Численное исследование неравновесного критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2008. № 4. С. 108-113.

УДК 539.173

П.В. Прудников, М.А. Медведева, П.А. Желтышев

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОГО КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА С ЛИНЕЙНЫМИ ДЕФЕКТАМИ*

Осуществлено компьютерное моделирование неравновесного критического поведения неупорядоченной трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами. Проведен расчет нового динамического критического индекса в, динамического индекса г и статических индексов в и V для систем с дальнодействующей корреляцией дефектов.

Ключевые слова: методы Монте-Карло, фазовые переходы и критические явления, неупорядоченные системы, коротковременная динамика, модель Гейзенберга, протяженные дефекты структуры.

В последние годы много теоретических и экспериментальных работ было посвящено исследованию влияния замороженных дефектов структуры на критическое поведение твердых тел. В большинстве работ исследование ограничивается рассмотрением дефектов как точечных и пространственно некоррелированных. В то же время вопрос о влиянии на критическое поведение эффектов корреляции дефектов значительно менее исследован. В рамках этой же проблемы можно поставить вопрос о влиянии на критическое поведение протяженных дефектов, таких как дислокации или плоские дефекты структуры, возникающие, например, на границе зерен. Можно ожидать, что дальнодействующая корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем. В силу этого к моделям систем с дальнодействующей корреляцией дефектов существует несомненный интерес как с общетеоретической точки зрения выявления новых типов критического поведения в неупорядоченных системах, так и с точки зрения реальной возможности проявления дальнодействующей корреляции дефектов в полимерах [1], Не4 в аэрогеле [2], и неупорядоченных твердых телах с дефектами фракталоподобного типа [3].

Различные модели структурного беспорядка вводятся для описания таких сложных протяженных дефектов. В данной работе исследуется модель Вейнриба-Гальперина с так называемой дальнодействующей изотропной корреляцией дефектов [4], когда парная корреляционная функция д(х-у) спадает с расстоянием по степенному закону с д(х-у)~\х-у \ -а , где а - параметр корреляции дефектов структуры. При

© П.В. Прудников, М.А. Медведева, П.А. Желтышев, 2009

* Работа поддержана грантом 2.1.1/930 программы «Развитие научного потенциала высшей школы»

наличии в системе протяженных дефектов - дислокаций или плоскостей, ориентированных случайным образом, её критическое поведение может быть также описано в рамках модели Вейнриба-Гальперина при значениях параметра корреляции a = d-1 или a = d-2, соответственно, где d - размерность системы. В работе [4] впервые с применением метода £-разложения было показано, что дально-действующая изотропная корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем, а проведенное в нашей работе [5] теоретикополевое описание непосредственно трехмерных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов в двухпетлевом приближении позволило получить более достоверные значения индексов статического и динамического критического поведения для систем с различными значениями параметра корреляции a. В работе показано, что дефекты, обладающие свойством дальней пространственной корреляции, изменяют критическое поведение не только систем с однокомпонентным параметром порядка, как в случае точечных дефектов, но и систем с многокомпонентными параметрами порядка.

В данной работе исследуется неравновесное поведение структурно неупорядоченной спиновой системы, описываемой моделью Гейзенберга, с гамильтонианом

Н = - , (1)

*,7

где = (Б*, БУ, Б?) - это трехмерный единичный вектор в узле i, J>0 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее ферромагнитный характер, pi - случайные переменные, характеризующие замороженный структурный беспорядок в системе pi=1, когда узел i занят спином, и pi=0, когда узел пуст). Общая спиновая концентрация в системе была выбрана равной p=0,80. Полагается, что дальнодействующие эффекты корреляции между точечными дефектами реализуются в виде случайно ориентированных линий с корреляционными характеристиками, спадающими по степенному закону с показателем a=2. Для этого был использован следующий способ создания примесных конфигураций: из заполнен-

ной спинами трехмерной решетки случайным образом удалялись линии, параллельные осям координат, до достижения заданной концентрации примесей. Для обеспечения изотропности распределения дефектов в кристалле число удаляемых линий в каждом из трех направлений поддерживалось одинаковым.

Для моделирования спиновых конфигураций в системе был применен алгоритм Метрополиса. Нами была исследована релаксационная динамика системы, описываемая моделью А в классификации моделей критической динамики, проведенной Хоэнбергом и Гальпериным

[6]. Алгоритм Метрополиса, реализующий динамику односпиновых переворотов, наилучшим образом соответствует релаксационной модели А и позволяет нам провести сравнение получаемого в результате моделирования критической релаксации системы динамического критического индекса z с результатами нашего ренорм-группового описания [5] критической динамики модели А для систем с пространственно некоррелированным распределением дефектов структуры. Для получения значений динамического и статических критических индексов в данной работе был применен метод коротковременной динамики (МКД). Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (от 1000 до 2000 шагов Монте-Карло на спин (МСБ)) на ранней стадии развития системы в критической точке или её окрестности.

В работе [7] на основе ренормгруппо-вого анализа было показано, что после микроскопически малого промежутка времени тю для ^го момента намагниченности системы реализуется скейлинго-вая форма

М(к )(^, т, Ь, т0) =

= Ъ-кв,уМ(к)(Ъ-гГ, Ьшт, Ъ-Ь, ЬХ0т0), (2)

где t - время, г=(Т-Тс)/Тс - приведенная температура, Ь - произвольный масштабный фактор, Ь - линейный размер решетки, в, V, г - известные критические индексы, хо - новый независимый критический индекс, задающий масштабную размерность начального значения намагниченности то.

Для неупорядоченных систем вычисление M(1с )(^) осуществляется в виде

M(k)(t) =

ґ

1

N„

\

k

V Ns i=1

Z p<S<

У

(3)

где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по спиновым конфигурациям, а квадратные скобки - усреднение по различным реализациям распределения дефектов структуры в системе при заданной спиновой концентрации p, Ns=pL3 - число спинов в решетке.

Начальное состояние системы выбирается обычно либо с mo<< 1, либо с mo=1. В данной работе для рассчитанного в [8] значения критической температуры Гс=1,197(2) было проведено моделирование критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами как из полностью упорядоченного начального состояния, так и из неупорядоченного состояния, характеризующегося малым значением начальной намагниченности.

При эволюции системы из начального неупорядоченного состояния из скейлин-говой формы (2) при к=1 с учетом выражения для размерного коэффициента

b = t1z может быть получено соотношение, определяющее временную зависимость намагниченности:

M (t, т, m0) = t~p/zvM(l, t1 zvr, txo/zm0), (4)

а для mo, близкого к нулю, и малой величины tx°/ zm0 выражение (4) принимает вид:

M(t,т,m)=m0t(-p/vVzM(tï/zvT)+O\tx>1 zm0]2] (5)

Для систем с достаточно большими размерами L при критической температуре асимптотическая временная зависимость намагниченности принимает вид

m(t) ~ te, где в - новый независимый динамический критический индекс, характеризующий увеличение намагниченности на начальных этапах эволюции системы, e=(xo-fi/u)/z. Аналогично, наиболее интересные для моделирования физические величины, второй момент намагниченности и автокорреляционная функция характеризуются зависимостью:

M(2)(t) ~ t~2evM(2) (1, t~l!zL) ~ tc

A(t ) = —

Ns

Z p,S, (t )S, (0)

t

(6)

где С2 =(d - 2fi/v)/z, Са =d/z - в. Использование данных зависимостей позволяет определить показатели в, С2 и Сa, а на их основе вычислить и критические индексы в/v, г, хо. Отметим, что асимптотическое временное поведение намагниченности в (5) определено в пределе малых начальных значений намагниченности при m0 ^ 0 .

Для вычисления критических индексов для модели Гейзенберга с линейными дефектами было реализовано компьютерное моделирование решетки с размером Ь=128 и концентрацией спинов р=0,8 при различных значениях начальной намагниченности то=0,01, 0,02, 0,03 и то=0,0001. Исследование эволюции система: осуществлялось на временном интервале в 2000 шагов Монте-Карло на спин. Для получения средних значений вычисляемых термодинамических величин осуществлялось усреднение по 100 примесным конфигурациям при 25 дополнительных прогонках для каждой примесной конфигурации.

Рис. 1. Временная эволюция намагниченности из начального неупорядоченного состояния для различных значений то На рис. 1 представлены в двойном логарифмическом масштабе временные зависимости для намагниченостей системы. Они позволяют определять показатели 9(то) и их асимптотическое значение в(то^0) на основе линейной аппроксимации значений в(то) при то^0. На рис. 2 для данной системы, стартующей из не-

2

a

равновесного начального состояния с близким к нулю значением то=0,0001, представлены временные зависимости для второго момента намагниченности М2)(ї) и автокорреляционной функции Л(Ц, также изображенные в двойном логарифмическом масштабе. Аппроксимация линейных участков данных зависимостей позволяет определять значения показате-

лей Са и С2. Полученные значения показателей приведены в таблице 1. На основе данных показателей были получены динамические критические индексы для модели Гейзенберга с линейными дефектами 6=0,367(22), 2=2,381(95) и

.£/1=0,417(54).

Рис. 2. Временное поведение второго момента намагниченности Мр\^ (а) и автокорреляционной функции А(() (Ь) в двойном логарифмическом масштабе

Т а б л и ц а 1

Значения критических показателей трехмерной неупорядоченной модели Гейзенберга

с линейными дефектами структуры

т 0 С2 > С!^ N сС О

[700-1800] [100-1900] [300-1900]

0,03 0,136(17)

0,02 0,193(15)

0,01 0,292(12)

тэ^0 0,367(22) 0,910(22) 0,901(8) 2,381(95) 0,417(54)

В случае моделирования из полностью упорядоченного состояния, начальное состояние соответствует Т=0 (когда все

спины ориентированы в одном направлении). Используя в (2) то=1, а также выбирая фактор Ъ= 1;1/2, получим

M № ^т, L,1) =

= і

VM (к)(1, t1 ”т, t ^ zL, z). (7)

,Х„1 Z'

Для намагниченности (к=1) уравнение (7) для решеток с достаточно большими линейными размерами Ь можно переписать в виде

M (і ,т) = tzVM (1, t11 ^т)~ (1 + At11 ^т + 0(т2)),

t

-РІ zv .

(8)

где в пределе г^0, оно приобретает вид:

M (і) ~ і

- в І zv

(9)

Также в данной работе определялся кумулянт Биндера, характеризуемый выражением

гт,. М(2)^) 1

и ^) =------Ц- -1. (10)

(М ^ ))2 1 '

Скейлинговый анализ показывает, что в критической точке поведение кумулянта Биндера описывается степенным законом

и (t)~ ^7 г. (11)

Представляя (8) в виде 1пМ(t, т) = (-в / гу)1п t + 1пМ(1, t172У т) и дифференцируя по т можно получить соотношение для логарифмической производной намагниченности

г\

— 1п М Ц ,г)|т=0~ t дт

(12)

Численное определение намагниченности, её логарифмической производной и кумулянта Биндера позволяет рассчитать динамический индекс £ и статические индексы в и V.

В настоящей работе осуществлялось исследование временного поведения намагниченности М@, кумулянта Биндера 1Т2($ и логарифмической производной

дт1пМ на временах от 100 до 1000 МОэ. Для вычисления логарифмической производной осуществлялся расчет намагниченности для двух температур, смещенных относительно ТС на интервал ДТ=0,003. На рисунке 3 представлены в двойном логарифмическом масштабе усредненные временные зависимости для намагничености при температурах Тс, Тс±ДТ и Тс±2ДТ. На рисунке 4 представлены временные зависимости для кумулянта Биндера и логарифмической производной намагниченности также в двойном логарифмическом масштабе с аппроксимацией линейных участков. Усреднение вычисляемых величин проводилось по 225 различным примесным конфигурациям и 25 прогонкам для каждой примесной конфигурации.

Рис. 3. Временная зависимость намагниченности М($ для ^=128 при различных температурах

Наряду с погрешностью аппроксимации для показателей определялась их статистическая погрешность. Для этого общее количество используемых для усреднения примесных конфигураций делилось на 5 групп. Для каждой из групп вычислялись показатели fi/vz, й/г и 1/\ж, а затем вычислялись значения критических показателей и погрешностей их определения. В таблице 2 приведены полученные итоговые значения критических показателей в/vz для намагниченности, й/г для кумулянта Биндера и 1/ vz для логарифмической производной намагниченности, соответствующие им суммарные погрешности.

л*

(, МСв/Б

500 600 700

Рис. 4. Временная зависимость кумулянта Биндера и2(Т) (а) и логарифмической производной дт 1п М(Т)|т=о (Ь) с линейной аппроксимацией на интервале tе [100 ^ 600]

Т а б л и ц а 2

Значения критических показателей для неупорядоченной модели Гейзенберга

с линейными дефектами

й/ъ

1

в

2

100

400

V

показатели 0,125 0,994 0,407 0,865 0,327 3,020

погрешности 0,002 0,050 0,057 0,152 0,055 0,737

Рис. 5. Погрешность аппроксимации логарифмической производной дт1пМ (а) и

кумулянта и2 (Ь) для ш=0,6

В данной работе также осуществлялся расчет поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем, так как только учет данных поправок к скейлингу позволяет получать корректные значения критических индексов. Для этого применялось следующее выражение для временной зависимости наблюдаемых величин Х(1):

X0)~ tА(1 + Лх • t~ю/2), (13)

где Ах - неуниверсальные амплитуды, а -критический индекс поправки к скейлин-гу, а показатель Д=-в/vz в случае Х=М(1), Д=й/ъ в случае Х=Щ$ и Д=1/vz в случае

Х=дт1пМ.

При анализе полученных кривых используется схема линейной аппроксимации для зависимости (Xt А) от t ю12 при изменении значений показателя А, а также критического индекса о в интервале от 0,1 до 1,0. Проводилось исследование зависимости среднеквадратичных погрешностей о процедуры аппроксимации от изменения значений показателей А и а. По минимуму а определяются значения критических индексов г, в и v для каждого а. Для всех рассматриваемых интервалов минимум наблюдается для а=0,6. Были получены значения о процедуры аппроксимации для временных зависимостей намагниченности и кумулянта для решеток с линейным размером Ь=128 при критической температуре как функции показателей 1^ъ, при значении ин-

декса а=0,6. Полученной статистики оказалось недостаточно для выявления минимума по показателю Р^ъ. Найденные значения Д усреднялись по выбранным

участкам с определением среднего значения <Д> и погрешности аппроксимации. На основе данной процедуры были определены динамический критический индекс z=2,34(33) и критические индекс v=0,93(26).

В данной работе впервые был получен новый независимый динамический критический индекс 0=0,367(22) для модели Гейзенберга с линейными дефектами. Полученные для неупорядоченной модели значения критических индексов z=2,381(95), v=0,93(26), ß=0,388(54), согласуются в пределах статистических погрешностей с результатами z=2,2644, v=0,798, ß=0,384 полученными в [5].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Blavats'ka V., Ferber C., Holovatch Yu. // Phys.

Rev. E. 2001. V. 64. P. 041102.

[2] C. Vásquez R., R. Paredes V., Hasmy A., Jul-

lien R. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90. P. 170602.

[3] Korzhenevskii A.L., Luzhkov A.A., Schirmacher W.

// Phys.Rev. B. 1998. V. 50. P. 3661.

[4] Weinrib A., Halperin B.I. // Phys. Rev. B. 1983.

V.27. P. 413.

[5] Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Fedorenko A.A. //

Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 8777.

[6] Hohenberg P.C., Halperin B.I. // Rev. Mod. Phys.-

1977. V. 49. P. 435.

[7] Janssen H.K., Schaub B., Schmittmann B. // Z.

Phys. B. 1989. V. 73. P. 539.

[8] Прудников П.В., Прудников В.В., Медведева М.А., Желтышев П.А. // Вестн. Ом. ун-та. 2008. № 4. С. 29.