Численное исследование критической релаксации сильно неупорядоченной модели Изинга с точечными дефектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 4. С. 82-87.

УДК 539.173

П.В. Прудников, В.В. Прудников, A.B. Чабров

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ РЕЛАКСАЦИИ СИЛЬНО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА С ТОЧЕЧНЫМИ ДЕФЕКТАМИ*

Осуществлено численное исследование неравновесного критического поведения сильно неупорядоченной модели Изинга методом коротковременной динамики. Проведен расчет динамического критического индекса z и статических критических имндексов ß И V.

Ключевые слова: неупорядоченная модель Изинга, критическая динамика, метод Монте-Карло.

В последние годы много теоретических и экспериментальных работ было посвящено исследованию влияния замороженных точечных дефектов структуры на критическое поведение твердых тел [1]. В большинстве работ проводится исследование слабо неупорядоченных систем с концентрацией спинов р = 0.8 и выше. Сопоставление результатов данных работ указывает на то, что изингоподобные системы с концентрацией спинов от р = 0.8 до р = 0.95 принадлежат к одному и тому же классу универсальности, то есть критические индексы, описывающие поведение данных систем в критической точке, не меняются с изменением концентрации спинов в указанном диапазоне. Гораздо менее изученными остаются сильно разбавленные системы с концентрациями спинов р < 0.6 и вплоть до порога спиновой перколляции р = 0.31. При теоретическом описании поведения таких систем уже нельзя считать концентрацию дефектов малой величиной, что сильно затрудняет или даже делает невозможным их теоретическое описание. Для описания таких систем разрабатываются специальные численные методы, целью которых является нахождение критических индексов данных систем в зависимости от концентрации дефектов структуры, что впоследствии позволит выяснить вопрос о существовании нового класса универсальности для сильно неупорядоченных систем.

Данная работа посвящена численному исследованию методом Монте-Карло критической релаксации для трехмерной сильно неупорядоченной модели Изинга с точечными дефектами структуры и концентрацией спинов р = 0.5 и р = 0.6. Рссматривается модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с линейным размером L и наложенными граничными условиями. Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Изинга задается выражением

* Работа поддержана грантами Министерства образования и науки РФ 2.1.1/930 и 02.740.11.0541, грантами РФФИ 10-02-00507, 10-02-00787 и грантом Президента РФ МК-3815.2010.2.

© П.В. Прудников, В.В. Прудников, A.B. Чабов, 2010

«=

(3)

где J > О - обменное взаимодействие между ближайшими спинами 8;, принимающими значения +1. Немагнитные атомы примеси образуют пустые узлы. Числа заполнения р; при этом принимают значения О или 1 и описываются функцией распределения

Р{Рг) = {1~ Р)5{Рг)+ Р5{1~ Рг)’ (4) с р = 1- с, где с - концентрация атомов примеси. Примесь равномерно распределяется по всей системе, и при моделировании её положение фиксируется для отдельной примесной конфигурации. Для моделирования спиновых конфигураций в системе был применен алгоритм Метрополиса.

Для описания неравновесного критического поведения в данной работе был применен метод коротковременной динамики (МКД), позволяющий одновременно получать значения как динамического, так и статических критических индексов. Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (от 1000 до 2000 шагов Монте-Карло на спин (МСБ/з)) на ранней стадии развития системы в критической точке или её окрестности. МКД был обоснован результатами аналитических и численных исследований, проведенных в работах [2,3]. Было показано, что после микроскопически малого промежутка времени для к-то момента намагниченности системы реализуется следующая скейлинговая форма:

М(к) ^,т,Ь,т0) =

= Ь-кр1''М{к)(Ь-^,Ь11''г,Ь-1Ь,Ьх'>т0), (5)

где I- время, 1= (Т- Тс) / Тс - приведенная температура, Ъ - произвольный масштабный фактор, Ь - линейный размер решетки, Д V, г - известные критические индексы, хо - новый независимый критический индекс, задающий скейлинговую размерность начального значения намагниченности то- Для неупорядоченных систем вычисление М:к> (! ) осуществляется в виде

МІК\і) =

Ґ

л

(4)

_ IV

где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по спиновым конфи-

гурациям, а квадратные скобки - усреднение по различным реализациям распределения дефектов структуры в системе при заданной спиновой концентрации р, N,. = р1?. Начальное состояние системы выбирается обычно либо с т0 «1, либо с = 1. Исследования показывают, что

т,

динамический процесс, начинающийся из полностью упорядоченного СОСТОЯНИЯ (т0 = 1), более предпочтителен из-за меньшего влияния флуктуаций на результаты. Более того, в этом случае не возникает зависимости от нового критического индекса хо.

В данной работе рассматривается эволюция системы из начального полностью упорядоченного состояния т0 = 1.

При этих условиях, выбрав фактор

Ь = і1/2, из(3) получается выражение:

М(к)(Г,т,ЬЛ)= (5)

г«(і/1я’т,Г11%^1г).

Для решеток с достаточно большими размерами Ь динамическая скейлинговая зависимость для намагниченности приобретает следующий вид:

М{і,т) = ГрІІУМ{\^ІІУт). (6)

При критической температуре (т = 0) релаксация намагниченности характеризуется степенным законом

М{і)~Гр'". (7)

Такие представления о степенном поведении временной зависимости намагниченности М(і) в критической области позволяют найти значения показателя _/3 / иг, а также вычислить критическую температуру. Для нахождения критической температуры временные зависимости намагниченности М(1) для разных температур строятся в двойном логарифмическом масштабе и из требования степенного поведения М(^ по методу наименьших квадратов определяется та намагниченность, которой соответствует наименьшее среднеквадратичное отклонение при линейной аппроксимации. Найденной таким образом намагниченности и будет соответствовать критическая температура. Следует отметить, что тангенс угла наклона намагниченности М(1), построенной в двойном логарифмическом масштабе, и даст искомое соотношение критических индексов _/3 / уг.

К

Для получения еще одного соотношения, связывающего критические индексы г и и, используется логарифмическая производная намагниченности в критической точке

0г1пАТ(Г,т)|г

t

(8)

Для независимого определения динамического критического индекса г используется кумулянт второго порядка, который вычисляется следующим образом:

и,(0=М{ >{(1 -1, (9)

- тог

используя ранее полученные моменты намагниченности М(1) и \Г 2](1) ■ Далее используется следующая скейлинговая зависимость данного кумулянта:

U2(t)~ t

d / z

(10)

где с? - размерность системы. Данная зависимость позволяет получить динамический индекс г, построив кумулянт (/2 (/) в двойном логарифмическом масштабе и аппроксимировав его прямой. По тангенсу угла наклона этой прямой определяется значение с1 / г. Далее на основе найденных отношений для критических индексов ^ / уг, с! / 2 и 1 / уг определяется динамический критический индекс г и статические критические индексы _/3 и и.

При анализе графиков М(Ъ), II2(0 и дгЫМ^,т) |г=0 для сильно неупорядоченных систем необходимо учитывать тот факт, что динамическое критическое поведение, присущее неупорядоченной системе, реализуется в них не сразу, а лишь начиная с некоторого момента времени, когда система, стартуя из начального полностью упорядоченного состояния, со-

ответствующего температуре Т= 0, успевает перейти в состояние, соответствующее критическим температурам.

В данной работе моделировалась кубическая решетка с линейными размерами L= 128 в критической точке. Критическая температура Тс= 1.84509, при которой проводилось исследование, была определена для систем со спиновой концентрацией р = 0.5 в работе [4].

При моделировании измерялись намагниченность M[t\ и второй момент намагниченности M(2)(i), на основе которых в дальнейшем находился кумулянт второго порядка U2(t). Моделирование производилось на временах до 3000 MCS/s. При нахождении средних значений ЩИ) и Mi2\t) проводилось усреднение по 6806 различным примесным конфигурациям и 25 прогонкам для каждой примесной конфигурации. Для нахождения логарифмической производной намагниченности cr In А/f (7. г) |r ()

проводилось измерение намагниченности в окрестности критической точки при температурах Тс ±0.005. Данная величина измерялась на временах до 3000 шагов MCS/s. Усреднение проводилось по 5600 различным примесным конфигурациям и 25 прогонкам.

На рис. 1 представлены в двойном логарифмическом масштабе графики временной зависимости усредненной намагниченности M(i) и второго момента намагниченности на рис. 2 - куму-

лянта U2(t), на рис. 3 - логарифмической производной dz\nM(t,T) |г=0.

Рис. 1. Временные зависимости намагниченности M(t) и второго момента намагниченности Mr\t) в двойном логарифмическом масштабе при Тс = 1.84509 на интервале t = [1,3000] MCS/s (а) и линейная аппроксимация намагниченности M(t) на интервале t = [1000,3000] MCS/s (Ь)

0.00100

u2(t)

0.00010

0.00001

0.00000

10 100

t. MCS/s

1000

Рис. 2. Временная зависимость кумулянта U2(t) в двойном логарифмическом масштабе

при Тс = 1.84509 на интервале t = [1,3000] MCS/s (а) и линейная аппроксимация на интервале t = [1000,3000] MCS/s (Ь)

t, MCS/s

Рис. 3. Временная зависимость логарифмической производной <3rln M(t,r) |г=0 в двойном логарифмическом масштабе при Тс = 1.84509 на интервале t = [1,3000] MCS/s (а) и линейная аппроксимация на интервале t = [1000,3000] MCS/s (Ь)

На этих же рисунках (рис. 1(Ь), рис. 2(Ь), рис. 3(Ь)) представлены характерные степенные временные зависимости данных величин в интервале от 1000 до 3000 MCS/s, которые в двойном логарифмическом масштабе хорошо аппроксимируются прямыми.

Тангенсы углов наклона данных прямых позволяют в соответствии с соотношениями (7), (8), (10) определить ряд критических показателей. В табл. 1 приведены значения этих показателей вместе с погрешностями аппроксимаций и статистическими погрешностями определения данных величин.

Таблица 1 Значения критических показателей, определенные на основе линейной аппроксимации зависимостей M(t),

U2(t),dr\nM(t, г) | г=0

На основе данных показателей были определены значения критических индексов, представленные в табл. 2.

Таблица 2

Значения критических индексов, определенные на основе линейной аппроксимации временных

зависимостей М($, £/2(0, 1пМ(?,г) |г=0

показатель значение

(3/v 0.4691(43)

Z 3.27(3)

Р 0.3552(48)

V 0.7569(76)

показатель значение

(3/vz 0.1435(2)

d/z 0.9183(84)

1/VZ 0.4040(17)

При расчете критических индексов необходимо учитывать поправки к асимптотической зависимости измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем, так называемые поправки к скейлингу. Только благодаря поправкам к скейлингу можно получить значения критических индексов, наиболее близкие к истинным их значениям, получаемым в термодинамическом пределе Ь—«О. Для этого применяют следующие выражения для временной зависимости наблюдаемых величин Х(1) [5]:

X(t)~ts(\ + Axre,' = ), (11)

где Ах - неуниверсальные амплитуды, ы является критическим индексом поправки к скейлингу, а показатель 8 = - fi / vz в случае X=M(t), ô=d/z в случае X=U[t) и <5=1/ vz в случае X = d г lnM(f, г) | г=0. Для

расчета значений критических индексов на временном интервале от 1000 до 3000 MCS/s, соответствующем влиянию структурного беспорядка, рекомендуется использовать метод наименьших квадратов, для наилучшей аппроксимации значений M(t), Un(t) и X = д т lnM(t, г) | г=0 - выражение (11). Процедура заключается в следующем:

1) временной интервал влияния дефектов структуры разбивается на всевозможные участки At с At = 50 до At = 2000 MCS/s;

2) на каждом из участков проводится поиск показателя <5 для фиксированного значения a / z;

3) найденные значения <5 усредняются по выбранным участкам с определением среднего значения <5 и погрешности аппроксимации Д<5;

4) индекс со / z определяется из условия минимальности значений относительных погрешностей проведенных аппроксимаций Д<5.

Наряду с погрешностью Д<5 для показателей <5 необходимо определить их статистическую погрешность. Для этого общее количество примесных конфигураций делится на несколько групп. Для каждой из групп вычисляются показатели fi / vz, d / z и 1 / vz, a затем вычисляются отклонения от показателей, найденных при аппроксимации усредненных по общему количеству примесных конфигураций значений M(t), U2{t) и дт lnM(f,r) |г=0.

Для данной сильно неупорядоченной системы при исследовании намагниченности минимума среднеквадратичных погрешностей аппроксимации выявлено не было, но была выявлена точка перегиба (рис. 5 и 7). Для кумулянта II -, (! ) и логарифмической производной намагниченности д z lnМ(t, г) | г=0 применение данной

процедуры позволило выделить минимумы среднеквадратичных погрешностей аппроксимации данных величин зависимостью (11). Это наглядно представлено на рис. 4 и 6. Результирующие значения по-

казателей и соответствующих им критических индексов представлены в табл. 3 и 4.

0,006421 Ad /z

0,00640-

0,00638

0,07 0,08 0,09o>/z 0,10

0,11

Рис. 4. Зависимость относительных погрешностей аппроксимации М/х от различных значений ш / г

0,007-,

0,006-

0,005-

Др/vz

0,004-

0,003-

0,04 0,08 0,12м/г0,16 0,20 0,24

Рис. 5. Зависимость относительных погрешностей аппроксимации Д/ЗЛ/г от различных значений ш/г

dlnM(t)

0,0070-

0,0065-

0,05

t 0,10

0,15

Рис. 6. Зависимость относительных погрешностей аппроксимации ЬАЫг от различных значений ш / г

-0,008-

Др/vZ*

-0,016-

-0,024-

0,04 0,08 0,12 со/г 0.16 0,20

Рис. 7. Зависимость производной относительных погрешностей аппроксимации Д/ЗЛ/г от различных значений ш / г

Таблица 3 Значения критических показателей, определенные на основе процедуры учета поправок к скейлингу для временных

зависимостей ЛСД, £/2(0, ^ 1пМ(^,г) \т=0

показатель значение

ß/vz 0.1663(10)

d/z 1.1260(155)

1 / vz 0.5330(81)

Таблица 4 Значения критических индексов, определенные на основе процедуры учета поправок к скейлингу для временных зависимостей М@), и2(/), 5т1пМ(?,г)|т=0

показатель значение

ß/v 0.4430(67)

z 2.664(37)

ß 0.312(15)

V 0.705(7)

Сопоставление полученных значений критических индексов со значениями критических индексов г = 2.185(25), А / и = 0.533(13), и= 0.668(14), £ = 0.356(6)

и значениями z= 2.208(32), ß / v = 0.508(17), v = 0.685(21), ß = 0.348(11), полученными в [5] для слабо неупорядоченных систем со спиновыми концентрациями р = 0.95 и р = 0.8 соответственно, показывает, что критическое поведение данных систем относится к различным классам универсальности.

Численные исследования были проведены с привлечением ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев» и Межведомственного супер-компьютерного центра РАН.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. И УФН. 2003. Т. 173. С. 175.

[2] Janssen H. K., Schaub В., Schmittmann В. // Z. Phys. B. 1989. V. 73. P. 539.

[3] Zheng B. // Int. J. Mod. Phys. B. 1998. V. 12. P. 1419.

[4] Прудников В. В., Прудников П. В., Ваки-ловА.Н., Криницын A.C. // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. С. 417.

[5] Prudnikov V. V., Prudnikov Р. V., Krinitsyn A. S., et.al. // Phys. Rev. E. 2010. V. 81. P. 011130.