CC BY
7УДК 530.1:532.6
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕКАНИЯ ПЛЕНКИ НЕМАТИЧЕСКОГО ЖИ/ЩОГО КРИСТАЛЛА ОТНОСИТЕЛЬНО СДВИГОВЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
А. Н. Голубятников, А. Г. Калугин
Исследования течений жидких кристаллов как вязких анизотропных жидкостей указывают на ряд новых эффектов неустойчивости, связанных с наличием ориентационных свойств среды. Известна неустойчивость положения вектора ориентации, влияющая на распределение скорости, в течениях Куэтта [1, 2] и Пуазейля [3], а также неустойчивость процесса смачивания [4].
Ниже рассматривается устойчивость стационарного стекания по наклонной плоскости тонкого слоя несжимаемого нематического жидкого кристалла. В этом случае имеются три различных стационарных решения уравнений движения и ориентации. Для этих решений проведен анализ устойчивости относительно сдвиговых возмущений и показано, что устойчивым может быть только одно из них, а именно с почти параллельной вектору скорости ориентацией при уклонении в сторону роста величины скорости.
1. В модели нематических жидких кристаллов анизотропия жидкости описывается единичным вектором п осредненной ориентации длинных осей молекул частицы среды или, возможно, более сложных структурных образований, называемым директором [5]. В условиях равновесия необходимо учитывать внутреннюю ориентационную энергию, квадратично зависящую от пространственных производных директора с коэффициентами порядка К ~ 6 пН. Но уже при наличии течения жидкого кристалла с числом Рейнольдса Re рК/т] ~ 10"6 (см. [5]), где г] — характерный коэффициент вязкости, можно пренебречь упругостью ориентации в уравнениях движения и рассматривать модель вязкой анизотропной несжимаемой жидкости с тензором вязких напряжений Лесли [6], компоненты которого имеют вид
Tíj = rjidj + r]2nínkejk + r]3njnkeik + щщп^пкп1ек1 + щriíDjrij + rierijDjm. (1)
dvt
Здесь Djn = —— [о^, гг] — производная Яуманна, 2и> = rot v,v — скорость, ?y¿ — коэффициенты вязкости,
r¡i ~ 100 мПа • с для типичного жидкого кристалла 4-метоксибензолиден-4'-бутиланилина (МББА, см. [5]). Уравнение эволюции директора при этом сводится к условию симметрии тензора вязких напряжений.
Полная система уравнений движения несжимаемого нематика в этом случае имеет вид
г]1!}1
vy = О, р— + v*p = vjT4 + pg\ r^-r^O, (2)
причем из трех последних уравнений системы в силу условия |n| = 1 только два независимых; д — ускорение силы тяжести.
2. Рассмотрим задачу о стационарном стекании тонкой пленки однородного нематика толщины h по наклонной плоскости с углом наклона а под действием постоянной силы тяжести. Направим ось х1 = х вдоль склона, ось х2 = у — перпендикулярно ему, ось х3 = z — перпендикулярно потоку. Будем искать решения в виде v = (и, 0, 0), п = (eos <р> sin 9, sin <p> sin 9, eos 9), где и, 9, <p> и р — функции у. Давление будем отсчитывать от атмосферного. Тогда условие tv = т]г дает две возможности:
A) cos 2<р = (776 - m)/(т -щ) = х^ = тг/2;
B) 9 = 0.
Отметим, что для большинства нематиков 0 < % < 1. Например, для МББА % = 0,95, откуда íp = ±9,6°.
Полное решение системы (1), (2) с учетом краевых условий прилипания на дне и равенства нулю касательного напряжения на свободной поверхности, которое в данном случае сводится к условию du/dy = 0, имеет вид
A) п = (cos (р, sint£>, 0), и = 0,5pgy(2h — y)D~l sin а, р = pg(h — у){ cos а + 0,5£>_1(г?5 + щ) eos tesina), где D = r¡i + r¡2 cos2 (р + щ sin2 ш + 0,25r?4 sin2 2<р + 0,5r?6 sin2 (р — 0,5r?5 cos2 <р, D > 0 для МББА;
B) п = (0,0,1), и = рдущ (2h — у) sin а, р = pg(h — у) cos а.
Таким образом, решения для течения пленки нематика отличаются от решения для изотропной жидкости (7]\ ф 0, остальные гц = 0) только коэффициентом в выражении для скорости.
3. Исследуем устойчивость полученных решений. Для этого изучим эволюцию возмущений решений А и В в классе слоистых течений. Пусть Vq, tíq — соответствующие стационарные решения, v*(y,t)
и n*(y,t) — возмущения. Линеаризуем систему (1), (2) относительно возмущений, учитывая, что в линейном приближении (по,п*) = 0 в силу постоянства длины директора. Из уравнения неразрывности и условия прилипания следует, что г>2 = 0.
В случае А уравнение для отделяется, затем последовательно находятся остальные возмущения v и п, лежащие в плоскости хОу. В результате имеем
ni + M{h - y)nl = 0, М = pgD~l sin a tg 2<р, (3)
ñ2ng + ñ\n\ = 0, г>| = й* = Du" + (c\n\v! + сгп*)',
где точка и штрих означают частные производные по t и у соответственно; ci, С2 — положительные постоянные, зависящие от Из уравнения (3) следует, что в случае íp < 0 возмущения будут расти со временем и стационарное решение неустойчиво. При (р > 0 возмущение экспоненциально затухает, а решения для возмущения скорости можно искать путем разложения в ряд Фурье, который с учетом краевых условий следует взять в виде -u* = Sara(í) sin(2n + 1)ку, к = 2ir/h. Тогда для ап получаем систему независимых уравнений
pän = —D(2n + 1 fk2an - (2 п + 1 )кЪп, (4)
h
где bn(t) = — J cf(y)(h — y) cos (2n + l)ky dy ; с — положительная постоянная, зависящая от
о
f(y) — начальное распределение Исследование системы уравнений (4) сводится к изучению поведения определенных интегралов. Их оценка сверху показывает, что такие решения также экспоненциально затухают со временем и исследуемое решение устойчиво в этом классе возмущений.
4. В случае В получаем = 0, а уравнение для возмущения v1 отделяется и имеет решение только в виде затухающей функции времени; остальные компоненты определяем из линейной системы
-и + 1 Ни' + 2 Хп1 = 0,
(Х-ЩпУ+ vi3) + 2Xñl = 0, (5)
4 pvl = [2r?i<3 + (г? a + % + % + щ)(и'п\ + <3) + 2(r?5 + щ)п1]'.
Рассмотрим "идеальный" нематик, когда % = 1, что при пренебрежении упругостью ориентации приводит к условию вмороженности вектора ориентации в среду [7]. Тогда в силу второго уравнения системы (5) имеем п\ = та^(у), а из первого уравнения получаем уравнение вида = п1(у)и', из которого следует, что возмущение при и' ф 0 линейно растет со временем, а возмущение ввиду свойств решения уравнения теплопроводности растет при относительно больших временах так же, как t.
Теперь рассмотрим типичный случай, когда % = 1/(1 +е), где е <С 1 (для МББА е = 0,05). Разложим возмущения в степенной ряд по е. Тогда член порядка е в разложении п\ растет, как t2, в и^, как t3, и т.д.
Таким образом, на каждом шаге по е имеется по крайней мере степенной рост возмущений со временем, и, следовательно, решение в случае В является неустойчивым.
Работа поддержана РФФИ (гранты № 05-01-00375 и 05-01-00839) и программой "Ведущие научные школы" НШ-1481.2003.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. White А.Е., Cladis P.E., Torza S. Study of liquid crystals in flow // Mol. Cryst. and Liquid Cryst. 1977. 43. 13-31.
2. Mcintosh J.G., Leslie F.M., Sloan D.M. Stability for shearing flow of nematic liquid crystals // Continuum Mechanics and Thermodynamics. 1997. 9, N 5. 293-308.
3. Pieranski P., Guyon E. Instability of certain shear flows in nematic liquids // Phys. Rev. A. 1974. 9, N 1. 404-417.
4. Jerome В., Boix M. Wetting in nematic liquid crystals: Study of the unstable regime // Phys. Rev. A. 1992. 45, N 8. 5746-5760.
5. С'онин A.C. Введение в физику жидких кристаллов. М.: Наука, 1983.
6. Leslie F.M. Some constitutive equations for liquid crystals // Arch. Ration. Mech. Anal. 1968. 28. 265-283.
7. Галин Г.А., Голубятников A.H., Каменярж Я.А. и др. Механика сплошных сред в задачах: В 2 т. М.: Московский лицей, 1996.
Поступила в редакцию 05.12.2005
