Влияние анизотропии поверхностного сцепления на ориентационные переходы в ферронематиках Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Физика Вып. 1 (27)

Влияние анизотропии поверхностного сцепления на ориентационные переходы в ферронематиках

А. Н. Захлевных, О. Р. Семенова

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В рамках континуальной теории исследовано влияние анизотропии поверхностного сцепления на индуцированные магнитным полем ориентационные переходы в плоском слое ферронематика. Рассмотрен ферронематик с мягкими гомеотропными условиями сцепления магнитных частиц с нематической матрицей. Показано, что в зависимости от параметра анизотропии поверхностного сцепления в слое могут происходить фазовые переходы как первого, так и второго рода.

1. Введение

Вопрос о конкретной форме анизотропной составляющей свободной поверхностной энергии является одним из ключевых в физике поверхности жидкого кристалла (ЖК). Самая простая форма предложена Рапини [1]:

1 2

Fsur =-- W0(ne)2,

где n - директор ЖК, e - ось легкого ориентирования директора на поверхности, W0 - поверхностная плотность энергии сцепления молекул ЖК со стенками ячейки. Однако такой простейший вид Fsur может быть использован только для достаточно грубых оценок. Исследования поверхностной энергии показали, что она является функцией с резким минимумом вблизи направления легкого ориентирования и относительно широким “плато” для остальных ориентаций [2-8]. Такую функцию можно аппроксимировать, например, эллиптическим синусом [2]

1

Fsur = - Wosn2(0, к),

где в - угол между осью легкого ориентирования и директором, 0 < к < 1 - модуль эллиптической функции. В некоторых случаях [3-5] используется разложение функции поверхностной энергии по четным полиномам Лежандра

Fsur =Е Wj sm2J в ,

J

где в - угол между n и e, Wj - коэффициенты разложения. Слагаемое с коэффициентом W-, например, соответствует потенциалу Рапини. В [5] проведено сравнение различных форм функции

F

sur •

В работах [6-8] для исследования ориентационных переходов в нематических жидких кристаллах ограничиваются двумя членами разложения Fsur по четным полиномам Лежандра и записывают поверхностный потенциал в виде

Fsur = - Wo sin2 в(1 -С sin2 в), (1)

где С е [-1,1] - параметр поверхностной анизотропии; С = 0 соответствует форме Рапини, С < 0 означает, что кривая Fsur круче, чем для кривой с С = 0 , а С > 0 — кривая Fsur более пологая, чем в случае с С = 0 . Все указанные выше потенциалы минимизируются при n || e, т.е. минимуму данных потенциалов отвечает планарное поверхностное сцепление. Фактически вид потенциала Fsar и значение параметра С зависят от свойств твердой поверхности и жидкого кристалла. В [4] для нематика 5ВС, ограниченного SiO поверхностью, было определено экспериментально, что С = 0.22. Авторами работ [6-8] показано, что при С > 0 в нематических ячейках происходят индуцированные магнитным полем фазовые переходы первого рода, в то время как для С = 0 при тех же условиях -переходы второго рода.

© А. Н. Захлевных, О. Р. Семенова, 2009

В данной работе изучается влияние анизотропии потенциала поверхностного сцепления, выбранного в виде (1), на ориентационные переходы в ферронематических жидких кристаллах.

2. Свободная энергия и уравнения равновесия

Рассмотрим плоскопараллельную ячейку ферронематика толщиной L . Предположим, что ограничивающие поверхности идентичны друг другу, ось легкого ориентирования е параллельна этим поверхностям и направлена по оси x: е=(1,0,0). Выберем ось г перпендикулярно плоскости слоя, так что г=0 соответствует нижней границе, а г=L - верхней границе, внешнее магнитное поле направим вдоль ограничивающих поверхностей в направлении оси у : Н=(0,Н,0) (см. рис. 1).

уА

в х

Рис. 1. Геометрия задачи

Равновесная конфигурация поля директора и намагниченности определяется условием минимума полной свободной энергии ферронематика

F = JFvdV + fFsurdS, (2)

включающей в себя как объемную, так и поверхностную части.

Объемная плотность свободной энергии ферронематика определяется выражением [9, 10]

Fv = 1 [а-, J (div и)2 + А 22 (n rot и)2 + К33 (их rot и)2 ]-

1 W k T

-~ха(nH)2 -MsfmH +-Pf (mn)2 +-^f lnf . (3)

2 d v

Здесь А - константы Франка ориентационной упругости жидкого кристалла, %а - анизотропия диамагнитной восприимчивости, H - напряженность внешнего магнитного поля, Ms - намагниченность насыщения материала магнитных частиц, v - объем частицы, f - объемная доля магнитных частиц в суспензии, m - единичный вектор намагниченности M = Msfm ферронематика, d -

диаметр частицы, T - температура, kB - постоянная Больцмана. Параметр Wp представляет собой

анизотропную часть энергии поверхностного натяжения на поверхности магнитных частиц и называется энергией сцепления магнитных частиц с нематической матрицей. Предполагается Wp >0,

что отвечает мягкому гомеотропному сцеплению магнитных частиц с нематической матрицей, при котором в отсутствие внешних полей m L n.

Пусть нематик имеет положительную диамагнитную анизотропию (%а > 0), в этом случае директор будет стремиться ориентироваться вдоль направления приложенного поля H , в то же время магнитные частицы также стремятся ориентироваться длинными осями вдоль поля, и это в свою очередь оказывает конкурирующее действие на процесс ориентации ферронематика.

Представим компоненты директора n и единичного вектора намагниченности m в виде (см. рис. 1)

n = (cos в (z), sin в (z), 0),

m = (-sin^(z), cos^(z), 0), (4)

где в(z) - угол ориентации директора относительно оси х, ц/(z) - угол ориентации намагниченности относительно поля H .

Выберем в качестве единицы длины толщину ячейки L , тогда величина ~ = z / L будет безразмерной координатой. Определим безразмерные параметры

I = Msf0L / 4к22%а , К = L2kBTf0 /(vK22 ) ,

= L2 f0Wp /(K22d) , ^ =W0L/K22 ,

среднюю концентрацию магнитных частиц в суспензии f0 = Nv /V (N - число частиц, V - объем ферронематика) и безразмерную напряженность магнитного поля h = LH^jха / K22 . Смысл параметров | и к обсуждался ранее в работах [11 -13]. Параметр | представляет собой [11] отношение двух характерных полей: | = Hq /Hd и характеризует режимы влияния внешнего поля на ферронематик. Здесь Hd = K22 /(Msf0 L2) - поле, при

котором происходит искажение директора под действием только дипольного механизма;

Hq = L~'(K22/ ха )12 - характерное поле, вызывающее искажение директора под действием квад-рупольного механизма. Если | >> 1, то ориентационные деформации происходят благодаря дипольному механизму, а в случае | <<1 - квад-

рупольному. Параметр к = (L/Я)2, где

Х = (уК22 / /0квТ)1/2, - так называемая сегрегационная длина [14], задающая характерный масштаб области концентрационного расслоения. Параметр к ответствен за эффект сегрегации, заключающийся в накапливании магнитных частиц в тех областях слоя, где минимальна сумма их магнитной энергии и ориентационной энергии в матрице; в пределе к >>1 этот эффект несуществен.

Для суспензии магнитных у -Ре203 частиц с

намагниченностью насыщения М_^ ~ 340 Гс, диаметром ё ~ 7 • 10-6 см и объемом у ~ 2-1015 см3

[15] на основе нематика МББА при температуре 22°С с К22 ~ 3-10 7 дин и ха ~ 1-10_7 ед. СГСМ [14] для ячеек толщиной L ~ 102 см и средней концентрации магнитных частиц /0 ~ 10 6 безразмерные величины £ и к отвечают значениям: £ ~ 20 и к ~ 10-2.

Уравнения ориентационного равновесия находятся из условий минимума полной свободной энергии (2) и имеют следующий вид:

I h sin / = w p sin 2(в - /)

(5)

I h w

f=f0QexPi—cos/—-sin (в/, (6) кк

(7)

(8)

(9)

A-2(во,/(во)) = -w0 sih260[l - 2С sin2 во

в( ~)

~ = JAч/2(в,/(в)ув , во

вm і

J A ~1/2(в,/(в)) dв= -,

во 2

где введены обозначения

в0 = в(~) 1 ~=0 , вm =в(~)|~=1I2 ,

A(6,/(6)) = h2(sin2 6m - sin2 в) - 2 к[ f (в m ) - f (6)]I f .

Величина Q определяется соотношением I/ё¥=N , представляющим собой условие постоянства числа частиц в суспензии.

Полученная система уравнений (4) - (9) допускает существование трех типов решений, которые соответствуют трем видам упорядочений [16]:

• однородное упорядочение в = ^ = 0 отвечает начальному состоянию ферронематика, для которого директор направлен вдоль оси легкого ориентирования, а магнитные частицы

ортогональны директору; однородное упорядочение может существовать при к < кр , где Ир

- поле Фредерикса, определяемое уравнениями

[16]

AtgAI2 = w0, А2 = hр - -

2w-IhF

2w- +I hF

(10)

• возмущенное состояние ферронематика, которому отвечают неоднородные решения 0 <9(~) <п /2; это состояние возможно в диапазоне полей к < к < к , где пороговое поле к находится из уравнений [16]

ath aI2 = w0(1 - 2С), а = hs +

2wpI hs

2w--IhS

(11)

• состояние насыщения 9 = л /2, ц = 0 , для которого как директор, так и намагниченность ориентированы вдоль направления приложенного поля; оно возможно при к > к5 .

Полная свободная энергия в безразмерных единицах А=FL/(^ - площадь ограничивающих пластин), соответствующая однородному упорядочению , возмущенному состоянию и состоянию насыщения ^, определяется выражениями

Fu = 0,

(12)

Fd = 1\ {-h 2 sin2 вm -By(в)+к[y(вm ) -<р(в)]}}х

во 12 J

х A-1/2 (в,/)dв +Ih + w0 sin 2 в0 - - С sin 2 в0 ),

FS =--h 2 + w- + w0(1-C)

(1З)

(14)

где B=Ihcos^-wp sin (9-y) и р(в)=f (в)/f0.

В работе [16] были получены критические поля перехода из однородного состояния в состояние с возмущенным упорядочением h и перехода из возмущенного состояния в состояние насыщения hs, найдены зависимости этих полей от материальных параметров ферронематика и параметра поверхностной анизотропии Q . В настоящей работе изучены особенности ориентационных переходов в магнитном поле с учетом поверхностного потенциала (1) для ферронематика с положительной анизотропией диамагнитной восприимчивости.

3. Ориентационные переходы в феронематике

Система уравнений (4) - (9) решалась численно; для расчетов использовались значения параметров 1= 5, к = 4-10-4, wp = 0.05 и w0 =10 , что

отвечает L=2.5-10-3 см, W =1.7-10~2 дин/см и

W0 =1.2-10 3 дин/см (см., например, [10]).

На рис. 2 изображены зависимости поля насыщения hs (сплошные кривые) и поля Фредерикса h (пунктирные кривые) от энергии сцепления w на обкладках слоя. Область ниже кривой hF (w0) отвечает состоянию с однородным упорядочением, выше кривой hs (w0) для заданного й - состоянию насыщения. Как видно из рис. 2, рост параметра поверхностной анизотропии й приводит к уменьшению поля насыщения h . На рис. 2 показано, что в зависимости от энергии сцепления на нижней границе w0 и параметра й имеют место соотношения hs >hF или hs <hF , т.е. кривая hs (w0 ) лежит выше или ниже кривой hF (w0 ) . Кривые 1 и 2, для которых hs >hF , отвечают ориентационным переходам второго рода из однородной фазы в возмущенную и далее с ростом поля -переходу в состояние насыщения (что будет показано ниже). Кривые 5 и 6, для которых hs >hF, соответствуют ориентационным переходам первого рода.

На рис. 3 - 6 показаны зависимости вт (h), в0 (h) и полной свободной энергии трех типов упорядочений в магнитном поле для ферронематика с |=5, wp = 0.05, w0 =10 и к = 4-10-4 при разных значениях параметра поверхностной анизотропии й = 0 (рис. 3), й = 0 3 (рис. 4), й = 0 4 (рис. 5) и й = 0 5 (рис. 6). На рис. 3 - 6 термодинамически неустойчивые состояния однородного упорядочения и состояние насыщения не показаны.

Как видно из рис. 3, соответствующего потенциалу Рапини (й= 0 ), при h = hp = 2.64 (см. рис. 2) однородная фаза (участок ab) переходит в возмущенную фазу (переход Фредерикса), так что энергия возмущенного состояния F оказывается меньшей по сравнению со свободными энергиями однородной фазы F и состояния насыщения Fs . В интервале полей hF < h < hs возмущенная фаза абсолютно устойчива (участок be), а в поле h = hs = 10.01 (см. рис. 2) происходит плавный переход в состояние насыщения, т.е. переход второго рода (роль параметра порядка играет величина sin2 в). Значение h ~ 10, практически соответ-

ствующее полю насыщения, отвечает полям H ~ 7-103 Э.

Как показано на рис. 4 - 6, отвечающих поверхностному потенциалу (1) с й Ф 0 , ориентационные переходы происходят отличным от случая й = 0 (рис. 3) образом. При h < hF однородное упорядочение (вт = в0 = 0) является абсолютно

устойчивым, т. к. свободная энергия однородной фазы является наименьшей (участок ab). При h = hF (точка b) однородное упорядочение сменяется состоянием с возмущенным упорядочением, аналогично случаю на рис. 3. В интервале полей h < h < h , где h - поле, соответствующее точке e, состояние с возмущенным упорядочением (участок be) абсолютно устойчиво. Как видно из рис. 4 - 6, в поле h = hC происходит скачкообразный переход в состояние насыщения, величина ориентационного скачка определяется длиной отрезка ed. Таким образом, здесь происходит фазовый переход первого рода, роль параметра порядка играет величина sin2 вт .

Участок кривой efg, показанный на рис. 4 - 6 пунктирной линией, соответствует неустойчивым состояниям и определяет область многозначности функций вт (h) и в0 (h), характерной для переходов первого рода. Устойчивые ветви кривых в (h) и в (h ) , отвечающие минимуму свободной энергии (2), показаны сплошной кривой.

Рис. 2. Зависимость поля насыщения (сплошная кривая) и поля hF (пунктирная кривая) от энергии сцепления на обкладках слоя щ для ферронематика с £ = 5 и щр = 0.05 . Кривая 1 соответствует £= 0, 2 - £ = 0.1, 3 - £ = 0.2,

4- £ = 0.3 , 5- £ = 0.4, 6- £ = 0.5

Рис. 3. Зависимость углов 9т, 90 и полной свободной энергии ферронематика от напряженности магнитного поля к для £=5, к = 4-10-4, V р = 0.05 , w0 =10 и £ = 0

Рис. 4. Зависимость углов 9т, 90 и полной свободной энергии ферронематика от напряженности магнитного поля к для £= 5, к=4-10~4, Vр = 0.05 , w0 =10 и £ = 0.3 (пунктирные кривые отвечают неустойчивым состояниям)

Рис. 5. Зависимость углов 9т, 90 и полной свободной энергии ферронематика от напряженности магнитного поля к для £ =5, к = 4-10-4, Vр = 0.05 , щ =10 и £ = 0.4 (пунктирные кривые отвечают неустойчивым состояниям)

Рис. 6. Зависимость углов 9т, 90 и полной свободной энергии ферронематика от напряженности магнитного поля к для £= 5, к=4-10~4, = 0.05 , щ =10 и £ = 0.5 (пунктирные кривые отвечают неустойчивым состояниям)

Рис. 7. Зависимость критических полей кр, кс и к5 от параметра поверхностной анизотропии £ для ферронематика с £ = 5, щр = 0.05 , щ =10 и

к=4-10 “4

Результаты численного решения системы (4) -

(9) и уравнений (10) и (11) при £ = 5, щр = 0.05,

щ =10 и к=4-10 4 дают следующие значения: кр = 2.64 ; кс = 4.89 , к5 = 4.14 (рис. 4); кс = 4.00 , к5 = 2.42 (рис. 5); кс = 3.36, к5 = 0.33 (рис. 6).

Как видно из рис. 3 - 6, при уменьшении параметра поверхностной анизотропии £ значения полей к5 и кс увеличиваются, а скачок параметра порядка в точке перехода к = кс уменьшается и для выбранных значений параметров обращается в нуль при £* = 0.17 . Таким образом, £* определяет границу значений параметра анизотропии, при котором начинают происходить фазовые переходы первого рода: при £ <£* реализуются ориентационные переходы второго рода из возмущенной фазы в состояние насыщения, а при £ > £* — первого рода.

На рис. 7 представлена зависимость критических полей кр, кс и к5 от параметра поверхностной анизотропии £ для ферронематика с £ = 5, щр = 0.05, щ =10 и к = 4-10-4. Трикритическое

значение параметра £ = 0.17 отвечает точке пересечения кривых кс (£) и к5 (£). Второе пороговое значение £** = 0.65 соответствует точке пере-

сечения кривых кр (£) и кс (£) и может быть

** кр - 2щр определено по формуле £ = 1----------, где

2щ0

кр - поле Фредерикса, определяемое уравнениями

(10).

Как видно из рис. 7, кривая кс (£) является нижней границей области существования устойчи-

г г **

вого состояния насыщения, для £ <£ кривые кс (£) и кр (£) ограничивают область существования устойчивого возмущенного состояния, а пространство между осью абсцисс и кривой кр (£) соответствует устойчивому однородному

состоянию. Для £>£** ниже кривой кс(£) устойчиво однородное упорядочение, выше кривой к (£ ) - состояние насыщения. Таким образом,

при £ > £ ** происходит фазовый переход первого рода при к = кс из однородной фазы в состояние насыщения. Для £>£ поле кс может быть определено из равенства свободных энергий состояния с однородным упорядочением ру (12) и состояния насыщения р5 (14):

кс =у1 2щр + 2щ0(1 -£) .

4. Заключение

В работе исследовано влияние поверхностной анизотропии на индуцированное магнитным полем ориентационное упорядочение ферронематика. Вид поверхностного потенциала был выбран в форме (1). Показано, что в слое могут существовать три типа ориентационного упорядочения: однородное упорядочение, возмущенное упорядочение и состояние насыщения.

Установлено, что в зависимости от величины параметра поверхностного сцепления £ переход между состояниями с различным упорядочением может быть переходом либо первого, либо второго рода. Найдены пороговые значения параметра поверхностной анизотропии £ * (при £ > £ * могут быть реализованы фазовые переходы первого рода) и £** (при £ >£** происходит фазовый переход первого рода из однородной фазы в состояние насыщения). Показано, что рост параметра поверхностной анизотропии £ приводит к увеличению ориентационного скачка при фазовых переходах первого рода.

Работа выполнена при частичной поддержке грантов РЕ-009 СКЭБ и 07-02-96007, 09-02-00408 РФФИ.

Список литературы

1. Rapini A., Papoular M. // J. de Phys. Colloq. 1969. T. 30. P. 4.

2. Барник М. И., Блинов Л. М., Коркишко Т. В., Уманский Б. А., Чигринов В. Г. // Журн. экспе-рим. - теор. физ. 1983. Т. 85. С. 176.

3. YangK. H//J. dePhys. 1983. T. 44. P. 1051.

4. Yakoyama H., van Sprang H. A. // J. Appl. Phys. 1985. Vol. 57. P. 4520.

5. Блинов Л. М., Кац Е. И. Сонин А. А. // Успехи физ. наук. 1987. Т. 152. Вып. 3. С. 449.

6. Yang G.-C., Shj J.-R. and Ling Y. // Liquid Crystals. 2000. Vol. 27. P. 875.

7. Yang G.-C. and Zhang S.-H. // Ibid. 2002. Vol. 29. P. 641.

8. Yang G.-C., Guan R.-H. and Huai J. // Ibid. 2003. Vol. 30. P. 1225.

9. Brochard F., Gennes de P. G. // J. de Phys. 1970. Т. 31. P. 691.

10. Burylov S. V., Raikher Yu. L. // Mol. Cryst. and Liquid Cryst. 1995. Vol. 258. P. 107.

11. Zakhlevnykh A. N., Sosnin P. A. // J. Magn. and Magn. Mater. 1995. Vol. 146. P. 103.

12. Zakhlevnykh A., Shavkunov V. // Mol. Cryst. and Liquid Cryst. 1999. Vol. 330. P. 593.

13. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov V. S. // J. Magn. and Magn. Mater. 2000. Vol. 210. P. 279.

14. Жен де П. Физика жидких кристаллов. М.: Мир, 1977. 400с.

15. Burylov S. V., Zadorozhnii V. I., Pinkevich I. P., Reshetnyak V. Yu., Sluckin T. J. // Mol. Cryst. and Liquid Cryst. 2002. Vol. 375. P. 525.

16. Захлевных А. Н., Семенова О. Р. // Вестн. Перм. ун-та. 2008. Вып. 1(17). Физика. С. 80.