CC BY
39
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ...
УДК 532.783
Ю. А. Еникеев, Н. Г. Мигранов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПОЛЯ ДИРЕКТОРА НЕМАТИКА В ДВУМЕРНЫХ ЯЧЕЙКАХ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
Получена математическая модель, позволяющая исследовать переориентацию директора нематического жидкого кристалла (НЖК) в двумерной ячейке под действием внешнего электрического поля и процесс релаксации структуры директора при резком выключении искажающего поля. Показана зависимость вида возникающей деформации от таких параметров модели, как величина приложенного поля E и энергия сцепления директора НЖК с поверхностью ячейки wy, wz. Представлен процесс релаксации искажения при wy, wz ^ от. Нематический жидкий кристалл; переориентация директора; гомеотропная ориентация; объемная вязкость; поверхностная вязкость; релаксация искажения
ВВЕДЕНИЕ
Динамическое описание деформаций, вызванных внешним полем в нематическом образце, или иными словами, релаксации вызванной деформации, когда искажающее поле выключается - фундаментально важная задача для технологии ЖК дисплеев [1]. Данная работа посвящена рассмотрению деформации поля директора во внешних электрических полях и процесса релаксации этой деформации при мгновенном выключении искажающего поля. Математическое описание предложенной модели включает как объемные, так и поверхностные свойства ЖК.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для начала рассмотрим образец в виде ячейки МББА длиной а толщиной Ь (рис. 1). Для описания модели используется декартова система координат, где ось Oz перпендикулярна ограничивающим поверхностям, находящимся на z = ± а/2, а ось Оу направлена вдоль них.
Ь/2 1
1 \ 1 \
-а/2 Ё Е а/2 у
-Ы2
Рис. 1. Модель рассматриваемой ячейки НЖК
Как предполагается, в нематике возникают деформации только продольного и поперечного изгиба и находятся в плоскости, обозначаемой X) [2]. Угол между директором нематика и осью z, так называемый угол наклона, обозначен как ф. В двумерной постановке задачи ф = = ф(у, z). Искажение нематика минимизирует полную энергию на единицу поверхности, представленную в виде а/2 Ь/2
^ (ф( z)) = | | / (ф, а'ф / dydф / dz,; у, z)dz +
а/2-Ь/2 ( )
+ ё1ф + &2(Ф2) + &3(Фз) + ё 4(ФД
где ф1 = ф(-а/2), ф2 = ф(а/2), ф3 = ф(-Ь/2), ф4= = ф(Ь/2). В уравнении (1) /ф, dф/dz, dф/dy; у, z) -плотность объемной энергии, содержащая слагаемые, описывающие энергию взаимодействия НЖК с искажающим полем и упругую энергию Франка. Другие слагаемые, обозначенные ё1(ф1).ё4(ф4), описывают поверхностный вклад в полную энергию. В дальнейшем ограничим рассуждения симметричным случаем: ё1 = ё2,
ё3 = ё4, и, следовательно, ф(у, z) = ф(-у, ^). Тогда
достаточно рассмотреть задачу при -а/2 < у < 0, -Ь/2 < z < 0.
В этом случае условием минимума энергии будет [3]
Э/ d Э/ d Э/
Эф dz Э(dф/ dz) dy Э^ф/ dy)
с граничными условиями [4]
■ = 0,
(2)
+ -
= 0,
+
Э(й/ / йг) йф3
= 0.
(За)
(ЗЬ)
ь
Контактная информация: cezar2god@mail.ru
Так как стабильное состояние нематика минимизирует эту энергию, то угол наклона ф = = ф(у, г), описывающий установившуюся деформацию, является решением уравнения (2) с граничными условиями (3).
Основное уравнение для объема НЖК, описывающее релаксацию деформации
Э/ Э Э/ Э Э/ Эф
—----------------------------+л^ — = 0, (4)
Эф Эг Э(Эф / Эг) Эу Э(Эф / Эу) Эt
которое должно быть решено с граничными условиями [1]
¥ + л Эф
Э(Эф / Эу) -ф1 * дґ
_ 0,
(5а)
+ -
Э(Эф / Эг) dфз
л*
Эф
э7
= 0. (5Ь)
__ ь 2~ 2
Нас интересует картина данного искажения, вызванная в НЖК внешним полем, а также его релаксация, когда это поле выключено.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Для начала рассмотрим случай, когда НЖК планарно ориентирован в отсутствие внешнего поля. Диэлектрическая анизотропия га' предполагается положительной, то есть электрическое поле, параллельное оси Ог, может искажать первоначальную планарную ориентацию. Далее рассмотрим случай одноконстантного приближения, которое является общепринятым приближением для качественной оценки результатов и значительно упрощает решаемые уравнения. При наличии внешнего электрического поля объемная плотность энергии равна
¥ _ I к +1 к
7 2 I Эг I 2
2 1 (Эф і2
ЭУ
еаЕ2 8р
а поверхностная энергия имеет вид потенциала Рапини [5]
wy
ё1 _ ёу __ 2С08 ф
2, \
ёз _ ёг __-уС°э (ф).
(7Ь)
Рассмотрим деформацию, вызванную постоянным электрическим полем. Обозначим для этого случая ф = ф0, который находится из дифференциального уравнения в частных производных
к
Э? + к 1? + 8-гаЕ2 8іи(2ф) _ 0, (8)
Эг2 Эу2 8л
удовлетворяющего граничным условиям
( Эф 1 1
_ к — +1 wy 8Іи(2ф) Эу 2 у ^ ^
( Эф 1 . 1
_к + - wz 8іп(2ф)
Эу 2
у _-
_ 0,
_ 0.
(9а)
(9Ь)
Рассмотрим случай малой деформации, т. е. положим (8т(ф0) ~ ф0). Тогда уравнение (8) примет вид
к
Э2ф , Э2ф 1
-^т + к—^ + —
Эг2 Эу2 4л
+ к—2 +—еаЕ2ф_ 0, (10)
а граничные условия (9)
( 7 Эф 1
-к-^ + Wy ф
, эу
( / Эф і _ к-£ + wz ф эу
у _-
_ 0,
_ 0.
(11а)
(11Ь)
Рассмотрим случай а = Ь. Перепишем уравнения (10) и (11) в безразмерных переменных. Примем к = к'к0, г = г'а, Е = Е'Е0, w = = w'w0, тогда (15а) примет вид
к ь
(л 2
d ф0 + d ф0
dy2 -і2
+ Т~ЄаЕ'2Е02ф0 _ 0
4л
или
у2 72 7-г2 2 т~’^2
d ф0 d ф0 &аЕ0а Е А /іп \
- + —™ + а 0 '-----------ф0 _ 0. (10а)
-у
2
dz
2
4лк 'к.
0
с°8 (ф), (6) 4лк,
Примем ^0 = 10-4 Дж/м2 = 0,1 эрг/см2 [6]. Значения Е0, к0 и а подберем так, чтобы
Е 2 2
0 а = 1. Для МББА при 220 к0 = 8-10"7 дин,
0
толщину ячейки примем а = 0,01 см, тогда ^ 0 ~ 0,317 единиц СГС (95,2 В/см).
Е0 _-
(7а) Тогда (10а) можно переписать в виде
d 2ф0 d 2ф0 гаЕ'2
#++-аг ф0 _0 (10Ь)
Граничное условие (11а) перепишется в ви-
де
к к0 -ф0
Л
а -у
г + w_y WoФo
_ 0,
или
а
2
Ь
2
а
2
Ь
г
2
2
а
а
-у к'к{
0
woуа _
_ 0.
Учитывая, что —— = 1000, перепишем по-
к.
0
следнее выражение в виде
(
-ф0 1000w'У
Л
+
ф0
_ 0. (12а)
-у к'
Аналогично условие (11Ь) перепишется как
_ 0. (12Ь)
-ф0 1000w'7
— +-------------^ ф0
-г к'
Общее решение уравнения (10Ь) имеет вид
г,__ 1
1 2
ф0 _ С1 ехР(_ т/с2\1 )с°Э
2
Є Е
-2 + “у у + С3
Л
(13)
Полученное решение должно удовлетворять следующим требованиям:
• оно должно быть четно по г и у, поэтому в (13) используется |г| и с°8(у);
• для малых углов полагаем 8Іп(ф0) ~ ф0. Перепишем это условие в виде
ф0 - 8Іп(ф0) < 5, (14)
где 5 - сколь угодно малая величина. Очевидно, что Сі = фтах(г), отсюда условие (17) можно переписать в виде
С1 - 8Іп(С0 < 5. (14а)
Отсюда можно приблизительно определить постоянную С1. Для наглядности предлагаемых расчетов примем 5 = 0,01, тогда значение С1 составит 0,392493389. В дальнейшем примем С1 = = 0,4;
• функция ф0 должна удовлетворять граничным условиям, из которых получаем
С2 _
і /л6 /2 2
10 w га
к
2
С3 _ аг^ап
0 БІпГ 10 1к _ 1000wya с°8^ 10
0 соб| 10Ік + 1000wya БІпГ 10
2
где0_, С2 +
ЄаЕ к '
Теперь рассмотрим процесс релаксации возникающей деформации. Считая, что искажающее поле исчезает достаточно быстро, мы приходим к уравнению в частных производных,
которому удовлетворяет угол, характеризующий деформацию в НЖК
(15)
Перейдем в этом уравнении к безразмерным переменным
Э2ф Э2ф _ льа2 Эф Эу/2 +Э/2 _ кґ0 дt''
(15 а)
Граничные условия (5) для данного уравнения запишутся в виде
( Эф Эф ^
Эф
эУ
_ к^ + Wyф_Лsy Э-
_ 0,
2
_ 0.
(16а)
(16Ь)
а
2 _ 2
Перейдя в (16) к безразмерным переменным, получим:
Эф 10°°жуф л*а Эф
Эу к' ґ0к'к0 Э^
Эф 1000wZф л*а Эф
Эх к' ґ0кк0 Э^
_ 0, (16с)
у =_1/2
_ 0. (16ф
2,__1/2
где *о =Т1ат[7].
кр2
Уравнение (15) принадлежит к типу уравнений теплопроводности (диффузии), а оно имеет общее решение, которое записывается в виде
¥ ¥
ф( у', г', О _ £ £ Сг,у со^аг) с°8(р ]/) X
і_0 у_0 (17)
х ехр(_5і, / )
„2 , о2
2
Ль л
Рассмотрим случай бесконечно сильного сцепления директора НЖК с поверхностями ячейки. Тогда граничные условия примут вид
ф| ,__ 1 _ 0, (18а)
ф| 2'__ 1 _ 0
(18а)
откуда
ап = 2лп-р, п = 1,2,..., да, (19а)
Ри = 2рп-р, п = 1,2,., да. (19Ь)
Решение ф(у',г',^') (как и решение ф0(у',г') для стационарной деформации) должно удовлетворять нескольким условиям, а именно:
1
2
а
2
2
• решение должно быть четным по у' и г', поэтому в выражении (17) используется четная функция косинуса;
• в начальный момент времени должно
выполняться равенство ф(у , г' , t’)|, =
= ф0 (у', г'), отсюда следует, что
Фо (у', г') = £ £ си у С08(агг/) С08(р }у). (18)
г=1 у=0
Выражение (18) есть не что иное, как разложение функции ф0(у',г') в неполный ряд Фурье (разложение по косинусам), отсюда можно определить Су. Из теории рядов Фурье следует, что
о о
Сг,у = 16 | |Ф0(у7,z')cos(aiz')cos(bjz')dz'dy'.
-1/2-1/2
(19)
Это условие можно также записать в виде /1 =Ф(у', г', t')|^=0 — Ф0 (у', г') <Х , где ^ - некоторая малая величина;
• должно выполняться равенство 8т(ф(у', г', Г)) ~ ф(у', г', ^). Оно выполняется, если 0 < < ф(у', г', t') < фтах. Так как происходит процесс релаксации деформации, то ф(у', г', ^ < ф0(у', г'), а ф0(у', г') < фтах. Отсюда следует, что ф(у', г', О удовлетворяет данному условию;
• решение должно удовлетворять граничным условиям (18).
ПРИЛОЖЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Рассмотрим вид возникающей деформации и его зависимость от основных параметров модели: величины приложенного поля и энергии сцепления директора НЖК с поверхностями ячейки (рис. 2-4).
Рис.2. Распределение угла поворота директора при Е’ = 10, єа = 0,1, к’ = 1, wy = 0,1, = 0,01
Рис. 3. Распределение угла поворота директора при Е = 10, єа = 0,1, к = 1,
= 0,1, Wz = 1
Рис.4. Поле директора в ячейке при Е’ = 10, еа = 0,1, к’ = 1, wy = 0,1, wz = 0,01
Теперь рассмотрим процесс релаксации искажения поля директора. Размеры ячейки а = = Ь = 0,01 см. Параметры НЖК: wy' = 1, wz' = = 0,01, к = 1, га = 0,1, пЬ = 0,76 пуаз, п = 1 пуаз [1], Е = 10, при т = п = 50.
Процесс релаксации можно визуализовать двумя основными путями - представить распределение угла поворота по толщине ячейки в различные значения времени и построить серию полей директора для различных моментов времени. В рассматриваемом случае жесткого сцепления более подходящим является первый путь (рис. 5).
а
а
в
ВЫВОДЫ
В данной работе предложена модель релаксации малых деформаций поля директора в двумерной ячейке нематического жидкого кристалла с одинаковым сцеплением на противоположных границах. Задача рассматривалась в приближении малых углов: sin(9) ~ ф.
Предложенная математическая модель в случае достаточно сильного поля и сильного сцепления на всех поверхностях допускает возникновение сложных периодических структур вдоль оси Oy.
Полученные результаты могут быть обобщены на случай гомеотропной ориентации директора с отрицательной анизотропией диэлектрической постоянной НЖК.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Barbero G., Pandolfi L. Surface viscosity in nematic liquid crystals // Physical Review, E 79, 051701, 2009.
2. П. де Жен Физика жидких кристаллов. М.: Мир, 1977. 81 c.
3. Эльсгольц Э. С. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969. 305 c.
4. Пикни С. А. Структурные превращения в жидких кристаллах. М., 1981.
5. Rapini A., Papoular M., J. Phys. _Paris_, Col-loq. 30, C4-54_1969.
6. Кондратьев Д. В., Мигранов Н. Г. Распределение молекул нематического жидкого кристалла в полупространстве, ограниченном структурированной подложкой // Вестник Поморск. гос. ун-та. 2009. № 3.
7. The electrohydrodynamic instability in homeo-tropic nematic layers. A. Hertrich [et al.] // Phys. II, France 2 (1992) 1915-1930 November 1992, Page 1915.
ОБ АВТОРАХ
Еникеев Юлиан Альбертович, асп. каф. общей и теоретическ. физики Баш. гос. пед. ун-та. Дипл. учитель физики (БГПУ, 2009). Иссл. в обл. теории жидких кристаллов и анизотропных сред.
Мигранов Наиль Галиханович, проф. той же каф. Дипл. физик-теоретик (БашГУ, 1975). Д-р физ.-мат. наук по теоретическ. физике (Казанск. ун-т, 1999). Иссл. в обл. физики конденсированных сред, релятивистской космологии, теории групп и алгебр Ли.
Рис. 5. Релаксация искажения: а - t' = 0; б - t' = 0,002; в - t' = 0,004
