Численное исследование влияния протяженных дефектов структуры на критическую релаксацию трехмерной модели Гейзенберга Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 2. С. 88-92.

УДК 544.344

П.В. Прудников, М.А. Медведева

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПРОТЯЖЕННЫХ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ НА КРИТИЧЕСКУЮ РЕЛАКСАЦИЮ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА*

Проведено численное исследование методами Монте-Карло неравновесной критической релаксации модели Гейзенберга с линейными дефектами структуры.

Ключевые слова: методы Монте-Карло, неупорядоченные системы, коротковременная динамика, модель Гейзенберга, протяженные дефекты структуры.

Известно, что в критической точке, наряду с особенностями равновесных характеристик, сингулярное поведение демонстрируют кинетические коэффициенты и динамические функции отклика, что обусловлено аномально большими временами релаксации сильно флуктуирующих величин. Однако исследование динамических свойств критических флуктуаций сталкивается с трудностями более сложными, чем при описании равновесных характеристик. Это вызвано необходимостью учета взаимодействия флуктуаций параметра порядка с другими долгоживущими возбуждениями. В этом плане динамическое критическое поведение модели Гейзенберга, описывающей важный класс изотропных магнетиков, значительно менее изучено по сравнению с исследованиями статических свойств [1]. В данной работе представлено численное исследование влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение сложных систем, описываемых моделью Гейзенберга.

Наличие дефектов структуры приводит к смене динамики изотропного магнетика, описываемой моделью J, на релаксационную динамику модели А по классификации Гальперина - Хоенберга [2]. Однако, согласно критерию Харриса, критическое поведение модели Гейзенберга устойчиво относительно влияния точеного некоррелированного структурного беспорядка. В связи с этим становится очень важным исследование влияния протяженных примесных структур на релаксационное динамическое поведение модели Гейзенберга.

Для описания сложных протяженных дефектов вводятся различные модели структурного беспорядка. В данной работе исследуется модель Вейнриба - Гальперина с так называемой дальнодействующей изотропной корреляцией дефектов [3], когда парная корреляционная функция g(X - у) спадает с расстоянием по степенному закону с g(x - у) ~ | X - У\а, где а - параметр корреляции дефектов структуры. При наличии в системе протяженных дефектов - дислокаций или плоскостей, ориентированных случайным образом, ее критическое

* Работа поддержана грантами Министерства образования и науки РФ 2.1.1/930 и 02.740.11.0541, грантами РфФи 10-02-00507, 10-02-00787 и грантом Президента РФ МК-3815.2010.2.

© П.В. Прудников, МА. Медведева, 2011

поведение может быть также описано в рамках модели Вейнриба - Гальперина при значениях параметра корреляции а = С - 1 или а = С - 2 соответственно, где С - размерность системы. В теоретико-полевом исследовании трехмерных систем с даль-нодействующей корреляцией дефектов в двухпетлевом приближении было показано, что дефекты, обладающие свойством дальней пространственной корреляции, изменяют критическое поведение систем не только с однокомпонентным параметром порядка, как в случае точечных дефектов, но и с многокомпонентными параметрами порядка [4].

В данной работе исследуется неравновесное поведение структурно неупорядоченной спиновой системы, описываемой моделью Гейзенберга, с гамильтонианом

Н = - ] £ Р.РЇЇ,,

(1)

где Б1 = (Б*, Б[, 5/) - это трехмерный

единичный вектор в узле 1, ] > 0 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее ферромагнитный характер, р1 - случайные переменные, характеризующие замороженный структурный беспорядок в системе (р = 1, когда узел 1 занят спином, и р/ = 0, когда узел пуст). Общая спиновая концентрация в системе была выбрана равной р = 0,80. Полагается, что дальнодействующие эффекты корреляции между точечными дефектами реализуются в виде случайно ориентированных линий с корреляционными характеристиками, спадающими по степенному закону с показателем а = 2. Для этого был использован следующий способ создания примесных конфигураций: из заполненной спинами трехмерной решетки случайным образом удалялись линии, параллельные осям координат, до достижения заданной концентрации примесей. Для обеспечения изотропности распределения дефектов в кристалле число удаляемых линий в каждом из трех направлений поддерживалось одинаковым.

Для получения значений динамического, и статических критических индексов в данной работе был применен метод коротковременной динамики (МКД). Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (до 1000 шагов Монте-Карло на спин (МСБ)) на ранней стадии

развития системы в критическои точке или ее окрестности.

Наиболее распространенными в нашей стране вычислительными системами являются кластерные системы, для которых задача о критическом поведении неупорядоченных систем допускает крупноблочную декомпозицию. Наиболее эффективная параллелизация методов Монте-Карло возникает при расчете примесной конфигурации со статистическими прогонками на отдельном процессорном элементе. При этом подходе отсутствуют межсетевые обмены между процессорными элементами. Уникальной особенностью методов Монте-Карло является высокая эффективность вычислений на очень большом числе процессорных элементов.

В работе проводилось моделирование неравновесного критического поведения методом коротковременной динамики с применением крупноблочной декомпозиции.

Начальное состояние системы в МКД выбирается обычно либо с т0 << 1, либо с т = 1. В данной работе для рассчитанного в [5] значения критической температуры Тс = 1,197(2) было проведено моделирование критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами как из полностью упорядоченного начального состояния, так и из неупорядоченного состояния, характеризующегося малым значением начальной намагниченности.

В случае моделирования из полностью упорядоченного состояния исследовались намагниченность т(/), кумулянт Биндера второго порядка и2(/) = т(2)/(т)2 - 1 и логарифмическая производная намагниченности дт1пт, временные зависимости которых характеризуются следующими скейлинговыми зависимостями:

в / XV

т(/) ~ /

-Тіп т^т) |г=(Г

дт

А / 2

(2)

Численное определение намагниченности, ее логарифмической производной и кумулянта Биндера позволяет рассчитать динамический индекс г и статические индексы в и V.

Для независимого расчета динамического индекса г в работе проводился расчет кумулянта ^2($ [6]:

Ж(2) (¿)|

¿2(0 =■

Ц =0

г

(А-2в/у) / 2

[тЩ

/—2 в / У 2

т0 =1

Значение индекса I, полученное из поведения кумулянта ¿2(Г), предпочтительнее значения, полученного из поведения и2(§, так как эволюция ¿2(Г) меньше подвержена влиянию флуктуаций. Временное поведение кумулянта ¿2(Г) представлено на рис. 1.

III 1 I И \ , / я П І \ I (И ІМ

Рис. 1. Временное поведение кумулянта ^(г) в двойном логарифмическом масштабе

Усреднение вычисляемых величин проводилось по 3800 различным примесным конфигурациям и 25 прогонкам для каждой примесной конфигурации.

В коротковременной динамике неупорядоченной системы в отличие от поведения однородных систем может быть выявлено два универсальных динамических критических режима: на раннем временном интервале /= [15, 35] реализуется критическое релаксационное поведение, соответствующее поведению однородной системы, а лишь затем, проходя через режим кроссоверного поведения, в интервале / = [80, 300] реализуется динамический режим критического поведения неупорядоченной системы с эффектами дальнодействующей корреляции. В таблице приведены полученные для данных динамических режимов значения критических показателей в / VI - для намагниченности, А / 2 - для кумулянта ^2 и 1 / VI -для логарифмической производной намагниченности и рассчитанные значения критических индексов 2, в / V, в и V.

Для получения надежных значений критических показателей в работе была использована процедура поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин. Для этого применялось следующее выражение для временной зависимости наблюдаемых величин Х(/):

X(/) ~ /£{1 + • Vті2),

(4)

где Ах - неуниверсальные амплитуды, ш -критический индекс поправки к скейлин-гу, а показатель ё = -в / VI в случае X = т() 5 = С/ ъ в случае X = ¿2(Г) и ё = 1 / VIв случае X = дт1пт. При анализе полученных кривых была использована схема линейной аппроксимации для зависимости (ХГв) от

4— ю / г ^ _

Г при изменении значений показателя ё, а также критического индекса ш / I.

Процедура расчета критического индекса ш заключалась в следующем.

1. Временной интервал влияния дефектов структуры разбивается на всевозможные участки ДГ с длинами от 10 МСБ/б до 900 МСБ/б.

2. На каждом из участков проводится поиск показателя ё для фиксированного значения ш /I. Поиск осуществляется из условия минимума среднеквадратичных отклонений процедуры аппроксимации оё.

3. Найденные значения ё усредняются по выбранным участкам с определением среднего значения <ё> и относительной погрешности Д5.

4. Индекс ш / I определяется из условия минимальности значений относительных погрешностей Д5.

Для аппроксимации использовался метод наименьших квадратов. Выражение (4) может быть записано в виде

X = А^ + В^-ю/1. (5)

Среднеквадратичное отклонение рассчитывается по формуле

5(А, В) =£(X - А^ - В^-ю/г)2. (6)

1=1

Значения критических показателей трехмерной неупорядоченной модели Гейзенберга

с линейными дефектами структуры

однородная система 1=[15, 35]

Лг рЛ/г 1Л/г | г РЛ/ в V

1,464(22) 0,249(1) 0,692(15) 2,049(31) 0,517(10) 0,360(9) 0,705(26)

неупорядоченная система 1 = [80, 300]

1,217(12) 0,150(1) 0,483(22) | 2,465(24) 0,370(6) 0,311(16) 0,840(47)

неупорядоченная система, процедура коррекции к скейлингу

1,336(35) 0,228(7) 0,589(4) | 2,245(59) 0,513(30) 0,388(15) 0,757(26)

теоретико-полевое описание модели Гейзенберга с протяженными дефектами [4]

| 2,264 0,454 0,362 0,798

Для минимизации среднеквадратичного отклонения должны выполняться следующие условия:

д5 (А, В) д5 (А, В)

= 0,

= 0.

(7)

дА дВ

Для нахождения коэффициентов А и В решается система уравнений (7). Выражения для данных коэффициентов имеют вид

^¿{З-ю/г) (^^^З-оЮг)2

X X, З- в ■£ З •

2S-miz

(8)

A = -

(9)

Для нахождения зависимости относительных погрешностей Аз для фиксированных значений ш / 2 были рассмотрены разбиения отрезка Ґ = [80, 1000] на интервалы различной длины, а также интервалы с длиной от 10 МСБ/б до максимально возможной длины 900 МСБ/б. На каждом из таких отрезков искался минимум среднеквадратичной погрешности аппроксимации. Далее были отброшены все интервалы, на которых минимум не был найден, и использованы значения показателя на тех интервалах, которые демонстрируют минимум среднеквадратичной погрешности аппроксимации. Среднее значение показателя ё ищется на данных интервалах, а также значения относительных погрешностей Аз, при этом учитывается вклад от

интервалов разной длины путем введения весовых множителей, пропорциональных длинам интервалов.

На рис. 2 представлены зависимости среднеквадратичных погрешностей о линейной аппроксимации поведения намагниченности m(t) от показателя в /vz для ю / z = 0,240 на интервале t = [80, 1000], кумулянта F2 (t) от показателя d /z для ю / z = 0,400 на интервале t = [80, 700] и логарифмической производной 5Tlnm от показателя 1 /vz для ш / z = 0,410 на интервале t = [80, 600]. Полученные на основе данной процедуры критические показатели представлены в таблице. В качестве итогового значения показателя ш /z было выбрано в качестве среднего значения ш / z = 0,786(46). На рис. 3 демонстрируются минимумы глобальной среднеквадратичной погрешности Ap/vz, Ad/z, и Ai/vz для рассчитываемых величин. Полученные для модели с линейными дефектами итоговые значения критических индексов z = 2,245(59), v = 0,757(26), в = 0,388(15) и в / v = 0,513(30), как видно из таблицы, хорошо согласуются в пределах статистических погрешностей с результатами теоретико-полевого расчета [4].

Численные исследования были проведены с привлечением ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев» и Межведомственного супер-компьютерного центра РАН.

0.0008

[Vwz

0.0006

0.0004

0.0002

0.0000

• c«/z=0.21 0.00003 • tû/z=0.37 0.04

■ :{. • t.j/z=0.24 CTcVz *, • to/z=0.40 • * (a/z=0.43 ft 0.03 ai/vZ

: ::{ * m/z=0.27 0.00002

\ • 0.02

0.00001 ft • ,

0.01

0.00000 •• 0.00

<«/z=0.38

<o/z=0.41

<o/z=0.44

\У

0.0

0.1

a

0.2 0.3

p/vz

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

d/z

b

0.0 0.4 0.8 1.2

1/vZ С

Рис. 2. Зависимость среднеквадратичной погрешности а линейной аппроксимации поведения намагниченности m(t) от показателя в / vz для ш / z = 0,240 на интервале t = [80, 1000] (a), кумулянта F2(t) от показателя d / z для ш / z = 0,400 на интервале t = [80, 700] (b) и логарифмической производной Зт1пm от показателя 7 /\л?для ш /z = 0,410 на интервале t = [80, 600] (с)

0.044

0.042

0.040

0.038

0.036

0/г

ca/z

0.050

0.045

0.040

0.035

w/z

0 30 0.35 0.40 0.45 0.50 0 030 0 30 0 35 040 0 45 0 50

а Ь с

Рис. 3. Зависимость относительных погрешностей Др/я (а), Д^ (Ь) и Дід^ (с) от различных значений ш / z

ЛИТЕРАТУРА

[1] Chen K., Ferrenberg A. M., Landau D. P. // Phys. Rev. B. 1993. V. 48. P. 3249.

[2] Hohenberg P. C., Halperin B. I. // Rev. Mod. Phys. 1977. V. 49. P. 435.

[3] Weinrib A., Halperin B. I. // Phys. Rev. B. 1983. V. 27. P. 413.

[4] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Fedorenko A. A. // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 8777.

[5] Прудников П. В., Медведева М. А., Желты-шев П. А. // Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 4. С. 90.

[6] Da Silva R., Alves N. A., Drugowich de Felicio J. R. // Phys. Lett. A. 2002. V. 298. P. 325.