Численное исследование влияния эффектов корреляции дефектов структуры на критическую динамику модели Гейзенберга Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 4. С. 70-75.

УДК 539.173

П.В. Прудников, М.А. Медведева, П.А. Желты шее

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ЧИСЛБННОБ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ЭФФЕКТОВ КОРРЕЛЯЦИИ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ НА КРИТИЧЕСКУЮ ДИНАМИКУ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА*

Проведено численное исследование методами Монте-Карло неравновесной критической динамики модели Гейзенберга с линейными дефектами структуры.

Ключевые слова: Методы Монте-Карло, неупорядоченные системы, коротковременная динамика, модель Г ейзенберга, протяженные дефекты структуры.

Известно, что в критической точке, наряду с особенностями равновесных характеристик, сингулярное поведение демонстрируют кинетические коэффициенты и динамические функции отклика, что обусловлено аномально большими временами релаксации сильно флуктуирующих величин. Однако исследование динамических свойств критических флуктуаций сталкивается с трудностями более сложными, чем при описании равновесных характеристик. Это вызвано необходимостью учета взаимодействия флуктуаций параметра порядка с другими долгоживущими возбуждениями. В этом плане динамическое критическое поведение модели Гейзенберга, описывающей важный класс изотропных магнетиков, значительно менее изучено по сравнению с исследованиями статических свойств [1]. В данной работе представлено численное исследование влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение сложных систем, описываемых моделью Гейзенберга.

Наличие дефектов структуры приводит к смене динамики изотропного магнетика, описываемой моделью Л, на релаксационную динамику модели А по классификации Гальперина-Хоенберга [2]. Однако, согласно критерию Харриса критическое поведение модели Гейзенберга устойчиво относительно влияния точеного некоррелированного структурного беспорядка. В этом плане актуализируется важность исследования влияния протяженных примесных структур на релаксационное динамическое поведение модели Гейзенберга.

Для описания сложных протяженных дефектов вводятся различные модели структурного беспорядка. В данной работе исследуется модель Вейнриба-Гальперина с так называемой дальнодействующей изотропной корреляцией дефектов [3], когда парная корреляционная функция д(х-у) спадает с расстоянием по степенному закону с

* Работа поддержана грантами Министерства образования и науки РФ 2.1.1/930 и 02.740.11.0541, грантами РФФИ 10-02-00507, 10-02-00787 и грантом Президента РФ МК-3815.2010.2.

© П.В. Прудников, М.А. Медведева, П.А. Желтышев, 2010

g(x-y)~|x-y| _ ", где а - параметр корреляции дефектов структуры. При наличии в системе протяженных дефектов - дислокаций или плоскостей, ориентированных случайным образом, её критическое поведение может быть также описано в рамках модели Вейнриба-Гальперина при значениях параметра корреляции а = й - 1 или а = с1-2, соответственно, где с? - размерность системы. В проведенном в нашей работе [4] теоретико-полевом исследовании трёхмерных систем с дальнодейст-вующей корреляцией дефектов в двухпетлевом приближении было показано, что дефекты, обладающие свойством дальней пространственной корреляции, изменяют критическое поведение не только систем с однокомпонентным параметром порядка, как в случае точечных дефектов, но и систем с многокомпонентными параметрами порядка.

В данной работе исследуется неравновесное поведение структурно неупорядоченной спиновой системы, описываемой моделью Гейзенберга, с гамильтонианом

Я = -./£ Р,Р^,^ , (1)

* > 7

где = (Б^Б?) - трехмерный единич-

ный вектор в узле I, J> О характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее ферромагнитный характер, р, - случайные переменные, характеризующие замороженный структурный беспорядок в системе (р, = 1, когда узел I занят спином, и р,= О, когда узел пуст). Общая спиновая концентрация в системе была выбрана равной р= 0.80. Полагается, что дальнодействующие эффекты корреляции между точечными дефектами реализуются в виде случайно ориентированных линий с корреляционными характеристиками, спадающими по степенному закону с показателем а = 2. Для этого был использован следующий способ создания примесных конфигураций: из заполненной спинами трехмерной решетки случайным образом удалялись линии, параллельные осям координат, до достижения заданной концентрации примесей. Для обеспечения изотропности распределения дефектов в кристалле число удаляемых линий в каждом из трех направлений поддерживалось одинаковым.

Для получения значений динамического и статических критических индек-

сов в данной работе был применен метод коротковременной динамики (МКД). Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (от 1000 до 2000 шагов Монте-Карло на спин (MCS)) на ранней стадии развития системы в критической точке или её окрестности.

Наиболее распространенными в нашей стране вычислительными системами являются кластерные. Для подобных систем задача о критическом поведении неупорядоченных систем допускает крупноблочную декомпозицию. Наиболее эффективная параллелизация методов Монте-Карло возникает при расчете примесной конфигурации со статистическими прогонками на отдельном процессорном элементе. При этом подходе отсутствуют межсетевые обмены между процессорными элементами. Уникальной особенностью методов Монте-Карло является высокая эффективность вычислений на очень большом числе процессорных элементов.

В данной работе проводилось моделирование неравновесного критического поведения методом коротковременной динамики с применением крупноблочной декомпозиции.

В работе [5] на основе ренормгруппо-вого анализа было показано, что после микроскопически малого промежутка времени tmic в для k-го момента намагниченности системы реализуется скейлинго-вая форма

(t,T ,L,m0) =

= b-kplvm{k){b-zt,bllvT,b-lL,bx°m0), (2) где t - время, i= (Т- Тс)/Тс - приведенная температура; Ъ - произвольный масштабный фактор; L - линейный размер решетки, Jв, и, z — известные критические индексы, хо - новый независимый критический индекс, задающий масштабную размерность начального значения намагниченности то.

На ранней стадии эволюции системы корреляционная длина ещё достаточна мала и конечность размера моделируемой системы оказывается несущественной. Полагая в (2) Ъ = V /z, для первого момента намагниченности (к =1) и малой величины mot1!2 получаем следующее выражение:

т^,т,т0) ~ т(/в(1 + а^1/ггт),

где 0 - новый независимый динамический критический индекс, характеризующий увеличение намагниченности на начальных этапах эволюции системы, 6= (хо -$/и) /г. Для г—>0 и достаточно малых г получаем асимптотическое поведение

/77 (У) ~ I" . Временной интервал увеличения

намагниченности tn

m

С увеличе-

'0 '"о

нием времени коротко-временная динамика увеличения параметра порядка сменяется на привычную долговременную динамику уменьшения параметра порядка со временем по степенному закону

т(!) ~ I /7 ЯУ с показателем, определяемым отношением _/3 / гу со статическими критическими индексами _/3 и и и динамическим критическим индексом г. На рис. 1 представлен пример неравновесной эволюции намагниченности т(1) из состояния с начальной намагниченностью то = 0.003 однородной и неупорядоченной модели Гейзенберга с линейными дефектами.

ю

100

1000

10000

100000

Рис. 1. Неравновесная эволюция намагниченности т(0 из состояния с /77о=0,03 однородной (1) и неупорядоченной (2) системы с линейными дефектами

Для неупорядоченных систем вычисление т(к,(/) осуществляется в виде

1 Ns

— 2 PiS

s i=1

(3)

где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по спиновым конфигурациям, а квадратные скобки - усреднение по различным реализациям распределения дефектов структуры в системе при заданной спиновой концентрации р, Ыв = рЬ3 - число спинов в решетке.

Начальное состояние системы выбирается обычно либо с то« 1, либо с 7?7о= 1. В данной работе для рассчитанного в [6] значения критической температуры Тс= 1.197(2) было проведено моделирование критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами, как из полностью упорядоченного начального состояния, так и из неупорядоченного состояния, характеризующегося малым значением начальной намагниченности.

При эволюции системы из начального неупорядоченного состояния справедливы следующие скейлинговые зависимости для намагниченности m(t), второго момента намагниченности m(2>(t) и автокорреляционной функции A(t):

m(t) ~te,

m

(2)

(4)

t

где С2 =(6, - 2$/\)/г, Са =с1/г - в. Использование данных зависимостей позволяет определить показатели 0, с./ и са, а на их основе вычислить и критические индексы

А/ и, г, хо.

Для вычисления критических индексов для модели Гейзнберга с линейными дефектами было реализовано компьютерное моделирование решетки с размером Ь= 128 и концентрацией спинов р = 0.8 при различных значениях начальной намагниченности /по = 0.01, 0.02, 0.03 и 7770= 0.0001. Исследование эволюции системы осуществлялось на временном интервале в 2000 шагов Монте-Карло на спин (МСЗ/э).

На рис. 2 представлены в двойном логарифмическом масштабе временные зависимости для намагниченостей системы. Они позволяют определять показатели 0(тт7о) и их асимптотическое значение 0(т77о->О) на основе линейной аппроксимации значений 0(т77о) при 777/,->0. Аналогично для данной системы, стартующей из неравновесного начального состояния с близким к нулю значением то =0.0001, исследовались временные зависимости второго момента намагниченности 777<2)(^ и автокорреляционной функции А(1:). Аппроксимация линейных участков данных зависимостей позволяет определять значения показателей са и с>. Полученные значения показателей приведены на с. 73.

С

a

Для получения средних значений вычисляемых термодинамических величин осуществлялось усреднение по 1400 примесным конфигурациям при 25 дополнительных прогонках для каждой примесной конфигурации. Наряду с погрешностью аппроксимации для показателей определялась их статистическая погрешность. Для этого общее количество используемых для усреднения примесных конфигураций делилось на 5 групп. Для каждой из групп вычислялись показатели, а затем вычислялись значения критических показателей и погрешностей их определения. Существенное снижение отклонений статистически независимых групп от среднего значения при увеличении статистики представлено на рис. 3.

Значения критических показателей трехмерной неупорядоченной модели Гейзенберга

с линейными дефектами структуры

моделирование из неупорядоченного состояния

т0 0 c2 ca z p/v 00

0.03 0.02 0.01 /77о->0 0.115(12) 0.192(16) 0.285(12) 0.365(71) 0.903(35) 0.893(39) 2.330(72) 0.457(60) 0.275(14)

моделирование из упорядоченного состояния

однородная система t=[15, 35]

d/z (3/vz 1/vz I Z p/v P V

1.444(16) 0.249(1) 2.077(23) 0.517(8)

________________________________неупорядоченная система t=[80, 300]________________________________

1.217(12) 0.150(1) 0.483(22) | 2.464(27) 0.370(47) 0.311(18) 0.840(5~

___________________неупорядоченная система, процедура коррекции к скеилингу____________________

1.313(26) 0.186(8) 0.580(21) | 2.285(45) 0.457(60) 0.324(38) 0.755(42Т

_______теоретико-полевое описание модели Гейзенберга с протяженными дефектами [4]______________

| 2.264 0.454 0.362 0.798~

Рис. 2. Временная эволюция намагниченности из начального неупорядоченного состояния для различных значений то

Рис. 3. Временные зависимости среднего значения намагниченности (сплошная линия) и пяти статистически независимых групп (штриховая линия), полученные путем усреднения по 900 (а) и 1400 (Ь) примесным конфигурациям для т0 = 0.01

В случае моделирования из полностью упорядоченного состояния исследовались намагниченность тп(1), кумулянт Биндера второго порядка и^(1)=т!-)/ (т)--1 и логарифмическая производная намагниченности (\lnrn, временные зависимости которых характеризуются следующими скейлинговыми зависимостями:

тЦ)~гР'=у,

d / Z

U(t) ~ t 4~\nm(t,z)\T=0'

ОТ

(5)

t

11ZV

Численное определение намагниченности, её логарифмической производной и кумулянта Биндера позволяет рассчитать динамический индекс г и статические индексы _/3 и и.

Для независимого расчета динамического индекса г в работе проводился расчет кумулянта Р>(1) [7]:

’(2)(0

F2{t) =

т0 =0

j{d-2p! v)! z

Mo]

= tdlz. (6)

j-2/З! vz

m0= 0

Значение индекса z, полученное из поведения кумулянта FJi) предпочтительнее значения, полученного из поведения UJi) т. к. эволюция FJi) меньше подвержена влиянию флуктуаций. Временное поведение кумулянтя FJi) представлено на рис. 4.

0.00100

F2(t)

о.ооою

0.00001

10 100 /(МСЫ) 1000

Рис. 4. Временное поведение кумулянта Гг(О в двойном логарифмическом масштабе

Усреднение вычисляемых величин проводилось по 3800 различным примесным конфигурациям и 25 прогонкам для каждой примесной конфигурации.

В коротковременной динамике неупорядоченной системы в отличие от поведения однородных систем может быть выявлено два универсальных динамических критических режима: на раннем

временном интервале t= [15, 35] реализуется критическое релаксационное поведение, соответствующее поведению однородной системы, а лишь затем, проходя через режим кроссоверного поведения, в интервале t = [80, 300] реализуется динамический режим критического поведения неупорядоченной системы с эффектами дальнодействующей корреляции. В таблице приведены полученные для данных динамических режимов значения критических показателей fi/vz для намагниченности, d/z для кумулянта Биндера и 1/vz для логарифмической производной намагниченности и рассчитанные значения критических индексов z, fi/ v, j8 и и.

В данной работе также осуществлялся расчет поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем, так как только учет данных поправок к скейлингу позволяет получать корректные значения критических индексов. Для этого применялось следующее выражение для временной зависимости наблюдаемых величин X(t):

X(t)~ts(\ + Ax-ra,s), (7)

где Ах - неуниверсальные амплитуды, a -критический индекс поправки к скейлингу, а показатель 6 = - fi/vz в случае X = m(i), 8 = d / z в случае X = F2(t) и

<5 = 1 / vz в случае X = cklnm .

При анализе полученных кривых используется схема линейной аппроксимации для зависимости {ХГ°) от I й> " при изменении значений показателя б, а также критического индекса co/z. Проводилось исследование зависимости среднеквадратичных погрешностей Об процедуры аппроксимации от изменения значений показателей б и co/z. На рис. 5а представлена для примера зависимость среднеквадратичной погрешности о линейной аппроксимации поведения кумулянта Fa(t) от показателя d/z для со / z = 0.220 на интервале t=[80, 300]. Глобальная

среднеквадратичная погрешность Д,|/2 определяется по og для всех интервалов и по минимуму ДС1/2 рассчитываются итоговые значения 8. Полученные на основе данной процедуры критические показатели представлены в таблице. На рис. 5Ъ демонстрируется минимум глобальной среднеквадратичной погрешности Дс1/2 для кумулянта F2(t).

0.00008

0.00006

(а)

Л z

0.4 0.8 1 2 1.6 2 0

Рис. 5. Зависимость среднеквадратичной погрешности о линейной аппроксимации поведения кумулянта Рг(0 от показателя d/z для u>/z=0.220 на интервале f=[80, 300] (а) и зависимость глобальной среднеквадратичной погрешности Ad/z для всех интервалов от показателя oo/z

В данной работе впервые был получен новый независимый динамический критический индекс 0 = 0.365(71) для модели Гейзенберга с линейными дефектами. Полученные для неупорядоченной модели усредненные итоговые значения критических индексов г =2.308(82), и = 0.755(42), А = 0.324(38) и _/3/ V =0.443(63), как видно из таблицы, хорошо согласуются в пределах статистических погрешностей с результатами теоретико-полевого рассчета [4].

Численные исследования были проведены с привлечением ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев» и Межведомственного супер-компьютерного центра РАН.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Chen K., Ferrenberg A. M., Landau D. P. // Phys. Rev. B. 1993. V. 48. P. 3249.

[2] Hohenberg P.C., Halperin B.I. // Rev. Mod. Phys. 1977. V. 49. P. 435.

[3] Weinrib A., Halperin B. I. // Phys. Rev. B. 1983. V. 27. P. 413.

[4] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Fedorenko A. A. // Phys.Rev. B. 2000. V. 62. P. 8777.

[5] Janssen H. K., Schaub B., Schmittmann B. // Z. Phys. B. 1989. V. 73. P. 539.

[6] Прудников П. В., Медведева М. А., Желты-шев П. А. // Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 4. С. 90.

[7] da Silva R., Alves N.A., Drugowich de Felicio J.R. // Phys. Lett. A. 2002. V. 298. P. 325.