Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами методом коротковременной динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2008. № 4. С. 29-34.

УДК 539.173

В.В. Прудников, П.В. Прудников, МЛ. Медведева, П.А. Желты шее

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА С ЛИНЕЙНЫМИ ДЕФЕКТАМИ МЕТОДОМ КОРОТКОВРЕМЕННОЙ ДИНАМИКИ

Using Monte Carlo simulations it was studied the non-equilibrium critical behavior in the three-dimensional disordered Heisenberg model with linear-correlated impurities. Short-time dynamic method was used. The new dynamic exponent 0 as well as exponent z, (3 and v are determined for both pure and disordered systems.

Ключевые слова: методы Монте-Карло, фазовые переходы и критические явления, неупорядоченные системы, коротко временная динамика, XY-модель, протяженные дефекты структуры

В последние годы много теоретических и экспериментальных работ было посвящено исследованию влияния замороженных дефектов структуры на критическое поведение твердых тел. В большинстве работ исследование ограничивается рассмотрением дефектов как точечных и пространственно некоррелированных. В то же время вопрос

о влиянии на критическое поведение эффектов корреляции дефектов значительно менее исследован. В рамках этой же проблемы можно поставить вопрос о влиянии на критическое поведение протяженных дефектов, таких как дислокации или плоские дефекты структуры, возникающие, например, на границе зерен. Можно ожидать, что дальнодействующая корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем. В силу этого к моделям систем с дальнодействующей корреляцией дефектов существует несомненный интерес как с общетеоретической точки зрения выявления новых типов критического поведения в неупорядоченных системах, так и с точки зрения реальной возможности проявления дальнодействующей корреляции дефектов в ориентационных стеклах [1], полимерах [2] и неупорядоченных твердых телах с дефектами фракталоподобного типа [3].

Различные модели структурного беспорядка вводятся для описания таких сложных протяженных дефектов. В данной статье исследуется модель Вейнриба-Гальперина с так называемой дальнодействующей изотропной корреляцией дефектов [4], когда парная корреляционная функция g(x-y) уменьшается с расстоянием по степенному закону с g(x-y)~ | х-у | _ а , где а - параметр корреляции дефектов структуры. При наличии в системе протяженных дефектов - дислокаций или плоскостей, ориентированных случайным образом, ее критическое поведение может быть также описано в рамках модели Вейнриба-Галь-

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, М.А. Медведева, П.А. Желтышев, 2008

перина при значениях параметра корреляции а = <1-1 или а = <1-2 соответственно, где с! - размерность системы.

В работе [4] впервые с применением метода с-разложения было показано, что дальнодействующая изотропная корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем, а проведенное в нашей работе [5] теоретико-полевое описание непосредственно трехмерных систем с дальнодейст-вующей корреляцией дефектов в двухпетлевом приближении позволило получить более достоверные значения индексов статического и динамического критического поведения для систем с различными значениями параметра корреляции а. В работе показано, что дефекты, обладающие свойством дальней пространственной корреляции, изменяют критическое поведение не только систем с одно-компонентным параметром порядка, как в случае точечных дефектов, но и систем с многокомпонентными параметрами порядка.

В данной статье исследуется неравновесное поведение структурно неупорядоченной спиновой системы, описываемой моделью Гейзенберга, с гамильтонианом

н = -./£ , (1)

где £г- =(8*, 8^ 8^ - это трехмерный единичный вектор в узле г, <7>0 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее ферромагнитный характер, р{ - случайные переменные, характеризующие замороженный структурный беспорядок в системе (р;= 1, когда узел i занят спином, и р;= 0, когда узел пуст).

Общая спиновая концентрация в системе была выбрана равной р=0.80. Полагается, что дальнодействующие эффекты корреляции между точечными дефектами реализуются в виде случайно ориентированных линий с корреляционными характеристиками, спадающими по степенному закону с показателем а= 2. Для этого был использован следующий способ создания примесных конфигураций: из заполненной спинами трехмерной решетки случайным образом удалялись линии, параллельные осям координат, до достижения заданной концентрации примесей. Для обеспечения изотропности распределения

дефектов в кристалле число удаляемых линий в каждом из трех направлений поддерживалось одинаковым.

На первом этапе исследования было осуществлено определение критической температуры системы методом кумулянтов Биндера 4-го порядка (рис. 1).

Рис. 1. Температурная зависимость кумулянта Биндера и4(Т,Ь) для различных линейных размеров решетки /_

Для уменьшения эффектов критического замедления использовался кластерный алгоритм моделирования Вольфа. В результате анализа температурного поведения кумулянтов для кубических решеток с размерами Ь от 32 до 128 была определена критическая температура Тс= 1.197(2). Для нахождении критической температуры проводилось усреднение вычисляемых величин по 50 различным примесным конфигурациям и 10 прогонкам для каждой примесной конфигурации по 2048 шагам Монте-Карло.

Для моделирования спиновых конфигураций в системе был применен алгоритм Метрополиса. Нами была исследована релаксационная динамика системы, описываемая моделью А в классификации моделей критической динамики, проведенной Хоэнбергом и Гальпериным

[6]. Алгоритм Метрополиса, реализующий динамику односпиновых переворотов, наилучшим образом соответствует релаксационной модели А и позволяет нам провести сравнение получаемого в результате моделирования критической релаксации системы динамического критического индекса z с результатами нашего ренорм-группового описания [5] критической динамики модели А для систем с пространственно некоррелированным распределением дефектов структуры. Для получения

значении динамического и статических критических индексов в данной работе был применен метод коротковременной динамики (МКД). Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (от 1000 до 2000 шагов Монте-Карло на спин (МСБ)) на ранней стадии развития системы в критической точке или ее окрестности.

МКД был обоснован результатами аналитических и численных исследований, проведенных в работах [7; 8]. Так, в работе [7] на основе ренормгруппового анализа было показано, что после микроскопически малого промежутка времени 1:тю для к-го момента намагниченности системы реализуется скейлинговая форма

МдаО,г,1,да0) =

= Ъ-кр,уМ{к\Ъ-Ч,Ъ1ЫтУьу^т^ (2)

где X - время, т=(Т-Тс)/Тс - приведенная температура, Ь - произвольный масштабный фактор, Ь - линейный размер решетки, Р, V, ъ - известные критические индексы, хо - новый независимый критический индекс, задающий масштабную размерность начального значения намагниченности т0.

Для неупорядоченных систем вычисление М:к> (!) осуществляется в виде

Ґ

N..

\

,-=1

(3)

где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по спиновым конфигурациям, а квадратные скобки - усреднение по различным реализациям распределения дефектов структуры в системе при заданной спиновой концентрации р, Нь=рЬ3 - число спинов в решетке.

Начальное состояние системы выбирается обычно либо с то<< 1, либо С Шо=1. Исследования показывают, что динамический процесс, начинающийся с полностью упорядоченного СОСТОЯНИЯ (то=1), более предпочтителен из-за меньшего влияния флуктуаций на результаты. Более того, в этом случае не возникает зависимости от нового критического индекса хо.

В данной работе мы для рассчитанного значения критической температуры проводили моделирование как из полностью

упорядоченного начального состояния, так и из начального неупорядоченного состояния.

В случае моделирования из полностью упорядоченного состояния начальное состояние соответствует Т=0 (когда все спины ориентированы в одном направлении) . Используя в (2) то= 1, а также выбирая фактор Ъ = І1/2, получим

М(к)(і,т,Ь, 1) =

(4)

Для намагниченности (к= 1) уравнение (4) для решеток с достаточно большими линейными размерами Ь можно переписать в виде

М(ґ,г) = Г^М(1,ґ1/г,/г)~

~Г^(1 + ^1/г^ + 0(г2)), (5)

где в пределе х—>0 оно приобретает вид:

. (6)

Также в данной работе определялся кумулянт Биндера, характеризуемый выражением

м(2)(0

Щ) =

-1.

(7)

<мт

Скейлинговый анализ показывает, что в критической точке поведение кумулянта Биндера описывается степенным законом

и^)~^1г. (8)

Представляя (5) в виде 1пМ{$, г) = (-/? /гV) 1п* + ЫМ(\^11гУт)

и дифференцируя по х, можно получить соотношение для логарифмической производной намагниченности:

^1пМ(ї,г)|г=(Г

от

і

1/

(9)

Численное определение намагниченности, ее логарифмической производной и кумулянта Биндера позволяет рассчитать динамический индекс ъ и статические индексы (5 и V.

В настоящей работе осуществлялось моделирование кубических решеток с размерами Ь=128 при критической температуре ТГ= 1.197(2). Временное поведение намагниченности и кумулянта Биндера исследовалось на временах от 100 до 1000 МСв. Для вычисления логарифмической производной

дц1пМ осуществлялся расчет намагниченности для двух температур, смещенных относительно Тс на интервал ДГ=0.003.

Рис. 2. Временная зависимость намагниченности М(1) для 1_=128 при различных температурах

На рисунке 2 представлены в двойном логарифмическом масштабе усредненные временные зависимости для на-магничености при температурах Тс и Т±АГ.

На рисунках 3 (а, Ь) представлены временные зависимости для кумулянта Биндера и логарифмической производной намагниченности также в двойном логарифмическом масштабе. Усреднение вычисляемых величин проводилось по 250 различным примесным конфигурациям и 8 прогонкам для каждой примесной конфигурации.

I, МСэ/з

(Ь)

I, МСз/з

Рис. 3. Временная зависимость кумулянта Биндера и2(Т) (а) и логарифмической производной 8Т \пМ{Т) |г=0 (Ь) для 1_=128 при критической температуре Тс=1.197

Наряду с погрешностью аппроксимации для показателей определялась их статистическая погрешность. Для этого общее количество используемых для усреднения примесных конфигураций делилось на 5 групп. Для каждой из групп вычислялись показатели р/уг, с1/г и 1 /\ъ, а затем вычислялись значения критических показателей и погрешностей их определения. В таблице 1 приведены полученные

итоговые значения критических показателей р/л® для намагниченности, с! / /, для кумулянта Биндера и 1 /чг для логарифмической производной намагниченности, соответствующие им суммарные погрешности. На основе данных значений показателей были определены динамический критический индекс г=3.05(92), критические индексы у=0.87(33), р=0.314(54).

і а б л и ц а 1

Значения критических показателей и погрешностей их определения для неупорядоченной модели Гейзенберга с линейными дефектами

Р/уг д./г 1 /У7, Р V г

показатели 0.118 0.985 0.376 0.314 0.874 3.046

погрешности 0.002 0.051 0.046 0.054 0.327 0.920

При эволюции системы из неупорядоченного начального состояния из скей-линговой формы (2) при к= 1 с учетом выражения для размерного коэффициента

Ь = может быть получено соотноше-

ние, определяющее временную зависимость намагниченности:

М{Г,т,т0)= (10)

а для то, близкого к нулю, и малой величины ґ'г° /:Щ выражение (10) принимаег вид:

М(£, т,щ) | (11)

Для систем с достаточно боЛЫПИМИ размерами Ь при критической температуре асимптотическая временная зависимость намагниченности принимает вид

/и(0 , где в - новый независимый ди-

намический критический индекс, характеризующий увеличение намагниченности на начальных этапах эволюции системы, в=(хо-р>/ч)/г. Аналогично наиболее интересные для моделирования физические величины, второй момент намагниченности и автокорреляционная функция характеризуются зависимостью:

м(2) (0 ~ г2^>гм(2) (1, г1/лх} ~ 1%

1 'тйад(О);

A(t) = — N.

-1

(12)

где С2 =(с1 - 2/3/у)/г, &, =<1/2 - в. Использование данных зависимостей позволяет определить показатели 0, С2 и са, а на их основе вычислить и критические индексы р/у,г,хо. Отметим, что асимптотическое временное

поведение намагниченности в (11) определено в пределе малых начальных значений намагниченности при т(] —» 0 .

Для вычисления критических индексов для модели Гейзенберга с линейными дефектами нами было реализовано компьютерное моделирование решетки с размером Ь=128 и концентрацией спинов р=0.8 при двух значениях начальной намагниченности т0=0.02 и т0=0.001. Исследование эволюции системы осуществлялось на временном интервале в 1000 шагов Монте-Карло на спин. Для получения средних значений вычисляемых термодинамических величин осуществлялось усреднение по 100 примесным конфигурациям при 10 дополнительных прогонках для каждой примесной конфигурации.

На рисунках 4-6 приведены графики временных зависимостей исследуемых величин в двойном логарифмическом масштабе, что позволяет по наклону линейных участков графиков определять соответствующие показатели.

M(t)

0,027

0,026

0,025

0,024

0,023

0,022

0,021

0,02

М0=0.02

---Linear Fit of [20;60]

--- Linear Fit of [500;1000]

10 100

t,MCs/s

0,014,

0,012

0,01.

0,008

0,006-

M(t)

1000

Mo =0.001

-----Linear Fit of Mjt) [20;60)

----Linear Fit of M(t) [500;1000J

0,004

0,002-

t,MCs/s

Рис. 4. Г рафик намагниченности М(1) в двойном логарифмическом масштабе для то—0.02 (а) и то-0.001 (Ь)

t,MCs/s

t,MCs/s

Рис. 5. График второго момента намагниченности М; (1) в двойном логарифмическом масштабе для

то=0.02 (а) и то=0.001 (Ь)

----Linear Fit of A(t) [20;60]

---- Linear Fit of A(t) [5D0;1000]

1,МСб/5 t,MCs/s

Рис. 6. Г рафик автокорреляционной функции А(1) в двойном логарифмическом масштабе для гпо=0.02 (а)

и то=0.001 (Ь)

Таблица 2

Значения критических показателей для однородной и неупорядоченной модели Гейзенберга

М0=0.02 (а)

m0 в с2 Са Z

однородная система te [20,60]

0.02 0.025(75) 0.055(71) 0.465(21)

0.001 0.414(80) 0.836(74) 0.499(21)

rrio->0 0.434(83) 0.876(74) 0.501(22) 3.20(93)

неупорядоченная система te [500,1000]

0.02 0.132(90) 0.29(11) 0.478(24)

0.001 0.454(95) 0.89(12) 0.561(56)

гпо->0 0.471(95) 0.94(11) 0.571(58) 2.88(74)

В неупорядоченных системах, в отличие от поведения однородных систем, может быть выявлено два универсальных динамических критических режима со степенным временным изменением М(1:), М<2)(1:) и А(1), а именно: на раннем временном интервале 1= [20,60] реализуется критическое релаксационное поведение, соответствующее поведению однородной системы, а лишь затем, проходя через режим кроссоверного поведения, в интервале 2= [500,1000] реализуется динамический режим критического поведения неупорядоченной системы с линейными дефектами. Нами были определены показатели степени для каждого линейного участка исследуемых величин при шо=0.02 и то=0.001 с последующей их линейной аппроксимацией к т0=0. Полученные значения показателей приведены в таблице 2. На основе данных показателей были получены динамические критические индексы для однородной модели Гейзенберга 0=0.434(83), г=Ъ.20(93).

В данной статье впервые был получен новый независимый динамический критический индекс 0=0.471(95) для модели

Гейзенберга с линейными дефектами. Полученные для неупорядоченной модели значения критических индексов z=2.88(74), v=0.87(33), р=0.314(54) согласуются в пределах статистических погрешностей с результатами z=2.2644, v=0.798, [3=0.384, полученными в [5].

Авторы благодарят Межведомственный суперкомпъютерный центр РАН и УГАТУ за предоставленные вычислительные ресурсы.

ЛИТЕРАТУРА

[1 ] Binder К, RegirJ.D. //Adv. Rhys. 1992. V. 41. P. 547.

[2] Blavats'ka V., FerberC., Holovatch Yu. II Phys.

Rev. E. 2001. V. 64. P. 041102.

[3] Korzhenevskii A.L.. Luzhkov A.A., Schirmacher W.

// Phys. Rev. B. 1998. V. 50. P. 3661.

[4] Weinrib A., Halperin B.l. II Phys. Rev. B. 1983. V.

27. P. 413.

[5] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Fedorenko A.A. II

Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 8777.

[6] Hohenberg P.C., Halperin B.l. II Rev. Mod. Phys.

1977. V. 49. P. 435.

[7] Janssen H.K., Schaub S., Schmittmann В. II Z. Phys.

B. 1989. V. 73. P. 539.

[8] Huse D. II Phys. Rev. B. 1989. V. 40. P. 304.