Распределение молекул нематического жидкого кристалла в полупространстве, ограниченном структурированной подложкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.783

КОНДРАТЬЕВ Денис Васильевич, преподаватель кафедры программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогическогоуниверситета имени М. Акмуллы. Автор 11 научных публикаций

МИГРАНОВ Наиль Галиханович, профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой теоретической физики Башкирского государственного педагогического университета имени М. Акмуллы. Автор 110 научных публикаций

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ НЕМАТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ, ОГРАНИЧЕННОМ СТРУКТУРИРОВАННОЙ ПОДЛОЖКОЙ

Исследуется распределение молекул нематического жидкого кристалла, ограниченного с одной стороны структурированной подложкой. В работе рассмотрены два варианта структур, наносимых на подложку. Выполнен расчет энергии в объеме образца нематика с учетом полосчатых структур. Сделаны выводы о влиянии количества полос на периоде на энергию искажений Франка внутри нематика. Вычисления выполнены для сильного и слабого сцепления.

Нематический жидкий кристалл, структурированные подложки, распределение директора, модель Рапини, энергия Франка, энергия сцепления

Для создания устройств с двумя устойчивыми состояниями в компьютерных технологиях важно организовать упорядочение молекул жидких кристаллов с помощью микро- и наноструктурных поверхностей. Так, например, использование фоговыравнивающих полимеров, которые в зависимости от структуры поверхности подложки, создают гомеотропные и планарные распределения длинных осей молекул на подложках, ограничивающих нематический жидкий кристалл НЖК, является довольно эффективным методом в исследовании анизотропных жидкостей. Естественно, что граничные условия влияют на распределение молекул и в толще образца. Поэтому с точки зрения современных инженерных решений весьма привлекательным становится тот факт, что появляется возможность структурирования молекул внутри образца через распределение молекул на подложке.

Можно отметить, что одним из таких примеров служит структура, состоящая из микро-периодических полос, которые попеременно вносят планарную и гомеотропную ориентацию при рассмотрении вдоль определенной оси в заданной геометрии. В данной работе ставится цель исследовать влияние указанных полос на распределение молекул анизотропного объекта. Ограничимся для простоты модели случаем, когда азимутальная направленность так называемого «директора» нематической мезофазы либо параллельна, либо перпендикулярна полосам, нанесенным на подложку, ограничивающую нематический жидкий кристалл.

Окончательная конфигурация нематика определяется минимумом полной энергии, включающей объемную и поверхностную составляющие. Плотность свободной энергии в объеме нематика задается энергией Франка:

л = | (к,( V-п )2 + К г( n -Vx п)2

Кз (n X V X п )2 ),

+

+

где к 1, и - коэффициенты упругости.

Коэффициент К24 не учитывается в виду

того, что расположение директора ограничивается одной плоскостью.

Взаимодействие нематика с подложкой характеризуется энергией сцепления, которая определяет силу, необходимую для отклонения директора от легкого направления. Обычно используется потенциал Рапини-Папьюлера [1]:

fs = ^К sin2 (в - °е) + Wv cos2 ((р - уе )),

где

полярная энергия сцепления,

ъ-

- азимутальная энергия сцепления и углы 0е, фе определяют легкое направление.

Экспериментально определенные значения энергии Жв имеют порядок 1-Ю4 Дж• м"2 [2]. Как правило, значение на порядок меньше чем Wв .

Для оценки свободной энергии введем декартову систему координат следующим образом: ось х направлена вдоль поверхности подложки, перпендикулярно полосам, ось 2 перпендикулярна подложке. Если предположить, что директор изменяет свое направление в пределах только одной плоскости, то он будет иметь следующие компоненты:

П = {СО8 0СО8^,СО8 08ІП^,8ІП0}.

Для большинства нематиков К2 < Кг < К3, поэтому можно рассматривать случай, когда К2 = К3. Тогда плотность свободной энергии выражается соотношением

//к, = 1 (ке; + в;), (1)

где к = 1 - (1 - т)зт2 рит = К 2/ К1.

Уравнение Эйлера-Лагранжа для функционала Франка энергий искажений НЖК принимает следующий вид

^

его решение можно искать в виде ряда Фурье, сходящегося при г ^ да :

^ • I—

в{ х, г) = в0 + 2^ е ~ кг [ р1 $т(2тх) +

г=1

(2)

Коэффициенты р{ и определяются из

граничных условий на поверхности. После подстановки выражения (2) в (1) и интегрирования

по переменным х и 2 на периоде X получим

полную свободную энергию

I—

F¡KX = 4 і( РЇ + qг2Х

і=1

(3)

Если коэффициенты разложения в ряд Фурье почти не зависят от т, как показано в работе [3], и К2 < Kv то выражение (3) принимает минимальное значение при (р = л/2, которое соответствует twist-геометрии, а максимальное - при ф = 0, соответствующее

splay-bend геометрии. Энергия нематика при сопоставлении этих двух геометрий отличается

на множитель \ — sfz ■ Это возможно для случая, когда К2 < К^с веерно-изгибной (splay-bend) поверхностью:

|-^>Д (^15 ^2’ — ’ ’^) ^TW (^15 ^2’ — ’ ^

В этом случае нетрудно найти коэффициенты ряда Фурье (2):

к+1

Рі =

где О-] - ширина у-ой полосы

^ (-1)1 со$,{2ліаі)

>о__________________

Аі(2яі4кЬд +1)

При наличие к точек перехода от одной геометрии к другой таких полос будет к + 1-

Рассмотрим случай, когда полярный угол 0 фиксирован вдоль поверхности подложки

£ (-1)7+1 8Іп(2 та])

і=0

(4)

#(х,0) =

тт/2, а0 = 0 < х < ах, 0, ах < х < а2,

0, ак < х < ак+1 = 1

при соответствующем граничном условии:

- 0

- > - в.)

ог Ьп

ГДЄ Ьв =

Аі(2т4кЬв +1)

к / при этом в0 = л£ (-1)7+1 а ./2. Количество

точек перехода нечетное, так как случаи четного к может быть сведен к первому случаю

выбором другого периода X ■

Анализ решения для случая, когда а] = 1 - 2~}, где у изменяется от 1 до к, как видно из рис. 1, показал, что распределение директора менее чувствительно к начальному распределению для области близкой к концу периода.

Рис. 1. Графики функций в(х,0) (сплошная линия), в(х,0.01) (точечная линия) и х,0.5) (пунктирная линия) для фиксированных значений г при к — 5, ф = ;т/2, т = 0.5

Проведен расчет энергии в объеме образца нематика для равномерного и дихотомического деления на полосы. Для каждого случая величина энергии имеет конечное значение, распределение директора на бесконечности устанавливается равным 60, значение которого зависит от начальной конфигурации.

При равномерном случае в отсутствие веерного искажения увеличение числа полос ведет к уменьшению энергии в объеме на одном периоде и стремится к некоторому критическому значению, которое в данной работе равно Р/Кх «1.08. Для угла ф = л/2, когда молекулы на подложке распределены вдоль оси ОХ, на величину энергии влияет отношение констант в энергии искажения Франка г = К2/Кх. На рис. 2 приведены расчеты зависимостей р/Кх

для т = 0.5, 0.7, 0.9. Как можно заметить, во всех трех случаях наблюдается уменьшение

энергии при увеличении количества полос с го-меотропным распределением молекул на подложке, что вполне подтверждает тот факт, что для переориентации молекул из этого положения требуется меньше энергии. Очевидным также становится, что для большего К2 характерен меньший энергетический потенциал, при котором происходит переориентация директора.

В случае жесткого полярного сцепления с увеличением количества полос наблюдается рост энергии. Максимум энергии достигается при конечном &, а затем зависимость Р/К1 от количества полос имеет убывающий характер. Ослабление полярного сцепления приводит к тому, что максимум достигается для к = 3 (рис. 2) или к= 1 (Wg = 10_6 Дж • м"2). Сравнение же свободной энергии в объеме для вращательной и веер-но-изгибной конфигураций указывает, как видно из рис. 3, на уменьшение своего значения для второго случая, что согласуется с физикой процесса переориентации директора НЖК.

Рис. 2. Зависимость величины энергии в объеме (3) от количества полос к для значений т = 0.5 (сплошная линия), т = 0.7 (точечная линия), т = 0.9 (пунктирная линия) при ^ = 0, Кх — 10~ПН, Wg = 10_5Дж • м'2, 1= 10 мкм

к

Рис. 3. Отношение энергий для twist и splay-bend конфигураций

Список литературы

1. Rapini A., Papoular М. Distorsion d’une lamelle nematique sous champ magnetique conditions d’ancrage aux parois// J. Phys. Colloques (Paris) C4.1969. T. 30. P. 54-56.

2. Fully Leaky Guided Wave Determination of the Polar Anchoring Energy of a Homogeneously Aligned Nematic Liquid Crystal / F. Yang, J.R. Sambles, Y. Dong, H. Gao II J. Appl. Phys. 2000. Vol. 87. P. 2726-2735.

3. Atherton T.J., Sambles J.R. Orientational Transition in aNematic Liquid Crystal at a Patterned Surface II Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74. Id. 022701.

Kondratiev Denis, Migranov Nayil

MOLECULAR DISTRIBUTION OF NEMATIC LIQUID CRYSTAL IN THE HALF-SPACE LIMITED BY STRUCTURED SUBSTRATE

Molecular distribution of the nematic liquid crystal limited by structured substrate from the one side is investigated. This paper considers two types of structures superimposed on the substrate. Bulk energy calculations are made for the nematic sample taking into consideration striped structures. The amount of stripes influencing the energy within the nematic is thought to be a reason causing the supersaturation. The calculations are made for the strong and weak molecules anchoring.

Контактная информация: Кондратьев Денис Васильевич e-mail\ denisxxx@mail.ru Мигранов Наиль Галиханович e-mail', ufangm@yahoo.co.uk

Рецензент - КопосовГ.Д., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова