Влияние дальнодействующей корреляции дефектов на неравновесное критическое поведение неупорядоченной модели Гейзенберга с линейными дефектами Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 1. С. 48-54. УДК 538.91

П.В. Прудников, М.А. Шляхтич

ВЛИЯНИЕ ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ КОРРЕЛЯЦИИ ДЕФЕКТОВ НА НЕРАВНОВЕСНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ МОДЕЛИ

к* к* _

ГЕЙЗЕНБЕРГА С ЛИНЕЙНЫМИ ДЕФЕКТАМИ*

Проводится исследование влияния высокотемпературного начального состояния на критическое поведение неупорядоченных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов. Методами Монте-Карло проведено численное исследование неравновесной коротковременной динамики трехмерной модели Гейзенберга с протяженными дефектами структуры. Проведен расчет нового неравновесного критического показателя в' = 0,453(26).

Ключевые слова: методы Монте-Карло, неупорядоченные системы, коротковремен-ная динамика, модель Гейзенберга, протяженные дефекты структуры.

Особенности поведения макроскопических систем в окрестности температуры фазового перехода второго рода определяются сильным взаимодействием долгоживущих флуктуаций параметра порядка. Так, слабое возмущение в окрестности критической точки может вызывать аномально сильный отклик и приводить к новым физическим эффектам. В этом плане, наиболее неожиданные явления возникают при рассмотрении влияния различных неравновесных начальных условий на аномально медленную релаксацию системы в критической области.

Для описания влияния неравновесных начальных условий на критическую динамику в работе [1] в рамках ренормгруппового подхода был разработан метод коротковременной динамики.

В соответствии с теорией скейлинга сингулярная часть потенциала Гиббса Фйп (t, х, h, m ) , определяющая состояние системы в критической

области, характеризуется обобщенной однородностью относительно основных термодинамических переменных:

Фяп g(t, х, h, т0) = ЬФзт g(bat, Ь"хх, b"hh, b"mm0), (1)

времени t, приведенной температуры т, поля h и начальной намагниченности то, здесь b - фактор подобия, ai - показатели подобия. Как следствие этого, в критической точке (т = 0, h = 0) намагниченность m = —0Ф/ôh характеризуется следующей временной зависимостью:

m(t,m0) = tAah+1)/aFm(mt~am/a ). (2)

Разложение правой части в (2) по малой величине m0tприводит к степенной зависимости

m(t)~ t~('k+am+1)/a ~ f, (3)

где am определяет поведение системы за счет влияния неравновесных начальных состояний.

*Работа поддержана грантом РФФИ № 16-32-00581 мол_а, грантом Президента РФ № МД-6024.2016.2, проектом Министерства образования и науки РФ № 1627, в рамках государственного задания ВУЗам в части проведения научно-исследовательских работ на 2014-2016 гг. Для проведения расчетов были использованы ресурсы суперкомпьютерного комплекса МГУ им. М.В. Ломоносова и межведомственного суперкомпьютерного центра РАН Москвы и Санкт-Петербурга.

© П.В. Прудников, М.А. Шляхтич, 2017

В работе [1] было показано, что если начальное состояние ферромагнитной системы характеризуется достаточно высокой степенью хаотизации спиновых переменных со значением относительной намагниченности т0 << 1, то в критической точке процесс релаксации системы из данного начального неравновесного состояния на макроскопически малых временах будет характеризоваться не уменьшением, а увеличением намагниченности со временем по степенному закону с показателем, характеризуемым новым независимым динамическим критическим индексом

6': m(t) ~ t0, который принимает положительные значения. При этом с увеличением времени коротковременная динамика параметра

порядка при t >> tcr ~ m0~1/(е +p/vz) сменяется на привычную долговременную динамику уменьшения параметра порядка со временем по

степенному закону m(t)~ t~p/vz, с показателем, определяемым статическими критическими индексами fi и v и динамическим критическим индексом z.

Метод коротковременной динамики позволяет получить информацию о критическом поведении системы уже на начальном неравновесном динамическом этапе, не достигая состояния равновесия.

В большинстве работ исследование критического поведения неупорядоченных систем ограничивается рассмотрением низкой концентрации точечных дефектов структуры

[2], что позволяет считать дефекты структуры и создаваемые ими эффекты типа «случайной локальной температуры» гауссовски распределенными и некоррелированными.

Однако неидеальности структуры не могут быть смоделированы с помощью простых некоррелированных дефектов, и вопрос о влиянии на критическое поведение эффектов корреляции дефектов структуры значительно менее исследован. В рамках этой же проблемы возникает задача исследования влияния на критическое поведение протяженных дефектов, таких как линейные дислокации, кластеры точечных дефектов или плоские дефекты структуры, возникающие, например, на границе зерен.

Можно ожидать, что дальнодействую-щая корреляция в пространственном распределении дефектов структуры может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем.

В данной работе исследуется коротко-временная критическая динамика с несохра-няющимся параметром порядка (модель A)

[3] в трехмерных Гейзенберовских магнетиках с дальнодействующей корреляцией дефектов со спиной концентрацией p = 0,8.

Критическое поведение трехмерной неупорядоченной ферромагнитной модели Гейзенберга описывается гамильтонианом

л-лМ- (4)

•и

где = - это трехмерный единич-

ный вектор в узле г, J > 0 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее ферромагнитный характер, рг - случайные переменные, характеризующие замороженный структурный беспорядок в системе (рг = 1, когда узел г занят спином, и рг = 0, когда узел пуст). Наличие дефектов структуры приводит к смене динамики изотропного магнетика, описываемой моделью J, на релаксационную динамику модели А по классификации Гальперина - Хоенберга [3]. Однако согласно критерию Харриса критическое поведение модели Гейзенберга устойчиво относительно влияния точечного некоррелированного структурного беспорядка. В этом плане становится очень важным исследование влияния протяженных примесных структур на критическое поведение характеристик модели Гейзенберга.

Полагается, что дальнодействующие эффекты корреляции между точечными дефектами реализуются в виде случайно ориентированных линий с корреляционными характеристиками, спадающими по степенному закону с показателем а = 2 [4]. Для этого был использован следующий способ создания примесных конфигураций: из заполненной спинами трехмерной решетки случайным образом удалялись линии, параллельные осям координат, до достижения заданной концентрации примесей. Для обеспечения изотропности распределения дефектов в кристалле число удаляемых линий в каждом из трех направлений поддерживалось одинаковым.

В данной работе рассматривались простые кубические решетки с линейным размером Ь = 128. Используемый в работе алгоритм Метрополиса с динамикой односпинового переворота отражает динамику модели А и позволяет сравнить полученное значение критического индекса г с результатами ре-нормгруппового описания неравновесной релаксации этой модели.

На основе ренормгруппового анализа [1] и е-разложения можно ожидать, что основное скейлинговое соотношение для к-го момента намагниченности

т<(к )(г, X, Ь, т) =

= т(к) {Ь'Ч, Ь1/ух, Ь / Ь, Ьх°т0) (5) реализуется после относительно малого макроскопического промежутка времени ^¡с. В уравнении (5) Ь - пространственный масштабный фактор, в и V - статические критические индексы, г - динамический индекс, х0 - новый независимый критический индекс, задающий масштабную размерность начального значения намагниченности то, т = (Т- Тс)/Тс - приведенная температура.

На ранней стадии эволюции системы корреляционная длина еще достаточно мала и конечность размера моделируемой системы оказывается несущественной. Выберем пространственный масштабный фактор в виде Ь = Р/г. Применяя скейлинговую

форму (5) для к = 1 и малой величины V

V 2

получаем следующее выражение:

m(t, х, m ) = m0tf' F (tlNz х, tv 2 m ) =

, _^1/vz_\ , ГЛ/_2 „„ 2

mn

(6)

= mf (1 + atN2х) + O(x2, m ), где в' = (л0 - fi/V)/z.

Для т = 0 и достаточно малых t и m0, скей-линговая зависимость для намагниченности

(6) принимает вид m(t) ~ t0 .

В данной работе измерялась временная эволюция намагниченности, определяемая выражением:

m

(t ) =

!f

1

pË

\\

(7)

где угловые скобки обозначают статистическое усреднение, а квадратные скобки -усреднение по различным примесным конфигурациям.

Двумя другими наблюдаемыми величинами в коротковременной динамике являются второй момент намагниченности т(2)(2),

m

(2) (t) =

1

pË

(8)

и автокорреляционная функция

A (t ) =

«>*)} и

Для конечных систем размерности й с линейным размером решетки Ь второй момент намагниченности m(2)(í,Ь)~Ьd. Сопоставляя этот результат со скейлинговой формой в уравнении (5) для т = 0 и Ь =

получаем ш(2) (?) ~ г- 1р'У2т{1) (1, г-172Ц ~ ^ , где

С = (А - 2Р/V)/г .

Кроме того, тщательный скейлинговый анализ показывает, что автокорреляционная функция спадает по степенному закону А^--™, с = А/г-в'.

Таким образом, исследование коротко-временной эволюции системы из высокотемпературного начального состояния то << 1 позволяет определить динамические индексы г и в' и отношение статических индексов в/у.

Стоит отметить, что динамический процесс, начинающийся с полностью упорядоченного состояния (то = 1), более предпочтителен из-за меньшего влияния флуктуаций на результаты. Для более точного определения критической температуры и критических индексов для трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами в работе [5] было проведено исследование релаксации данной модели из полностью упорядоченного началь-

ного состояния. Были получены значения динамического индекса г и статических индексов в и V. Их значения можно сравнить с результатами моделирования системы из неупорядоченного начального состояния т0 << 1.

В данной работе представлено численное исследование коротковременной динамики трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами на кубической решетке линейного размера Ь = 128. Было проведено моделирование, начиная из высокотемпературного состояния или из состояния с малым значением намагниченности т0 = 10-4, 0,01, 0,02, и 0,03 (рис. 1). Моделирование проводилось при температуре равной критической Т = Тс = 1,197(2) J/kБ. Значение критической температуры было получено с использованием метода кумулянтов Биндера четвертого порядка и методики пересечения кривых §/Ь в работах [5; 6].

0.01

m(t)

0.001

t (MCS/s)

1 ю 100 юоо

Рис. 1. Эволюция намагниченности для различных начальных состояний то = 10-4 (1); 0,01 (2); 0,02 (3); 0,03 (4)

Для независимого определения динамического критического индекса г и отношения в/v были исследованы временные зависимости второго момента намагниченности т(2)(^ и автокорреляционной функции А(1) для систем, для которых моделирование начиналось из высокотемпературного состояния т0 << 1 (фактически из состояния т0 = 10-4). При эволюции системы из начального неупорядоченного состояния справедливы скейлинговые зависимости для намагниченности т(^, второго момента намагниченности т(2)(^ и автокорреляционной функции А(1) в коротковре-менном режиме, приведенные выше.

Поскольку начальная спиновая конфигурация с намагниченностью т0 должна быть неравновесной, для ее получения был применен следующий алгоритм: с помощью алгоритма Вольфа при температуре Т = 1,45 J/kв, близкой к критической Тс = 1,197 J/kБ [5; 6], система из начального, полностью упорядоченного состояния приводилась к состоянию с намагниченностью т, близкой к т0, а затем переворотом отдельных спинов получалось состояние с намагниченностью т0. Полученная конфигурация сохранялась, и для нее проводилось моделирование до 2000 МС8/в

(шагов Монте-Карло на спин) с помощью алгоритма Метрополиса при температуре Тс = 1,197 ^кв .

В данной работе измерялась эволюция намагниченности т(^ с начальных состояний то = 0,0001, 0,01, 0,02, и 0,03, второй момент намагниченности т(2)(2) и автокорреляционная функция А(Ц с т0 = 0,0001 до t = 2000 MCS/s. Полученные кривые для намагниченности т(^ представлены на рис. 1, для т(2)(-) - на рис. 2, а и для А(И) - на рис. 2,6, они построены в двойном логарифмическом масштабе. Эти кривые были получены усреднением по 1500 конфигурациям примеси, для каждой из которых усреднение проводилось по 25 прогонкам. Наиболее распространенными в нашей стране вычислительными системами являются кластерные. Для подобных систем задача о критическом поведении неупорядоченных систем допускает крупноблочную декомпозицию. Наиболее эффективная параллелизация методов Монте-Карло возникает при расчете примесной конфигурации со статистическими прогонками на отдельном процессорном элементе. При этом подходе отсутствуют межсетевые обмены между процессорными элементами. Уникальной особенностью методов Монте-Карло является высокая эффективность вычислений на очень большом числе процессорных элементов.

10

10"4 m(2,(t)

0.1

0.01

: (а)

• • • • t (MCS/s) ;

ю

100

юоо

0.1 A(t)

0.01

.■nil i i ....... i ii • ...... ......... 1 1 .

• (б) :

t (mcs/s) : .................

1 10 100 1000 Рис. 2. Эволюция второго момента намагниченности m(2)(t) (а) и автокорреляционной функции A(t) (б) для L = 128 с начальной намагниченностью mo = 0,0001

В результате линейной аппроксимации этих кривых на интервале t е [1200; 1900] MCS/s были получены значения показателя & =0,424(32), & = 0,316(28), & = 0,215(30) и & = 0,144(26), соответственно для начальных состояний с т0 = 10-4, 0,01, 0,02, и 0,03, и индексы С2 = 0,847(31) и Са = 0,884(23). Итоговое значение 0' = 0,417(31) было получено путем экстраполяции к т0 = 0. При использовании соотношений, связывающих показатели Са, с2 и & с критическими индексами, были определены значения в/и = 0,523(72) и г = 2,306(231).

Интервал, на которым были получены данные индексы, выбирался из минимума среднеквадратичной погрешности аппроксимации исследуемых величин. Зависимости среднеквадратичной погрешности линейной аппроксимации а , ас2 и ав, , при моделировании из начального состояния с т0 = 10-4, от выбора временного интервала приведены на рис. 3.

0.045

0.040

0.035

0.030

......... з ■ • • • • • •

..... • • • • • • ...........V .:

1000

1100

1200

1300

1400

1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600

Рис. 3. Зависимость среднеквадратичной погрешности линейной аппроксимации для автокорреляционной функции A(t) (а), второго момента намагниченности m(2)(f) (б) и намагниченности m(t) (в) от выбора временного интервала t е [t/e/t;1900]

На следующем этапе работы осуществлялся расчет поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем. Для этого применялось следующее выражение для временной зависимости наблюдаемых величин Х(И):

X (г) = Д/(1 + Б/г),

(10)

где о является критическим индексом поправки к скейлингу, Ах и Бх - коэффициенты разложения, показатель 5 = в' в случае X = т(^, 5 = С2 в случае X = т(2)(^ и 5 = -са в случае X = А(И). Это выражение отражает скейлинговое преобразование в критической области зависящих от времени поправок к

« +-ю/г г

скейлингу в виде ? к обычному виду по-

V _

правок т в равновесном состоянии за время ^ сравнимое со временем релаксации

параметра порядка ~ ^0,(к%) [3].

При анализе полученных кривых была использована схема линейной аппроксимации для зависимости Х^ от при изменении значений показателя 5, а также критического индекса а/г. Процедура расчета критического индекса а заключалась в следующем:

1. Временной интервал влияния дефектов структуры был разбит на всевозможные участки Дt с длинами от 100 MCS/s до 1900 МС8/в.

2. На каждом из участков был проведен поиск показателя 5 для фиксированного значения а/ г. Поиск был осуществлен из условия минимума среднеквадратичных отклонений процедуры аппроксимации 05.

3. Найденные значения 5 были усреднены по выбранным участкам с определением среднего значения <5> и относительной погрешности Д5.

4. Индекс а/ г был определен из условия минимальности значений относительных погрешностей Д5.

Для нахождения зависимости относительных погрешностей Д5 для фиксированных значений а/ г будем рассматривать различные разбиения отрезка t е [100, 2000] на интервалы различной длины. Рассмотрим интервалы с длиной от 100 MCS/s до максимально возможной длины 1900 MCS/s. На каждом из таких отрезков будем искать минимум среднеквадратичной погрешности аппроксимации. Далее отбросим все интервалы, на которых минимум не был найден, и будем использовать значения показателя, полученного на тех интервалах, которые доставляют минимум среднеквадратичной погрешности аппроксимации. Найдем среднее значение показателя 5 по этим интервалам, а также значения относительных погрешностей Д5, при этом учитывать вклад от интервалов разной длины в эти значения можно,

введя весовые множители, пропорциональные длинам интервалов. Для аппроксимации использовался метод наименьших квадратов. Плотность функции распределения изображена на рис. 4 на примере р(в'), при моделировании из начального состояния с т = 10-4.

Рис. 4. Плотность функции распределения р(в) для различных временных интервалов (Сплошная линия соответствует среднему значению показателя по различным временным интервалам в' = 0,431.)

На рис. 5,а представлена зависимость среднеквадратичной погрешности о линейной аппроксимации поведения намагниченности т(И) от показателя в' для т0 = 0,01 на интервале t е [500, 2000] для а/г = 0,200, 0,230, 0,260.

Рис. 5. Зависимость среднеквадратичной погрешности ов-линейной аппроксимации (а) и относительной погрешности Дв' (б) для начального состояния т0 = 0,01 для различных значений ш / г

На рис. 5,6 представлена зависимость глобальной среднеквадратичной погрешности Ав' при моделировании из начального состояния с то = 0,01, минимум достигается при а/г = 0,230 на интервале í е [500, 2000]. Минимуму глобальной среднеквадратичной погрешности А5 достигается при а/г = 0,300 на интервале í е [100, 2000] при моделировании из начального состояния с т0 = 0,02, при а/г = 0,160 на интервале í е [900, 2000] при моделировании из начального состояния с т = 0,03.

Минимум зависимости глобальной среднеквадратичной погрешности Аса достигается при а/г = 0,260 на интервале í е [100, 2000]. Исследование зависимости глобальной среднеквадратичной погрешности Ао2 от а/ г показало, что минимум достигается при а/г = 0,200 на интервале í е [1200, 2000].

В результате процедуры нахождения коррекции к скейлингу для критического индекса в' при моделировании из состояния с т0 = 10-4 минимум Ав' не достигается. Значения показателя без учета поправки к скейлингу в' = 0,424(32) и итоговое значение в' = 0,453(26), полученное в результате экстраполяции к т0 = 0, в пределах погрешностей совпадают. Это говорит о том, что для

Представленные результаты компьютерного моделирования говорят о том, что метод коротковременной динамики может быть применен для исследования критических свойств систем с дальнодействующей корреляцией дефектов. В таблице приведены значения статических и динамического индексов, полученные в работах [5; 9; 10] для однородной модели Гейзенберга. Полученные значения показателей демонстрируют сильное влияние дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение систем, описываемых многокомпонентным параметром порядка. В результате широкий класс неупорядоченных систем может характеризоваться новым типом критического поведения.

Сравнивая значения критических индексов для сильно и слабо неупорядоченной модели Гейзенберга, можно сделать вывод,

малых значений т0 конечность размера моделируемой системы оказывается несущественной. Итоговые значения критических индексов г = 2,166(85), в/и = 0,580(75) и в' = 0,477(32) были получены с использованием среднего значения показателя а/г = 0,253(15).

В данной работе было проведено компьютерное моделирование методом коротко-временной динамики с использованием методов Монте-Карло для трехмерной неупорядоченной модели Гейзенберга с дальнодей-ствующей корреляцией дефектов. В качестве начального состояния было выбрано высокотемпературное состояние с т0 << 1. Концентрация спинов в системе поддерживалась равной р = 0,8. Была исследована эволюция намагниченности т(^, второго момента намагниченности т<2)(<) и автокорреляционной функции А(И). В таблице приведены значения полученных критических индексов г, 0', в/ V, V, в и а. Для сравнения в таблице приведены значения критических индексов, полученные в работе [7] в результате проведенного теоретико-полевого описания модели.

Данные значения в пределах погрешностей находятся в хорошем согласии с результатами теоретических расчетов.

что данные системы принадлежат к разным

классам универсальности.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Janssen H. K., Schaub B., Schmittmann B. New universal short-time scaling behaviour of critical relaxation processes // Z. Phys. B. 1989. Vol. 73. P. 539.

[2] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Krinitsyn A. S, et. al. Short-time dynamics and critical behavior of the three-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. P. 011130.

[3] Hohenberg P.C., Halperin B.I. Theory of dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. Vol. 49. P. 435-479.

[4] Weinrib A., Halperin B.I. Critical phenomena in systems with long-range-correlated quenched disorder // Phys. Rev. B. 1983. Vol. 27. P. 413.

[5] Prudnikov P. V., Medvedeva M. A. Non-equilibrium critical relaxation of the 3D Heisenberg magnets with long-range correlated disorder // Progr. Theor. Phys. 2012. Vol. 127, № 3. P. 369-382.

Значения полученных критических индексов и сравнение их с результатами моделирования методом Монте-Карло (МК) и ренормгруппового подхода (РГ)

z в' в / V V в ш

Слабо неупо рядоченная система p = 0,80

mo << 1 2,320(153) 0,453(26) 0,467(39) 0,548(75)

mo = 1, [5] 2,257(61) 0,510(78) 0,770(74) 0,393(77) 0,786(45)

Prudnikov et al., 2000, [7] (РГ) 2,264 0,482 0,798 0,362

Прудников и др., 2010, [8] (РГ) 2,291(29) 0,490(5) 0,766(17) 0,375(5)

Однородная система

Prudnikov et al., 2012, [5] (МК) 2,049(31) 0,510(10) 0,705(26) 0,360(9)

Fernandes et al., 2006, [9] (МК) 1,976(9) 0,482(3) 0,687(6) 0,361(2)

Chen et al., 1993, [10] (МК) 0,516(10) 0,705(3) 0,364(5)

[6] Прудников В. В., Прудников П. В., Медведева М. А., Желтышев П. А. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами методом коротковременной динамики // Вестн. Ом. ун-та. 2008. №. 4. С. 29-34.

[7] Prudnikov V. V, Prudnikov P. V, Fedorenko A. A. Field-theory approach to critical behavior of systems with long-range correlated defects // Phys. Rev. B. 2000. Vol. 62. P. 8777.

[8] Прудников П. В., Яковлев М. И., Бакланов А. В. Воронина А. О., Горохова О.В. Теоретический

расчет критических характеристик неупорядоченной системы с дальнодействующей корреляцией дефектов // Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 2. С. 62-68.

[9] Fernandes H. A., Roberto da Silva, Drugowich J. R. de Felicio Short-time critical and coarsening dynamics of the classical three-dimensional Heisenberg model // J. Stat. Mech. : Theory and Experiment. 2006. Vol. 10. P. 10002.

[10] Chen K., Ferrenberg A. M, Landau D. P. Static critical behavior of three-dimensional classical Heisenberg models: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 48. P. 3249.