CC BY
30
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2008. № 3. С. 19-24.
УДК 539.173
В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Вакилов, В.Н. Бородихин, А.С. Криницын, А.А. Кролевец
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ РЕЛАКСАЦИИ В СЛАБО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА
Using Monte Carlo simulations it was studied the non-equilibrium critical relaxation in the three-dimensional site-diluted weakly disordered Ising model with spin concentrations p=0.95, 0.80. The values of exponents for power-law time dependence of magnetization, and the logarifmic derivative of the magnetization and Binder cumulant were determined with the use of corrections to scaling method. The static and dynamic critical exponents with correction to scaling were calculated. They demonstrate a good agreement with results of theoretical-field description and results of experimental investigations for diluted Ising-like systems.
В последние годы усилия целого ряда исследователей были связаны с развитием теории динамического скейлинга и универсальности критической динамики в коротковременном режиме [1]. Как ренорм-групповым методом [2; 3], так и методами компьютерного моделирования [1; 4] было проведено исследование влияния неравновесных начальных состояний, нарушающих временную трансляционную инвариантность поведения системы, на ее критическую релаксацию. В результате был выявлен степенной скейлинговый характер неравновесной критической релаксации различных систем уже на относительно малых временах их эволюции. Статические и динамические критические индексы, определяемые методом коротковременной динамики, находятся в хорошем согласии со значениями критических индексов, вычисляемых в равновесном состоянии системы. Несмотря на несомненные успехи, достигнутые в этом направлении, многие аспекты физики фазовых переходов оказались незатронутыми. В частности, вопрос о реализации универсального критического поведения в коротковременном режиме для структурно неупорядоченных систем пока остается открытым.
Настоящая работа посвящена численному исследованию методом Монте-Карло неравновесной критической релаксации в коротковременном режиме для трехмерной слабо неупорядоченной модели Изин-га со спиновыми концентрациями р=0.95, 0.80 и выявлению влияния структурного беспорядка на характеристики критической эволюции системы. В работе рассматривается модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с линейным размером Ь и наложенными граничными условиями. Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Изинга задается выражением
© В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Вакилов, В.Н. Бородихин, А.С. Криницын, А.А. Кролевец, 2008
Н _- J I Р.Р^Ї,
(1)
где Л>0 - интеграл обменного взаимодействия между закрепленными в узлах решетки спинами Б;, принимающими значения ±1. Немагнитные атомы примеси образуют пустые узлы. Числа заполнения р; при этом принимают значения 0 или 1 и описываются функцией распределения
Р(Рг Ы1 - Р)5(Рг ) + Р5( - Рг ) (2)
с р=1-с, где с - концентрация атомов примеси.
Примесь равномерно распределяется по всей системе, и при моделировании ее положение фиксируется для отдельной примесной конфигурации. Для моделирования спиновых конфигураций в системе был применен алгоритм Метрополиса. Нами была исследована релаксационная динамика системы, описываемая моделью А в классификации моделей критической динамики, проведенной Хоэнбергом и Гальпериным [5]. Алгоритм Метрополиса, реализующий динамику односпиновых переворотов, наилучшим образом соответствует релаксационной модели А и позволяет нам провести сравнение получаемого в результате моделирования критической релаксации системы динамического критического индекса z с результатами нашего ренормгруппового описания [6] критической динамики модели А для систем с пространственно некоррелированным распределением дефектов структуры.
В данной работе был применен метод коротковременной динамики (МКД) для получения значений как динамического, так и статических критических индексов. Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (от 1000 до 2000 шагов Монте-Карло на спин (МСБ)) на ранней стадии развития системы в критической точке или ее окрестности.
МКД был обоснован результатами аналитических и численных исследований, проведенных в работах [2; 4]. Так, в работе [2] на основе ренормгруппового анализа было показано, что после микроскопически малого промежутка времени 1:тю для к-го момента намагниченности системы реализуется скейлинговая форма
М(к)^ ,т, Ь, т0) =
= Ъ-кр,уМ(к)(Ъ-гГ, Ъ1,ут, Ъ-Ь, ЪХот0), (3)
где 1 - время, т=(Т-Тс)/Тс - приведенная температура, Ь - произвольный масштабный фактор, Ь - линейный размер решетки, в, V, z - известные критические индексы, х0 - новый независимый критический индекс, задающий масштабную размерность начального значения намагниченности т0.
Для неупорядоченных систем вычисление М(к )(^) осуществляется в виде
м(к)(і) =
Ґ
N..
л
к\
I рА
У
(4)
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по спиновым конфигурациям, а квадратные скобки - усреднение по различным реализациям распределения дефектов структуры в системе при заданной спиновой концентрации р, Ы8=рЬ3 - число спинов в решетке. В данной работе проводилось усреднение вычисляемых величин по 6000 различных примесных конфигураций для систем с р=0,95 и по 50 000 примесных конфигураций для систем с р=0,80.
Начальное состояние системы выбирается обычно либо с т0<< 1, либо с т0=1. Исследования показывают, что динамический процесс, начинающийся с полностью упорядоченного состояния (т0=1), более предпочтителен из-за меньшего влияния флуктуаций на результаты. Более того, в этом случае не возникает зависимости от нового критического индекса Х0. В данной работе мы использовали полностью упорядоченное начальное состояние, соответствующее Т=0 (когда все спины ориентированы в одном направлении). Используя в (3) т0=1, а также выбирая фактор Ь= 1:1/!!, получим
М(к )(Г,т, Ь,1) =
__ £-кр/гу у
М (к)(1, і 1 гт, і гL, і 2). (5)
Для намагниченности (к=1) уравнение (5) для решеток с достаточно большими линейными размерами Ь можно переписать в виде
М(і, т) _ ігУМ(1, і1 гу т)
~р/гу .
(1 + Аі1 гут + 0(т2)),
(6)
1
і
Рис. 1. Временные зависимости намагниченности для систем с р=0,95 (а) и р=0,80 (Ь) при температурах ТС (кривые 1) и ГС±ЛГ (кривые 3 и 2) в двойном логарифмическом масштабе
Рис. 2. Временные зависимости критического поведения (Т=ТС) кумулянта Биндера для систем с р=0,95 (а) и р=0,80 (Ь) в двойном логарифмическом масштабе
г, мее/е г, мее/е
Рис. 3. Временные зависимости критического поведения (Т=Тс) логарифмической производной намагниченности для систем с р=0,95 (а) и р=0,80 (Ь) в двойном логарифмическом масштабе
—і—'—і—•—і—•—і—'—і—
0,22 0,23 0,24 0,25 0,26
/3 /их /З І”*
Рис. 4. Погрешность аппроксимации намагниченности соотношением (11) при значении ш/7=0,181 для систем с р=0,95 (а) и при значении ш/7=0,265 для систем с р=0,80 (Ь)
где в пределе т^0 оно приобретает вид:
М (г)~ г~в'2У. (7)
Другой определяемой в данной работе величиной является кумулянт Биндера, характеризуемый выражением
M (2)(t)
U(t) _ M (t) -1.
(M (t))2
(B)
Скейлинговый анализ показывает, что в критической точке поведение кумулянта Биндера описывается степенным законом
U (t) ~ t
d I z
(9)
(10)
где d - размерность системы.
Представляя (6) в виде
1п М (г, т) = (-в / г V) 1п г + 1п М (1, г12Ут) и дифференцируя по т, можно получить соотношение для логарифмической производной намагниченности д
—1п М (г ,т)|т=0 X г1/-. дт
Численное определение намагниченности, ее логарифмической производной и кумулянта Биндера позволяет рассчитать динамический индекс z и статические индексы в и V.
В настоящей работе осуществлялось моделирование кубических решеток с размерами Ь=128 при критических температурах Тс=4,26267 и Тс=3,49948 для систем со спиновыми концентрациями р=0,95 и р=0,80 соответственно, определенными нами при численных Монте-Карло исследованиях неупорядоченной
модели Изинга в равновесном состоянии
[7]. Временное поведение намагниченности и кумулянта Биндера исследовалось на временах до 1200 МСЭ. Для вычисления логарифмической производной дт1пМ осуществлялся расчет намагниченности для двух температур, смещенных относительно Тс на интервал ДТ=0,005. На рисунке 1 (а, Ь) представлены в двойном логарифмическом масштабе усредненные временные зависимости для намагниченностей систем с р=0,95 (рис. 1а) и с
р=0,80 (рис. 1Ь) при температурах Тс и Тс±ДТ. На рисунках 2 (а, Ь) и 3 (а, Ь) представлены для данных систем временные зависимости для кумулянта Биндера и логарифмической производной намагниченности также в двойном логарифмическом масштабе. В неупорядоченных системах, в отличие от поведения однородных систем [1], может быть выявлено два универсальных динамических критических режима со степенным временным
изменением М(1:), Щ1) и дт1пМ(1:), а именно: на раннем временном интервале 1=[20,200] реализуется критическое релаксационное поведение, соответствующее поведению однородной системы, определяемое динамическим критическим индексом z=2,03(1), а лишь затем, проходя через режим кроссоверного поведения, в интервале £=[250,950] для М(1) и в интервале £=[550,950] для Щ и дт1пМ реализуется динамический режим критического поведения неупорядоченной системы.
В работе нами был также осуществлен учет поправок к асимптотической зави-
симости измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем, так как только учет данных поправок к скейлингу позволяет получать корректные значения критических индексов в термодинамическом пределе Ь^ж. Для этого мы применили следующие выражения для временной зависимости наблюдаемых величин Х(1:):
X (г)~ г 5(1 + Ахг г), (11)
где Ах - неуниверсальные амплитуды, о является критическим индексом поправки к скейлингу, а показатель б = -в^г в случае Х=М(1), б = d/z в случае Х=и(1) и б =
1^г в случае Х=5т1п М(1).
Для расчета значений критических индексов в^г, d/z и о/г на временном интервале, соответствующем влиянию структурного беспорядка, был применен метод наименьших квадратов для осуществления наилучшей аппроксимации значений М(1), Щ и дт1пМ(1 выражением (11). Процедура заключалась в следующем: 1) временной интервал проявления
В таблице приведены полученные итоговые значения критических показателей в^г для намагниченности, d/z для кумулянта Биндера и 1 для логарифмической производной намагниченности, соответствующие им суммарные погрешности, а также показатели о/г для этих величин, соответствующие минимальным погрешностям процедуры аппроксимации
(11). На основе данных значений показателей были определены для систем с р=0,95 динамический критический индекс г=2,185(17), отношение статических критических индексов в^=0,533(7), критические индексы v=0,668(22),
в=0,356(11) и усредненные значения критического индекса поправки к скейлингу о=0,369(92), для систем с р=0,80 - значения соответствующих критических ин-
влияния дефектов структуры разбивался на всевозможные участки Д1;, от участков с Д1 = 50 до участков с Д1 = 550; 2) на каждом из участков Д1 осуществлялось определение значения показателя б при фиксированном значении о/г; 3) найденные значения б усреднялись по выбранным участкам с определением среднего значения <б> и погрешности аппроксимации Дб; 4) индекс о/г определялся из условия минимальности значений относительных погрешностей проведенных аппроксимаций Дб (рис. 4).
Наряду с аппроксимационной погрешностью Дб для показателей б определялась их статистическая погрешность. Для этого общее количество используемых для усреднения примесных конфигураций делилось на 5 групп. Для каждой из групп вычислялись показатели в^г, d/z и 1^г, а затем вычислялись отклонения от показателей, найденных при использовании усредненных по общему количеству примесных конфигураций значений М(1:), и(1
и дт1п М(1:).
дексов z=2,208(22), р/у=0,490(6),
у=0,685(23), в=0,336(10) и м=0,397(97). Сопоставление полученных значений критических индексов для слабо неупорядоченных систем показывает, что они принадлежат к одному универсальному классу систем с совпадающими в пределах статистических погрешностей проведенных численных исследований характеристиками критического поведения со средними значениями критических индексов z=2,197(30), у=0,677(31), в=0,346(20) и ю=0,383(108).
Проведем сопоставление полученных значений критических индексов с результатами исследований, проведенных в других работах. Так, найденные нами значения индексов находятся в достаточно хорошем соответствии с результатами
Значения критических показателей и погрешностей их определения для систем с различными спиновыми концентрациями р
р Показатели Средние значения Погрешности аппроксимаций Статисти ческие погрешности ш/г
0,95 РМ 0.244 0.00011 0.00187 0.234
d/z 1.373 0.00938 0.01154 0.092
1/vz 0.685 0.00117 0.02385 0.181
0,80 РМ 0.222 0.00024 0.00087 0.265
d/z 1.359 0.01209 0.01485 0.132
1/vz 0.661 0.02158 0.00700 0.142
работ по компьютерному моделированию, где для слабо неупорядоченных систем были получены значения v=0,684(5), в=0,355(3), ю=0,370(63) [8], v=0,68з(з),
Р=0,354(2) [9], v=0,693(5), ю=0,26(13) [7], z=2,20(8) [10], а также с результатами теоретико-полевого описания, где для слабо неупорядоченных систем были найдены следующие значения: v=0,678(10), в=0,349(5), о=0,25(10) [11], z=2,179(2) [6] и результатами экспериментальных исследований изингов-ских магнетиков, дающих v=0,69(1),
в=0,350(9) (результатні представленої в обзоре [12]), z=2,18(10) [13].
На основе проведенных исследований критического поведения слабо неупорядоченных систем со спиновыми концентрациями р=0,95 и р=0,80 можно сделать следующие выводы: данные системы принадлежат к одному универсальному классу с совпадающими в пределах статистических погрешностей проведенных численных исследований значениями критических индексов; полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии в пределах статистических погрешностей моделирования и применяемых численных аппроксимаций с результатами теоретико-полевого описания, результатами моделирования критического поведения другими методами, а также согласуются с результатами экспериментальных исследований изинговских неупорядоченных магнетиков. Метод коротковременной динамики позволяет адекватно описывать критическое поведение структурно неупорядоченных систем. В неупорядоченных системах, в отличие от поведения однород-
ных систем, выявлено два универсальных динамических критических режима со степенным временным изменением измеряемых величин, а именно: на раннем временном интервале реализуется критическое релаксационное поведение, соответствующее поведению однородной системы, и лишь затем, проходя через некоторый интервал кроссоверного поведения, реализуется динамический режим критического поведения неупорядоченной системы.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Zheng B. // Int. J. Mod. Phys. B. 1998. V. 12.
P. 1419.
[2] Janssen H.K., Schaub B., Schmittmann B. // Z.
Phys. B. 1989. V. 73. P. 539.
[3] Chen Y. // Phys. Rev. B. 2001. V. 63. 092301.
[4] Huse D. // Phys. Rev. B. 1989. V. 40. P. 304.
[5] Hohenberg P.C., Halperin B.I.// Rev. Mod. Phys.
1977. V. 49. P. 435.
[6] Криницын А. С., Прудников В. В., Прудников П. В.
// ТМФ. 2006. Т. 147. № 1. С. 137.
[7] Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А.Н.,
Криницын А.С. // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. № 2. С. 417.
[8] Ballesteros H.G., Fernandez L.A., Martin-Mayor V.,
et al. // Phys. Rev. B. 1998. V. 58. P. 2740.
[9] Calabrese P., Martin-Mayor V., Pelissetto A. et al.
// Phys. Rev. E. 2003. V. 68. P. 036136.
[10] Прудников В.В., Вакилов А.Н. // ЖЭТФ. 1993. Т. 103. С. 962.
[11] Pelissetto A.., Vicari E. // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 6393.
[12] Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. // УФН. 2003. Т. 173. С. 175-200.
[13] Rosov N., Hohenemser C., Eibschutz M. // Phys. Rev. B. 1992. V. 46. P. 3452.
