CC BY
13УДК 517.977.1
ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ ПРЕДЕЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ТРАЕКТОРИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ В АТМОСФЕРЕ
А. Н. Рогалев1, А. А. Рогалев2
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: rogalyov.icm@krasn.ru Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79
Описывается применение численных методов, вычисляющих границы фазовых состояний летательных объектов в условиях неточно заданных параметров. Рассматривается в модельной постановке задача возможности потери устойчивости движения летательного аппарата на заданном интервале времени в горизонтальной плоскости. В основе нахождения включений лежит способ построения символьных формул решений и оценивания всех возможных ее значений. Приводятся результаты расчетов.
Ключевые слова: предельные отклонения траекторий, критические значения параметров, гарантированный метод оценивания.
NUMERICAL ESTIMATIONS OF MAXIMUM DEVIATIONS FOR AIRCRAFT TRAJECTORIES IN THE ATMOSPHERE
A. N. Rogalyov1, A. A. Rogalyov2
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: rogalyov.icm@krasn.ru Siberian Federal University 79, Svobodny prosp., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation
The application of numerical methods, which are designed for computing the boundary of the phase states offlying objects with inaccurate parameters, is described. The problem ofpossibility of stability loss of the aircraft is considered in the model formulation for a given time interval in the horizontal plane. The calculating of inclusions method is based on constructing analytical formulae of solutions and evaluating its all possible values. The calculation results are given.
Keywords: extreme deviations of the trajectories, critical parameters, guaranteed method of estimation.
Математическое моделирование движения самолета на этапе автоматического захода на посадку уточняет, насколько реальна возможность нарушения перечисленных выше ограничений, наложенных на кинематические параметры самолета, в момент касания ВПП.
Другая задача, связанная с механикой полета, относится к оценке возможности потери устойчивости движения летательного аппарата на заданном интервале времени. Наибольшие сложности при решении такой задачи возникают в том случае, когда условия полета не являются стационарными, например, при рассмотрении участка спуска в атмосферу орбитальной ступени многоразового космического корабля. Здесь не так просто выработать и сами признаки или критерии потери устойчивости, если не ограничиваться простейшим случаем линейной системы, для которой могут быть использованы условия Рауса-Гурвица.
Упрощенным критерием потери устойчивости может служить некоторое пороговое или критическое
значение одного из параметров движения самолета, например угла атаки а - между строительной горизонталью ЛА и проекцией вектора скорости на плоскость симметрии ЛА или угла скольжения в. В современной теории наблюдения и управления наряду с вероятностными методами [10] к описанию всех фазовых состояний динамических систем используется детерминированный подход, оценивающий все фазовые состояния в условиях неточных измерений.
Рассматривается задача наблюдения за движением самолета в горизонтальной плоскости:
— = V cos(m), dt
dy = V sin(9), dt (1)
d ф _ ku
~dt ~ V'
V = const > 0, k = const > 0, |ul < 1,
Решетневскуе чтения. 2014
где х, у - геометрические координаты; ф - угол направления вектора скорости; V - величина скорости; и - неизвестное управляющее воздействие. Угол ф отсчитывается от горизонтальной оси против часовой стрелки.
Текущая информация [10] о движении самолета поступает в виде замеров его положения на плоскости х, у. Известны геометрические ограничения на ошибки замеров. Замеру, пришедшему в некоторый момент времени ?, соответствует множество неопределенности Н(/) - совокупность всех фазовых состояний (х, у, ф), совместных с полученным замером и заданными ограничениями на его ошибки. Совокупность всех фазовых состояний в момент времени /, совместных с множествами неопределенности, накопленными к этому моменту времени, составляет информационное множество I ) [11].
В докладе строятся включения области достижимости управляемых систем с помощью гарантированного метода оценивания множеств решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе символьных формул для аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории [1-9].
Выполнение гарантированных методов, основанных на аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории, разделено на два этапа - предиктор и корректор, на которых реализуется построение (запись) символьных формул приближенных решений как векторных функций 8"(У0) о 8"-1 (У0) о... о 8\У0), где вектор
У0 - вектор начальных значений, рассматриваемых как символьные величины и вычисление области значений 8у этой формулы.
Подробное описание шагов гарантированного метода дано в работах [1-9].
В докладе приводятся результаты применения методов, основанных на аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории, для оценки всех предельных отклонений траекторий в задаче (1).
Библиографические ссылки
1. Новиков В. А., Рогалев А. Н. Построение сходящихся верхних и нижних оценок решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики. 1993. № 33(2). С.219-231
2. Рогалев А. Н. Исследование практической устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Вычислительные технологии. 2002. № 7(5). С. 148-150.
3. Рогалев А. Н. Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования символьных формул // Вычислительные технологии. 2003. № 8(5). С. 102-116.
4. Рогалев А. Н. Границы множеств решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными начальными данными // Вычислительные технологии. 2004. № 9(1). С. 86-93.
5. Рогалев А. Н. Вопросы устойчивости ансамблей дифференциальных уравнений // Вычислительные технологии. 2008. № 13(3). С. 111-117.
6. Rogalyov A. N. Computation of reachable sets guaranteed bounds // Proc. of the IASTED Intern. Conf. on Automation, Control, and Information Technology -Control, Diagnostics, and Automation (ACIT - CDA 2010). ACTA Press, B6, Calgary, Canada, 2010. P. 132-139.
7. Рогалев А. Н. Гарантированные оценки и построение множеств достижимости для нелинейных управляемых систем // Вестник СибГАУ. 2010. № 5(31). С. 148-154.
8. Рогалев А. Н. Вычисление гарантированных границ множеств достижимости управляемых систем // Автометрия. 2011. Т. 47, № 3. С. 100-112.
9. Рогалев А. Н. Вопросы реализации гарантированных методов включения выживающих траекторий управляемых систем // Вестник СибГАУ. 2011. № 2(35). С. 54-58.
10. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А. А. Красовского. М. : Наука, 1987.
11. Кумков С. И. [и др.] Информационные множества в задаче наблюдения за движением самолета в горизонтальной плоскости // Известия Академии Наук. Теория и системы управления. 2003. № 4. С. 5161.
References
1. Novikov V. A., Rogalyov A. N. Postroenie schodyachichsya verhnih i nizhnih otsenok reshenij system obyknovennych differentsialnych uravneneiy (Construction of converging upper and lower bounds for the solutions of systems of ordinary differential equations) // Zhurnal vychislitelnoy matematiki, 33(2), 1993. Р. 219-231.
2. Rogalyov A. N. Issledovanie practical ustoychivosti pri postoyanno deystvuyuhich vozmucheniyach // Vychislitelnye technologii 7(5), 2002. Р. 148-150.
3. Rogalyov A. N. Garantirovannye metody resheniy system obyknovennych differentsialynych uravneniy na osnove preobrazovaniya symvolnych formul // Vychislitelynye technologii 8(5), 2003. Р. 102-116.
4. Rogalyov A. N. Granitzy mnozhestv resheniy system obyknovennych differentsialynych uravneniy s inervalynymi nachalynymi dannymi (The bounds of sets of solutions of the differential equations with interval initial data) // Vychislitelynye technologii. 9(1), 2004. Р. 86-93.
5. Rogalyov A. N. Voprosy ustoychivosti ansamvley differentsialynych uravneniy // Vychislitelynye technologii 13(3), 2008. Р. 111-117.
6. Rogalyov A. N. Computation of reachable sets guaranteed bounds // Proceedings of the IASTED International Conferences on Automation, Control, and Information Technology - Control, Diagnostics, and Automation (ACIT - CDA 2010). ACTA Press, B6, Calgary, Canada. 2010. P. 132-139.
7. Rogalyov A. N. Garantirovannye otsenki i postoenye mnozhestv dostizhimosti dlya nelineynych upravlyamych system (The guaranteed estimations and construction of reachable sets for nonlinear conmrol systems) // Vetnik SibGAU. 2010. 5(31). Р. 148-154.
8. Rogalyov A. N. Vychislenie garantirovannych graniz mnozhestv dostozhimosty upravlyamych system. (Computation of reachable sets guaranteed bounds of control systems) // Avtometrya. 2011. т. 47, № 3. Р. 100-112.
9. Rogalyov A. N. Voprosy realizatsii garantirovannych metodov vklucheniya vyzhivayuchoh traectoryy upravlyemych system (The implementation of guaranteed methods for control systems surviving trajectories inclusion) // Вестник СибГАУ. 2011. 2(35). Р. 54-58.
10. Spravochnik po teorii avtomaticheskogo upravleniya (A Guide to the theory of automatic control /
Ed. AA Krasovskii M. : Science, 1987.) / Pod red. Krasovskogo A. A. M. : Nauka, 1987.
11. Kumkov S. I., Patzko V. S., Pyatko S. G., Reshetov V. M., Fedotov A. A. Informatsionnye mnozhestva v zadache nabludeniya za dvizheniem samoleta v gorizontalnoi ploskosti (Information sets in the observation of the movement of the aircraft in the horizontal plane) // Izvestiya Akademii Nauk. Teoriya I systemy upravleniya (Proceedings of the Academy of Sciences. Theory and control systems) 2003. № 4. P. 51-61.
© Pora^eB A. H., Pora^eB A. A., 2014
УДК 621.313.333
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ ГИРОСКОПИЧЕСКОГО ДВИГАТЕЛЯ СО СФЕРИЧЕСКИМ РОТОРОМ
Л. Б. Свинолобова, Е. В. Сударикова, В. А. Голубков
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения Российская Федерация, 190000, г. Санкт-Петербург, Большая Морская ул., 67
E-mail: sudarelena@mail.ru
Моделируется электромагнитное поле гироскопического двигателя со сферическим ротором и цилиндрическим статором. Замена сферической формы поверхности ротора на цилиндрическую позволяет определить составляющие векторов поля без использования присоединенных функций Лежандра, путем решения краевой задачи в цилиндрической системе координат, что наиболее удобно для инженерной практики. Модель позволяет рассчитать амплитуды и фазы гармоник всех составляющих поля, исследовать влияние на них параметров гироскопического двигателя и провести оптимизацию этих параметров.
Ключевые слова: гироскопический двигатель, сферический ротор, электромагнитное поле, краевая задача.
MATHEMATICAL MODEL OF THE SPHERICAL RUNNER GYROSCOPIC MOTOR WITH ELECTROMAGNETIC PROCESSES
L. B. Svinolobova, E. V. Sudarikova, V. A. Golubkov
Saint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation 67, Bolshaya Morskaya str., Saint-Petersburg, 190000, Russian Federation E-mail: sudarelena@mail.ru
The spherical runner and cylindrical stator gyroscopic motor electromagnetic field is simulated. Changing of the runner's spherical form surface to the cylindrical form makes it possible to estimate the field vector components without using associated Legendre functions by path of cylindrical frame boundary value problem solution that is the most convenient for engineering practice. The model is enabling to estimate the amplitudes and phases of all field component harmonics, to research the effect of gyroscopic motor parameters and to carry out the optimization of these parameters.
Keywords: gyroscopic motor, spherical runner, electromagnetic field, boundary value problem.
Развитие современных систем навигации предъявляет высокие требования к точности гироскопических приборов. Однако широко применяемые гироскопы на шариковых подшипниках обладают довольно большой величиной погрешности и недостаточным ресурсом. В настоящее время находят применение гироскопы с ротором в виде вращающейся сферы, подвешенной в магнитном поле [1]. Достоинством такой конструкции является отсутствие подшипников,
трение в которых обусловливает уход гироскопа, что обеспечивает существенное повышение точности работы прибора.
В качестве объекта исследования рассматривается трехстепенной гироскопический двигатель со сферическим ротором и катушечным статором [2]. Выбор оптимальных параметров двигателя и расчет его режимов представляет актуальную задачу, решение которой базируется на исследовании электромагнитных
