Включения фазовых состояний в задачах наблюдения за движением самолета в горизонтальной плоскости и восстановление траекторий управляемых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневскце чтения

УДК 517.977.1

А. Н. Рогалев

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

А. А. Рогалев

Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

ВКЛЮЧЕНИЯ ФАЗОВЫХ СОСТОЯНИЙ В ЗАДАЧАХ НАБЛЮДЕНИЯ ЗА ДВИЖЕНИЕМ САМОЛЕТА В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

В докладе описывается применение гарантированных методов [1—9], позволяющих получать границы фазовых состояний летательных объектов. Рассматривается в модельной постановке задача наблюдения за движением самолета в горизонтальной плоскости. В основе нахождения включений лежит способ построения символьных формул решений и оценивания всех возможных ее значений. Приводятся результаты расчетов.

В современной теории наблюдения и управления наряду с вероятностными методами [10] к описанию всех фазовых состояний динамических систем используется детерминированный подход, оценивающий все фазовые состояния в условиях неточных измерений. Рассматривается задача наблюдения за движением самолета в горизонтальной плоскости:

— = V cos(j);

dt

— = V sin(j);

dt (1)

d j ku dt ~ V '

V = const > 0, k = const > 0, |u| < 1,

где x, у - геометрические координаты; j - угол направления вектора скорости; V - величина скорости; u - неизвестное управляющее воздействие. Угол j отсчитывается от горизонтальной оси против часовой стрелки.

Текущая информация [10] о движении самолета поступает в виде замеров его положения на плоскости x, у. Известны геометрические ограничения на ошибки замеров. Замеру, пришедшему в некоторый момент времени t , соответствует множество неопределенности H(t) - совокупность всех фазовых состояний (x, у, j), совместных с полученным замером и заданными ограничениями на его ошибки. Предполагается, что множество H(t) цилиндрично по координате j и имеет выпуклую проекцию на плоскость x, у. Совокупность всех фазовых состояний в момент времени t, совместных в множествами неопределенности, накопленными к этому моменту времени, составляет информационное множество I(t) [11].

В докладе строятся включения области достижимости управляемых систем с помощью гарантированного метода оценивания множеств решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений на ос-

нове символьных формул для аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории [1-9].

Выполнение гарантированных методов, основанных на аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории, разделено на два этапа, предиктор и корректор.

На первом этапе (предиктор) происходит построение (запись) символьных формул приближенных решений как векторных функций Б" (У0) • Б"-1 (У0) •...• £ '(У0), где вектор У0 - вектор начальных значений, рассматриваемых как символьные величины. Затем вычисляется область значений Бу этой формулы.

Подробное описание шагов гарантированного метода дано в работах [1-9].

В докладе приводятся результаты применения методов, основанных на аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории, для оценки всех фазовых состояний в задаче наблюдений (1). Данные оценки применялись также для построения траекторий, проходящих через гарантированные оценки множеств неопределенности с учетом заданных функций предпочтений.

Библиографические ссылки

1. Новиков В. А., Рогалев А. Н., Построение сходящихся верхних и нижних оценок решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики. 1993. № 33 (2). С. 219-231.

2. Рогалев А. Н. Исследование практической устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Вычислительные технологии. 2002. № 7 (5). С. 148-150.

3. Рогалев А. Н. Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования символьных формул // Вычислительные технологии. 2003. № 8 (5). С. 102-116.

4. Рогалев А. Н. Границы множеств решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными начальными данными // Вычислительные технологии. 2004. № 9 (1). С. 86-93.

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

5. Рогалев А. Н. Вопросы устойчивости ансамблей дифференциальных уравнений // Вычислительные технологии. 2008. № 13 (3). С. 111-117.

6. Rogalyov A. N. Computation of reachable sets guaranteed bounds // Proceedings of the IASTED International Conferences on Automation, Control, and Information Technology - Control, Diagnostics, and Automation (ACIT - CDA 2010). ACTA Press. B6. Calgary. Canada. 2010. P. 132-139.

7. Рогалев А. Н. Гарантированные оценки и построение множеств достижимости для нелинейных управляемых систем // Вестник СибГАУ. Вып. 5 (31). 2010. С. 148-154.

8. Рогалев А. Н. Вычисление гарантированных границ множеств достижимости управляемых систем // Автометрия. 2011. Т. 47, № 3. С. 100-112.

9. Рогалев А. Н. Вопросы реализации гарантированных методов включения выживающих траекторий управляемых систем // Вестник СибГАУ. Вып. 2 (35). 2011. С. 54-58.

10. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А. А. Красовского. М. : Наука, 1987.

11. Информационные множества в задаче наблюдения за движением самолета в горизонтальной плоскости / С. И. Кумков и др. // Известия академии наук. Теория и системы управления. 2003. № 4. С. 51-61.

A. N. Rogalyov

Institute of Computational Modeling, Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk

A. A. Rogalyov Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk

INCLUSION OF PHASE STATES IN THE PROBLEMS OF SUPERVISION OF PLANE MOVEMENT IN THE HORIZONTAL AND RECOVERY TRAJECTORIES OF CONTROLLED SYSTEMS

The report describes the use of guaranteed methods [1—9], which makes it possible to obtain the boundary of the phase states of flying objects. The model formulation of the problem of aircraft movement monitoring in the horizontal plane are considered. The results of the computations are presented.

© PorajieB A. H., 2011

УДК 005; 519.7; 303.732

И. С. Рыжиков

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рассматривается задача терминального управления нелинейным динамическим объектом. Управляющее воздействие подбирается среди кусочно-линейных функций.

Для объекта, заданного дифференциальным уравнением, в общем случае:

dx

— = f (x, u ) dt

(1)

необходимо найти такую кусочно-линейную функцию управления и(/), что за конечное время Т система (1) перейдет из начального состояния х(0) = х0 в конечное Х(Т) = хТ.

где ^, I = 1, Ыи - интервалы, определенные точками

Nи Nи

переключения, такие что ^ I = [0, Т], 1I = 0;

1=1 1=1

Ыи - заранее определенное число переключений.

Пусть X = i x : x < x+1, x e (0, T] "i = 1, Nu +1 \ -множество всех точек переключений, множества ин-

Таким образом, для решения задачи необходимо тервалов 11,1 = 1, Ыи : 11 = [х, хм). Для обеспечения

непрерывности функции введем множество

найти функцию следующего вида:

a • t+b1, t e I{,

u (t) =

aN •t + bNu , t e INu

(2)

Y = |y : yt < yt+1, yt e R "i = 1 Nu +11. Теперь определим ai, bi как параметры прямых, проходящих через точки (xi, y X (xi+l, yi+1) для i = I, Nu :