Влияние сдвигового течения на переход Фредерикса в нематиках Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2006 Физика Вып. 1

Влияние сдвигового течения на переход Фредерикса в нематиках

А. Н. Захлевных, Д. В. Макаров

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

На основе континуальной теории Эриксена-Лесли проанализировано влияние сдвигового течения в плоском слое нематического жидкого кристалла (нематика) со стержнеобразными молекулами на переход Фредерикса в магнитном поле. Рассмотрены три основных типа ориентации плоского слоя в однородном магнитном поле. Условия сцепления директора на границах слоя считались жесткими, а градиент скорости потока нематика внутри слоя постоянным. Найдены стационарные решения для угла поворота директора в середине слоя при различных значениях упругих констант Франка и коэффициентов вращательной вязкости. Установлено, что наложение сдвигового течения на переход Фредерикса приводит к его размыванию или оставляет без изменений в зависимости от ориентации слоя в магнитном поле и коэффициентов вязкости нематика.

1. Введение

Переход Фредерикса является примером изменения ориентационной структуры жидкого кристалла (ЖК), заключенного между двумя твердыми пластинами, под действием приложенных к нему силовых полей. Этот фазовый переход характеризуется конкуренцией поверхностных сил, ориентирующих жидкий кристалл на границе слоя, сил ориентационной упругости и внешних силовых полей, таких как магнитное или электрическое. Переход Фредерикса имеет пороговый характер, т. е. наступает в полях выше некоторого критического значения и является фазовым переходом 11 рода. Помимо многочисленных практических приложений в устройствах отображения информации, его используют для экспериментального определения упругих постоянных ЖК при исследовании деформаций, обусловленных внешними силовыми полями [1].

В работе рассмотрено влияние сдвигового течения в плоском слое несжимаемого нематического жидкого кристалла (НЖК) со стержнеобразными молекулами на переход Фредерикса в однородном магнитном поле. Использовано приближение линейного распределения поля скорости и условия жесткого сцепления директора на поверхности пластин, ограничивающих слой НЖК. Рассмотрены три основных типа ориентации слоя в магнитном поле. Во всех изученных конфигурациях внешнее силовое поле противодействовало поверхностным силам, ориентирующим директор на границе. Численно получены стационарные решения для плоского поля директора в середине слоя

жидкого кристалла для различных значений констант упругости Франка и коэффициентов вращательной вязкости.

Недавно частная задача в аналогичной постановке рассматривалась в работе [2]. В ней использовано одноконстантное приближение для модулей ориентационной упругости Франка, кроме того, авторы [2] полагали коэффициенты вращательной вязкости у\ и Уг одинаковыми как по величине, так и по знаку. Согласно условиям термодинамической устойчивости коэффициент

> 0, а у2 может иметь любой знак [3, 4], тем не менее для всех известных ЖК, составленных из стержнеобразных молекул, коэффициент у2 < О [1, 3-6]. Рассмотренный в работе [2] случай у2 > 0 относится, по-видимому, к нематикам, составленным из дискообразных молекул [7-9]. В настоящей работе используются значения вязких коэффициентов, которые характерны для НЖК со стержнеобразными молекулами и подтверждены многочисленными экспериментами.

2. Динамика несжимаемого нематика

2.1. Основные уравнения

При описании динамического состояния жидкого кристалла будем использовать континуальную теорию, предложенную Эриксеном и Лесли [3,4]. Ограничимся рассмотрением течения несжимаемого нематического жидкого кристалла с медленно меняющимися во времени и пространстве полями скорости V и директора п .

© А. Н. Захлевных, Д. В. Макаров, 2006

Объемную плотность свободной энергии нематического жидкого кристалла, находящегося в магнитном поле, в случае малых изотермических деформаций можно записать следующим образом с

F = Fd+Fmag> (2.1)

Fd = (div/i)2 + K2 (w-rotn)2 +/13 (их rot л)2 j,

K,ag =-Х-Ха(п-И)2 .

Здесь Kx, К2, Къ - модули ориентационной упругости НЖК, п - директор жидкого кристалла, Ха - анизотропия магнитной восприимчивости, Я - напряженность внешнего магнитного поля.

Первое слагаемое Fd в формуле (2.1) представляет собой объемную плотность энергии ориентационно-упругих деформаций поля директора (потенциал Озеена-Франка). Второе слагаемое

Fmag в (2.1) является объемной плотностью энер-

гии взаимодействия магнитного поля Я с нематиком.

Уравнения движения НЖК, несжимаемости и движения директора п имеют соответственно вид

p^- = V-a, (2.2)

dt

divv = 0, (2.3)

// = у\Н + у2п-Л . (2.4)

Тензор напряжений а в уравнении (2.2) определяется соотношением

а = с' + о{е), (2.5)

где выражение для тензора вязких напряжений а', записанное в предположении линейности обобщенных потоков по отношению к сопряженным им обобщенным силам, имеет вид

а'к1 = а^П'П^пА,,,, + a2nkNi + abn,Nk +ar4 Aki + a5nkП/ A„ + a6n,n, A,k.

Здесь вектор /V = dn/dt-w-n представляет собой скорость изменения директора относительно движущегося жидкого кристалла, а Ак = +dtvk) и й)1к = 1/2(дк-дрк) яв-

ляются симметричной и антисимметричной частями тензора градиентов скоростей соответственно. Шесть коэффициентов ocs имеют размерность вязкости и носят название коэффициентов Лесли. Только пять из них являются независимыми, так как между ними существует связь, впервые выведенная Пароди [3,4]:

(*2+а з =аб-«5-

Коэффициенты вращательной вязкости у] и у2 соотношением взаимности Онсагера связаны с коэффициентами Лесли следующим образом:

У\ -а^-а2, у2=аг+а2.

Тензор напряжений Эриксена <г(е), входящий в выражение (2.5), определяется соотношением

(«О г ^ а

=-М/~я/д и ЛЩу д[дкп,)

где р - давление, дк) - символ Кронекера,

д, = д/дХ' .

Вектор молекулярного поля Л, входящий в уравнения движения директора (2.4), имеет следующий вид:

^ . а ^

1 я * л I я \ ’ дп, д\дкЩ)

Таким образом, уравнения (2.2) - (2.4) представляют собой полную систему уравнений нематоди-намики.

2.2. Сдвиговое течение в переходе Фредерикса

Рассмотрим слой несжимаемого НЖК толщиной ё, заключенный между двумя параллельными пластинами, движущимися относительно друг друга с постоянной скоростью V . Введем прямоугольную систему координат, ось х направим вдоль траектории движения пластин, ось г - перпендикулярно пластинам; начало координат выберем в середине слоя. Нижняя пластина в данной системе координат неподвижна. Сцепление директора п на ограничивающих слой пластинах будем считать жестким. Рассмотрим стационарные решения системы уравнений (2.2) - (2.4), отвечающие трем основным типам расположения слоя НЖК в однородном магнитном поле Я (рис. 1, 7 и 8); анизотропию диамагнитной восприимчивости Ха будем считать положительной.

3. Конфигурация (А)

Пусть магнитное поле Я =(0, 0, Н) направлено перпендикулярно плоскости слоя и скорости потока нематика V = (м(г), 0,0) так, как показано

на рис. 1. На границах слоя заданы условия жесткого планарного сцепления. В отсутствие магнитного поля и течения директор во всем слое однороден и ориентирован вдоль оси х. При наличии течения и магнитного поля директор будем искать в виде

п =(со5<р(г), 0, эш^г)), (3.1)

где <р(г) - угол между директором п и осью X .

Рис. 1. Ориентация слоя нематика, находящегося между движущимися пластинами, в магнитном поле Н (конфигурация (А))

Используем приближение линейного распределения поля скорости внутри слоя [2, 11]:

"'б*'0’0)’

здесь V - скорость движения верхней пластины, сі - толщина слоя. В качестве единицы длины выберем толщину слоя и введем безразмерную координату ї = г/с1, тогда уравнение движения директора (2.4) с учетом (3.1) в стационарном случае {дп/ді = 0) приобретает вид

/,

d2(p 1 dfA{(p)( d(p Y .

Ы—f + —J A — =-Asin2a>-dz2 2 d(p \dz)

+ц{\ - y cos2<p)

с граничными условиями

(К-1/2) = р(1/2) = 0,

(3.2)

(3.3)

угла поворота директора в отсутствие магнитного поля. Учет влияния магнитного поля в (3.2) приводит к выражению

tgp =

_ Я + у/л2 +(у2 — I)//2

^(1 + у)

где fA{cp) = cos2 ^ + £sin2 (р .

Здесь введены безразмерные параметры: M = VdyJ 2К„ к = Кг/и У = ~Уг1У\. Параметр Л представляет собой квадрат безразмерной напряженности магнитного поля, ц - безразмерный градиент скорости потока

НЖК. Величина к характеризует анизотропию констант упругости Франка, у - реактивный параметр. Случай у > 1 соответствует жидким кристаллам, ориентируемым течением, а 0 ^ у < 1 -ЖК, неориентируемым течением. Такая классификация обусловлена зависимостью [3, 4]

cos2<p = l//, (3.4)

определяющей ориентацию директора в сдвиговом потоке неограниченного ЖК в отсутствие магнитного поля. Данное соотношение можно получить из (3.2), рассматривая однородные решения для

полученному ранее в работе [10]. Очевидно, что область значений у, при которых существуют однородные решения в неограниченном ЖК, при наличии поля расширяется и определяется соотношением

\2

у1 г 1-

В отсутствие течения и магнитного поля уравнение (3.2) допускает однородное решение (р- 0, удовлетворяющее граничным условиям (3.3). Как видно из (3.2), это решение сохраняется в поле Н в отсутствие течения, а также при у = 1.

Рассмотрим неоднородные решения для поля директора. Для этого умножим уравнение (3.2) на d(p¡dz и дважды его проинтегрируем. Стационарные решения, описывающие возмущенное состояние директора в середине слоя НЖК, найдутся из следующего интегрального уравнения:

У'О

-*í

Л (у) Ф.ЛМо)

d(fi,

(3.5)

где <t>A((p,<pQ) = ¿(cos2<p-cos2^0) + 2/;(<p-<p0)4-+/^(sin 2(pQ - sin 2(p).

Здесь cp0 - (p{0) - угол ориентации директора в середине слоя. Уравнение (3.5) со знаком плюс дает решения, отвечающие положительным, а со знаком минус - отрицательным значениям угла ориентации директора.

Сделаем оценки величин Я и // для типичных

значений параметров НЖК. Полагая 2о«10“7, Х', «10-6 дин, коэффициент вращательной вязкости у] «10-1 пуаз и выбирая толщину слоя d * 10~3 см, скорость движения верхней пластины F«10~2 см/с и напряженность магнитного поля И « Ю4 Э, находим Л «10 и /л я 1.

3.1. Критическое магнитное поле

При у = \ уравнение (3.2) имеет тривиальное решение <р = 0 , отвечающее однородному состоянию с директором по оси д:. Такое решение, однако, становится неустойчивым выше некоторого порогового значения Лс. Вблизи точки бифуркации <р« 1, поэтому решения уравнения (3.2) мож-

но искать в виде рядов по малому параметру, характеризующему близость напряженности магнитного поля Я к критическому значению Лс. Ограничиваясь первым неисчезающим приближением, с учетом граничных условий (3.3) находим

Лс=л2/2, (3.6)

<р = -(Л-Лс) соБлг. (3.7) 8/у

Выражение (3.7) характеризует поведение угла ориентации директора вблизи фазового перехода из однородного состояния в неоднородное. Видно, что при наложении сдвигового течения симметрия решений пропадает, так как производная в точке перехода д(р/дЛ положительна и конечна (см. рис. 3-4). Кроме того, величина Лс совпадает с квадратом критического значения безразмерной напряженности магнитного поля в статическом переходе Фредерикса [3,4]:

3.2. Слабые течения и магнитные поля

Из уравнения (3.2) видно, что тривиальное решение <р - 0 отсутствует при /у(1 - у) * 0. Для малых значений этого параметра, т. е. при /у«: 1 либо у « 1,уравнение (3.2) можно линеаризовать:

(рп + 2Л(р = /у(1 - у).

Здесь и далее штрих обозначает дифференцирование по координате 1. Общее решение этого уравнения с граничными условиями (3.3) примет вид

<Р(г) =

Кг-1)

2 Я

СОБ

(Т2Яг)

СОБ

■ІШ

-1

(3.8)

Рассмотрим поведение директора в слабых магнитных полях (Я <к 1). В первом порядке разложения по малым Я соотношение (3.8) дает

<№) = \ц{.У-1)0 ~4г2)

О

1 + —(5-422) 241 >

(3.9)

Выражение (3.9) описывает малые отклонения угла ориентации директора от однородного состояния при слабых течениях и магнитных полях (см. рис. 5-6). Интересующее нас решение в середине слоя при г = 0 можно записать следующим образом:

(Ро =7//0'-1)

1 + —Я 24

директора. Увеличение напряженности магнитного поля приводит к возрастанию угла ориентации директора по абсолютной величине. В ориентируемых течением НЖК (у > 1) угол % положителен, а в неориентируемых течением НЖК (0 < у < 1) отрицателен, так как /у и Я положительны.

В отсутствие магнитного поля зависимость угла щ из (3.10) дается выражением

(3.11)

Заметим, что ориентация директора внутри слоя определяется градиентом потока /у и отношением вязких коэффициентов нематика у. В случае сдвигового течения неограниченного нематика угол поворота директора зависит только от вязких коэффициентов (см. (3.4)).

3.3. Сильные магнитные поля

В сильных магнитных полях (Я » Яс, /у « Л) для (рй > 0 из уравнения (3.5) получаем

1~ (р^ _________

= І^йТ^срсІср.

Полагая в нем % = я-/2 - є, є 1, находим

(3.12)

= при * >1.

Соотношения (3.12) определяют асимптотическое поведение положительных значений (р0 при больших напряженностях магнитного поля для различной анизотропии упругости (см. рис. 3-6).

3.4. Чнсленное решение

Результаты численного решения уравнения (3.5) представлены на рис. 3-6.

тшшм жщшр&

н

(3.10)

Из выражения (3.10) видно, что при ^/1 в слабых полях существует только возмущенное состояние

III II ¡¡1

шМтж шШ/Шт ъ/лтт//,

(р = 0 ср>0 ф<0

Рис. 2. Основные типы деформации поля директора п в переходе Фредерикса вез сдвигового течения (конфигурация (А))

В статическом переходе Фредерикса в отсутст- точки бифуркации (см. рис. 3-4). Значения угла

вие сдвигового течения {р = 0) кроме тривиапь- , лежащие на верхней ветви, по абсолютной ве-

ного решения (рис. 2, р = 0), существующего при личине меньше значений, принадлежащих нижней

любых значениях напряженности магнитного по- ветви и соответствующих тем же Я. Кроме того,

ля, при Л>ЛС появляются два нетривиальных из (3.7) следует, что производная 5^/дЯ в крити-

симметричных решения [3.4]. Они описывают ческой точке Л положительна и конечна, поэтому

возмущенное состояние директора (рис. 3, сплошная линия). Одно из решений отвечает повороту директора против часовой стрелки (рис. 2, р > О), другое - повороту по часовой стрелке (рис. 2, р < 0). Здесь и далее посредством Лс обозначено критическое значение квадрата безразмерной напряженности магнитного поля в статическом переходе Фредерикса (см. (3.6)).

Рис. 3. Зависимость угла поворота директора р) от приведенного квадрата напряженности магнитного поля Я/Лс в переходе Фредерикса (конфигурация (А)) при изотропии упругости. Сплошная линия соответствует решениям без сдвигового течения; штриховая линия - переходу ориентируемого течением НЖК при наличии сдвигового потока

Как уже отмечаюсь, наличие сдвигового течения (и * 0) не меняет порогового характера перехода только при условии равенства абсолютных значений коэффициентов вращательной зязкости (7 = 1). Величина критического поля Лс в этом случае такая же (см. (3.6)), как и в статическом переходе, но симметрия нетривиальных решений теперь нарушается (рис. 3, штриховая линия). Наличие течения приводит к отсутствию инвариантности уравнения (3.2) по отношению к замене р -* -р. Тривиальное решение по-прежнему существует для любых значений Я . Ветви решений, отвечающие неоднородному состоянию директора, смещаются вниз, что согласуется с выражением (3.7), описывающим асимметрию решений вблизи

переход на положительную ветвь решений (щ > 0) осуществляется по тип>' фазового перехода II рода, а переход на отрицательную ветвь (4?0 < 0) является переходом I рода.

Частный случай // = ¿ = 1 и у = -1 был рассмотрен в работе [2]. Значение реактивного параметра у, которое выбрали авторы [2], не подтверждено экспериментально [1,3-6]. Можно только предположить, что значения у < 0 отвечают НЖК с дискообразными молекулами [7-9]. Уравнение (3.2) в случае у — — 1 не допускает существования в системе неискаженной ориентации директора (см. рис. 6 в работе [2]). Одна из ветвей решения в [2] непрерывна и существует при любых значениях Л. Она лежит в нижней полуплоскости, отвечающей отрицательным углам поворота директора. Две другие ветви решения соответствуют положительным значениям утла поворота директора и лежат з верхней полуплоскости. Бифуркационная точка в [2] рождается при больших значениях напряженности магнитного поля, чем в случае у = 1.

Рис. 4. Зависимость угла поворота директора р0 от приведенного квадрата напряженности магнитного Я / Лс поля в переходе Фредерикса (конфигурация (А)) для ориентируемых течением НЖК с различными значениями анизотропии упругости при наличии сдвигового течения

Рассмотрим теперь, как меняются решения уравнения (3.5) при изменении констант упругости

Франка и коэффициентов вращательной вязкости. Нарушение изотропии упругости, для которого модуль продольного изгиба меньше модуля поперечного изгиба (к < 1), приводит к увеличению угла поворота директора (рис. 4, сплошная линия). В противоположном случае (к > 1) обнаруживается уменьшение угла поворота директора (рис. 4, штриховая линия).

Расчеты показывают, что при реактивном параметре у 1 происходит размывание фазового перехода (см. рис. 5-6). Тривиальное решение, описывающее невозмущенную конфигурацию поля директора, исчезает. Течение здесь играет такую же роль, что и внешнее поле в теории Ландау фазовых переходов II рода.

тора (¡0О от приведенного квадрата напряженности магнитного поля Я/Яс в переходе Фредерикса (конфигурация (А)) для ориентируемых течением НЖК с различными значениями реактивного параметра при наличии сдвигового течения и изотропии упругости

В ориентируемых течением НЖК {у > 1) появляется непрерывная ветвь решений, лежащая в верхней полуплоскости > 0); она существует при любых Я (рис. 5, штриховые линии). Это связано с тем, что в отсутствие магнитного поля сдвиговое течение ориентирует директор под положительным углом к потоку (см. (3.11)). Наложение поля и последующее увеличение его напряженности (см. (3.10)) приводит к возрастанию положительных значений <р0, кроме того, появляются еще две ветви решений в нижней полуплоскости (<р0 < 0). Возникновение бифуркации происходит при значениях Я больших, чем Яс.

В неориентируемых течением НЖК (0 < у < 1) непрерывная ветвь решений лежит в нижней по-

луплоскости (<р0 < 0) (рис. 6, штриховые линии). Согласно (3.10), в этом случае % отрицателен, а возрастание напряженности магнитного поля обеспечивает его дальнейшее уменьшение. Появление нетривиальных решений, описывающих поворот директора против часовой стрелки (ср0 > 0), как и в предыдущем случае, имеет место при значениях Я больших, чем в стационарном переходе Фредерикса.

Рис. 6. Зависимость угла поворота директора % от приведенного квадрата напряженности магнитного поля Я/Яс в переходе Фредерикса (конфигурация (А)) для ориентируемых и неориентируемых течением НЖК при наличии сдвигового течения и изотропии упругости

4. Конфигурация (В)

Направим магнитное поле Н = (0, Н, 0) перпендикулярно скорости потока V = (м(г), 0,0) в

плоскости слоя нематика так, как показано на рис. 7.

Рис. 7. Ориентация слоя нематика, находящегося между движущимися пластинами, в магнитном поле Н (конфигурация (В))

На границах слоя заданы условия жесткого планарного сцепления. По-прежнему в отсутствие магнитного поля и течения директор во всем слое однороден и направлен вдоль оси х . Как показано выше, в конфигурации (А) течение в отсутствие поля ориентирует директор под некоторым углом к потоку в плоскости хг (см. (3.11)). Если у = -у2/У\ *1, то наложение магнитного поля в плоскости слоя перпендикулярно скорости потока приведет к трехмерным деформациям поля директора.

Рассмотрим плоскую задачу, для этого выберем у - 1, так как только в этом случае директор ориентируется потоком вдоль оси х. Тогда при наличии течения и магнитного поля директор в данной конфигурации можно искать в следующем виде:

п =(сО5^(2),5Ш^(г),0) , (4.1)

где у/(2г) - угол между директором п, лежащим в плоскости пластин, и осью .х .

Уравнение движения директора (2.4) с учетом (4.1) в стационарном случае (Эи/5/ = 0) дает

К

2 dz2

sin 2i//,

du

(У\ +y2)-—cosiy = 0. dz

(4.2)

(4.3)

При у-1 (т. е. у\ = -у2) уравнение (4.3) удовлетворится тождественно, а уравнение (4.2) для безразмерной координаты I = г/д[ можно записать следующим образом:

у/" =-Л$т2^ (4.4)

с граничными условиями

И-1/2) = ^0/2) = 0, (4.5)

где Д = ^Я!^/2^2.

Решение уравнения (4.4) в середине слоя имеет вид

(4.6)

- =K(siny/0),

ет при Я > Яс два симметричных решения с положительными и отрицательными значениями угла поворота директора. В рассматриваемом приближении угол у/о поворота директора п не зависит от скорости относительного движения пластин.

В работе [2] авторы предполагали ух =у2, что соответствует реактивному параметру у = -1. В этом случае уравнение (4.3) допускает только тривиальное решение (// = я/2, не удовлетворяющее, однако, граничным условиям (4.5). Допустимые конфигурации поля директора в этом случае нельзя искать в виде (4.1), так как необходимо учитывать трехмерные деформации директора.

5. Конфигурация (С)

Направим магнитное поле Н = (Я, 0,0) параллельно скорости потока нематика v = (u(z), 0,0) так, как показано на рис. 8. На границах слоя заданы условия жесткого гомеотропно-го сцепления, при которых в отсутствие магнитного поля и течения директор во всем слое однороден и направлен поперек слоя вдоль оси z . При наличии течения и магнитного поля директор будем искать в виде

п = (sin#(z), 0, cos#(r)), (5.1)

где 6(z) - угол между директором п и осью Z .

где К($іпу/0) - полный эллиптический интеграл первого рода [12], а ц/0 =^(0) - угол ориентации директора в середине слоя.

Уравнение (4.6), описывающее переход Фредерикса при наличии сдвигового течения (// * 0), в точности совпадает с известным уравнением для статического случая (р = 0) [3,4]. Кроме решения у/0 = 0, соответствующего невозмущенному состоянию поля директора, уравнение (4.4) допуска-

Рис. 8. Ориентация слоя нематика, находящегося между движущимися пластинами, в магнитном поле Н (конфигурация (С))

Используем приближение линейного распределения поля скорости внутри слоя [2, 11]:

пг-0-0}

здесь V - скорость движения верхней пластины, d - толщина слоя.

Уравнение движения директора (2.4) с учетом

(5.1) в стационарном случае (dn/dt = 0) для безразмерной координаты z = z¡d примет вид

Ш-Л. sin 29-

к dz1 2 de \d¡)

-/v(l + 7 cos 20) (5.2)

с граничными условиями

0(-1/2) = 0(1/2) = 0, (5.3)

где /с(0) = sin2 0 + k cos2 0. Безразмерные параметры Я, //, к и у определены так же, как в конфигурации (А).

Из уравнения (5.2) видно, что однородное состояние директора при наличии течения и магнитного поля, отвечающее тривиальному решению 0 = 0, возможно только при реактивном параметре у = -1. Для НЖК со стержнеобразными моле-

кулами реактивный параметр положителен, поэтому однородное решение невозможно.

Найдем неоднородные решения для поля директора. Для этого умножим уравнение (5.2) на dd/dz и дважды его проинтегрируем. Стационарные решения возмущенного состояния директора в середине слоя НЖК можно найти из следующего интегрального уравнения:

i-±] -2 Пф

ш

i.e,6ь)

dd,

(5.4)

где Фс (0, 0О) = A(cos 20 - cos 20о) + 2//(0о - в) +

+ру(sin 2^0 -sin 26).

Здесь 0О = 0(0) - угол ориентации директора в середине слоя. Знак плюс в уравнении (5.4) приводит к решениям, отвечающим вращению директора по часовой стрелке (0О > 0), знак минус - вращению директора против часовой стрелки (#о < 0).

5.1. Слабые течения и магнитные поля

В данной конфигурации тривиальное решение 0 = 0 уравнения (5.2) для произвольных значений Я существует только в отсутствие течения, т. е. при ц = 0. Рассмотрим случай слабого течения (р/к <£ 1), когда угол 0 «: 1. В первом порядке разложения по малым 0 уравнение (5.2) дает

к9” + 2Лв = -р(\ + у),

откуда с учетом граничных условий (5.3) находим

0(2) =

МГ + 1)

2Я

со$(\І2ЛІ kz)

cos

у]Л/2к

-1

В слабых магнитных полях (Я <к 1), ограничиваясь линейными по Я слагаемыми, из соотношения (5.5) получаем

1 + —Í5-4 Z2) 24 А' '

. (5.6)

Выражение (5.6) описывает поведение угла поворота директора вблизи однородного состояния при слабых течениях и магнитных полях (рис. 10-12). Из (5.6) для угла поворота директора в середине слоя получим

0Л =

МІ.У + О

U

1+-Lá

24 к

(5.7)

При любых рассматриваемых значениях реактивного параметра (у > 0) в слабых полях угол ориентации директора положителен. Это значит, что можно ожидать одинаковый характер размывания перехода в ориентируемых (у > 1) и неориенти-руемых (0<^<1) течением НЖК (см. рис. 12). Кроме того, к возрастанию угла 0О приводит увеличение как напряженности магнитного поля Я, так и градиента скорости сдвига р (см. рис. 10).

5.2. Сильные магнитные поля

В сильных полях (Я » Лс, р <£ Я) для 0() > 0 из уравнения (5.4) получаем

Полагая 0О = n¡2 - е, є «: 1, находим

3,=-—2 при к £ 1

2 yjk

(5.8)

(5.5)

Соотношения (5.8) описывают асимптотическое поведение положительных значений угла 0О

при больших напряженностях магнитного поля для различной анизотропии упругости (см. рис. 10-12).

5.3. Численное решение

Результаты численного решения уравнения (5.4) представлены на рис. 10-12.

В данной конфигурации в отсутствие течения (р = 0), как и в конфигурации (А), кроме тривиального решения (рис. 9, 0 = 0), существующего при любых значениях напряженности магнитного поля, имеются два симметричных решения [3, 4]. Они описывают возмущенное состояние директора

и появляются при критическом значении напряженности поля, которому соответствует Ас = п2 ¡2 (рис. 10, сплошные линии). Одно из решений отвечает повороту директора по часовой стрелке (рис. 9, 9 > 0 ), другое - повороту против часовой стрелки (рис. 9, 9 < 0).

г////і////////І //////////////г/і '//г//////////*

0 = 0 е>0 е<0

Рис. 9. Основные типы деформации поля директора п в переходе Фредерикса без сдвигового течения (конфигурация (С))

Рис. 10. Зависимость угла поворота директора 90 от приведенного квадрата напряженности магнитного поля А/Ас в переходе Фредерикса (конфигурация (С)) при изотропии упругости. Сплошные линии соответствуют решениям без сдвигового течения; штриховые линии - переходу ориентируемого течением НЖК при наличии сдвигового потока

Наличие сдвигового течения (/и*0) в конфигурации (С) приводит к невозможности существования в системе неискаженной конформации директора для произвольных значений Л, так как уравнение (5.2) в этом случае не имеет решения 0 = 0. Случай НЖК с реактивным параметром у=\ и одинаковыми константами упругости Франка (к = 1) показан на рис. 10 (штриховые ли-

нии). Фазовый переход в рассматриваемой конфигурации размывается тем сильнее, чем интенсивнее течение (т. е. чем больше ц ), что согласуется с выражением (5.7).

Нарушение изотропии упругости, для которого модуль продольного изгиба меньше модуля поперечного изгиба (А: < 1), приводит к увеличению положительных значений угла поворота директора (рис. 11, сплошные линии). Такое поведение директора хорошо согласуется с результатами, полученными выше (см. (5.7)). Точка бифуркации сдвигается в область значений Л меньших, чем в изотропном случае (см. рис. 10). При к > 1 выявляется обратная тенденция (рис. 11, штриховые линии): уменьшение значений угла поворота директора для решений, лежащих в верхней полуплоскости (#0 > 0). Решения, соответствующие отрицательным 90, обнаруживаются в более сильных полях, чем при к < 1.

Рис. 11. Зависимость угла поворота директора 90 от приведенного квадрата напряженности магнитного поля А! Ас в переходе Фредерикса (конфигурация (С)) для ориентируемых течением НЖК с различными значениями анизотропии упругости при наличии сдвигового течения

Для реактивного параметра у > 1 (случай ориентируемых НЖК) расчеты показывают увеличение положительных значений угла 90 в слабых полях (см. (5.7)). При возрастании напряженности поля появляются еще две ветви решений в нижней полуплоскости (90<0) (рис. 12, сплошные линии).

В неориентируемых течением НЖК (0 < у < 1) при малых А происходит уменьшение положительных значений угла 90 (см. (5.7)). Появление решений, лежащих в нижней полуплоскости, при

у < 1 наступает в более слабых полях, чем при у > 1 (рис. 12, штриховые линии).

Характер размывания фазового перехода в конфигурации (С) в ориентируемых и неориенти-руемых течением НЖК одинаков. Поскольку для нематиков со стержнеобразными молекулами у > 0 , то знак угла ориентации директора в потоке без магнитного поля не зависит от реактивного параметра (см. (5.7)) в отличие от конфигурации (А) (см. (3.11)).

Рис. 12. Зависимость угла поворота директора в0 от приведенного квадрата напряженности магнитного поля Л / Лс в переходе Фредерикса (конфигурация (С)) для ориентируемых и неориентируемых течением НЖК при наличии сдвигового течения и изотропии упругости

В работе [2] предполагалось, что у = -1, поэтому уравнение (5.2) допускало тривиальное решение и приводило к иным зависимостям для угла О0 поворота директора п от внешнего поля в данной конфигурации (см. рис. 5 в работе [2]). Отличие от статического случая заключалось только в нарушении симметрии положительной и отрицательной ветвей решения.

6. Заключение

В работе рассмотрено влияние сдвигового течения в плоском слое несжимаемого нематического жидкого кристалла на переход Фредерикса в однородном магнитном поле. Получены стационарные решения для плоского поля директора п в середине слоя при различных значениях упругих модулей Франка. Использовалось линейное распределение поля скорости внутри слоя нематика. Рассматривался случай как ориентируемых (у > 1), так и неориентируемых (0 ^ у < 1) течением НЖК со стержнеобразными молекулами. Учи-

тывалось различие в значениях упругих констант Франка. Условия сцепления директора на границах слоя считались жесткими. Рассмотрены три основных типа ориентации слоя НЖК в магнитном поле. Конфигурации (А) соответствует расположение магнитного поля перпендикулярно плоскости слоя и скорости потока. В конфигурации (В) магнитное поле лежит в плоскости слоя и направлено перпендикулярно скорости потока. И наконец, магнитное поле находится в плоскости слоя и направлено параллельно скорости потока в конфигурации (С). Полученные решения справедливы вдали от ориентирующих пластин, на расстояниях, больших безразмерной длины q, определяемой соотношением [10]

~ 1 2^Д2+(у2-1)//2 ’

которая в пределе сильных магнитных полей или при равенстве абсолютных значений коэффициентов вращательной вязкости нематика совпадает с магнитной длиной когерентности [3, 4].

Наличие сдвигового течения в случае (А) приводит к исчезновению симметрии решений возмущенного состояния директора. Существование невозмущенного поля директора при любых значениях напряженности магнитного поля возможно только при реактивном параметре у = 1. В конфигурации (В) не происходит никаких изменений в переходе Фредерикса, связанных с наложением сдвигового течения, только при у = 1. В рассматриваемом приближении решения не зависят от скорости относительного движения пластин. Ситуация меняется в конфигурации (С). Наличие сдвига не допускает существования невозмущенного поля директора для произвольных значений напряженности магнитного поля в нематиках со стержнеобразными молекулами. При любых допустимых значениях реактивного параметра наблюдается размывание фазового перехода. Учет энергии упругих деформаций показывает, что в конфигурациях (А) и (С) для неориентируемых течением НЖК существуют стационарные решения, которые описывают ориентацию директора в плоскости сдвига.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РЕ-009-0 CRDF.

Список литературы

1. Беляев В. В. //Успехи физ. наук. 2001. Т. 44, вып. 3. С. 255.

2. Mukherjee A., Mukherjee В. // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71. P. 021703.

3. Жен П. de. Физика жидких кристаллов. M.: Мир, 1977.400 с.

4. Чандрасекар C. Жидкие кристаллы М.: Мир, 1980. 344 с.

5. Blinov L. М., Chigrinov V. G. Electrooptic Effects in Liquid Crystal Materials. (Springer-Verlag, New York. 1994).

6. Andrade Lima de L. R. P, Rey A. D. II Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 011701.

7. Степанов В. И. И Статические и динамические задачи упругости и вязкоупругости / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1983. С. 46.

8. Baals D., Hess. S. II Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 57. P. 86.

9. Ehrentraut H., Hess. S. II Phys. Rev. E. 1994. Vol. 51, N3. P. 2203.

10. Stephen M. J., StraleyJ.P. II Rev. Mod. Phys. 1974. Vol. 46, N4. P. 617.

11. Pieranski P., Guyon E. II Phys. Rev. A. 1974. Vol. 9, N 1. P. 404.

12. Корн Г., КорнТ. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). СПб.: Лань, 2003. 832 с.