ёг д(ёф/ ёг) с граничными условиями [6]

= 0

(2)

д/

- + -І± — 0,

ё (дф/ дг) ёф1 д/

д(ё/ / ёг) ёф2

— 0.

(3)

В дальнейшем ограничимся симметричным случаем, то есть предположим, что g1 = g2 и, следовательно, ф(гё) = ф(-гё) (функция ф(ъё) четна по ъ). Уравнение, описывающее релаксацию возникшей деформации поля директора в объеме мезофа-зы, запишется в виде

дф

д

д/

дф п

+ %------— 0 ;

дг д(дф / дг) ді

(4)

,_д^_ + ^-ц?ф — o, д(дф/ дг) ёф ді

(5)

при г = -ё/2 [1].

Так как векторное поле директора симметрично относительно оси г, то есть

Ф (г,і) = ф (-г,і), достаточно рассмотреть область

-ё/2< г <0.

Исследуем физику процесса, описывающую динамику искажений, вызванных в НЖК внешними магнитными полями, а также его релаксацию, когда это поле резко, т.е. мгновенно, выключается.

3.Исследование релаксации деформаций поля директора в НЖК

Поскольку мы рассматриваем нематик, который в отсутствие внешнего поля имеет планарную ориентацию, то включение магнитного поля в одноконстантном приближении (Кц=К22=К33=к) приводит к следующей объёмной плотности энергии искажений Франка:

(6)

при этом поверхностная энергия имеет вид потенциала Рапини [2]:

™ 2 / Л ---С08 (ф).

2

(7)

Угол ф = ф (г,і), описывающий искажение поля директора п, найдем из уравнения

д2ф : 1

' дг2

к— + ^ХсД зіп(2ф) — ЦЪ—, 2

дф

~дг

(8)

которое удовлетворяет следующему условию:

, дф 1 . дф - k — + - w 8іп(2ф) -Ц„ — дг 2 ді

граничному

— 0.

(9)

Важно отметить, что в предложенной модели отсутствует ограничение на малость возникающих деформаций, т.е. 0 < ф < п/2, что, безусловно, имеет большую практическую ценность по сравнению с работой [1].

Начальное искажение в распределении директора в НЖК во внешнем магнитном поле предполагает, что все производные от угла по времени равны нулю, то есть угол ф является функцией только от одной пространственной переменной г. Тогда уравнение (8) запишется в виде

к^^ +1 Хав 28іп(2ф0) — 0.

ёг 2

(10а)

с граничными условиями

Перейдем в (10 а) к безразмерным переменным: пусть Н — Н Н 0 , к — к к, г — гё .

г—-ё/2

Тогда уравнение (10 а) становится

1 ё2ф„ 1 ХаН'2 Н 02

ё2 ёг'2 2 кк'

8ш(2ф0) — 0,

или

ёф0 «2

ёг'2 2

+ 8Ш(2ф0) — 0,

(10ь)

(10с)

дг' ійк ді'

здесь і —

ё2 (а3-а2 )ё2 _

к

кж

(13ь)

характерное время

где через параметр а мы обозначили

а = ИИС = И0СИ' [^.

0 р0к' ^0 \к'

Значения И0 а, к0 подберем таким образом, чтобы Иос = 1. В частности, если взять толщину

ячейки ё = 0.001 см, к0 = 10" дин, то получим Н0 — 1 Э.

Граничное условие

— 0 (11а)

релаксации директора [8].

Уравнение (12а) принадлежит к параболическому типу (подобно уравнениям теплопроводности или диффузии). Тогда его общее решение представляется в виде

р(г ',*') = £Сп ^(а„ъ')ехр(- Ъ^') (14а)

п=0

(положим п Ф 0, так как далее будет показано, что

а0 ^ да, Ъ0 ^ да),

рГ,г') = 2 Сп со?(апг')ехр(- Ъ/), (14Ь)

где ъ — к—, а коэффициенты ап представляют соП Лъ

бой решения трансцендентного уравнения

принимает следующий вид:

- 2 * аіп(2ф0)

ф - *1• Зіп(2ф) ёг' 2к 0

— 0.

= 0, (11Ь)

(11с)

Перейдем к безразмерным переменным: V = ^'^0, к = к'к0, V0 = 0.1 эрг/см2 [7]. Тогда уравнение 11с перепишется, как :

ёф0 500* ' .

— 0.

1ап| -у- | — -

П* ------(

Лъё

(15)

(11й)

Далее предположим, что внешнее магнитное поле внезапно выключается, тогда релаксация искажений директора в нематике будет удовлетворять следующему уравнению в частных производных:

Уравнение (15) имеет бесконечное число решений. Общий вид решения можно приближенно представить, как

а = 2^---, п = 1,2,..., да. (16)

Из (16) становится ясно, что п Ф 0.

Из начального условия вытекает, что р(ъ',г' )| = р (г' ), а отсюда следует, что

Ро(г') = ЕСп СО<ап20. (17)

п=1

Выражение (17) есть не что иное, как разложение функции фо(г') в неполный ряд Фурье (разложение по четным функциям), отсюда можно определить Сп:

, д2ф дф

к^Т — Лъ ~г~

дг2 ді

или в безразмерных переменных:

д 2ф Льё2 дф 7Ї ~

дг

кі0 ді'

(12а)

(12ь)

к_ дф

ё дг' і0 ді'

Сп — 4 |ф0(г ')С0<апг')ёг'

(18)

Граничное условие для этого уравнения в безразмерных переменных запишется в следующем виде:

4. Влияние параметров НЖК на начальную деформацию

Рассмотрим уравнение (10 с). Это стационарное уравнение синус"Гордона. Его решение можно представить в виде т.н. эллиптической функции Якоби:

(13а)

ф0

=/

(19)

или

Параметр к выводится из граничного условия.

0

г —-1/2

г

п

г

г—-1/2

г'—-1/2

0

к

г—-1/2

к

0,4-

0,2-

-0,2-

-0,4-

\\\ЧЧ\\\\ЧЧ\\\\ЧЧЧ\\\\ЧЧ\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \ П\\\ и \\\\ \ У \\и\ \ П\\\

лшшпишшшг.

\\П П \\\\\ П \ \ П П \\П П \.\\\\\\\\\\\\\\\\\\\.\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

-СІ,4 ' -6,2 ' (І ' 0^2 ' 0^4 У

Рис. 3. Переход Фредерикса при ха = 10-7, к' = 1,Н’ = 5000

Рис. 4. Изменение распределения угла поворота директора по толщине ячейки

при изменении энергии сцепления, ха к' = 1, Н' =5000

I — 8Іп

(20)

где Ар - разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучом.

Аф — - |(п/ -п0')ёг',

Л 1

(21)

3-

2.3-

26-

2,4-

2?-

2-

1#

1.4

и

]

0>

0.6-

0.4-

0.2-

<Н

о5Й ' 1 -0.300

I .1 I г -0,100

Рис. 5. Процесс релаксации деформации поля ди-

ректора при Н = 210, ^ = 1, х'а пуаз, = 1 пуаз

10-7, пЪ = 0.76

Рис. 6. Изменение величины I при релаксации деформации поля директора в ячейке

где п0 и пе - показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно, а пе^ находится из выражения

Процесс релаксации деформации поля директора можно визуализировать, построив серию кривых ф = ф(г') (рис. 5) для различных значений времени. Положим Н' = 2-104, к' = 1, х'а = 10"7, цЪ =

0.76 пуаз, = 1 пуаз [5].

Рассмотрим процесс прохождения света через такую ячейку НЖК. Прохождение света через систему, состоящую из двух скрещенных поляризаторов и ячейки НЖК, расположенной между ними так, что первоначально директор ориентирован под углом 450 к плоскости поляризации первого поляризатора, характеризуется коэффициентом пропускания I [5]:

2 ( Аф 2

ЗШ2(ф) с0Б2(ф)

п„

(22)

'<# п0 пе

Обозначив Ап = (п0 -п) и учитывая, что Ап << п0, пе, получим:

ппп„

п0 + Ап sin (ф)

(23)

Выражения (20-23) можно использовать для моделирования прохождения света через ячейку НЖК в процессе релаксации деформации поля директора. Примем п0 = 1.5, пе = 1.6, d = 0.001 см, X = 550 нм. Результаты моделирования показаны на рис. 6.

5. Выводы

1. Предложена модель релаксации искажений, возникающих в тонком слое планарно ориентированного НЖК под влиянием внешнего магнитного поля. В одноконстантном приближении функционала искажений директора

Франка рассчитаны деформации нематической анизотропной мезофазы в зависимости от величины приложенного внешнего магнитного поля, анизотропии диамагнитной

восприимчивости и упругой константы к.

2. Получено решение, описывающее необычный переход Фредерикса в виде нескольких последовательных переходов, отличающийся от описанного в работе [9], возникающего при похожих условиях.

3. Показано, что вид возникающего искажения слабо меняется при изменении величины приложенного поля и энергии сцепления директора НЖК с поверхностью ячейки.

4. Получено решение, описывающее релаксацию этой деформации при резком выключении искажающего поля. Релаксация, искажения, описанного в данной работе, происходит дольше, чем искажения, описанного в работе [9].

5. Представлена модель прохождения света черезячейку в процессе релаксации искажения поля директора в ней, которая может быть использована для определения параметров НЖК, в частности, энергии сцепления либо объемной (поверхностной) вращательной вязкости.

6. Предложенна модель пригодная для описания больших деформаций в нематике, поскольку в ней отсутствует ограничение на малость угла поворота директора.

Авторы выражают благодарность профессору Скалдину О.А. за ценные научные замечания, участие в обсуждении и рекомендации по улучшению содержания работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Barbero G, Pandolfi L. Surface viscosity in nematic liquid crystals// Physical Review E. 2009. V. 79. P. 1- 8.

2. Rapini A, Papoular . Distortion dune Iamelle nematique sous champ magnetique d ancraug aux parois//J. Phys. Colloq. 1969. V. 30. P. 4-54.

3. Derzhanskii A.I., Petrov A.G. Flexoelectricity in nematic liquid crystals// Acta Phys. Pol. 1979. V. 55. P. 7-8.

4. Sonnet A.M., VirgaE.G., Durand G.E. Dilution of nematic surface potentials: Relaxation dynamics// Phys. Rev E. 2000. V. 62. P. 3694 - 3699.

5. Жен П. де. Физика жидких кристаллов. М.:Мир, 1977. 281 с.

6. Корниенко Ю.К., Федчук А.П. Роль различных механизмов поляризации в самоорганизации тонкого слоя НЖК// Журн. техн. физики. 1997. Т. 67, №5. С. 25 -28.

7. Hertrich A., Decker W., Pesch W., Kramer L. The electrohydrodynamic instability in homeotropic nematic layers // J. Phys. II France 2 (1992). 1915-1930. November 1992. P. 1915.

8. Кондратьев Д.В., Мигранов Н.Г. Распределение молекул нематического жидкого кристалла в полупространстве, ограниченном структурированной подложкой // Вестн. Помор. гос. ун-та. 2009, №3. C. 92 - 96.

9. Еникеев Ю.А., Мигранов Н.Г. Влияние параметров нематического жидкого кристалла на искажение структуры директора во внешних электрических полях // Материалы V Между-нар. науч.-практ. конф. / Кемеров. гос. ун-т. Кемерово, Вып. 11, 2010. т.2. С. 510.

Relaxation mechanisms during light transmission through a planar nematic film

Yu. A. Enikeeva, N. G. Migranovb

a Bashkir State Pedagogical University named M. Akmulla, 450000 Ufa, October revolution St. 3a build. 2 b Bashkir State University, 450014 Ufa, Mingazheva St. 100

In this work proposed a model, allowing to investigate the reorientation of nematic Liquid crystal (NLC) director under the influence of external magnetic field and deformation relaxation process in case when distorting field suddenly switched off. It is showed a dependence of distortion form from such model parameters as magnitude of distortion field and anchoring energy on boundaries. As application of consider model is proposing a describing of light transmission through a NLC layer, placed between two crossed polarizers during deformation relaxation process.

Keywords: nematic liquid crystal, magnetic field, director reorientation, anchoring energy, deformation relaxation, bulk viscosity, surface viscosity, light transmittance.