CC BY
61
К 70-ЛЕТИЮ
ВЛАДИМИРА ГИЛЕЛЕВИЧА МАЗЬИ
ВЛАДИМИР ГИЛЕЛЕВИЧ МАЗЬЯ
(к семидесятилетию)
31 декабря 2007 г. исполнилось 70 лет выдающемуся математику Владимиру Гилелевичу Мазье — автору многих фундаментальных результатов в области теории функций и математической физики.
В. Г. Мазья закончил математико-механический факультет ЛГУ в 1960 г. Он рано начал публиковаться: первая статья появилась в 1959 г., когда он был еще студентом 4 курса. В том же году он сделал доклад на семинаре В. И. Смирнова, где были представлены необходимые и достаточные условия справедливости интегральных неравенств соболевского типа. В 1962 г. он защитил в МГУ кандидатскую диссертацию на тему «Классы множеств и теоремы вложения функциональных пространств», основу которой составили идеи, высказанные в докладе на семинаре В. И. Смирнова.
В. Г. Мазья не имел формального руководителя ни по дипломной работе, ни по кандидатской диссертации. Но еще студентом он познакомился с С. Г. Михлиным, и это знакомство оказало большое влияние на его математическое мировоззрение.
С 1961 г. по 1986 г. В. Г. Мазья занимал должность старшего научного сотрудника НИИММ ЛГУ. В 1965 г. он защитил в ЛГУ докторскую диссертацию на тему «Задачи Дирихле и Неймана в области с нерегулярной границей». С 1968 г. по 1978 г. он читал лекции студентам Ленинградского кораблестроительного института, где в 1976 г. получил звание профессора В 1986 г. он перешел из ЛГУ в Ленинградское отделение института машиноведения АН СССР, где руководил лабораторией математических моделей в механике. В это же время работал консультационный центр по математике для инженеров, который создал и возглавлял В. Г. Мазья. Он же в 80-е гг. был одним из руководителей городского семинара по гидромеханике.
В 1990 г. В. Г. Мазья переехал в Линчёпинг (Швеция) и стал профессором местного университета. В том же году он получил звание почетного доктора университета в Ростоке. В 1999 г. ему была присуждена премия Гумбольдта. В 2000 г. В. Г. Мазья стал членом-корреспондентом Королевского математического общества в Эдинбурге, а в 2002 г. был избран действительным членом Шведской королевской академии наук.
В 2002 г. В. Г. Мазья был приглашенным докладчиком на Международном математическом конгрессе в Пекине. Он член редколлегии математических журналов, изда-
ваемых в США, Голландии, Германии, Швеции, Индии, Франции. В последние годы он является профессором университетов в Ливерпуле (Англия) и Коламбасе (Огайо, США).
Пятидесятилетняя научная деятельность юбиляра отражена в более чем 20 книгах и 420 статьях, свидетельствующих о его необыкновенной работоспособности. Приведем краткую характеристику некоторых из этих работ.
Изопериметрические и интегральные неравенства. Еще студентом В. Г. Мазья нашел, что неравенства соболевского типа эквивалентны изопериметрическим или емкостным неравенствам между подмножествами области определения функции. Эти результаты, опубликованные в 1960-1961 гг., вошли затем в кандидатскую диссертацию. Метод доказательства также позволял получать точные константы в интегральных неравенствах. Как заметил В. Г. Мазья в 1966 г., его доказательство не использует специфических свойств евклидова пространства и применимо к римановым многообразиям. Емкостные критерии интегральных оценок основаны на так называемом сильном емкостном неравенстве, которое доказал В. Г. Мазья (1964, 1972) и обобщения которого он получил в недавних работах (2005, 2006). Оказалось также (2003), что вложения в дробные пространства Бесова или потенциалов Рисса равносильны изопериметрическим неравенствам нового типа. Следует отметить, что студенческие работы Владимира Гилелевича оказали серьезное влияние на теорию пространств Соболева, а методы, используемые в этих работах, с успехом применяются в настоящее время, например, при исследовании пространств Соболева на метрических пространствах.
Нелинейные потенциалы. В 1970 г. В. Г. Мазья и В. П. Хавин вводят нелинейные потенциалы и изучают их свойства. В настоящее время теории нелинейных потенциалов (которую можно рассматривать как обобщение классической линейной теории) посвящена обширная литература. С помощью теории нелинейных потенциалов удалось ответить на многие вопросы теории функций, особенно касающиеся исключительных множеств.
Оценки для дифференциальных операторов общего вида. В 70-е годы В. Г. Мазья и И. В. Гельман изучали различные неравенства для дифференциальных и псевдодиф-ференциальных операторов в полупространстве и получили необходимые и достаточные условия справедливости таких неравенств для операторов, не принадлежащих априори к какому-либо типу. Книга [1] содержит результаты окончательного характера на эту тему.
Контрпримеры к 19-й проблеме Гильберта. Решения регулярных вариационных задач первого порядка с аналитическими коэффициентами согласно гипотезе Гильберта являются аналитическими. Ко второй половине XX века этот факт был установлен в достаточной общности. Возник естественый вопрос, верно ли то же самое и для вариационных задач порядка выше первого. В 1968 г. В. Г. Мазья показал, что это не так. Он построил квазилинейные эллиптические уравнения высоких порядков с аналитическими коэффициентами, имеющие негладкие решения.
Граничное поведение решений краевых задач. В. Г. Мазья получил в 1970 г. условие регулярности в смысле Винера граничной точки для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка, содержащих р-лапласиан. До 2002 г. не было результатов о регулярности граничной точки для уравнений порядка выше второго. В 2002 г. В. Г. Мазья обобщил условие Винера на эллиптические уравнения высокого порядка. На эту тему им был сделан доклад на Международном математическом конгрессе в Пекине.
Граничные интегральные уравнения. Ю. Д. Бураго и В. Г. Мазья в 1967 г. изучили гармонический потенциал простого и двойного слоев в пространстве С на поверхно-
стях широкого класса. В 1981 г. В. Г. Мазья предложил метод исследования граничных интегральных уравнений, в котором предварительно изучалась некоторая вспомогательная краевая задача. На этом пути удалось доказать теоремы о разрешимости классических граничных интегральных уравнений на кусочно-гладких поверхностях (в 2005 г. В. Г. Мазья и Т. О. Шапошникова обобщили этот метод на случай липшицевых поверхностей). В. Г. Мазья и А. А. Соловьев (1990) впервые рассмотрели интегральные уравнения на кривой, имеющей нулевые углы. С помощью упомянутого метода они построили теорию логарифмического потенциала для уравнений теории упругости в плоской области с пиком (2001).
Пространства Соболева в сингулярно возмущенных областях. Сингулярно возмущенной называется область, которая зависит от малых или больших параметров таким образом, что предельная область вырождается. Свойства пространств Соболева в этих областях существенно зависят от сингулярных параметров. Зависимость норм операторов вложения, продолжения и граничного следа от сингулярных параметров исследовалась в работах В. Г. Мазьи и С. В. Поборчего, начиная с 1980-х годов. Подобного рода результаты оказываются полезными при обосновании асимптотики решений краевых задач в сингулярно возмущенных областях. Теория пространств Соболева в таких областях отражена в недавней книге [2].
Асимптотическая теория эллиптических краевых задач в сингулярно возмущенных областях. Двухтомная книга [3] В. Г. Мазьи, С. А. Назарова и Б. А. Пламеневского посвящена изучению асимптотики решений эллиптических краевых задач в областях с малыми сингулярными возмущениями границы. Тому же кругу вопросов, касающихся асимптотической теории мультиструктур, посвящена и монография [4], написанная юбиляром совместно с В. А. Козловым и А. Б. Мовчаном.
Научная биография Адамара. В. Г. Мазья и его супруга Т. О. Шапошникова внесли существенный вклад в историю математики: они написали книгу о жизни и творчестве великого французского математика Жака Адамара [5, 6]. Книга содержит материалы, собранные авторами в различных архивах, а также анализ большого научного наследия Адамара. В 2003 г. авторов этой книги Французская академия наук наградила специальной премией.
1. Gel’man I. V., Maz’ya V. G. Abschätzungen für Differentialoperatoren im Halbraum, Berlin: Akademie, 1981; Basel-Boston: Birkhauser, 1982.
2. Мазья В. Г., Поворчим С. В. Теоремы вложения и продолжения для функций в нелип-шицевых областях. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006.
3. Maz’ya V. G., Nazarov S. A., Plamenevskii B. A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten, B. I, Storungen isolierter Randsingularitäten, B. II, Nichtlocale Storungen, Berlin: Akademie-Verlag, 1991; English transl.: Asymptotic Theory of Elliptic Boundary Value Problems in Singularly Perturbed Domains. Vol. 1-2, Operator Theory, Advances and Applications. Vol. 111, 112. Birkhauser, 2000.
4. Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Movchan A. B. Asymptotic Analysis of Fields in Multistructures. Oxford Science Publications, 1999.
5. Maz’ya V. G., Shaposhnikova T. O. Jacques Hadamard, a Universal Mathematician, History of Mathematics, 14. AMS, Providence, RI; London Mathem. Soc., London, 1998.
6. Maz’ya V. G., Shaposhnikova T. O. Jacques Hadamard, un mathematicien universel. EDP Sciences, 2005.
Приведем еще некоторые области, в которых работы Владимира Гилелевича оставили заметный след: аппроксимация аналитическими и гармоническими функциями, задача с косой производной, вырождающиеся эллиптические псевдодифференциальные операторы, теоремы единственности для систем Ламэ с данными на части границы, методы решения плохо поставленных краевых задач, спектральные свойства оператора Шрёдингера, мультипликаторы в парах пространств гладких функций, численные методы решения дифференциальных уравнений, волны на воде, особенности решений нелинейных дифференциальных уравнений. Список можно продолжить. Мы желаем юбиляру хорошего здоровья и дальнейших успехов.
М. В. Анолик, Ю. Д. Бураго, Ю. К. Демьянович, С. В. Кисляков, Г. А. Леонов, Н. Ф. Морозов, С. В. Поборчий, Н. Н. Уральцева,
В. П. Хавин, Н. А. Широков
