CC BY
60
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2007. № 2. С. 41-45.
УДК 539
В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Вакилов, А.С. Криницын
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА
Using Monte Carlo simulations it was studied the three-dimensional site-diluted Ising model in a wide dilution range. The scaling functions and values of exponents for susceptibility and correlation length were determined with the use of finite size scaling method. They demonstrate the existence two classes of universal critical behavior of diluted Ising systems with different characteristics for weakly and highly disordered systems.
Исследование критического поведения неупорядоченных систем с замороженными дефектами структуры представляет большой теоретический и экспериментальный интерес.
Ренорм-групповым исследованиям, численным исследованиям методами Монте-Карло и экспериментальным исследованиям критического поведения разбавленных изингоподобных магнетиков к настоящему моменту посвящено значительное число работ [1]. Однако вопросы о независимости асимптотических значений критических индексов от степени разбавления системы, мере влияния кроссоверных эффектов на эти значения, а также о возможности существования двух или более режимов критического поведения для слабо и сильно неупорядоченных систем остаются открытыми и горячо обсуждаются.
Настоящая статья посвящена численному исследованию критического поведения разбавленной трехмерной модели Изинга в широкой области изменения концентрации замороженных точечных дефектов. Высокие требования, предъявленные в процессе проведенных исследований к условиям моделирования, уникальная методика обработки результатов моделирования - все это позволяет авторам считать, что достигнутые результаты носят уникальный характер. В работе рассматривается модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с линейным размером Ь и наложенными граничными условиями. Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Изинга записывается в виде
н = 2 2 , (1)
2 І, І
где Лу - обменное взаимодействие между закрепленными в узлах решетки спинами сті, принимающими значения ±1. Немагнитные атомы примеси образуют пустые узлы. Числа заполнения рі при этом принимают значения 0 или 1 и описываются функцией распределения
Р(Рг ) = (1 - Р¥{Рг )+ Р^1 - Рг ), (2)
с р=1 - с, где с - концентрация атомов примеси.
© В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Вакилов, А.С. Криницын, 2007
Рис. 1. Скейлинговые функции для восприимчивости, полученные при различных температурах для системы с р=0,50 с использованием полиномиальной от х аппроксимации
Примесь равномерно распределяется по всей системе, и при моделировании ее положение фиксируется для отдельной примесной конфигурации. Нами рассматривались неупорядоченные системы со значениями спиновых концентраций р=0,95; 0,80; 0,60; 0,50.
Для снижения влияния эффектов критического замедления и корреляции различных спиновых конфигураций был применен наиболее эффективный однокластерный алгоритм Вольфа. За один шаг Монте-Карло на спин (МОЭ) принималось 3 переворота кластера Вольфа для систем с р=0,95, 5 переворотов кластера Вольфа для р=0,80, и 10 переворотов кластера Вольфа для сильно неупорядоченных систем с р=0,60; 0,50. Процедуре установления термодинамического равновесия в системе отводилось 104 шагов Монте-Карло и 105 шагов Монте-Карло отводилось на статистическое усреднение моделируемых величин при заданной примесной конфигурации. Для определения средних значений термодинамических функций наряду со статистическим усреднением применялось усреднение по различным примесным конфигурациям: для систем с р=0,95 усреднение проводилось по 3000 образцов, для р=0,80 по 5000 образцов, для р=0,60; 0,50 по 10 000 образцов.
В процессе моделирования различных спиновых систем на решетках с линейным размером Ь осуществлялся расчет корреляционной длины и восприимчивости Хь в соответствии со следующими соотношениями:
Рис. 1 Скейлинговые функции для восприимчивости, полученные при различных температурах для системы с р=0,50 с использованием полиномиальной от ехр(-1/х) аппроксимации
# =
1
X-1,
X
2sin (п / Ь)) Р
5 = Е^,Р,, Р = Щ/р1\
(3)
Ф 1V
ф=3 Е
п=1
^—1 ( 2тх..< ^
Еръ, ^ 1
(4)
где (хх,1, Х2,1, хз,{) - координаты 1-го узла решетки, <...> означает статистическое усреднение по шагам Монте-Карло, а черта сверху - усреднение по примесным конфигурациям.
Была определена температурная зависимость ^ь(Т) и хь(Т) в температурном интервале т= 510-4 - 10-2 для образцов с р=0,95 и линейными размерами в интервале Ь=20-400, для образцов с остальными спиновыми концентрациями температуры выбирались в интервале т =10-3 - 10-2 при изменении Ь в интервале от Ь=20 до Ь=300. При компьютерном моделировании значение Ьтах для каждой температуры ограничивалось тем размером решетки, при котором корреляционная длина и восприимчивость системы выходили на свои асимптотические значения. Известно, что настоящий фазовый переход второго рода может проявиться лишь в термодинамическом пределе, когда объем системы и количество частиц в ней стремятся к бесконечности. Для определения асимптотических значений термодинамических величин А(Т), испытывающих аномальное
2
Рис. 3. Усредненные скейлинговые функции для корреляционной длины, полученные с использованием полиномиальных от х (символы) и от ехр(-1/х) (сплошные линии) аппроксимаций
Рис. 4. Усредненные скейлинговые функции для восприимчивости, полученные с использованием полиномиальных от х (символы) и от ехр(-1/х) (сплошные линии) аппроксимаций
Рис. 5. Температурные зависимости корреляционной длины от приведенной температуры т
поведение вблизи критической температуры, по их значениям Аь(Т), определяемым на конечных решетках, были развиты различные методы конечноразмерного скейлинга. В данной работе применен метод, предложенный в работе [2] и апробированный авторами на анализе результатов моделирования критического поведения однородных двумерной и трехмерной моделей Изинга.
Согласно методу [2] асимптотическое значение любой термодинамической величины может быть получено на основе измеряемых значений Аь и скейлинговой функции Ра(хь(т)), зависящей от единственной переменной Хь(т)=^ь(т)/Ь,
А(т) = Аь (т)!0А (хь (г)). (5)
Рис. 6. Температурные зависимости восприимчивости от приведенной температуры т
Скейлинговая функция Qa(xl), определяемая в интервале 0< xl < Xc с Xc - значением аргумента, независящим от L в критической области, должна удовлетворять следующим асимптотическим условиям: lim Qa (х) — 1 и lim QA (х) — 0 .
x—>0 x—— xc
Чтобы удовлетворить асимптотическим условиям, мы по аналогии с работой
[2] выбирали скейлинговую функцию для восприимчивости и корреляционной длины как в виде полиномиальной зависимо-
4
сти от х: Qa (х) = 1 + ^ cnxn , так и поли-
n=1
номиальной функции от экспоненты e-1/x:
Значения критических характеристик для двух типов аппроксимаций (pol) и (exp) и их усредненные (aver) значения для систем с различными спиновыми
концентрациями p
V Y 0^ 0X T ^ A c T x A c
p=0.95 pol 0,6883(15) 1,3339(25) 0,141(52) 0,152(50) 4,26264(4) 4,26269(3)
exp 0,6935(26) 1,3430(33) 0,113(64) 0,142(54) 4,26265(5) 4,26270(3)
aver 0,6909(33) 1,3385(54) 0,137(56) 4,26267(4)
p=0.80 pol 0,6960(29) 1,3473(30) 0,180(107) 0,193(74) 3,49937(21) 3,49954(14)
exp 0,6947(28) 1,3421(30) 0,147(94) 0,192(71) 3,49940(21) 3,49961(14)
aver 0,6956(29) 1,3447(40) 0,178(87) 3,49948(18)
p=0.60 pol 0,7272(37) 1,4253(34) 0,221(147) 0,201(63) 2,42409(11) 2,42404(6)
exp 0,7233(24) 1,4054(43) 0,184(92) 0,192(109) 2,42414(8) 2,42423(7)
aver 0,7253(36) 1,4154(107) 0,199(103) 2,42413(9)
p=0.50 pol 0,7372(25) 1,4299(26) 0,164(159) 0,195(74) 1,84503(7) 1,84512(3)
exp 0,7368(26) 1,4266(30) 0,242(96) 0,226(66) 1,84503(7) 1,84519(3)
aver 0,7370(33) 1,4283(33) 0,207(100) 1,84509(6)
4
Од (Х Ь 1 + 1 Спе пПх , с подбираемыми по
п=1
методу наименьших квадратов коэффициентами Сп для каждой температуры Т.
В качестве примера для систем с р=0,50 на рис. 1 и 2 представлены скей-линговые функции для восприимчивости X, полученные для различных температур с использованием полиномиальной аппроксимации от переменной х (рис. 1) и от переменной е-1/х (рис. 2). На рисунках видно, что скейлинговые функции демонстрируют стремление к единой универсальной кривой во всей области изменения переменной хь. Аналогичное поведение скейлинговых функций было зафиксировано для корреляционной длины | для систем с р=0,50, а также для всех рассмотренных спиновых концентраций. На сводных рис. 3 и 4 представлены усредненные скейлинговые функции для корреляционной длины и восприимчивости для различных спиновых концентраций р, полученные с использованием полиномиальной аппроксимации от х (рис. 3) и от е-1/х (рис. 4). Усредненные скей-линговые функции наглядно демонстрируют существование двух классов универсального критического поведения для разбавленной модели Изинга с различным характером их поведения для слабо неупорядоченных (р=0,95; 0,80) и сильно неупорядоченных (р=0,60; 0,50) систем.
На рис. 5 и 6 представлена совокупность асимптотических значений для корреляционной длины |(Т) и восприимчивости х(Т), полученных с использованием усредненных скейлинговых функций для различных температур и различных спиновых концентраций.
Асимптотический критический индекс 5 термодинамической величины А(т) определяется выражением
5 = -Нш1п^(т), Л(г) = Л±|г| 5, (6)
т^° 1п|г|
где А+ и А- - критические амплитуды выше и ниже критической точки соответственно. Степенной закон типа (6) является точным лишь в пределе 0. Для расчета критических индексов в промежуточном неасимптотическом режиме необходимо вводить дополнительные поправочные слагаемые к степенному закону (6). В соответствии с разложением Вегнера [3]:
л(г) = (л° + А1тюу + Л2т2ю + ...)тЛ (7)
где А; - неуниверсальные амплитуды, ю -критический индекс поправки к скейлин-гу. В настоящей работе для расчета характеристик критического поведения для неупорядоченных систем мы ограничились учетом первой поправки к асимптотическому поведению для корреляционной длины и восприимчивости:
^(т) = ту(Л° + А тв), е = юу, (8)
х(т) = т^(Лх + АУ) (9)
и провели расчёт значений критических индексов v, у и 9, а также критических температур, используя метод наименьших квадратов для наилучшей аппроксимации полученных значений |(х) и %(х) выражениями (8) и (9). В таблице представлены полученные для различных спиновых концентраций p значения критических характеристик при использовании исходных данных, соответствующих различным аппроксимациям для скейлинговых функций, а также усредненные по аппроксимациям значения. Видно, что критические индексы образуют две группы, близкие по значениям в пределах погрешностей вычисления: одна группа с p=0,95; 0,80, т. е. для слабо неупорядоченных систем со спиновыми концентрациями p, большими порога примесной пер-коляции Pimp (для кубических систем Pimp=0,69), другая с p=0,60; 0,50 для сильно неупорядоченных систем с pc< p < pimp, где pc - порог спиновой перколяции (для кубических систем pc=0,31), когда в системе существуют два взаимопроникающих протекающих кластера - спиновый и примесный. При этом значения критических индексов для слабо неупорядоченных систем хорошо соотносятся со значениями v=0,678(10), Y=1,330(17), 9=0,170(71) (ю=0,25(10)), полученными в [4] ренормгрупповыми методами в шестипетлевом приближении и справедливыми лишь для систем с малыми концентрациями примесей.
Полученные значения критических индексов V и y находятся также в достаточно хорошем согласии с имеющимися результатами экспериментальных исследований разбавленных изингоподобных магнетиков (см. таблицы и обсуждение результатов в [1]).
На основе проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
- скейлинговые функции и значения критических индексов для корреляционной длины и восприимчивости демонстрируют существование двух классов универсального критического поведения для разбавленной модели Изинга с различными характеристиками для слабо и сильно неупорядоченных систем;
- полученные значения критических индексов для слабо неупорядоченных систем находятся в хорошем согласии в пределах статистических погрешностей моделирования и применяемых численных аппроксимаций с результатами теоретикополевого описания;
- результаты моделирования согласуются с результатами экспериментальных исследований разбавленных изингопо-добных магнетиков.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. // УФН. 2003.
Т. 173. С. 175.
[2] Kim J.-K., A.J. de Souza and Landau D.P. // Phys.
Rev. E. 1996. V. 54. P. 2291.
[3] Wegner F.J. // Phys. Rev. B. 1972. V. 5. P. 4529.
[4] Pelissetto A.., Vicari E. // Phys. Rev. B. 2000. V. 62.
P. 6393.
