Исследование неравновесной критической релаксации в трехмерной неупорядоченной модели Изинга Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2007. № 3. С. 15-19.

УДК 539.173

В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Вакилов, А.С. Криницын

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ РЕЛАКСАЦИИ В ТРЕХМЕРНОЙ НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА*

Using Monte Carlo simulations it was studied the non-equilibrium critical relaxation in the three-dimensional site-diluted Ising model with spin concentration p=0.80. The values of exponents for power-law time dependence of magnetization and Binder cumulant were determined with the use of corrections to scaling method. The dynamic critical exponent z, the ratio of static exponents p/v and exponent of correction to scaling ю were calculated. They demonstrate a good agreement with results of theoretical-field description and results of experimental investigations for diluted Ising-like systems.

В последние годы усилия многих исследователей были связаны с развитием теории динамического скейлинга и универсальности критической динамики в коротковременном режиме [1]. Был введен в рассмотрение новый динамический критический индекс в, характеризующий эволюцию системы из неравновесного неупорядоченного начального состояния, и выявлен степенной скейлинговый характер неравновесной критической релаксации различных систем уже на относительно малых временах. Статические и динамические критические индексы, определяемые методом коротковременной динамики, находятся в хорошем согласии со значениями критических индексов, вычисляемых в равновесном состоянии системы. Несмотря на несомненные успехи, достигнутые в этом направлении, многие аспекты физики фазовых переходов и критических явлений оказались незатронутыми. В частности, вопрос о реализации универсального критического поведения в коротковременном режиме для структурно неупорядоченных систем остается пока открытым.

Настоящая работа посвящена численному исследованию методом Монте-Карло неравновесной критической релаксации в коротковременном режиме для трехмерной слабо неупорядоченной модели Изин-га со спиновой концентрацией р=0,80. Высокие требования, предъявленные в процессе проведенных исследований к условиям моделирования, уникальная методика обработки результатов моделирования -все это позволяет авторам считать, что достигнутые результаты носят уникальный характер.

* Работа частично поддержана грантом МК-8738.2006.2 программы Президента РФ.

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Вакилов, А.С. Криницын, 2007

В работе рассматривается модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с линейным размером Ь и наложенными граничными условиями. Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Изинга задается выражением

H =

2

(i)

г, 1

где Jij - обменное взаимодействие между закрепленными в узлах решетки спинами Si, принимающими значения ±1. Немагнитные атомы примеси образуют пустые узлы. Числа заполнения pi при этом принимают значения 0 или 1 и описываются функцией распределения

Р(Рг )= (1 - Р)3(Рг )+ Р3( - Рг ), (2)

с p=1-c, где с - концентрация атомов примеси.

Примесь равномерно распределяется по всей системе, и при моделировании ее положение фиксируется для отдельной примесной конфигурации. Для моделирования спиновых конфигураций в системе был применен алгоритм Метрополиса. Нами была исследована релаксационная динамика системы, описываемая моделью А в классификации моделей критической динамики, проведенной Хоэнбергом и Гальпериным [2]. Алгоритм Метрополи-са, реализующий динамику односпиновых переворотов, наилучшим образом соответствует релаксационной модели А и позволяет нам провести сравнение получаемого в результате моделирования критической релаксации системы динамического критического индекса z с результатами нашего ренормгруппового описания [3] критической динамики модели А для систем с пространственно некоррелированным распределением дефектов структуры.

Традиционное моделирование критического поведения системы взаимодействующих частиц методом Монте-Карло наталкивается на трудности, связанные в основном с явлением критического замедления, характеризующимся тем, что время релаксации системы, как и время корреляции состояний, неограниченно растут по мере приближения к критической температуре и степенной характер их асимптотической зависимости от приведенной температуры определяется динамическим индексом z. Для структурно

неупорядоченных систем эта проблема еще более существенна, так как их неравновесное критическое поведение определяется индексом z, принимающим большие значения, чем для однородных систем. Для уменьшения эффектов влияния критического замедления применяют кластерные алгоритмы Вольфа или Свендсена-Ванга, но эти алгоритмы столь существенно меняют динамику системы по сравнению с алгоритмом Метрополиса, что для получения информации о характеристиках критической динамики их применять нельзя. В связи с этим в данной работе был применен метод коротковременной динамики (МКД) для получения значений как динамического, так и статических критических индексов. Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (от 1000 до 2000 шагов Монте-Карло на спин (МСБ)) на ранней стадии развития системы в критической точке или ее окрестности.

МКД был обоснован результатами аналитических и численных исследований, проведенных в работах [4; 5]. Так, в работе [4] на основе ренормгруппового анализа было показано, что после микроскопически малого промежутка времени 1:тю для к-го момента намагниченности системы реализуется скейлинговая форма

М(к\г ,т, Ь, т0) =

= Ь-кр,уМ(к\Ъ-гг, Ь1,уг, Ь~'Ь, ЬХ0т0), (3)

где 1 - время, т=(Т-Тс)/Тс - приведенная температура, Ь - произвольный масштабный фактор, Ь - линейный размер решетки, в, V, z - известные критические индексы, х0 - новый независимый критический индекс, задающий скейлинговую размерность начального значения намагниченности т0.

Для неупорядоченных систем вычисление М(к )(г) осуществляется в виде

M(k\t) =

с

N..

\\

Л\

У

(4)

где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по спиновым конфигурациям, а квадратные скобки - усреднение по различным реализациям рас-

пределения дефектов структуры в системе при заданной спиновой концентрации р, ^=рЬ3 - число спинов в решетке. В данной работе проводилось усреднение вычисляемых величин по 50 000 различных примесных конфигураций.

Начальное состояние системы выбирается обычно либо с т0<< 1, либо с т0=1. Исследования показывают, что динамический процесс, начинающийся с полностью упорядоченного состояния (т0=1), более предпочтителен из-за меньшего влияния флуктуаций на результаты. Более того, в этом случае не возникает зависимости от нового критического индекса х0. В данной работе мы использовали полностью упорядоченное начальное состояние,

соответствующее Т=0 (когда все спины ориентированы в одном направлении). Используя в (3) то=1, а также выбирая фактор Ь= 11/2, получим

M(к ](і ,т, L,1) =

= і - ьр/^м(к )(1, і 1/іТ, і-и zL, Л1 2). (5)

Для намагниченности (к=1) уравнение

(5) для решеток с достаточно большими линейными размерами Ь можно переписать в виде

М (і ,т) = і ~рІ2УМ (1, і 1/2Т)~

~ і~р/”(1 + АіІІ:ут + 0(т2)), (6)

где в пределе т^0, оно приобретает вид: М (і)~ і-ры. (7)

М(1)

Ь

Рис. 1. Усредненные значения намагниченности в двойном логарифмическом масштабе на временном интервале: а) 1=1-1000 МОЭ, Ь) 1=250-950 МОЭ

100 1000 500 600 ГАО ЯМ 300 1000

Рис. 2. Усредненные значения кумулянта Биндера МОЭ в двойном логарифмическом масштабе на временном интервале: а) 1=50-1000, Ь) 1=550-950 МОЭ

Рис. 3. Погрешность аппроксимации: а) для намагниченности при значении ш/7=0,171; Ь) для кумулянта Биндера при значении ш/7=0,135

Другой определяемой в данной работе величиной является кумулянт Биндера, характеризуемый выражением

М (2)(г)

и (г) =

(М (г ))2

-1.

(8)

Конечномерный скейлинговый анализ показывает, что в критической точке поведение кумулянта Биндера описывается степенным законом

и (г)~ г*/2, (9)

где d - размерность системы.

В настоящей работе осуществлялось моделирование кубических решеток с размерами Ь=128 при критической температуре Тс=3,49948, определенной нами при численных Монте-Карло исследованиях неупорядоченной модели Изинга в равновесном состоянии [6]. Временное поведение намагниченности и кумулянта Биндера исследовалось на временах до 1000 МСЭ. На рис. 1, 2 приведены зависимости намагниченности и кумулянта Биндера от времени в двойном логарифмическом масштабе. В неупорядоченных системах в отличие от поведения однородных систем может быть выявлено два универсальных динамических критических режима со степенным временным изменением М(1 и и(1) а именно: на раннем временном интервале 1=[20, 200] реализуется критическое релаксационное поведение, соответствующее поведению однородной системы, а лишь затем, проходя через некоторый интервал кроссоверного поведения, в интервале 1=[250, 950] для М(1 и в интервале 1=[550, 950] для и(1

реализуется динамический режим критического поведения неупорядоченной системы.

Нами был также осуществлен учет поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем, так как только учет данных поправок к скей-лингу позволяет получать корректные значения критических индексов в термодинамическом пределе Ь^го. Для этого мы применили следующие выражения для временной зависимости наблюдаемых величин Х(1)

х (г)~ г8 (1 + Лхг~ш'2), (10)

где Ах - неуниверсальные амплитуды, ю является хорошо известным критическим индексом поправки к скейлингу, а показатель б = - P/vz в случае Х=М(1 и б = d/z в случае Х=и(1:).

Для расчета значений критических индексов P/vz, d/z и ю^ на временном интервале, соответствующем влиянию структурного беспорядка (рис.1Ь, 2Ь), мы использовали метод наименьших квадратов для наилучшей аппроксимации значений М(1 и и(1 выражением (10). Процедура заключалась в следующем: 1) временной интервал влияния дефектов структуры разбивался на всевозможные участки Д1 с Д1 =50 до Д1 =550; 2) на каждом из участков проводился поиск показателя Д для фиксированного значения ю^; 3) найденные значения б усреднялись по выбранным участкам с определением среднего значения <б> и погрешности аппроксимации Дб; 4) индекс ю^

-а / 2

Значения критических показателей и погрешностей их определения

Показатели Средние значения Погрешности аппроксимаций Статистические погрешности w/z

z v ca 0,220З2 0,00024З 0,00087З 0,2б5

d/z 1,З59З57 0,012092 0,014854 0,1З2

определялся из условия минимальности значений относительных погрешностей проведенных аппроксимаций Д6 (см. рис.

3).

Наряду с погрешностью Д6 для показателей б определялась их статистическая погрешность. Для этого общее количество 50 000 примесных конфигураций делилось на 5 групп по 10 000 конфигураций. Для каждой из групп вычислялись показатели P/vz и d/z, а затем - отклонения от показателей, найденных при использовании усредненных по общему количеству примесных конфигураций значений М(1) и и(1).

В таблице приведены полученные итоговые значения критических показателей P/vz для намагниченности и d/z для кумулянта Биндера, соответствующие им суммарные погрешности, а также показатели о^ для этих величин, соответствующие минимальным погрешностям процедуры аппроксимации (10). На основе данных значений показателей были определены динамический критический индекс z=2,207(44), отношение статических критических индексов р^=0,490(12) и усредненные значения критического индекса поправки к скейлин-гу 0=0,438(155).

Проведем сопоставление полученных значений критических индексов с результатами других работ. Так, найденные нами значения индексов находятся в достаточно хорошем соответствии с результатами работ по компьютерному моделированию, где для систем с р=0,80 были получены значения р^=0,5334(69), 0=0,26(13) [6], z=2,20(8) [7], а также с результатами теоретико-полевого описания, где для слабо неупорядоченных систем были найдены следующие значения: Р^=0,515(15), 0=0,25(10) [8], z=2,1792(13)

[3], и результатами экспериментальных исследований изинговских магнетиков, дающих z=2,18(10) [9].

На основе проведенных исследований можно сделать следующие выводы: полученные значения критических индексов для слабо неупорядоченных систем нахо-

дятся в хорошем согласии в пределах статистических погрешностей моделирования и применяемых численных аппроксимаций с результатами теоретико-полевого описания; другими результатами моделирования критического поведения модели, а также согласуются с результатами экспериментальных исследований изинговских неупорядоченных магнетиков. Метод коротковременной динамики позволяет адекватно описывать критическое поведение структурно неупорядоченных систем. В неупорядоченных системах в отличие от поведения однородных систем выявлено два универсальных динамических критических режима со степенным временным изменением измеряемых величин, а именно: на раннем временном интервале реализуется критическое релаксационное поведение, соответствующее поведению однородной системы, и лишь затем, проходя через некоторый интервал кроссоверного поведения, реализуется динамический режим критического поведения неупорядоченной системы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Zheng B. // Int. J. Mod. Phys. B 1998. V. 12. P. 1419.

[2] Hohenberg P.C., Halperin B.I. // Rev. Mod. Phys. 1977. V. 49. P. 435.

[3] Криницын А. С., Прудников В.В., Прудников П.В. // ТМФ. 2006. Т. 147. № 1. С. 137.

[4] Janssen H.K., Schaub B., Schmittmann B. // Z. Phys. B. 1989. V. 73. P. 539.

[5] Huse D. // Phys. Rev. B. 1989. V. 40. P. 304.

[6] Прудников В.В., Прудников П.В., Вакилов А.Н., Криницын А.С. // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. № 2. С. 417.

[7] Прудников В.В., Вакилов А.Н. // ЖЭТФ. 1993. Т. 103. С. 962.

[8] Pelissetto A., Vicari E. // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 6393.

[9] Rosov N., Hohenemser C., Eibschutz M. // Phys. Rev. B. 1992. V. 46. P. 3452.