CC BY
12УДК 532.6
ОБ ОРИЕНТАЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ СЛОЯ ЛИОТРОПНОГО НЕМАТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА
А. Г. Калугин1
Изучается вопрос о причинах появления периодических возмущений в тонком слое лиотропного нематического жидкого кристалла в процессе распространения фронта переориентации директора. Такие возмущения, волновой вектор которых перпендикулярен начальному положению ориентации, возникают в слое жидкого кристалла, находящемся в состоянии неустойчивого равновесия, когда директор параллелен стенкам, при условии, что минимуму поверхностной энергии соответствует его ортогональность границе. Показано, что в возникновении такого явления существенную роль может играть дивергентная постоянная в энергии упругости ориентации Франка. Даны оценки величины коэффициента анизотропной части поверхностной энергии и дивергентной константы Франка, при которых может возникать такая доменная структура.
Ключевые слова: поверхностная энергия, нематические жидкие кристаллы, ориентация, неустойчивость.
The problem of periodic domain initiation in a thin lyotropic nematic liquid crystal layer is studied. This layer has a planar director initial orientation, but the anchoring energy is minimized by the homeotropic one. The periodic structures with the perpendicular to the director wave vector exist during the director reorientation process from the planar orientation to the homeotropic one when the reorientation wave front appears. It is shown that the divergent terms of the Frank orientation elasticity energy plays an important role in this effect. The saddle-splay Frank constant and the anisotropic anchoring energy coefficient are estimated.
Key words: surface energy, nematic liquid crystals, orientation, instability.
1. В нематических жидких кристаллах наблюдаются различные виды доменных структур, возникающие как спонтанно, так и в результате различных внешних воздействий [1]. В числе прочих одной из причин появления таких эффектов может быть учет дивергентных слагаемых в энергии Франка (см. статью [2] и обзор в ней). В настоящей работе предлагается возможное теоретическое описание возникновения периодических структур в слое лиотропного нематического жидкого кристалла (система дисульфоиндантрон-вода), обнаруженного в серии экспериментов [3].
Рассмотрим слой жидкого кристалла, ограниченный двумя стенками. В начальном состоянии единичный вектор ориентации (директор) п направлен вдоль стенок, однако в силу граничных условий минимуму поверхностной энергии для ориентации соответствует гомеотропная ориентация, когда директор перпендикулярен границе среды. В этой ситуации с течением времени в слое начинает происходить процесс переориентации: сначала он наблюдается в отдельных местах ячейки, а затем распространяется в виде фронта на всю область. При этом в тех случаях, когда фронт переориентации перпендикулярен начальному положению директора, в невозмущенной зоне, вблизи фронта, возникают периодические структуры, волновой вектор которых перпендикулярен вектору ориентации и которые потом распространяются на всю невозмущенную область [3]. В этих экспериментах было отмечено, что время возникновения доменных структур существенно меньше, чем время переориентации во всей ячейке, а их период практически не меняется при продвижении фронта переориентации. В [3] рассмотрена динамическая модель для объяснения этого эффекта. В настоящей работе предлагается описание причин возникновения таких ячеек на основе учета дивергентных слагаемых в энергии Франка, которую рассмотрим в одноконстантном приближении [1, 4]:
где К, К24 — постоянные коэффициенты Франка. Второе слагаемое в (1) имеет дивергентную форму поэтому не влияет на уравнения внутри объема, однако входит в граничные условия. Поверхностная энергия Рапини-Папулара задается в виде [1, 4]
1 Калугин Алексей Георгиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kaluginQmech.math.msu.su.
(1)
где 7 и W — постоянные коэффициенты, Q — угол между осью легкого ориентирования, задающей начальную ориентацию директора в невозмущенном состоянии, и внешней единичной нормалью v к поверхности (Q € [0,7г/2]). Ось легкого ориентирования может вращаться по конусу, образующие которого составляют угол Q с нормалью, при этом минимум поверхностной энергии достигается, когда нормаль к поверхности, ось легкого ориентирования и директор лежат в одной плоскости [5]. Тогда уравнения равновесия и граничные условия можно записать в виде [5-7]
К - (J^j"- + ж;"-») =0 ■ <3>
при этом давление вычисляется из условий равновесия Vi(p + Fy) = 0 после определения поля вектора ориентации. Уравнения (2), (3) спроектированы на плоскость, ортогональную п, для исключения неопределенных множителей Лагранжа, возникающих из-за условия постоянства длины директора.
2. Рассмотрим задачу о равновесии нематика, занимающего слой —h ^ z ^ h, где (х, у, z) — декартова система координат. В невозмущенном состоянии директор параллелен стенкам: п = (cos^oj sin фо, 0). При этом в (3) положим Q = 0, невозмущенная планарная ориентация не является состоянием минимума поверхностной энергии. Рассмотрим возмущенное решение в виде малых горизонтального и вертикального отклонений с углами ф и в соответственно от начального состояния. Тогда линеаризованные уравнения равновесия (2) для возмущений можно записать в виде
Ав = 0, Аф = 0. (4)
Линеаризованные граничные условия при z = ±h сводятся к следующим уравнениям [8]:
Кфг = К2А(ву cos ф0 - вх sinф0), (5)
^K6Z ± К2А(фх sin фо - фу cos фо) = -we, (6)
где индексы х, у и z означают частную производную по соответствующей координате, условие (5) применимо на обеих границах, в условии (6) верхний и нижний знаки относятся к верхней и нижней границам соответственно. Поскольку невозмущенное состояние отвечает максимуму поверхностной энергии, уравнение (6), в отличие от соответствующих граничных условий в [8], имеет противоположный знак в правой части.
Будем искать решения уравнений (4) для возмущений ф, в в виде
ф = (С\ exp(kz) + С2 ехр(—kz)) cos kx + (С3 exp(kz) + C4 exp(—kz)) sin kx,
в = (D\ exp (kz) + D2 exp (—kz)) cos kx + (D3 exp (kz) + D4 exp (—kz)) sin kx,
где действительное число fc > 0, a C¿ и Д — произвольные постоянные. Для определения амплитуд возмущений воспользуемся граничными условиями (5), (6), откуда можно получить систему однородных линейных уравнений для C¿ и распадающуюся на две подсистемы с одинаковыми определителями, равенство нулю которых обеспечивает существование нетривиального решения. Это условие сводится к двум следующим уравнениям:
к(К2 - K¡4 sin2 ф0) = WK th(kh), k(K2 - KjA sin2 ф0) = WK cth(kh),
из которых следует, что для существования нетривиального решения при к > 0 и фо = тт/2 необходимо, чтобы выполнялось соотношение \К2а\ < К. Это расходится с некоторыми имеющимися экспериментальными оценками на К2а [9, 10], однако для лиотропного нематика, использованного в эксперименте [3], отношения между коэффициентами Франка на порядок отличаются от аналогичных для типичных термотропных жидких кристаллов [11, 12], поэтому указанное условие может выполняться.
Также из проведенных экспериментов с учетом того, что наблюдаемый период возмущений примерно совпадает с толщиной слоя, следует оценка сверху на величины коэффициента анизотропной составляющей поверхностной энергии: W/K < 106 1/м.
Таким образом, учет дивергентных слагаемых в энергии упругости ориентации Франка может быть одной из причин возникновения периодических структур в слое лиотропного нематика. Применение этого подхода также может позволить экспериментально определить величину К24 для подобных сред.
Работа поддержана РФФИ, грант № 14-01-00361.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ликин С. А. Структурные превращения в жидких кристаллах. М.: Наука, 1981.
2. Barbero С., Evangelista L. R., Lelidis I. Spontaneous periodic distortions in nematic liquid crystals: Dependence on the tilt angle // Phys. Rev. E. 2003. 67. 051708-1-4.
3. Голованов А.В., Казначеев А.В., Сонин А. С. Ориентациоппая неустойчивость лиотропного нематика при течении // Изв. РАН. Сер. физ. 1998. 62, № 8. 1658-1661.
4. Голубятников А.Н., Калугин А.Г. О коротких поверхностных волнах в анизотропных жидкостях // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 1. 42-43.
5. Калугин А.Г., Голубятников А.Н. О равновесной форме капли тематического жидкого кристалла // Тр. Матем. ин-та РАН. 1998. 223. 171-177.
6. Igosheva М., Kalugin A. Capillary waves in nematic liquid crystal // Mol. Cryst. and Liquid Cryst. 2010. 526. 10-17.
7. Калугин А.Г. О роли дивергентных членов в энергии Франка нематических жидких кристаллов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 1. 69-71.
8. Калугин А.Г. О равновесии слоя нематического жидкого кристалла с неоднородной границей // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2015. № 1. 4-7.
9. Folak R.D., Crawford G.F., Kostival B.C., Doane J. W., Zumer S. Optical determination of the saddle-splay elastic constant K24 in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 1994. 49. R978-R981.
10. Sparavigna A., Lavrentovieh O.D., Strigazzi A. Periodic stripe domains and hybrid-alignment regime in nematic liquid crystals: Threshold analysis // Phys. Rev. E. 1994. 49. 1344-1352.
11. Голованов А.В., Казначеев А.В., Сонин А. С. Концентрационные зависимости вязкоупругих свойств хро-монического нематика // Изв. РАН. Сер. физ. 1996. 60, № 4. 43-46.
12. Голованов А.В., Казначеев А.В., Сонин А. С. Температурные зависимости вязкоупругих параметров нематика в системе дисульфоиндантрон-вода // Изв. РАН. Сер. физ. 1995. 59, № 3. 62-67.
Поступила в редакцию 10.12.2014
УДК 531.1
О ХАРАКТЕРИСТИКАХ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОРИЕНТАЦИИ ПРИ ПОМОЩИ СПУТНИКОВЫХ АНТЕНН
А. А. Никулин1
В статье проводится анализ точности определения ориентации объекта при помощи спутниковых измерений, полученных от разнесенных антенн, в зависимости от взаимного расположения последних.
Ключевые слова: ориентация, фазовые измерения, спутниковая навигационная система, разнесенные антенны.
The article analyzes the accuracy of determining the orientation of an object by means of satellite measurements from spaced antennas, depending on the relative positions of these antennas.
Key words: orientation, phase measurements, satellite navigation system, spaced antennas.
Определение ориентации. Ориентацию твердого тела можно определить как положение одного ортогонального трехгранника Mz (жестко связанного с телом) относительно некоторого опорного. В спутниковой навигации в качестве такой опорной системы координат используется гринвичская система Or], жестко связанная с вращающейся Землей. Переход от одной системы координат
1 Никулин Алексей Андреевич — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexeynikulin.msuQgmail.com.
