CC BY
30
42. Kostomarov D.P., Echkina E.Yu., Inovenkov I.N., Bulanov S.V., Leonenko A.V. The nonlinear dynamics of the business center in Beckmann's model // Abstracts in International Conference on Applications of Physics in Financial Analysis 4. 2003. 27C. P. A67.
43. Bulanov S. V., Echkina E. Yu., Inovenkov I. N. The evolution of the spatial economic model / / Abstracts Europhysics Conference on Computational Physics. Germany, Aachen, 2001. P. A115.
44. Bulanov S. V., Echkina E. Yu., Inovenkov I. N. The transformation of structurally unstable configurations into structurally stable ones in the Beckmann model // Abstracts in International Conference on Applications of Physics in Financial Analysis 1. 2000. 25C.
45. Bulanov S. V., Echkina E.Yu., Inovenkov I.N. The nonlinear dynamics of the business center in Beckmann's model // Physics Letters A. 2004. 344. P. 104-107.
46. Smirnov A.P., Shmelev А.В., Sheinin E. Y. Analysis of Fokker-Planck approach for foreign exchange market study // Abstracts in International Conference on Applications of Physics in Financial Analysis 4. 2003. 27C. P. A85.
Поступила в редакцию 15.09.04
Е. И. Моисеев, И. С. Ломов
СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
(кафедра общей математики факультета ВМиК)
В данной заметке изложены основные направления научных исследований преподавателей кафедры общей математики. На кафедре проводятся исследования по ряду фундаментальных проблем математической физики, теории оптимального управления, теории функций, вычислительных методов линейной алгебры, дифференциальной геометрии и компьютерной алгебры, актуарной математики. В частности, изучается общая задача граничного управления колебательными процессами, в том числе и задача о полном успокоении колебательного процесса. Исследуются спектральные характеристики различных задач математической физики. Эти задачи возникают при расчете ядерных реакторов, при исследовании устойчивости плазмы, колебательных процессов, в том числе и процессов, протекающих с диссипацией, т.е. с затуханием, а также при изучении сверхзвуковых и дозвуковых течений газа. Рассматривается устойчивость в процессах с нелинейными колебаниями, возникающими, например, при вращении гироскопов, движении частиц в ускорителях, изучаются вопросы о глобальном во времени существовании и об асимптотическом поведении решений нелинейных эволюционных уравнений и систем уравнений. Развиваются как аналитические, так и численные методы исследования дифференциальных уравнений в частных производных. Изучаются линейные уравнения смешанного типа, системы уравнений типа Стокса. Введены в расмотрение и успешно применяются для решения ряда задач новые функциональные пространства — усиленные и ослабленные пространства Соболева.
Кафедра общей математики создана в 1973 г. по инициативе академика А. Н. Тихонова. Организатор и бессменный руководитель кафедры — лауреат Государственной премии академик РАН В. А. Ильин. Владимир Александрович Ильин создал широкий круг единомышленников, развивающих математическую науку в России и за ее пределами. Более половины сотрудников кафедры принадлежат к большой научной школе академика Ильина.
На кафедре работают декан факультета ВМиК МГУ академик РАН Е. И. Моисеев, профессора В. В. Власов, A.A. Дезин, Е.Г. Дьяконов, Х.Д. Икрамов, И. С. Ломов, М.М. Хапаев, Е.В. Шикин, И. А. Шишмарев, 14 доцентов, 1 старший преподаватель, 3 ассистента.
Опишем ряд конкретных полученных результатов.
1. Вопросы спектральной теории самосопряженных дифференциальных операторов.
В конце 1960-х—начале 1970-х гг. В. А. Ильиным был разработан универсальный метод изучения спектральных разложений, отвечающих произвольным самосопряженным расширениям эллиптических операторов [1]. Хотя вопросам локализации и равномерной сходимости спектральных разложений
посвящены многочисленные исследования, только предложенный метод позволил для произвольной области или многообразия и любого спектра установить точные условия равномерной сходимости как самих спектральных разложений, так и их средних Рисса. Причем эти условия являются окончательными в каждом из функциональных классов Соболева W", Никольского Н" Лиувилля L", Бесова В" й
__Р Р Р Р
и Зигмунда-Гельдера Са. Примечательно следующее: несмотря на то что объектом этих исследований являлись произвольные самосопряженные расширения эллиптических операторов с переменными коэффициентами в произвольных областях и с произвольным спектром, полученные условия являются окончательными и для каждого индивидуального спектрального разложения (и, в частности, для разложений в iV-кратный интеграл Фурье и в iV-кратный тригонометрический ряд Фурье).
Доказанные в 1971-1972 гг. теоремы об отсутствии равносходимости разложений по собственным функциям в iV-мерной области и в iV-кратный интеграл Фурье для функции из класса Зигмунда-Гельдера Са при любом а < (N — 1)/2, а затем об отсутствии риссовской равносуммируемости порядка s указанных двух разложений для функции из класса Зигмунда-Гельдера Са при любом а < (N — 1)/2 — s продемонстрировали тонкий характер полученных результатов. Тем самым было показано, что теоремы об отсутствии сходимости спектральных разложений или их средних Рисса невозможно получить из аналогичных теорем для разложений в iV-кратный интеграл Фурье и в iV-кратный тригонометрический ряд Фурье. Большой вклад в развитие этого направления внесли Ш.А. Алимов, Е. И. Моисеев, И. А. Шишмарев, B.C. Серов.
Позже, в 1994-1997 гг., метод исследования сходимости спектральных разложений В. А. Ильина был плодотворно применен для изучения самосопряженных расширений оператора Шредингера, заданного во всем пространстве RN, N ^ 1. Доказанные при этом результаты о равномерной на всей прямой R равносходимости спектрального разложения, отвечающего одномерному оператору Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом, и разложения в интеграл Фурье [2], о равномерной во всем пространстве RN при N = 1, 2, 3 точной оценке приращения спектральной функции оператора Шредингера с потенциалом, удовлетворяющим условию Като [3, 4], имеют высокий индекс цитируемости в математической научной литературе.
Вопросам построения специальных самосопряженных расширений для оператора Лапласа посвящена защищенная в 2004 г. докторская диссертация М.В. Коровиной "Эллиптические задачи в пространствах с асимптотиками и их приложения к построению самосопряженных расширений оператора Лапласа" [5].
2. Вопросы спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов.
Выдающимся вкладом в науку является цикл работ В. А. Ильина и его учеников, опубликованный в 1975-2004 гг., по спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов.
Предшествовавшие этим результатам работы М.В. Келдыша о полноте системы корневых (т.е. собственных и присоединенных) функций широкого класса дифференциальных операторов не дали ответа на весьма актуальный для приложений вопрос, образует ли такая система базис, т.е. можно ли произвольную функцию из некоторого класса разложить в биортогональный ряд по этой системе.
В основе развитых на кафедре методов построения спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов лежит отказ от задания краевых условий в каком-либо конкретном виде и рассмотрение корневых функций только как регулярных решений соответствующих дифференциальных уравнений со спектральным параметром. Это позволяет охватить случаи совершенно произвольных (нелокальных, зависящих произвольным образом от спектрального параметра) краевых условий, а также дифференциальные операторы, в область определения которых входят разрывные функции.
Центральное место занимает установленное В. А. Ильиным конструктивное условие, необходимое и достаточное как для базисности в Lp (р > 1) на любом компакте системы корневых функций несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора произвольного порядка, так и для равномерной на любом компакте равносходимости разложения произвольной функции из класса Lp (р ^ 1) в биортогональный ряд по этой системе и в обычный тригонометрический ряд Фурье [6-8].
Выяснилось, что это соотношение и его обобщения служат необходимыми и достаточными условиями различных результатов, связанных с несамосопряженными дифференциальными операторами. Так, например, оно необходимо и достаточно для существования полной системы интегралов движения у нелинейной эволюционной системы, порождаемой (L — А)-представлением П. Лакса [9], и для безусловной базисности и базисности Рисса в ¿2 системы корневых функций несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора второго [10] и более высокого порядков.
Крайне важными для анализа биортогональных разложений в случае, когда общее число присоединенных функций бесконечно (этот случай назван В. А. Ильиным существенно несамосопряженным), оказались оценки нормы каждой корневой функции через норму корневой функции из той же цепочки, но на единицу большего порядка. Эти обнаруженные В. А. Ильиным [11, 12] оценки, получившие название антиаприорных, как выяснилось, играют принципиальную роль для анализа функциональных свойств систем корневых функций [13].
Большую роль при получении точных результатов по спектральной теории дифференциальных операторов играют нетривиальные формулы среднего значения, первая из которых получена Е. И. Моисеевым для корневых функций эллиптического оператора второго порядка, а вторая — для корневых функций обыкновенного дифференциального оператора любого конечного порядка. С помощью первой из этих формул среднего значения в совместной работе В. А. Ильина и Е. И. Моисеева найдены точные в классах Лиувилля условия разложимости произвольной функции по собственным функциям самосопряженного расширения эллиптического оператора второго порядка в произвольной области, а с помощью второй из указанных формул среднего значения в работах В. А. Ильина установлены конструктивные необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье спектральных разложений, порождаемых произвольным несамосопряженным обыкновенным дифференциальным оператором любого конечного порядка.
Цикл работ И. С. Ломова 1991-2002 гг. посвящен изучению свойств систем собственных и присоединенных функций линейных обыкновенных дифференциальных операторов, заданных на конечном отрезке числовой прямой. Операторы могут быть как самосопряженными, так и несамосопряженными, причем особое внимание уделено случаю существенно несамосопряженных операторов. Развивается спектральный метод В. А. Ильина изучения дифференциальных операторов независимо от конкретного вида краевых условий. Решены следующие основные задачи: создан математический аппарат исследования спектральных свойств неклассических "разрывных" обыкновенных дифференциальных операторов, область определения которых состоит из функций, множество разрывов которых может составлять всюду плотное множество на отрезке С = [0,1]; получены конструктивные условия безусловной базисности в ¿2 (С?) нерегулярных корневых функций дифференциальных операторов произвольного порядка; предложен метод, позволяющий устанавливать равносходимость вплоть до границы отрезка биортогональных разложений с тригонометрическим рядом Фурье, не использующий свойств сопряженного оператора; установлена точная оценка скорости сходимости биортогональных разложений функций на всем отрезке С как для дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами, так и для систем экспонент [14-16]. Спектральные характеристики дифференциальных операторов использованы также для построения нового метода решения краевых задач для нерегулярно вырождающихся эллиптических операторов [17, 18].
Отметим также фундаментальные результаты Е. И. Моисеева по спектральной теории для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа. Впервые установлено существование на комплексной плоскости секторов, в которых лежат все собственные значения задачи Трикоми для уравнений Лаврентьева-Бицадзе, Трикоми и Геллерстедта [19]. Это расположение собственных чисел играет большую роль при изучении устойчивости решений соответствующих нестационарных уравнений. Было доказано, что собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе образуют базис не во всей области, а лишь в ее эллиптической части. Для ряда областей специального вида Е. И. Моисеевым получено представление решения задачи Трикоми, Франкля, Геллерстедта и обобщенной задачи Трикоми в виде биортогональных рядов, позволившее установить ряд новых интегральных представлений решений указанных задач и определить особенность градиента этих решений вблизи угловых точек. Для обоснования представления решений указанных задач в виде биортогональных рядов установлены тонкие результаты об условиях базисности систем синусов и косинусов, у которых имеются ненулевая фаза и считающий индекс, не являющийся, вообще говоря, целым [20].
Большой научный интерес представляет изученная в совместной работе В. А. Ильина и Е. И. Моисеева краевая задача с наклонной производной для оператора Лапласа, поставленная еще А. Пуанкаре в связи с изучением теории приливов. Впервые установлено отсутствие свойства базисности у системы корневых функций указанной задачи и доказано, что ее собственные значения не лежат в так называемой карлемановской параболе.
В последние годы новые интересные результаты получены в цикле работ Е.И. Моисеева и Н.Ю. Капустина — были изучены базисные свойства собственных функций уравнения колебаний нагруженной струны; доказано, что собственные функции, за исключением конечного числа, образу-
ют базис в различных пространствах, в том числе и в пространствах Соболева [22].
Работы В. А. Ильина по спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов неоднократно признавались лучшими исследованиями за год по отделению математики РАН. По этой тематике учениками В. А. Ильина было защищено несколько докторских диссертаций. Среди них — докторские диссертации Я.Ш. Салимова "О средних Рисса биортогональных разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженных расширений оператора Лапласа" (1987), В. Д. Будаева "Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов" (1993), Н. Б. Керимова "Базисность и равномерная минимальность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов" (1996), В.М. Курбанова "Распределение собственных значений и сходимость биортогональных разложений по корневым функциям обыкновенных дифференциальных операторов" (2000), A.C. Макина "О свойствах корневых функций и спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным дифференциальным операторам" (2000), И. С. Ломова "Равномерная сходимость и сходимость в Lp на замкнутом интервале спектральных разложений неклассических обыкновенных дифференциальных операторов" (2002). В этом направлении также активно работали А. Б. Будак, В. Н. Денисов, Л. В. Крицков, В. В. Тихомиров, A.A. Полосин.
3. Задачи граничного управления колеблющимися объектами. С 1999 г. в сфере научных интересов В. А. Ильина, Е.И. Моисеева, В. В. Тихомирова оказались задачи граничного управления процессами, описываемыми различными дифференциальными уравнениями в частных производных: волновым уравнением, уравнением сферически-симметричных колебаний трехмерного шара и радиально-симметричных колебаний круглой мембраны, телеграфным уравнением, волновым уравнением с переменным коэффициентом упругости. В теории граничного управления изучается возможность перевода рассматриваемой системы из произвольно заданного начального состояния в произвольно заданное финальное состояние за минимально возможный промежуток времени То с помощью воздействия (управления), прикладываемого лишь на границе области задания этой системы (если в финальном состоянии система должна находиться в покое, такая задача называется задачей о полном успокоении системы).
В цикле работ В. А. Ильина и его учеников установлены необходимые и достаточные условия граничной управляемости, при этом требуемые граничные управления удалось построить в явном аналитическом виде (для волнового уравнения [23, 24], для сферически-симметричных колебаний трехмерного шара [25], для радиально-симметричных колебаний круглой мембраны [26], для телеграфного уравнения [27, 28], для волнового уравнения с переменным коэффициентом упругости [29]). Проанализированы случаи, когда промежуток времени Г перевода системы из начального состояния в финальное больше или меньше критического значения То. Выяснилось, что если Г > Го, искомое управление можно указать с точностью до произвольных функций. В случае же, когда Г < Го, получены необходимые и достаточные условия на смещения и скорости начального и финального состояний, обеспечивающие существование искомых граничных управлений, и при выполнении этих условий также указан их явный аналитический вид [30, 31]. Подробно исследован вопрос оптимального граничного управления для различных краевых задач.
В теории гиперболических задач с граничным управлением Е. И. Моисеев дал отрицательное решение поставленной Ж.-Л. Лионсом задачи о получении априорной оценки касательной производной решения на границе в норме Li через Г2"ноРмУ правой части уравнения.
Результаты научной школы В. А. Ильина по теории граничного управления высоко оценены научной общественностью. В 2001 г. работы В. А. Ильина по этой тематике были отнесены к числу лучших достижений Российской академии наук. Его ученики Г. Д. Чабакаури и П. А. Рево получили в том же 2001 г. медаль РАН за цикл работ по актуальным проблемам теории граничного управления.
4. Краевые задачи и задача Коши для линейных дифференциальных операторов в частных производных. Продолжая исследование проблемы о единственности решения задачи Неймана для уравнения Лапласа, начатое в совместной работе М.В. Келдыша и М.А. Лаврентьева, Е.И. Моисеев в терминах хаусдорфовой меры граничного множества установил точный критерий, показывающий, на каких замкнутых подмножествах границы можно не задавать краевое условие Неймана, сохраняя теорему о единственности решения задачи Неймана. Для построения примеров, иллюстрирующих точность указанного критерия, был привлечен аппарат так называемых фрактальных множеств.
В совместных работах с П. Е. Краснушкиным Е. И. Моисеев построил актуальное для волоконной
оптики представление вынужденных колебаний в коаксиально-слоистом волноводе в виде конечной суммы нормальных и присоединенных волн.
В совместных с В. А. Садовничим работах Е. И. Моисеев для случая статического сферически-симметричного поля решил задачу об определении функциональной зависимости координат риманова пространства-времени от координат пространства Минковского (при решении этой задачи доказано существование решения на полупрямой краевой задачи для весьма сложного нелинейного дифференциального уравнения).
Были развиты разностные методы решения краевых задач с нелокальными краевыми условиями, которые возникают в теории турбулентной плазмы.
В работах В. Н. Денисова изучены условия на младшие коэффициенты параболического уравнения второго порядка, при выполнении которых решение задачи Коши Ьи + (6, Уи) + си — щ = О, = ио(ж), стабилизируется, т.е. существует равный нулю предел решения при £ —> оо для любой начальной функции из некоторого класса единственности. Установлены точные условия, связывающие порядок степенного роста начальной функции и порядок убывания младших коэффициентов, гарантирующие стабилизацию. Изучены экспоненциально растущие классы начальных функций, получена точная оценка скорости стабилизации решения задачи Коши.
На кафедре также развивается направление, связанное с теорией численных методов для дифференциальных уравнений в частных производных, теорией пространств типа Соболева и операторных задач в этих пространствах (см. работы профессора Е.Г. Дьяконова, [34-37]). Решена, в частности, важная задача вычислительной математики, связанная с асимптотической минимизацией вычислительной работы при решении эллиптических задач и являющаяся естественным обобщением классических задач оптимизации в теории аппроксимации функций и квадратурных формул: построенные алгоритмы подтвердили справедливость усиленного варианта гипотезы Колмогорова-Бахвалова об асимптотически оптимальных алгоритмах, привлекавшей внимание математиков с конца 50-х гг. прошлого века.
В последние годы получены интересные результаты по теории новых типов энергетических пространств, включая усиленные и ослабленные пространства Соболева и их обобщения на случай составных (стратифицированных) многообразий (структур), составленных из связных подструктур (блоков), вообще говоря, разной размерности и имеющих различные геометрические описания и свойства (особенно интересен случай нерегулярных блоков). Исследуемые операторные задачи являются ближайшими родственниками задач для эллиптических операторов, рассматриваемых на единственном блоке X = соответствующем области С Д". Для задач на составных многообразиях "однородное" пространство Соболева заменяется более сложными "неоднородными" пространствами, принимающими в расчет и многообразия меньшей размерности. Спектральные задачи на составных многообразиях имеют принципиальное значение, например, для теории устойчивости и колебаний многих сложных систем на Земле и в космосе; родственные им стационарные и нестационарные краевые задачи встречаются (на инженерном уровне) в самых разнообразных областях современной науки и техники и привлекают все большее внимание математиков как в плане асимптотического анализа, так и в плане оптимизации алгоритмов для вопросов приближенного решения. Для подобных вопросов характерна не только проблема агрегирования различных блоков, но и большая разбросанность коэффициентов. Поэтому если, например, линейная математическая модель строится на основе простейших вариационных формулировок, то соответствующее операторное уравнение в энергетическом пространстве оказывается содержащим оператор с очень большим числом обусловленности. Была предложена регуляризация подобных задач, имеющая важное значение при построении эффективных численных методов. Для некоторых случаев для приближенного решения задач из специального класса удалось указать асимптотически оптимальные алгоритмы с оценками вычислительной работы, не зависящими от сингулярного параметра. Основой этих результатов служат теоремы продолжения для рассматриваемых необычных пространств, дополненные их сеточными аналогами. Не менее важны и оценки Лг(е)-поперечников в смысле Колмогорова естественных компактов в этих пространствах и вопросы построения сеточных методов и итерационных процессов решения возникающих сеточных систем.
Особые трудности связаны с наличием сингулярных блоков (блоков с нелипшицевой границей), для которых теория пространств Соболева малоэффективна. Наличие разумных усилений помогает преодолеть трудности с получением нужных свойств пространства. Например, для симметричных спектральных задач в рассматриваемых необычных энергетических пространствах не только устанавливается применимость классической теоремы Гильберта-Шмидта, но и проводится асимптотиче-
ский спектральный анализ при стремлении к нулю некоторых сингулярных параметров. В частности, удалось получить модификации спектральной задачи Стеклова. Также был предложен подход к однородным краевым условиям Дирихле, в котором решения эллиптических задач с этими условиями получаются как пределы возмущенных задач с естественными краевыми условиями в усиленных пространствах Соболева без каких-либо дополнительных условий на гладкость решений. Использование же специальных ослаблений энергетических пространств открывает дорогу к получению важных типов апостериорных оценок погрешности для решений задач в первоначальных пространствах.
5. Теория устойчивости, условная оптимизация и сингулярно возмущенные системы уравнений. Профессором М.М. Хапаевым [47] предложено обобщение второго метода Ляпунова, ослабляющее оба условия метода, ориентированное на исследование устойчивости в критических ситуациях. С его помощью проведено исследование на устойчивость параметров орбит в планетной задаче трех тел на основе предложенной им гидродинамической модели планет, учитывающей размер планеты, расстояние до Солнца, сплюснутость и наклон оси вращения планеты к плоскости орбиты. С помощью усреднения изучено также влияние этих факторов на эволюционное изменение параметров орбит.
Впервые в нашей стране построены математические модели для тонких магнитных пленок, изучались статические и динамические процессы в тонкопленочных материалах. В настоящее время изучаются магнитные процессы в новейших наноструктурах. Для описания динамических процессов в магнитных материалах предложено учитывать непостоянство длины вектора намагниченности, зависимость длины вектора от интенсивности обменного взаимодействия. Поправки вводятся через вторые производные от поля намагниченности.
В работах по физике плазмы впервые были введены в рассмотрение сингулярные интегральные многообразия, на которых правые части дифференциальных уравнений обращаются в бесконечность. Предложено использование сингулярных многообразий в задачах условной оптимизации и управления, а также в задачах обработки результатов наблюдения и экспериментов по методу наименьших квадратов Гаусса. Введенные в схему обработки результатов сингулярные многообразия позволяют учесть ошибки наблюдения и эксперимента. При этом, естественно, схема усложняется и становится нелинейной.
Ряд работ М. М. Хапаева был посвящен линейным сингулярно возмущенным уравнениям с особыми точками. Им была доказана теорема о предельном переходе для сингулярно возмущенной системы, аналогичная теореме А. Н. Тихонова в случае, когда вырожденная система имеет не корни, на которых правые части обращаются в 0, а сингулярные многообразия, на которых правые части обращаются в оо. В последнее время проф. Хапаев вновь обратился к сингулярно возмущенным задачам, сконцентрировав внимание на некорректности сингулярно возмущенных задач для уравнений с частными производными. Полученные результаты дают представление о существовании множества решений с внутренними погранслоями с учетом некорректности задачи.
6. Теория нелинейных уравнений. Профессором И. А. Шишмаревым изучены вопросы о глобальном во времени существовании и об асимптотическом поведении при больших значениях времени решений нелинейных эволюционных уравнений и систем уравнений [48, 49].
Рассмотрены периодические задачи для многомерного комплексного уравнения Ландау-Гинзбурга и для широкого класса одномерных нелинейных уравнений, включающего многие известные уравнения, такие, как уравнение Кортевега-де Фриза-Бюргерса, уравнение Курамото-Сивашинского, уравнение Отто-Судана-Островского и др. Для решений построены асимптотики по времени различного характера — растущие, убывающие и осциллирующие во времени. Исследованы случаи как малых, так и произвольных начальных условий.
Найдены асимптотики по времени решений начально-краевой задачи на полупрямой для нелинейного нелокального уравнения Шредингера и уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса.
Изучена задача Коши для весьма широкого класса многомерных (по пространственной переменной) систем нелинейных эволюционных уравнений с диссипацией в суперкритическом и критическом случаях. Рассмотрены вопросы о локальном и глобальном во времени существовании решений и о построении асимптотики для решений системы уравнений поверхностных волн Буссинеска и двумерной системы уравнений Навье-Стокса, в критическом случае асимптотика при £ —> оо имеет автомодельный характер. В этом направлении также активно работали М.В. Комаров и П. П. Наумкин.
7. Дифференциальная геометрия и задача динамического поиска объектов. Исследование геометрических свойств решений уравнения Монжа-Ампера гиперболического типа и связанных с ним нелинейных систем позволило найти и обосновать содержательные достаточные условия изометрического погружения в трехмерное евклидово пространство некомпактных (неограниченных во внутренней метрике) областей двумерных римановых многообразий неположительной кривизны (Ж. Кайдасов, Д. В. Туницкий, Е.В. Шикин).
Развитие геометрического подхода к решению задач динамического поиска точечных объектов позволило создать эффективный инструментарий, позволяющий решать как теоретически, так и практически многие поисковые задачи. Введенные разработчиками информационные множества, изменяющаяся во времени структура которых описывает динамику уровня осведомленности двух сторон поискового процесса (уклоняющихся и ищущих), позволила разрешить целый ряд задач поиска. Были сформулированы и обоснованы содержательные достаточные условия на основные параметры поисковой задачи (скорости участников, размеры области визуального контроля и основные геометрические характеристики всей поисковой области), при выполнении которых возможен успешный поиск (обнаружение) уклоняющихся объектов при сильной информационной дискриминации ищущих, и вполне конкретно указано, как именно следует поступать, чтобы гарантированно обнаружить уклоняющихся вне зависимости от того, какими траекториями те будут пользоваться. Привлечение информационных множеств позволило получить также содержательные необходимые условия поиска подвижных объектов, нарушение которых делает его безнадежным. Визуализация информационных множеств средствами компьютерной графики дала возможность решать задачи гарантированного обнаружения в широком классе областей на плоскости в режиме реального времени (С. Б. Березин, С.М. Губайдул-лин, П.М. Ларин, А. А. Скворцов, А. Г. Чхартишвили, Е.В. Шикин).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Самосопряженные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1991.
2. Ильин В. А. Равномерная на всей прямой Я равносходимость с интегралом Фурье спектрального разложения, отвечающего самосопряженному расширению оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом // Диф. ур-ния. 1995. 31. № 12. С. 1957-1967.
3. Ильин В. А., Крицков Л. В. Равномерная на всей прямой оценка обобщенных собственных функций одномерного оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом // Диф. ур-ния. 1995. 31. № 8. С. 1323-1329.
4. И л ь и н В. А., Моисеев Е.И. Точная по порядку и равномерная в при N = 2 и N = 3 оценка квадратов фундаментальных функций самосопряженного расширения в оператора Шредингера с потенциалом, удовлетворяющим условию Като // Диф. ур-ния. 1996. 32. № 3. С. 357-374.
5. К о р о в и н а М. В. Эллиптические задачи на стратифицированных многообразиях в пространствах с асимптотиками. I, II // Диф. ур-ния. 2004. 40. № 2. С. 216-228; № 6. С. 775-786.
6. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I, II // Диф. ур-ния. 1980. 16. № 5. С. 771-794; № 6. С. 980-1009.
7. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности в Ьр и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системе экспонент // ДАН СССР. 1983. 273. № 4. С. 789-793.
8. Ильин В. А. О необходимом условии равносходимости с тригонометрическим рядом спектрального разложения произвольной суммируемой функции // Диф. ур-ния. 1985. 21. № 3. С. 371-379.
9. Ильин В.А., Мальков К.В., Моисеев Е.И. Базисность систем корневых функций несамосопряженных операторов и интегрируемость ассоциированных представлением Лакса нелинейных эволюционных уравнений. I, II // Диф. ур-ния. 1989. 25. № 11. С. 1956-1970; № 12. С. 2133-2143.
10. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. 1983. 273. № 5. С. 1048-1053.
11. Ильин В. А., Моисеев Е.И. Точные по порядку оценки антиаприорного типа для собственных и присоединенных функций оператора Шредингера // Диф. ур-ния. 1981. 17. № 10. С. 1859-1867.
12. Ильин В. А. О точных по порядку соотношениях между ¿2"ноРмами собственных и присоединенных функций эллиптического оператора второго порядка // Диф. ур-ния. 1982. 18. № 1. С. 30-37.
13. Ильин В. А. О связи между видом краевых условий и свойствами базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора // Диф. ур-ния. 1994. 30. № 9. С. 1516-1529.
14. Ломов И. С. О базисности систем нерегулярных корневых векторов дифференциальных операторов высокого порядка // Диф. ур-ния. 1993. 29. № 1. С. 74-86.
15. Ломов И. С. Обобщенное неравенство Бесселя для обыкновенных дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами и обобщение теоремы Рисса // Диф. ур-ния. 2000. 36. № 12. С. 1621— 1630.
16. Ломов И. С. Сходимость биортогональных разложений функций на отрезке для дифференциальных операторов высокого порядка // Докл. РАН. 2003. 388. № 1. С. 11-15.
17. Ломов И. С. Малые знаменатели в аналитической теории вырождающихся дифференциальных уравнений // Диф. ур-ния. 1993. 29. № 12. С. 2079-2089.
18. Ломов И. С. Метод спектрального разделения переменных для нерегулярно вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов // Докл. РАН. 2001. 376. № 5. С. 593-596.
19. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988.
20. Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов в весовых пространствах // Диф. ур-ния. 1998. 34. № 1. С. 40-44.
21. Моисеев Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Диф. ур-ния. 2001. 37. № 11. С. 1357-1359.
22. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. К проблеме сходимости спектральных разложений для одной классической задачи со спектральным параметром в граничном условии // Диф. ур-ния. 2001. 37. № 12. С. 1599-1604.
23. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах. I, II // Докл. РАН. 1999. 369. № 5. С. 592-596; № 6. С. 732-735.
24. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Диф. ур-ния. 2000. 36. № 11. С. 1513-1528; № 12. С. 1670-1686.
25. Ильин В. А. Граничное управление сферически симметричными колебаниями шара при условии существования конечной энергии // Докл. РАН. 2003. 392. № 3. С. 309-312.
26. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Граничное управление радиально-симметричными колебаниями круглой мембраны // Докл. РАН. 2003. 393. № 6. С. 730-734.
27. Ильин В. А., Моисеев Е.И. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением // Докл. РАН. 2002. 387. № 5. С. 600-603.
28. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Граничное управление на двух концах процессом, описываемым телеграфным уравнением // Докл. РАН. 2004. 394. № 2. С. 154-158.
29. Ильин В. А. О граничном управлении процессом, описываемым уравнением к(х) \к(х)их(х, i)] — - utt(x,t) = 0 // Докл. РАН. 2002. 386. № 2. С. 156-159.
30. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени. I, II // Диф. ур-ния. 1999. 35. № 11. С. 1517-1534; № 12. С. 1640-1659.
31. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. I, II // Диф. ур-ния. 2000. 36. № 11. С. 1513— 1528; № 12. С. 1670-1686.
32. Алимов Ш. А., Ильин В. А., Никишин Е. М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений // УМН. 1976. 31. Вып. 6. С. 28-83.
33. Дезин A.A. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач // Тр. МИАН им. В. А. Стеклова. 2000. 229.
34. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. М.: Наука, 1989.
35. Дьяконов Е.Г. Новый подход к краевым условиям Дирихле, основанный на использовании усиленных пространств Соболева // Диф. ур-ния. 1998. 34. № 10. С. 1359-1368.
36. Дьяконов Е.Г. Энергетические пространства и их применения. М: Изд. отдел ф-та ВМиК, 2001.
37. Дьяконов Е.Г. О некоторых модификациях спектральной задачи Стеклова для двумерных областей с нерегулярной границей // Докл. РАН. 2003. 388. № 5. С. 583-587.
38. Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений. М.: Наука, 1991.
39. II'in V. A. How to express basis conditions for the equiconvergence with trigonometric series of expansions related to non-self-adjoint differential operators // Computer Math. Applic. 1997. 34. N 5-6. P. 641-647.
40. Крицков JI. В. О безусловной базнсностн систем корневых функций одномерного сингулярного оператора Шредингера // Диф. ур-ния. 1991. 27. № 8. С. 1446-1447.
41. Крицков Л. В. Распределение собственных значений сингулярных дифференциальных операторов на отрезке // Диф. ур-ния. 1993. 29. № 5. С. 773-779.
42. Крицков Л. В. Ограниченность кратностей для равномерно минимальных в ¿2 систем обобщенных экспонент // Докл. РАН. 1995. 341. № 4. С. 450-451.
43. Моисеев Е. И., Прудников А. П., Седлецкий A.M. Базисность и полнота некоторых систем элементарных функций. М.: ВЦ РАН, 2004.
44. Тихомиров В. В. Точные оценки собственных функций произвольного несамосопряженного оператора Шредингера // Диф. ур-ния. 1983. 19. № 8. С. 1378-1385.
45. Тихомиров В.В. О безусловной базисности корневых векторов нагруженных операторов / / Диф. ур-ния. 1989. 25. № 2. С. 355-357.
46. Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении // Диф. ур-ния. 2002. 38. № 3. С. 405-416.
47. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости. М.: Наука, 1986.
48. Shishmarev I.A., N au m kin P.I. Nonlinear nonlocal equations in the theory of waves // AMS Transi. Math. Monographs. 1994. 133.
49. Шиш m ape в И. А. Асимптотика при t —> сю решений обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова // УМН. 1998. 53. № 4. С. 178.
Поступила в редакцию 16.06.04
А. А. Васин, Д. В. Денисов, В. В. Морозов,
ШКОЛА ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ В МГУ
(кафедра исследования операций факультета ВМиК)
1. Введение. Исследование операций представляет собой направление прикладной математики, в котором изучают целенаправленные действия (стратегии) в различных сферах человеческой деятельности (таких, как военное дело, экономика, управление, проектирование сложных технических объектов и т.п.).
Основателем научной школы исследования операций в МГУ им. М.В. Ломоносова является Ю.Б. Гермейер (1918-1975). Благодаря его научному и педагогическому таланту в университете начиная с 60-х гг., была развернута подготовка специалистов по исследованию операций, изданы монографии и учебные пособия. Монографии Ю.Б. Гермейера [1, 2] определили научную деятельность не одного поколения исследователей и задают тон работе по сей день. В 1970 г. Ю. Б. Гермейер совместно с В. Г. Кармановым (1922-2003) создали кафедру исследования операций на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ. В ее состав вошли С. А. Ашманов (1941-1994) и Э.Г. Давыдов (1933-1997). С. А. Ашманов, известный алгебраист, занимался вопросами математической экономики [3] и устойчивости задач линейного программирования [4]. Э.Г. Давыдов, исследователь с широким кругозором, изучал игры дуэльного типа [5], вопросы использования метода моментов и задачи оптимального распределения ресурсов на сетевых графиках [6].
В настоящее время научная школа насчитывает 12 докторов (П. С. Краснощеков, A.A. Белоли-пецкий, A.A. Васин, Ю.Г. Евтушенко, А. Ф. Измаилов, С. К. Завриев, Н. С. Кукушкин, Н.М. Новикова, Н.М. Попов, И. Г. Поспелов, Г. И. Савин, Ю.А. Флеров) и 10 кандидатов наук (Г. А. Белян-
1В подготовке статьи активное участие принимали И. И. Поспелова и А. Ф. Измаилов.
В. В. Федоров
