CC BY
13УДК 532.6
О РОЛИ ДИВЕРГЕНТНЫХ ЧЛЕНОВ В ЭНЕРГИИ ФРАНКА НЕМАТИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛОВ
А. Г. Калугин
1
Рассматривается задача о влиянии дивергентных членов энергии ориентации Франка нематических жидких кристаллов на равновесное состояние поля директора. Такие слагаемые не оказывают влияния на уравнения движения или равновесия среды, однако их необходимо учитывать при выводе краевых условий. Показано, что при наличии возмущений границы среды или полярного угла ориентации дивергентные слагаемые играют роль поверхностной энергии для азимутального угла, аналогичной энергии Рапини-Папулара, и способствуют возникновению отклонений директора в плоскости, параллельной границе. В качестве примера рассмотрена задача о равновесии нематического жидкого кристалла в случае слабого периодического возмущения границы.
Ключевые слова: поверхностная энергия, нематические жидкие кристаллы, ориентация.
The role of the divergent part of the Frank energy in the equilibrium state of nematic liquid crystals is considered. This term is needed to be considered in the boundary conditions only. It is shown that the divergent term plays the same role as Rapini-Papoular surface energy in the case of the boundary surface or the polar angle of director disturbances and leads to the azimuthal deflection of the director. The nematic equilibrium problem is considered in the case of small periodic boundary perturbations.
Key words: surface energy, nematic liquid crystals, orientation.
Жидкокристаллические вещества, как правило, применяются в условиях, когда велико влияние ограничивающих среду стенок, поэтому поверхностные явления в таких средах играют важную роль, как теоретическую, так и практическую. В ранних работах по жидким кристаллам направление директора п (единичного вектора, описывающего среднее направление ориентации структурных единиц частицы сплошной среды) на стенках считалось заданным (жесткое сцепление) [1]. Первый вариант модели слабого сцепления, когда предполагается, что на границе задается свободная энергия, минимум которой достигается при некотором положении директора, был предложен А. Рапини и М. Папуларом [2], задавшими энергию пропорционально квадрату отклонения полярного угла директора от заданного или его сумме с аналогичным выражением для азимутального угла. В обзоре [3] обсуждались варианты использования других функций, обладающих минимумом и отрицательной выпуклостью при некотором направлении директора. При этом в объемной свободной энергии Франка содержатся так называемые дивергентные слагаемые [4], которые не оказывают влияния на уравнения движения внутри объема среды, но проявляются в граничных условиях. Как правило, такими членами пренебрегают, однако ряд исследований касался их влияния на состояние среды. Определению коэффициента К24 при дивергентных слагаемых путем учета их вклада в ориентацию директора в капилляре была посвящена работа [5]. В работах [6-9], а также в ряде предшествовавших публикаций указанных авторов рассматривались возможность существования периодических возмущений директора в тонком слое нематика в случае плоской границы для некоторых частных случаев начальной ориентации и влияние К24 на такое явление.
1. Анизотропная часть внутренней энергии Франка нематического жидкого кристалла в случае од-ноконстантного приближения задается соотношением [1, 4]
(1)
Поверхностная энергия Рапини-Папулара задается в виде [2, 4]
Калугин Алексей Георгиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kalugin@mech.math.msu.su.
1
Здесь К, К24, 7 и Ш — постоянные коэффициенты, О — угол между осью легкого ориентирования, задающей начальную ориентацию директора в невозмущенном состоянии, и внешней единичной нормалью V к поверхности (О £ [0,п/2]). Ось легкого ориентирования может вращаться по конусу, образующие которого составляют угол О с нормалью, при этом минимум поверхностной энергии достигается, когда нормаль к поверхности, ось легкого ориентирования и директор лежат в одной плоскости [10]. Уравнения равновесия нематического жидкого кристалла можно получить, применив вариационный подход, при этом к вариационному уравнению Л.И. Седова [11] для изотропной среды необходимо добавить анизотропные слагаемые
\ + ЛУ(П*Щ - ^ ^ + /^ + - (1(Т \у я /
где V — искомый объем; 5 — его граница; Лу, Ля — неопределенные множители Лагранжа, обеспечивающие выполнение условия |п| = 1. В случае задачи о равновесии нематика уравнения для определения поля директора при отсутствии внешних массовых сил для несжимаемой среды и граничные условия принимают вид [10, 12]
Я - п]пЛ ( щ + ) = О, (3)
к '"к I I "г I ,
k J \oVinj dnv
при этом давление вычисляется из условий равновесия Vi(p + Fy) = 0 после определения поля директора. Уравнения (2), (3) спроектированы на плоскость, ортогональную n, для исключения Ay, As. Необходимо отметить, что в уравнение (2) не входит второе слагаемое из (1), поскольку оно имеет дивергентный вид в силу тождества ViUjVjni — (Vknk)2 = Vi(njVjni — niVknk), однако его необходимо учитывать в краевых условиях.
2. Рассмотрим задачу о равновесии нематика, занимающего полупространство z ^ ((x,y). Будем искать поле директора и форму границы последовательными приближениями, считая, что ((ж, y), (x = д((х, y)/dx, Zy = dZ(x, y)/dy — малые величины. В нулевом приближении граница задается условием z = 0 и решением системы (2), (3) является однородное распределение директора с заданным полярным углом Q и произвольным азимутальным фо: n = (sin Q cos фо, sin Q sin фо, cosQ). Рассмотрим возмущенное решение в виде малых отклонений в, ф от начального состояния. Тогда линеаризованные уравнения равновесия и граничные условия при z = 0 можно записать в виде
Дв = 0, Дф = 0, (4)
dFs
Kípz = K24(6yCOS1po - вх sin^o), K0Z + sin во -— = K24 sin2 6o(ipx sin^o - 'фу COS ípo). (5)
dn v
Из граничных условий (5) следует, что дивергентная константа K24 при наличии возмущения полярного угла на границе среды дает вклад, аналогичный вкладу поверхностной энергии в случае, когда она зависит от азимутального угла.
Рассмотрим задачу о равновесии для плоских периодических возмущений границы ( = Q sin kx. Тогда решения системы (4) для ф, в ищутся методом разделения переменных и с учетом условия их затухания при z ^ ж и краевых условий (5), где sin e0dFs/dnv = W(в + (x cos ф0 + Zy sin ф0), в случае общего положения в = 0 имеют вид
kWQK24 cos ф0 sin ф0 sin kxekz kWQK cos ф0 cos kxekz
'' .•>„••>-^-77777> e =
k(K24 sin2 Q sin2 фо - K2) - KW' k(K224 sin2 Q sin2 фо - K2) - KW'
При этом в случае K24/K > 1, что справедливо, по некоторым оценкам, для ряда нематиков [5], решение задачи о равновесии в линейной постановке отсутствует, если значение волнового числа к равно критическому ко = KW(K24 sin2 Q sin2 фо - K2)-1, а при приближении к этому значению амплитуда отклонения углов растет. В случае Q = 0 могут существовать нетривиальные решения однородной системы (4) с волновым числом ко, при котором возможны периодические возмущения директора при плоской границе, аналогичные изучавшимся в работах [6-9]. Также в случае волн со свободной поверхностью существует интервал значений к с правой границей ко, на котором амплитуда поверхностных волн со свободной границей может неограниченно возрастать со временем [12].
Таким образом, при наличии неоднородностей границы дивергентное слагаемое в энергии Франка может играть роль, аналогичную поверхностной энергии Рапини-Папулара. А в ряде случаев, когда имеет место соотношение IW/K ^ 1 (I — характерный линейный параметр), дивергентная константа будет доминирующей в граничных условиях. Также это слагаемое может вызывать отклонения директора в плоскости, перпендикулярной границе, даже в отсутствие азимутальной составляющей поверхностной энергии. При этом существует критическое значение волнового числа ко, вблизи которого в некоторой области значений начальных углов ориентации директора, зависящей от отношения K24/К, при условии К24/К > 1 амплитуда возмущений углов ориентации будет сильно возрастать, а в случае плоской границы возможны периодические возмущения директора с волновым числом, равным критическому.
Работа поддержана РФФИ, грант № 11-01-00188.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Де Жен П. Физика жидких кристаллов. М.: Мир, 1977.
2. Papini A., Papoular M. Distorsion d'une lamelle nematique sous champ magnertique conditions d'ancrage aux parois //J. Phys. (Paris) Colloq. 1969. 30 (C4). 54-58.
3. Блинов Л.М., Кац Е.И., Сонин А.А. Физика поверхности термотропных жидких кристаллов // Успехи физ. наук. 1987. 152, вып. 3. 449-477.
4. Сонин А.С. Введение в физику жидких кристаллов. М.: Наука, 1983.
5. Polak R.D., Crawford G.P., Kostival B.C., Doane J.W., Zumer S. Optical determination of the saddle-splay elastic constant K24 in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 1994. 49, N 2. R978-R981.
6. Sparavigna A., Lavrentovich O.D., Strigazzi A. Periodic stripe domains and hybrid-alignment regime in nematic liquid crystals: Threshold analysis // Phys. Rev. E. 1994. 49, N 2. 1344-1352.
7. Rosso R., Virga E.G., Kralj S. Local elastic stability for nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2004. 70. 011710-1-10.
8. Barbero G., Evangelista L.R., Lelidis I. Spontaneous periodic distortions in nematic liquid crystals: Dependence on the tilt angle // Phys. Rev. E. 2003. 67. 051708-1-4.
9. Atherton T.J., Sambles J.R. Orientational transition in a nematic liquid crystal at a patterned surface // Phys. Rev. E. 2006. 74. 022701-1-4.
10. Калугин А.Г., Голубятников А.Н. О равновесной форме капли нематического жидкого кристалла // Тр. Матем. ин-та РАН. 1998. 223. 171-177.
11. Седов Л.И. Механика сплошных сред. Т. 1, 2. М.: Наука, 1994.
12. Golubiatnikov A.N., Kalugin A.G. On short surface waves in nematic liquid crystals // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2001. 366. 2731-2736.
Поступила в редакцию 29.02.2012
