CC BY
10Для \1Щ\, используя оценку \егх — 1| ^ х, х ^ 0, а также монотонное убывание функции В , получаем, что найдется число по, такое, что при п ^ по п.н.
/ \ 2 п п
3—1 3—п-пф
V
Из последнего неравенства и леммы следует, что Кп — 0 при п — то.
2 2
(* I Л Р —__/ * Л —_
е%Щп\Т) —> е~ 2 при п —> то, поэтому Е [егв9п) —>■ е~ 2 при
п — то. Это завершает доказательство теоремы.
Автор приносит глубокую благодарность проф. Л. Г. Афанасьевой и к.ф.-м.н. Е. Е. Баштовой за постановку задачи, постоянное внимание и ценные замечания, существенным образом способствовавшие написанию статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Riordan J. Telephone traffic time averages // Bell Labs Technic. J. 1951. 30, N 4. 1129-1144.
2. Takacs L. An introduction to queueing theory. N.Y.: Oxford Univ. Press, 1962.
3. Downton F. Congestion systems with incomplete service //J. Roy. Statist. Soc. Ser. B (Methodological). 1962. 24, N 1. 107-111.
4. Mirasol N.M. Letter to the editor — the output of an M/G/< queueing system is Poisson // Oper. Res. 1963. 11, N 2. 282-284.
5. Daley D.J. Queueing output processes // Adv. Appl. Probab. 1976. 8, N 2. 395-415.
6. Borovkov A.A. Stochastic processes in queueing theory. N.Y.: Springer-Verlag, 1976.
7. White J.A., Schmidt J.W., Bennet G.K. Analysis of queueing systems. N.Y.: Academic Press, 1975.
8. Kaplan N. Limit theorems for a GI/G/< Queue // Ann. Probab. 1975. 3, N 5. 780-789.
9. Afanasyeva L.G., Bashtova E.E. Coupling method for asymptotic analysis of queues with regenerative input and unreliable server // Queueing Systems. 2014. 76, N 2. 125-147.
10. Сенета Е., Шиганов И.С. Правильно меняющиеся функции / Пер. с англ. М.: Наука, 1985.
11. Нагаев С.В. Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин со значениями в банаховом пространстве // Сиб. матем. журн. 1987. 28, № 4. 171-184.
12. Maurer A. A bound on the deviation probability for sums of non-negative random variables //J. Ineq. Pure and Appl. Math. 2003. 4, N 1. 15.
Поступила в редакцию 13.04.2016
УДК 532.6
ОБ ОРИЕНТАЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ СДВИГОВОГО ТЕЧЕНИЯ НЕМАТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА
А. Г. Калугин1
Рассматривается задача об устойчивости сдвигового течения слоя нематического жидкого кристалла. Исследуется случай, когда вектор ориентации сонаправлен с вектором скорости потока. Показано, что для такого течения при учете дивергентных слагаемых в энергии Франка и слабом сцеплении директора с границей возможны ориентационная неустойчивость, а также развитие периодических структур с волновым вектором, лежащим в плоскости потока перпендикулярно вектору скорости. Приведены оценки для параметров среды, при которых может существовать такая неустойчивость; получено выражение для периода возникающей периодической структуры.
Ключевые слова: нематические жидкие кристаллы, сдвиговые течения, дивергентные слагаемые, ориентационная неустойчивость.
The problem of instability of shear flow of a nematic liquid crystal layer is considered. The case when the director and the velocity vector are parallel is studied. It is shown that
1 Калугин Алексей Георгиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kalugin@mech. math. msu. su.
the instability of this flow is possible in the case of the weak anchoring boundary condition and if the splay-bend constant in the Frank energy is taken into account. For this type of instability, periodical structures are possible to appear. Their wave vector is in plane of flow and is perpendicular to the velocity. An estimate for the medium constants is obtained from the existence condition for this instability. The wave number of periodical structures is evaluated.
Key words: nematic liquid crystals, shear flow, splay-bend constant, orientation instability.
Аналог течения Куэтта для нематических жидких кристаллов был получен уже при выводе уравнений, описывающих эту модель [1]. В дальнейшем как теоретически, так и экспериментально исследовалась устойчивость такого течения. В работах [2-5] показано, что в сдвиговых течениях нематиков могут развиваться различные виды неустойчивости, при этом рассматривались случаи, когда на границе единичный вектор ориентации (директор) n задавался заранее. Случай слабого сцепления, когда ориентация на границе определяется из условия минимума энергии, изучался в работах [6, 7]. В [8] установлено, что неустойчивость течения типа Пуазейля может развиваться независимо от граничных условий на директор. В [9-11] исследовалось влияние дивергентных слагаемых на устойчивость поверхностных волн и покоящегося слоя нематика.
В монографии [12] было отмечено, что неустойчивость сдвиговых потоков возможна, когда вектор скорости и директор неколлинеарны, а последний лежит в плоскости потока. В работах [13, 14] исследовалась неустойчивость вектора ориентации, когда на границе он перпендикулярен стенкам. В представленной работе предлагается модель развития неустойчивости для случая, когда директор параллелен вектору скорости.
Будем рассматривать модель нематического жидкого кристалла согласно [1, 15]. Тогда уравнения движения и эволюции директора для несжимаемого нематика в отсутствие массовых сил можно записать в виде
v„- = 0, + + (1)
(s3k - njnk}j ^71ЛГ + 72eiknk - V, (Jj^^) ) = 0' 7i = «з - a2 , 72 = a6 - a5 , (2)
Tij = a2riiNj + a3rijNi + a^j + a^eiknknj + а&е^кщпк , Nl = - [a;, п]г, 2u> = rot v ,
где vi — компоненты вектора скорости; p — постоянная плотность; p — давление; Fy — свободная энергия Франка упругих искажений поля директора; тij — компоненты тензора вязких напряжений; eij — компоненты тензора скоростей деформации; щ, Yi — коэффициенты вязкости Лесли; Sj — символ Кронекера; Ni — производная Яумана, выражающая изменение директора относительно движущейся частицы сплошной среды; ш — вектор вихря; Vi — ковариантная производная. Уравнение (2) спроектировано на плоскость, перпендикулярную директору, для исключения неопределенного множителя Лагранжа, возникающего из-за условия постоянства длины [16]. Энергию Франка будем рассматривать в одноконстантном приближении [9, 15], что учтено в уравнении (2):
2Fy = KViUjVinj + K24 (ViUjVjni - (Vfcnfc)2) , (3)
где К, К24 — постоянные коэффициенты Франка, причем второе слагаемое в (3) имеет дивергентную форму, поэтому не влияет на уравнения внутри объема, однако входит в граничные условия.
Рассмотрим слой нематического жидкого кристалла, ограниченный двумя стенками, заданными уравнениями г = ±Ь в декартовой системе координат (х,у,г). Если верхняя стенка движется с постоянной скоростью V = (V,, 0, 0), а нижняя неподвижна, то существует стационарное решение V = (к(г + Ь), 0, 0), 2Ьк = V, (п3/п1)2 = а3/а2, п2 = 0 [1, 15]. Учитывая, что для многих жидких кристаллов |о2| ^ |®э| [15], положим аз = 0, тогда в невозмущенном состоянии п = (1, 0, 0). Такое решение будет удовлетворять кинематическим граничным условиям уг = 0 и условию слабого сцепления директора с поверхностью, которое в общем случае имеет вид [6, 16]
? ? \ { дГу dFs \
6к~пЧ (4)
где 2Fs = 27 + Ш(п, т)2 — поверхностная энергия сцепления Рапини-Папулара, 7 и Ш — постоянные коэффициенты, т — единичная нормаль к поверхности, при этом минимум поверхностной энергии достигается при ориентации директора вдоль стенок.
Будем искать возмущенные решения для скорости и директора, зависящие от переменных у и г. Тогда линеаризованные уравнения (1), (2) для возмущений скорости иг, давления р* и компонент директора примут вид
1 а4 + а6 Л 1 2 , * а4 д 2 3 , * а4 д 3 2 , 3 п СсЛ
РЩ = -^-^и ) P^í + Рщ = ТГ i P^í + Pz = "7Г i Uv+Uz = 0 , (5)
о y 2 2 y
—a2n2 = a2u1 + KAn2 , —a2n\ = a2(k + u^) + KAn3 , (6)
где индексы t, y и z означают частную производную по соответствующей переменной; возмущение директора вдоль оси x не рассматривается в силу условия постоянства длины n.
Линеаризованные граничные условия (4) при z = ±h сводятся к следующим уравнениям:
Kn2 + К24П3 = 0 , (7)
Kn3 = K24n2y ^ Wn3 , (8)
где условие (7) применимо на обеих границах, в (8) верхний и нижний знаки относятся к верхней и нижней границам соответственно.
Обычно а4 > |аб| > 0, а2 < 0 [15], поэтому решения уравнений (5) для возмущений скорости и давления затухают со временем, при этом для типичного нематика 4-метоксибензолиден-4'-бутил-анилина, когда толщина слоя h = 10-4 м, характерное время затухания ti = ph2/а4 < 10-3 с, поэтому систему (6) можно рассматривать независимо от (5), опустив слагаемые с производными от ul. Для (6) будем искать периодические по y нетривиальные решения стационарной задачи. Не ограничивая общности, можно записать решение (6) в виде [17]:
n2 = (Ci exp(lz) + C2 exp(-lz)) cos ly,
n3 = -a2kz2/2 + Diz + D2 + (C3 exp(lz) + C4 exp(-lz)) sin ly ,
где Ci и Di — произвольные постоянные, l — волновое число, l > 0. Тогда из граничных условий (7), (8) имеем Di =0, D2 = a2lh(Wh + 2K)/(2W), а существование ненулевых значений Ci обеспечивается условием вырожденности соответствующей системы однородных линейных уравнений, которое сводится к двум соотношениям
l(K224 - K2) sh(lh) = KW ch(lh), l(K4 — K2) ch(lh) = KW sh(lh),
позволяющим определить период возмущений 2n/l. В первом случае он существует при IK241 > K и произвольной толщине слоя, а во втором дополнительно требуется, чтобы толщина слоя была больше некоторой критической величины hc = (K24 — K2)/(WK). Поэтому возмущения директора со временем будут расти, стремясь к нетривиальному периодическому решению с указанными выше критическими волновыми числами, а течение является ориентационно неустойчивым. При этом в результате могут образовываться периодические структуры, параллельные вектору скорости, аналогичные наблюдавшимся в экспериментах [13, 14]. Также отметим, что для уравнений (6) характерное время t2 = |a2|h2/K может достигать значений порядка 103 с. Это означает, что развитие такого рода неустойчивостей может потребовать значительного времени.
Таким образом, в работе показано, что для сдвигового потока в слое нематического жидкого кристалла возможна ориентационная неустойчивость в случае, когда вектор скорости параллелен директору. Получены соотношения на параметры среды, при которых такая неустойчивость может развиваться. Выведена зависимость периода возникающих периодических структур от толщины слоя и констант Франка.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 15-01-00361.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Leslie F.M. Some constitutive equations for liquid crystals // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1968. 28. 265-283.
2. Pieranski P., Guyon E. Instability of certain shear flows in nematic liquids // Phys. Rev. A. 1974. 9. 404-417.
3. Cladis P.E., Torza S. Stability of nematic liquid crystals in Couette flow // Phys. Rev. Lett. 1975. 35. 12831286.
4. Manneville P., Dubois-Violette E. Shear flow instability in nematic liquids: theory steady simple shear flows // J. Phys. France. 1976. 37. 285-296.
5. Leslie F.M. Magnetohydrodynamic instabilities in nematic liquid crystals // Mol. Cryst. and Liquid Cryst. 1976. 37. 335-352.
6. Pikin S.A., Chigrinov V.G., Indenbom V.L. New types of instabilities in liquid crystals with tilted orientation // Mol. Cryst. and Liquid Cryst. 1976. 37. 313-320.
7. Pikin S., Ryschenkow G., Urbach W. On new type of electrohydrodynamics instability in tilted nematic layers // J. Phys. France. 1976. 37, N 3. 241-244.
8. Голубятников А.Н. Калугин А.Г. Об устойчивости стекания пленки нематического жидкого кристалла // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 4. 68-69.
9. Голубятников А.Н., Калугин А.Г. О коротких поверхностных волнах в анизотропных жидкостях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 1. 42-43.
10. Калугин А.Г. О роли дивергентных членов в энергии Франка нематических жидких кристаллов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 1. 69-71.
11. Калугин А.Г. Об ориентационной неустойчивости слоя нематического жидкого кристалла // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2016. № 1. 67-70.
12. Капустин А.П., Капустина О.А. Акустика жидких кристаллов. М.: Наука, 1986.
13. Пасечник С.В., Крехов А.П., Шмелева Д.В., Насибуллаев И.Ш., Цветков В.А. Ориентационная неустойчивость в нематическом жидком кристалле в затухающем пуазейлевском потоке // Журн. эксперим. и теор. физ. 2005. 127, № 4. 907-914.
14. Дровников Е.М., Шмелева Д.В. Вторичная цилиндрическая неустойчивость, индуцированная осциллирующим потоком Пуазейля // Вестн. МГУПИ. Сер. приборостр. и информ. технол. 2013. 47. 9-14.
15. Сонин А.С. Введение в физику жидких кристаллов. М.: Наука, 1983.
16. Калугин А.Г., Голубятников А.Н. О равновесной форме капли нематического жидкого кристалла // Тр. Матем. ин-та РАН. 1998. 223. 171-177.
17. Калугин А.Г. О равновесии слоя нематического жидкого кристалла с неоднородной границей // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2015. № 2. 3-7.
Поступила в редакцию 21.12.2015
УДК 539.3
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОДАВЛЕНИЯ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ ПОВРЕЖДЕНИЙ ПРИ ЛАЗЕРНОЙ ОБРАБОТКЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
В. Б. Беднова1
Рассматривается один из способов уменьшения термомеханических напряжений при обработке образца балочного типа по боковой поверхности и тонкого диска по центральному круговому отверстию лазерным лучом. Получены аналитические выражения температуры в обоих случаях. Решены задачи по определению температурных напряжений при нагреве образцов с учетом теплообмена на их поверхностях. Проведено сравнение решений при наличии теплообмена и в его отсутствие. Показано, что для подавления разрушения нагреваемых образцов можно использовать обдув боковой поверхности.
Ключевые слова: температурные напряжения, подавление разрушения, теплообмен.
One way to reduce thermomechanical stresses in the processing of a beam-type sample on its side surface and a thin disk on its central circular hole by a laser beam is considered. The analytical expressions of temperature in both these cases are obtained. The problems of determining thermal stresses during the heating of samples with consideration of the heat transfer on their surfaces are solved. The solutions obtained when the heat transfer is present or absent are compared. It is shown that the blowing of the side surface can be used to suppress the destruction of heated samples.
Key words: thermal stresses, suppression of destruction, heat transfer.
Во многих технологических процессах, связанных с лазерной обработкой материалов, возникает проблема контроля термомеханических напряжений. Настоящая работа посвящена вопросам
подавления термомеханических напряжений при импульсном нагреве элементов конструкций.
1 Беднова Вероника Борисовна — методист первой категории мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: msu.mmf.vb@gmail.com.
