Влияние поверхностной и объемной вязкостей на релаксацию вызванных деформаций в нематическом жидком кристалле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.783

ЕНИКЕЕВ Юлиан Альбертович, аспирант кафедры теоретической физики Башкирского государственного педагогического университета имени М. Акмуллы. Автор трех научных публикаций

МИГРАНОВ Наиль Галиханович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики Башкирского государственного педагогического университета имени М. Акмуллы. Автор 111 научных публикаций

ВЛИЯНИЕ ПОВЕРХНОСТНОЙ И ОБЪЕМНОЙ ВЯЗКОСТЕЙ НА РЕЛАКСАЦИЮ ВЫЗВАННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В НЕМАТИЧЕСКОМ ЖИДКОМ КРИСТАЛЛЕ

В данной работе проведен анализ влияния внешнего электрического поля на возникновение вынужденных деформаций в ячейке такого кристалла и на процесс их релаксации при быстром выключении деформирующего поля. Анализ релаксации вызванных деформаций основывается на уравнении диффузии с граничными условиями, содержащими поверхностную вязкость, и может быть применен для времен, больших, чем время исчезновения искажающего поля.

Нематический жидкий кристалл, гомеотропная ячейка, поверхностная вязкость, искажающее поле, релаксация деформации структуры директора

Введение. В данной работе математическое описание явления включает объемные и поверхностные свойства жидкого кристалла. Объемное динамическое описание НЖК хорошо известно и основано на упругих константах и вращательной вязкости [1]. Описание же поверхностных свойств далеко от завершения. Сравнительно давно Рапи-ни и Папьюлер [2] ввели представления об анизотропии поверхностного натяжения, чтобы принять во внимание анизотропию взаимодействия между твердой подложкой и контактирующим с ней НЖК. Тем не менее, если ориентация директора на поверхности меняется во времени, необходимо ввести

© Еникеев Ю.А., Мигранов Н.Г, 2011

поверхностную диссипативную функцию [3]. В недавней статье Сонет [4] отметил, что введение поверхностной вязкости, по предложенной схеме, имеет серьезный недостаток, относящийся к совместности временных производных директора на границах, выведенных из объемного и поверхностного динамических уравнений. Цель данной работы - найти величину деформации, вызванной полем, смоделировать процесс ее релаксации, а также показать, что в простом случае, когда образец нематика имеет форму тонкого слоя, особых проблем с совместностью нет, т.к. значения временных производных, определенных на границе с помощью объемных

дифференциальных уравнений и динамических граничных условий практически равны при некотором t > t*.

Релаксация вызванной деформации.

Рассмотрим образец в виде тонкого слоя толщиной d. Для описания модели используется декартова система координат, где ось z перпендикулярна ограничивающим поверхностям, находящимся на z = ±d/2. Предполагается, что в нематике имеют место деформации только продольного и поперечного изгиба, и они находятся в плоскости, обозначаемой (xz). Угол, между директором нематика и осью z, так называемый угол наклона, обозначен как ф. В одномерной постановке задачи ф = ç(z,t). Поскольку векторное поле директора симметрично относительно оси z, достаточно рассмотреть задачу при - d/2 < z < 0.

Мы считаем НЖК гомеотропно ориентированным в отсутствие внешнего поля. Диэлектрическая анизотропия sa предполагается отрицательной, т.е. электрическое поле, параллельное оси z, может искажать первоначальную гомеотропную ориентацию. При наличии внешнего поля объемная плотность энергии равна (в одноконстантном приближении):

1 ( dV saE2 2

f=2kJ -1Г cos^),

(1)

а поверхностная энергия имеет вид потенциала Рапини:

w

gi = -—cos (Р).

(2)

При Е = Е(х) угол наклона ф = ф есть решение дифференциального уравнения в частных производных [5]:

д V 1

dç

k^~Y о saE (t)sin(2V) = Пъ^~, (3)

dz2 8n dt

удовлетворяющее граничному условию:

-k^ + 2wsin(2V)-П ^ = 0, (4)

dz 2 dt

при z = -d/2.

В отличие от предшествующих работ [5] мы не будем линеаризовывать уравнения,

считая деформацию малой (ф << 1), иными словами, позволим углу ф меняться в пределах 0 < ф < п/2.

Далее, считая, что деформирующее поле исчезает очень быстро, практически мгновенно, и перейдя к безразмерным переменным (* = z'd, £ = М0), получаем, что релаксация деформаций удовлетворяет уравнению в частных производных

д V _ Пь d2 дф

dz '2

к dt '

(5)

Граничное условие к данному уравнению запишется в виде

(

dç + nsd dç

dz '

t0 k dt '

= 0,

(6)

-1/2

где t0 =

Yjd2 k3 ж2

характерное время релакса-

ции директора [6].

Уравнение (5) имеет общее решение в виде:

V( z ', t ') = Z Cn c0s(anz ')exp(- Ъnt (7)

n=1

a„

где Ъп = k—^, а a есть решения уравнения Пъ

(

tan

ajL

2

Пъd

-a„

(8)

Уравнение (8) имеет бесконечное число решений. Приближенное решение этого трансцендентного уравнения можно представить в виде:

тт-------------

2 2п?п

an =

V

, n = 1,2,..., да. (9)

Is у

Заметим, что V' ,£')|(,=0 = ф0(*') , где ф0(*') - функция, описывающая начальную деформацию директора [7], отсюда следует, что

ад

Фо( *' ) = 2 Сп С0*(а и*'). (10)

п-\

Выражение (10) есть не что иное, как разложение функции ф(*’) в неполный ряд Фурье (разложение по косинусам), отсюда можно определить С . Из теории рядов Фурье

z

можно показать, что

0,30

и

сп =4 (11) °’26~

* П 1А

Функции ф И (р по условиям являются четными функцией от 2 а следовательно, разложение нужно производить именно по четным функциям (косинусам).

Релаксация вызванной деформации. Обратимся к проблеме совместности временных производных угла наклона директора на границе. В предшествующих работах упоминалось существование явного несоответствия между начальными значениями временных производных угла наклона директора на границе, оцененных объемными уравне-

0,18 0,16 0,140,12 -0,10 -0,08 0,06 0,04 0,02 Н о

^ —

у

X -■ У У — — -

// /у / . * -■ V-'- ■

//у'-' - V .' - У . . / ■ ‘ ' ’

//! - л-' •

т" 1 ,500 —1—Г I -0,400 1—Г I -0,300 —Г 1 1 -0,200 1 1 1 -0,100 1 1 0

= 0 = 0 01 = 0.02 = 0 03 = 0.04 = 0.05 = 0.06

Рис. 2. Изменение распределения угла поворота директора щине ячейки при выключении деформирующего поля при Е’ = 1, є’ = 0,1

по тол-

2, к’ =

Рис. 1. Вид функции у при Е’ = 2, є ’ = 0,1, к’ = 1

ниями и граничными условиями, связанного с тем, что искажающее поле исчезает очень быстро. В нашем случае временные производные директора НЖК, оцененные на поверхности с помощью объемных ДУ и с помощью динамических граничных условий, практически одинаковы для времени, большего, чем некоторое t*. Обозначим временную производную угла ф, определенную на границе из объемных ДУ как ф’ъ и определенную из ДУ на поверхности = -1/2) как ф’ Функция у = ф'ъ/ф\ показывает, насколько эти два значения производной близки друг к другу. Если у ^ 1, то это означает, что временные производные совместны (рис. 1).

Релаксация деформации, вызванной электрическом полем, представлена на рис. 2.

Выводы. Была построена модель тонкого слоя нематического жидкого кристалла и в одноконстантном приближении исследовано релаксация деформации поля директора при выключении внешнего поля.

Решена проблема совместности временных производных угла наклона директора на границе определенных из объемных и граничных дифференциальных уравнений.

Была исследована релаксация вызванной полем искажения структуры директора НЖК, в частности построена серия кривых ф(г'Х).

Список литературы

1. Жен П. де. Физика жидких кристаллов / под ред. А.С. Сонина. М., 1977. С. 81.

2. Rapini A., Papoular M. Distortion dune Iamelle nematique sous champ magnetique d ancraug aux parois // J. Phys. Paris. Colloq. 1969. 30. C. 4-54.

3. Derzhanskii A.I., Petrov A.G. Flexoelectricity in Nematic Liquid Crystals // Acta Phys. Pol. 1979. A 55,

747.

4. Sonnet A.M., Virga E.G., Durand G.E. Dilution of Nematic Surface Potentials: Relaxation Dynamics // Phys. Rev. 2000. E 62, 3694.

5. Barbero G. Pandolfi L. Surface Viscosity in Nematic Liquid Crystals // Physical Review. 2009. E 79, 051701.

6. The Electrohydrodynamic Instability in Homeotropic Nematic Layers / A. Hertrich, W. Decker, W. Pesch and L. Kramer // J. Phys. II France 2 (1992) 1915-1930 1992. November. P. 1915.

7. Еникеев Ю.А., Мигранов Н.Г. Влияние параметров нематического жидкого кристалла на искажение структуры директора во внешних электрических полях // Образование наука, инновации - вклад молодых исследователей: материалы V (XXXVII) Междунар. науч.-практ. конф., Кемерово. Кемерово, 2010. Вып. 11. Т. 2. С. 510-513.

Yenikeyev Yulian, Migranov Nail

THE INFLUENCE OF BULK AND SURFACE VISCOSITY ON THE RELAXATION OF INDUCED DEFORMATIONS

IN NEMATIC LIQUID CRYSTALS

The influence of the external electric field on the occurrence of imposed deformations in the cell of this NLC, and on the relaxation process with the distorting field being instantly switched is analyzed in this paper. The analysis of the imposed deformation relaxation is based on the diffusion equation with boundary conditions containing the surface viscosity might be valid only for times larger than the switching time of the deforming field.

Контактная информация: e-mail: cezar2god@mail.ru

Рецензент - Матвеев В.И., доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова